有限集合所含元素个数的几个简单性质
初等数学研究有限集合运算
初等数学研究有限集合运算初等数学是人类思维的重要分支，它覆盖了我们日常生活中的许多领域。
而有限集合运算是初等数学中非常基础的一个概念，研究其性质和应用有着重要的理论和实践意义。
一、有限集合的定义首先我们需要明确什么是有限集合，简单来说，集合是由一些元素组成的整体，这些元素的组合方式是任意的，没有顺序之分。
而有限集合就是集合中元素的数量是有限的。
例如，{1，2，3，4，5}就是一个有限集合，其中包含了5个元素。
我们也可以用一个大写字母来表示一个有限集合，比如A = {1，2，3}。
二、集合运算集合之间可以进行一些基本运算，这些运算包括并、交、差和对称差。
接下来我们来详细介绍一下这些运算。
1.并集并集是指将两个集合中的所有元素集合在一起形成一个新的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，如果A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，那么A ∪ B = {1，2，3，4}。
2.交集交集是指由两个集合中公共的元素组成的新的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，如果A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，那么A ∩ B = {2，3}。
3.差集差集是指从一个集合中减去另一个集合中的所有元素形成的集合。
用符号表示为A - B。
例如，如果A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，那么A - B = {1}。
4.对称差对称差是指两个集合中除了公共元素以外的所有元素组成的集合。
用符号表示为A Δ B。
例如，如果A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，那么A Δ B = {1，4}。
三、有限集合运算的性质有限集合运算有许多性质，下面我们分别介绍一下。
1.交换律对于任何两个集合A和B，A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A。
例如，如果A = {1，2，3}，B = {2，3，4}，那么A ∪ B = B ∪ A = {1，2，3，4}，A ∩ B = B ∩ A = {2，3}。
集合
例2．设集合A={x|-1<x<2}，B={x|1<x<3}， 求AUB． 解：A B { x | 1 x 2} { x | 1 x 3} x | 1 x 3
可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：
类比引入
思考：
求集合的并集是集合间的一种运算，那么， 集合间还有其他运算吗？
例 用描述法表示下列集合： （1）方程x2－2=0的所有实数根组成的 集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的 集合； （1）A = {x∈R|x2－2=0} （2）B = {x∈Z|10<x<20} 要指出的是，如果从上下文的关系来看， x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z 可以省略，只写出其元素x。例如，集合 D = {x∈R|x<10}也可以表示为D = {x|x<10}
课堂小结
1.集合的定义 2.集合与元素的关系 3.集合元素的性质 4.集合的表示方法 5.集合的分类 6.空集： 7.点集元素的特征
1.1.2
集合间的基本关系
考察以下各组集合：
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；
（2）A={x︱x是等边三角形}， B={x︱x是等腰三角形}.
区别:子集中，元素的个数少于或者等于原 集合中元素的个数，而真子集中元素的个 数只能少于原集合中元素的个数。
{1}， {2}， {1,2}， 如：A={1,2}，那么其子集有 ， 其真子集只有 ， ，少了自身这个集合。 {1}， {2}
三、集合相等
A={x|x2－1=0}；B={－1，1}.
集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，同时，集 合B中任何一个元素都是集合A中的元素.这样集合A与 集合B的元素是一样的.
无限集合的表示方式
无限集合的表示方式引言在数学中，集合是一种用于存储元素的数据结构。
无限集合是指具有无穷多个元素的集合。
然而，无限集合是无法直接表示的，因为我们无法一一列举它们的所有元素。
本文将探讨无限集合的表示方式，介绍几种常见的表示方法，并讨论它们的优缺点。
有限集合的表示首先我们来回顾一下有限集合的表示方式。
对于有限集合，我们可以直接列举出其中的所有元素。
例如，集合 {1, 2, 3} 可以表示为 [1, 2, 3] 或者 {1, 2, 3}。
这种表示方法简单直观，适用于元素数量较少的集合。
自然数集合的表示自然数集合是一个无限集合，包含了从1开始的所有整数。
由于无法一一列举自然数集合的所有元素，我们需要使用其他的表示方式。
以下是几种常见的表示自然数集合的方法：英文字母表示法我们可以使用英文字母 N 表示自然数集合，即N = {1, 2, 3, …}。
这种表示方式简单直观，但没有直接表达出集合的无限性质。
希腊字母表示法另一种表示自然数集合的方法是使用希腊字母无穷大符号∞，即 N = {1, 2, 3, …, ∞}。
这种表示方法更明确地表达了自然数集合的无限性质。
数学符号表示法在数学中，我们可以使用数学符号定义集合。
例如，我们可以表示自然数集合为 N = {x | x 是自然数}。
这种表示方法使用了条件表达式，简洁地描述了集合的元素属性。
实数集合的表示实数集合是一个无限集合，包含了所有的实数。
与自然数集合类似，我们需要使用特殊的表示方法来描述实数集合。
区间表示法实数集合可以使用区间表示法来表示。
例如，我们可以表示正实数集合为 (0,+∞)，表示负实数集合为 (-∞, 0)，表示全体实数集合为 (-∞, +∞)。
区间表示法简单清晰，直观易懂。
数学符号表示法类似地，我们可以使用数学符号表示实数集合。
例如，我们可以表示实数集合为 R = {x | x 是实数}。
这种表示方法适用于描述实数集合的性质和特征。
无限集合的运算无限集合的运算与有限集合的运算类似，包括并集、交集、差集等。
小学数学理论基础：有限集合与无限集合
Hilbert 的旅馆
德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老 板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。 Hilbert让1号房客搬到2号房，让2号房客搬到3号房，让3号房客搬到4号房······这时1号房间 就空出来了，让新客人住进1号房。 如果来了5位新客人，这个问题能解决吗？能！因为集合{ 6，7，8，9，10，…}与自然数集 合可以建立一一对应。
有限集合相关性质
有限集合的基本性质：
1. 有限集合不能与它的任何真子集合对等。 2. 有限集合的任一子集合是有限集合。 3. 有限集合A的元素个数永远大于它的真子集合 B的元素个数。 4. 两个有限集集合， 也称无穷集合。
相信大家都认可：“要多少有多少，没完 没了，无穷无尽…”才能算无穷多。
自然数一个最重要的特性肯定是：自然数是无限集合。
无限集合的特征
“部分=全体”是无限集合的基本特征。 含有与其自身对等的真子集合的集合， 都是无限集合，反之亦然。
无限集合相关性质
无限集合的基本性质：
1.无限集合能与它的某些真子集合对等。 2.包含无限集合的任一集合是无限集合。 3.无限集合A的“元素个数”可能等于它的真子集 合B的“元素个数”。 4. 两个无限集合的并集合还是无限集合。
可列无限集合
从Hilbert 的旅馆故事中，我们可以得到以下可列集合的性质：
（1）可列无穷多+任意自然数=可列无穷多 （2）可列无穷多+可列无穷多=可列无穷多
问题研究
（1）用“有限集合”与“无限集合”的特征来 刻画概念，形成“有限集合”与“无限集合” 的抽象定义。
集合与容斥原理
第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。
它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。
可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、生长的。
集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。
1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a∉A仅有一种情况成立。
（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。
常用数集如：R,,应熟记。
N,ZQ3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。
对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。
4．子集、真子集及相等集（1）A⊆⇔B A⊂B或A＝B；（2）A⊂B⇔A⊆B且A≠B；（3）A＝B⇔A⊆B且A⊇B。
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语第一节 集合的有关概念一．集合的有关概念１．集合的概念：集合是集合论中最原始的未定义的概念，只作描述性的说明，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. 集合通常用大写的拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…来表示。
２．集合的元素：构成集合中的每一个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素通常用小写的拉丁字母a ，b ，c ，…来表示。
３．空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ ４．集合元素的特征： 集合元素具有下列特征：（１）确定性：设Ａ是一个给定的集合，x 是某个具体的对象，则x 或者是集合Ａ中的元素，或者不是集合Ａ中的元素，两种情况必有一种成立。
（２）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也应当是说“集合中的元素是互异的”。
（３）无序性：集合中的元素在集合中的位置是任意的，是没有顺序的。
５.集合的分类：（１）按集合元素的性质可分为：数集、点集和具有其他性质的集合； （２）按集合中元素的个数可分为两类：有限集、无限集。
①有限集：集合中的元素个数是有限的； ②无限集：集合中的元素个数是无限的；而空集作为集合的一个特殊类型出现在集合的分类中，规定空集是不含任何元素的集合，记作Φ。
６.集合的元素和集合的关系（１）元素和集合是“属于”和“不属于”的关系。
某个对象要么是集合Ａ的元素，要么不是集合Ａ的元素，如果x 是集合Ａ的元素，那么称为“x 属于集合Ａ”，记作“A x ∈；”如果x 是不集合Ａ的元素，那么称为“x 不属于集合Ａ”，记作“A x ∉”（２）元素和集合之间的关系是个体和整体的关系。
（３）符号“∈和∉”不能随便用来表示集合与集合之间的关系，除非是在具有特殊意义的集合与集合的关系时。
７.集合的表示法：（１）特定集合的表示：为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示。
①全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N 。
②全体正整数组成的集合称为正整数集，记作*N （或+N ）。
有限集的概念
基数是c的集合的有限重叉积基数也是c
证:只须证(0,1)(0,1)(0,1)(5.2#9)即可. 我们知道,(0,1)上的每个数x与无限二进 制小数一一对应:
x0.x1x2 xn , xn{0,1},nI+. 叉积(0,1)(0,1)的元素可表为 a,b,其中 a0.a1a2 an , b0.b1b2 bn 为无限
二进制小数.令f:(0,1)(0,1)(0,1), f(x)=a,b,其中 x0.x1x2 xn , a0.x1x3 x2k-1 , b0.x2x4 x2k 易见 f为双射函数,从而得证:c2=c.
集合A是无限集有单射f:AA,f(A)A
证:必要性令B={a0,a1, an }为A的一个 可数无限子集,作函数f:AA{a0},f(x)=x,xB; f(an)=an+1,nN,则f显 然为双射,且f(A)= A-{a0}是A真子集.
基数是c的集合例子(2)
①(5.1#7)A={x,y|x,yR∧x2+y2=1}|A|=c 证:令f:[0,2)A,f()=sin ,cos A,
易见f(x)为双射函数,从而 |A|=|[0,2)|=c.
② |R|=c. 证:作函数 g:(0,1)R,g(x)=(1/2-x)/x(1-
x),x(0,1),则g为区间(0,1)上的单调减 少的连续函数,满足 g(0)=+;g(1)=-; 和x(x(0,1)g(x)<0,所以 g是双射函 数,|R|=|(0,1)|=c.
把a列成表后再划去表中ab的所有元素即得b的列表可数个可数集的并集都是可数集此并集的双射象是可数集nn的子集
有限集的概念
• 有有限个元素的集合称为有限集;否则,称为无 限集.
• 有限集A的元素个数称为A的基数,记为|A|. • 集A为非空有限集当且仅当存在n>0和双射
离散数学第四章
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
有限集和无限集的举例
有限集和无限集的举例全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：集合是数学中非常重要的概念，在集合论中，集合是由一些确定的对象构成的整体。
根据集合中元素的数量，可以将集合分为有限集和无限集两种类型。
有限集是指元素数量有限的集合，而无限集则是元素数量无限的集合。
先来看看有限集的例子。
在日常生活中，我们经常会遇到有限集，比如一个班级里的学生，一个足球队的队员，一家餐厅的菜单等等。
这些集合中的元素数量都是可以数清楚的，因此属于有限集。
举个简单的例子，假设一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，其中包含了5个元素，这个集合就是一个有限集。
又比如说，一个集合B={红色, 黄色, 蓝色, 绿色, 紫色}，这个集合也是一个有限集，因为它包含了5种颜色。
有限集还有一个重要的性质就是可以通过集合的基数来确定集合中元素的个数，即一个有限集的基数是它所包含元素的个数。
在数学中，有限集还有一些特殊的表示方法，比如用花括号{}来表示集合，用逗号分隔各个元素。
接下来我们看看无限集的例子。
无限集是指元素数量无限的集合，这种集合在数学中也有着重要的地位。
在实际生活中，我们可能很难直接观察到无限集，但是在数学领域中，无限集却是非常常见的。
一个经典的无限集就是自然数集合N={1, 2, 3, 4, 5, ...}，这个集合中的元素数量是无限的，即可以一直往后延伸下去。
自然数集合是数学中最基础也是最重要的一个集合，它包含了所有正整数，是一个典型的无限集。
还有一个著名的无限集就是实数集合R，实数集合包括了所有的有理数和无理数，是一个无限且连续的集合。
实数集合是数学分析中的基础概念，它包含了我们所熟知的所有数，比如整数、分数、根号2等等。
从上面的介绍可以看出，有限集和无限集是集合论中的两种重要类型，它们在数学研究中都有着重要的应用和意义。
无论是有限集还是无限集，都是数学研究中不可或缺的基础概念，我们需要通过具体的例子来理解这两种集合的特点和性质。
集合的基数与无穷集合
集合的基数与无穷集合随着数学的发展，集合论逐渐成为数学的基础理论之一。
集合的基数是集合论中的一个重要概念，其与无穷集合之间的关系也引起了人们的广泛关注。
本文将从集合基数的定义及性质出发，探讨无穷集合与有限集合基数的比较，以及无穷集合中的不同基数。
一、集合基数的定义与性质集合的基数指的是该集合所包含元素的个数。
对于一个有限集合来说，其基数即为其中元素的个数。
而对于无穷集合，其基数的概念需要引入更加精确的定义。
在集合论中，使用Cantor-Bernstein定理来定义无穷集合的基数。
该定理指出，对于两个集合A和B，若存在一个从A到B的一一对应关系和一个从B到A的一一对应关系，那么A和B具有相同的基数。
根据Cantor-Bernstein定理，可以区分出不同基数的无穷集合。
二、无穷集合与有限集合的基数比较对于有限集合，其基数即为其中元素的个数，可以用自然数来表示。
例如，一个集合包含了5个元素，那么它的基数就是5。
而对于无穷集合来说，其基数可能会有不同的情况。
最简单的无穷集合是自然数集N，其基数为可数无穷。
可数无穷意味着可以通过将集合中的元素与自然数一一对应来计数。
然而，存在一些无穷集合的基数比可数无穷还要大。
这些集合被称为不可数无穷集合。
其中最著名的例子是实数集R，其基数被称为连续基数，记作c。
通过Cantor的对角线方法可以证明实数集的基数大于自然数集的基数，即c > N。
三、无穷集合中的不同基数除了可数无穷与不可数无穷的区别外，无穷集合中还存在着更多不同基数的集合。
Cantor的连续假设猜想了一个介于可数无穷和连续基数之间的基数，称为aleph-one，记作ℵ1。
根据Cantor的连续假设，ℵ1是介于N和c之间的基数。
然而，该猜想在数学界中一直没有被证明或者证伪，至今仍然是一个未解决的问题。
此外，根据集合论中的基数定理，对于给定的基数k，存在着一个比k大的基数。
这给出了一种无穷增长的方式来构造不同基数的集合。
第2讲有限集元素的数目
QIE=且，HUO=或，JIQIAN=及前，GEZHISHU=个质数第2讲 有限集元素的数目1．集合A 的元素都是正整数，其中最小的是1，最大的是100，除1以外．每一个元素都等于集合A 中的两个数（可以相同）的和．求集合A 的元素个数的最小值． 答案：解析：设{}121,,,,,100n A a a a =，其中121100n a a a <<<<<．则1112a =+=．若6n =，则2224a ≤+=，3448a ≤+=，48816a ≤+=，5161632a ≤+=，6323264a ≤+=．由于56326496100a a +≤+=<，所以61002a =，650a =．又4516324850a a +≤+=<，所以5550225a a =⋅=．而318162425a a +≤+=<，所以1252a =，矛盾．若5n ≤，则由上可知，32n a ≤，264100n a ≤<，不可能． 综上可知，9A ≥．又当{}1,2,3,5,10,20,25,50,100A =时，集A 满足题述性质，且9A =．故集A 的元素个数的最小值为9． 来源：2．设{}1,2,3,,1995M =，A M ⊆，且当x A ∈时，19x A ∉．求A 的最大值． 答案：解析：由题设知k 与()196,7,,105k k =这两个数中至少有一个不属于A ，所以 ()1995105611895A ≤--+=．另一方面，设{}1,2,,5B =，{}106,107,,1995C =，令 {}{}1,2,,5106,107,,1995A B C ==，则1895A =，且A 中没有一个数是另一个数的19倍．事实上．设k A ∈．若k B ∈．则 1919105k ≤≤，19k A ∉．若k C ∈，则19106191995k ≥⨯>，故19k A ∉． 综上所述，A 的最大值为1895． 来源：3．设{}1,2,3,,2,21A n n =+，B 是A 的一个子集，且B 中的任意三个不同元素x 、y 、z ，都有x y z +≠．求B 的最大值． 答案：解析：设{}1,3,,21O n =+，{}2,4,,2E n =．则A OE =．设{}11,,,,,s t B b b c c =，其中1,,s b b O ∈，1,,t c c E ∈，且12s b b b <<<．由题设知s i j b b c -≠，其中1,2,,1i s =-，1,2,,j t =（否则集B 中就有三个元素i b 、j c 、s b ，使得i j s b c b +=），且22s i b b n ≤-≤，即s i b b E -∈，1,2,,1i s =-． 所以121,,,s s s s b b b b b b ----，1,,t c c 是E 中互不相同的元素，故()s t t E n -+≤=，1B s t n =+≤+．又当{}1,2,,21B n n n n =+++时，B 中任意两个不同元素x 、y ，都有23x y n +≥+，从而B 满足题意．综上所述，B 的最大值为1n +．说明：例2和例3，我们都是先求出一个上界（例2是1895A ≤，例3是1B n ≤+），然后再构造一个具体的例子来说明这个上界是可以达到的，这是处理这种最值问题的常用手法．在实际解题时，我们往往先通过具体的例子猜出这个上界，然后再设法证明． 来源：4．设{}1,2,,100X =，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为()m M ．求X 的所有非空子集的特征的平均数． 答案：解析：设A X Ü，令f ：'AA ，{}'101A a a A X =-∈Ü． 于是f ：'A A 是X 的非空子集的全体（子集组成的集）Y 到Y 自身的满射，记X 的非空子集为12,,,n A A A （其中10021n =-），则特征的平均数为()()()()'11112n ni i i i i m A m A m A n n ===+∑∑． 由于A 中的最大数与'A 中的最小数的和为101，A 中最小数与'A 中的最大数的和也为101，故()()'202i i m A m A +=．从而特征的平均数为12021012n n ⋅⋅=． 来源：5．某班语文、数学、外语三门课程期中考试成绩统计结果：至少有一门课程得满分的学生只有18人．语文得满分的有9人．数学得满分的有11人．外语得满分的有8人，语文、数学都得满分的有5人，数学、外语都得满分的有3人．语文、外语都得满分的有4人．问： （1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有多少人？ （2）语文、数学、外语三门课程都得满分的学生有多少人？ 答案：解析：设该班期中考试语文、数学、外语得满分的学生的集合分别为A 、B 、C ．由题意知9A =，11B =，8C =． 5A B =，3B C =，1C A =，18A B C =．（1）语文、数学两门课程至少有一门得满分的学生有 A B A B A B =+- 911515=+-=（人）（2）语文、数学、外语都得满分的学生有A B C A B C A B C A B B C C A =---+++186118534=---+++2=（人）． 来源：6．将与105互质的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第1000项． 答案：解析：设{}1,2,,105S =，{}3,QIE3A a a S a=∈，{}5,QIE5A a a S a=∈，{}7,QIE7A a a S a =∈，则3105353A ==，5105215A ==，7105157A ==， 35105735A A ==⨯，57105357A A ==⨯， 73105573A A ==⨯， 3571051357A A A ==⨯⨯，105S =．在1到105中，与105互质的数有357357S SS A A A S A A A =-痧?()()357355773357S A A A A A A A A A A A A =-+++++-()()1053521157351=-+++++-48=．设与105互质的正整数按从小到大的顺序排列为12,,,,n a a a ，则11a =，22a =，34a =，…，18104a =， 191051a =+，501052a =+，511054a =+，…， 96105104a =+，…因为1000482040=⨯+，所以 10004010520a a =⨯+．由于48104a =，47103a =，46101a =，4597a =，4494a =，4392a =，4289a =，4188a =，4086a =，所以100010520862186a =⨯+=． 说明：本题利用了逐步淘汰原理，即（1）设A 、B 是S 的子集，S A ð、S B ð分别是A 、B 对S 的补集，则()S SAB S A B A B =-++痧．…（2）设A 、B 、C 是S 的子集，S A ð、S B ð、S C ð分别是它们对S 的补集，则()()S SS AB C S A B C A B B C C A A B C =-+++++-痧?．（1）和（2）与定理1、定理2一起称为容斥原理．有兴趣的读者可以把它们推广到n 个集合的情形． 来源：7．对于有限集合A ，存在函数f ：A *→N ，具有下述性质：若,i j *∈N ，且i j -是质数，则()()f i f j ≠．求A 的最小值． 答案：解析：首先，我们来估计A 的下界．因为1、3、6、8这四个数中的任两个数的差的绝对值均为质数．于是()1f 、()3f 、()6f 、()8f 两两不等，从而4A ≥．下面构造一个例子：令{}0,1,2,3A =，f ：A *→N 的对应关系为：若x *∈N ，设4x q r =+，03r ≤≤，则()f x r =．对于任意的,x y *∈N ，若x y -为质数，则()()f x f y ≠．事实上，若有()()f x f y =，则()mod 4x y ≡，故4x y -．这与x y -为质数矛盾．综上．A 的最小值为4． 来源：8．设{}123,,A a a a =，{}1234,,,B b b b b =．（1）写出一个f ：A B →，使得f 是单射，并求A 到B 的单射的个数； （2）写出一个f ：A B →，使得f 不是单射，并求所有这种映射的个数；（3）A 到B 的映射能否是满射？ 答案：解析：（1）f ：11a b ，22a b ，33a b 是A 到B 的一个单射．这种映射的个数为43224⨯⨯=．（2）映射f ：11a b ，21a b ，31a b 即为所求，这种映射的个数为3443240-⨯⨯=．（3）因3A =，4B =，故不存在A 到B 上的满射．来源：9．集合A 与B 的并集{}123,,A B a a a =，当A B ≠时，(),A B 与(),B A 视为不同的对，则这样的(),A B 有多少对？ 答案：3327= 解析： 来源：10．已知集合(){},,0A x y x y a a =+=>， (){},1B x y xy x y =+=+．若AB 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，求a 的值．答案：解析：点集A 是由顶点为(),0a ，()0,a ，(),0a -，()0,a -的正方形的四条边构成，点集B 是由四条直线1x =±，1y =±构成．所以12a <<或2a >．（1）当2a >时，正八边形的边长只能为2，，2，2a =（2）当12a <<时，a =综上，a =或2来源： 11．在1,2,,1000中，有多少个正整数既不是2的倍数，又不是5的倍数？答案：解析：设{}1,2,,1000S =，{}2,2A a a S a =∈，{}5,5A a a S a =∈，则210005002A ==，510002005A ==，25100010010A A ==，于是()()2525251000500S SA A S A A AA =-++=-++=痧． 来源：12．在1到100这100个正整数中，最多可以选出多少个数，使得其中没有一个数是另一个数的3倍． 答案： 解析：设{}131033A k k =+≤≤，{}232032A k k =+≤≤，令{}129,18,36,45,63,72,90,99,81A A A =．则76A =，且集A 中没有一个数是另一个的3倍．若从1,2,,100中选出77个数，考虑如下24个数对：(),3k k ，1,2,12,13,,33k =，其中48个数互不相同．1至100中剩下的52个数每一个数一组，连同上面24组共522476+=组．从中任取77个数．一定有两个数取自同一组，则大数是小数的3倍．综上所述，最多只能选76个数． 来源：13．对于集合{}1,2,,n 和它的每个非空子集，我们定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（例如{}1,2,4,6,9的交替和是964216-+-+=，而{}5的交替和就是5）．对于7n =，求所有这些交替和的总和．答案： 解析：集{}1,2,,7的非空子集共有721127-=个．而{}1,2,,7中每个元素在子集中均出现6264=次．由于1,2,,6在交替和中有32次在奇数位，32次在偶数位，因此这些数的总和为0．而7也出现64次，且均取正值．故所有子集的交替和的总和为764448⨯=． 来源：14．设{}1,2,3,,200E =，{}12100,,,G a a a E =Ü，且G 具有下列两条性质： （1）对任何1100i j ≤≤≤，恒有201i j a a +≠； （2）1210010080a a a +++=．试证：G 中的奇数的个数是4的倍数，且G 中所有数字的平方和为一定数． 答案：解析：将E 中元素分成如下100子集：{}{}{}121001,200,2,199,,100,101E E E ===．由题设知，()1100i E i ≤≤中的两个元素不能同时属于G ，所以每个i E 中必包含且只包含G 中的一个元素．由于242001010010080+++=≠，所以G 中元素不可能全是偶数．于是G 可以看成将{}2,4,,200中的若干个数1,,k a a 换成1201,,201k a a --，并且这k 个偶数的和减去相应的k 个奇数的和等于101001008020-=，所以()()()2222222222121001124200201201k k a a a a a a a +++=+++-+++-++-()()()2221124200201201201k k a a a a =++++-++----()22241210020120=+++-⨯是常数．由于()2211000mod4a a ++≡，且奇数的平方()1mod4≡，偶数的平方()0mod4≡，故12100,,,a a a 中奇数的个数是4的倍数．来源：15．一次会议有1990位数学家参加，每人至少有1327位合作者．证明：可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过． 答案：解析：设1990个数学家为121990,,,v v v ，与i v 合作过的数学家的集合记为i A ，1,2,,1990i =．不妨设数学家1v 与2v 合作过．由1212122132719900A A A A A A =+-≥⨯->知，有数学家，不妨设为3v ，与1v 、2v 都合作过．又()12312312331327219901A A A A A A A A A =+-≥⨯-⨯=，所以存在数学家，不妨设为4123v A A A ∈．即4v 与1v 、2v 、3v 的都合作过．从而1v 、2v 、3v 、4v 这四名数学家两两合作过． 来源：16．集合{}0,1,2,,9A =，12,,,k B B B 为A 的非空子集．对于任何i j ≠，ij B B 至多有两个元素．求k 的最大值． 答案：解析：首先，集A 的非空子集中，仅含一个元素、两个元素、三个元素的不同集合分别有110C 、210C 、310C ，共有123101010C C C 1045120175++=++=个子集，它们中任意两个的交集至多含有两个元素．其次，若175k >，则A 的子集中含有元素不少于3个的至少有121010176C C 121--=个．从A 中取出3个元素的不同情形有310C 120=种，由抽屉原则知，这121个子集中必有两个子集所含公共元素不少于3个，综上所述，k 的最大值为175． 来源：17．设{}1,2,,100S =，求最小的正整数n ，使得S 的每一个n 元子集都含有4个两两互质的数． 答案：解析：设{}2,2A a a S a =∈，{}3,3A a a S a =∈，{}5,5A a a S a =∈．则250A =，3100333A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，520A =，231001623A A ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦，35100635A A ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦，261001010A A -=，2351003235A A A ⎡⎤==⎢⎥⨯⨯⎣⎦．所以．在S 中是2或3或5的倍数有235235233525123A A A A A A A A A A A A A A A =++---+ 50332016610374=++---+=（个）．于是，对于上述的74元集235A A A ，从中任取4个数．由抽屉原则知其中必有两个数同为2或3或5的倍数．它们不互质．所以75n ≥．下面证明75n =是可以的．构造如下4个集合（注意：1100中共有25个质数）：{}11JIQIAN25GEZHISHU B =，{}222222,3,5,7B =，{}3332,3,519,713B =⨯⨯，{}4442,3,517,711B =⨯⨯．这四个集合每两个的交集为空集，且每个集合中的任意两个数都互质，所以12341234264338B B B B B B B B =+++=+⨯=．设X S ⊆，且75X ≥，则X 中至少有()751003813--=个元素取自1234B B B B ，于是由抽屉原则知，至少有13144⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦个数取自某个()14i B i ≤≤，由i B 的构造知，这4个数是两两互质的．综上所述，n 的最小值为75． 来源：18．设集合{}12000,41,A a a a k k =≤≤=+∈Z ，集合{}13000,31,B b b b k k =≤≤=-∈Z ．求A B ．答案：167A B = 解析： 来源：19．设集合{}1,2A =，则从A 到A 的映射f 中满足()()()f f x f x =的映射有几个？ 答案：3个 解析： 来源：20．求集合{}1,2,3,,100M =的所有子集的元素和． 答案：解析：M 的子集共有1002个，其中M 中的每一个元素各出现992次，所以，所有子集的元素和为()999921210050502+++=⋅．来源：21．设{}1,2,3,,1995M =，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉．求A 的最大值． 答案：解析：由题设，k 与()159,10,,133k k =这两个数中至少有一个不属于A ，所以()1995133911870A ≤--+=．另一方面，取{}{}1,2,,8134,135,,1995A =，则A 满足题设要求．此时1870A =．所以，A 的最大值为1870．来源：22．某中学共有教师120名，教语文、数学、外语的分别有40、50、45名，其中有15名能教数学、外语，有10名能教数学、语文，有8名能教外语、语文，还有4名语文、数学、外语都能教．间该校这三门课都不能教的教师有多少名？答案：解析：设I 是某中学全体教师的集合，A 、B 、C 分别表示能教语文、数学、外语的教师的集合．则120I =，40A =50B =，45C =，且10A B =，15B C =，8C A =，4A B C =．所以()I II AB C I A B C A B B C CA ABC =-+++++-痧?()12040504510158414=-+++++-=．来源：23．某地区网球俱乐部有20名成员，举行14场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有六场比赛，其12个参赛者各不相同． 答案：解析：用无序对{},i i a b 表示参加第i 场的比赛选手，记{}{},1,2,,14i i S a b i ==．设M 是S 的一个非空子集，且M 中所含选手对中出现的所有选手互不相同．记这种子集中元素个数最多的一个为0M ，0M r =．只需证明6r ≥．假设5r ≤．由于0M 是S 的选手互异的集合中元素最多的集合，故0M 中未出现过的202r -名选手之间互相没有比赛，否则与0M 的定义矛盾．这意味着这202r -名选手所参加的比赛一定是同0M 中2r 名选手进行的．由于已知每名选手至少参加一场比赛，故除了0M 中的r 场比赛之外，至少还要进行202r -场比赛．即总的比赛场数至少为()2022015r r r +-=-≥．这与比赛总场次为14矛盾．这就证明了6r ≥． 来源：24．对集合(){}12345,,,,0HUO 1,1,2,,5i S a a a a a a i ===中的任意两个元素()125,,,a a a 和()125,,,b b b ，定义它们之间的距离为112255a b a b a b -+-++-．取S 的一个子集，使此子集中任意两个元素之间的距离大于2，这个子集最多含有多少个元素？证明你的结论． 答案：解析：显然所定义的距离为非负整数，若该距离大于2，其充要条件1a ，1b ；2a ，2b ；…；5a ，5b 五对数中，至少有三对不同．设A S ⊆，A 中任意两个元素之间的距离大于2．因为S 为有限集，从而满足条件的集合A 只有有限个，A （A 表示集合A 的元素个数）的最大值是存在的．当A 取最大值时，A 中没有两个元素的距离为5．这是因为，若有两个元素()()()()111125,,,a a a 与()()()()222125,,,a a a 的距离为5，即()1i a 与()()2115a i ≤≤中一个全为0，另一个全为1，于是与，()()()()111125,,,a a a 距离大于2的元素必与()()()()222125,,,a a a 的距离小于等于2．这种情况2A =，下面我们将会看到A 没有达到最小值．当A 取最大值时，A 中任两个元素之间的距离不能都是3．这是因为，若A 中有两个元素的距离为3，这两个元素不妨设为()0,0,0,0,0，()1,1,1,0,0．若A 中的元素()125,,,a a a 与()0,0,0,0,0的距离为3，则()15i a i ≤≤中有3个1，2个0．于是1a ，2a ，3a 中至少有1个1，不妨设11a =．又2a ，3a 不能都是1，故4a ，5a 中至少有1个1．不妨设51a =．这样()125,,,a a a 只有如下三种可能：()1,1,0,0,1，()1,0,1,0,1，()1,0,0,1,1，它们与()1,1,1,0,0距离不是2就是4．仿前可知，当A 取最大值时，A 中任两个元素的距离不能都是4，且若A 中有两个元素的距离为4，则A 中另外元素与这两个元素的距离都是3．因此，不妨设()0,0,0,0,0,A ∈，()1,1,1,1,0A ∈，则A 中的另外元素只能是()1,1,0,0,1，()0,0,1,1,1（或()1,0,1,0,1，()0,1,0,1,1；或()1,0,0,1,1，()0,1,1,0,1．综上所述，A 的最大值为4．来源：。
集合中元素的个数问题
集合中元素的个数问题
集合元素个数的问题主要取决于集合的性质和表示方式。
以下是几种常见的求解集合元素个数的方法：
1.直接数：对于有限集合，可以直接数出其中的元素个数。
2.使用数学定义或性质：无限集合的元素个数：对于无限集
合，由于无法直接数出其中的元素个数，可以使用数学定义或性质推导出集合的元素个数。
3.利用集合的性质：有些集合具有特定的性质，可以通过这
些性质来求解元素个数。
4.利用集合的表示法：集合可以通过不同的表示法进行描述，
例如列表、集合符号表示法、集合的定义性描述等。
针对不同的表示法，可以采用不同的方法来求解元素个数。
例如，利用集合符号表示法{x x 0} 表示的是大于0的实数集合，可以通过定义集合的性质推导出元素个数。
综上所述，求解集合元素个数的方法主要包括直接数出、利用集合的性质、以及根据集合的表示法来求解。
(压轴题)高中数学必修一第一单元《集合》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．由实数x ，﹣x ，|x |，组成的集合中，元素最多有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．若{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1或1- 3．设全集U =R ，{}2560A x x x =-->，{}5B x x a =-<（a 为常数），且11B ∈，则下列成立的是（ ）A ．U A B R = B ．U A B R = C ．U U A B R = D ．A B R =4．若{}|28A x Z x =∈≤<，{}5|log 1B x R x =∈<，则R A C B ⋂的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知x ，y 都是非零实数，||||||x y xy z x y xy =++可能的取值组成的集合为A ，则下列判断正确的是（ ）A ．3A ∈，1A -∉B ．3A ∈，1A -∈C ．3A ∉，1A -∈D ．3A ∉，1A -∉ 6．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合()()C C U U M N ⋂等于（ ）A ．{|34}x x <≤B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|34}x x ≤<D ．{|13}x x -≤≤7．已知集合{}2|230A x x x =--≤，集合{}||1|3B x x =-≤，集合4|05x C x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A ，B ，C 的关系为（ ） A ．B A ⊆ B ．A B = C ．C B ⊆ D ．A C ⊆8．已知集合{}4A x a x =<<，{}2|560B x x x =-+>，若{|34}A B x x ⋂=<<，则a 的值不可能为（ ）A B C D ．39．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法． A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．集合{}*|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ） A ．63B ．127C ．255D ．511 11．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1) 12．设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2 B ．3 C ．4D ．8 二、填空题13．已知2{|31,},x A x x -+=≥∈R 21{|1,}3x B x x R x -=≤∈+，则A ∩B =______. 14．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使得对于一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④{},G x x a a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是________（请填写编号）15．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈，则2U x A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______16．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________. 17．若关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集 ，则实数a 的取值范围是_____. 18．已知集合{|11},{|01}A x a x a B x x =-<<+=<<若A B φ⋂=，实数a 的取值范围是______．19．对于集合M ，定义函数1()1M x M f x x M∈⎧=⎨-∉⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的个数为________.20．若关于x 的不等式2054x ax ≤++≤的解集为A ，且A 只有二个子集，则实数a 的值为_____．三、解答题21．设集合{}227150A x x x =+-≤，{}122B x a x a =-<<．（Ⅰ）若B =∅，求实数a 的取值集合；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值集合．22．已知集合A 为数集，定义1,()0,A x A f x x A∈⎧=⎨∉⎩．若{}*,8,A B x x x N ⊆≤∈∣，定义：(,)d A B =(1)(1)A B f f -(2)(2)(8)(8)A A B B f f f f +-+⋅⋅⋅+-．（1）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，求(),d A B ，(),d A C 的值；（2）若{}*,,8,A B C xx x N ⊆≤∈∣． 求证：()()(),,,d A B d A C d B C +≥；求()()(),,,d A B d A C d B C ++的最大值．23．已知集合{}2210,A x ax x a R =++=∈．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.24．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R ．（1）当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．25．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈．（1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．26．已知集合{}212520A x x x =-->，{}20B x x ax b =-+≤满足A B =∅，(]=-4,8A B ⋃，求实数a ，b 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案.【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素.故选：A .【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题.2．B解析：B【分析】根据集合相等以及集合元素的互异性可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，由此可求得20192019a b +的值.【详解】 b a 有意义，则0a ≠，又{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，0b a ∴=，可得0b =， 所以，{}{}21,,00,,a a a =，21a ∴=， 由集合中元素的互异性可得1a ≠，所以，1a =-，因此，()2019201920192019101a b +=-+=-.故选：B.【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时不要忽略了集合中元素互异性的限制，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D【分析】 求出集合A ，根据11B ∈可求得实数a 的取值范围，利用集合的基本运算可判断各选项的正误.【详解】{}{25601A x x x x x =-->=<-或}6x >，{}5B x x a =-<，且11B ∈, 则6a >，{}{}555B x x a x a x a ∴=-<=-<<+，对于A 选项，取7a =，则{}212B x x =-<<，{}16UA x x =-≤≤， 所以，{}16U AB x x R ⋂=-≤≤≠，A 选项错误；对于B 选项，取7a =，则{2U B x x =≤-或}12x ≥，此时U A B A R =≠，B 选项错误；对于C 选项，取7a =，则{}16U A x x =-≤≤，{2U B x x =≤-或}12x ≥， 此时，{2U U A B x x ⋃=≤-或16x -≤≤或}12x R ≥≠，C 选项错误； 对于D 选项，6a >，则51a -<-，511a +>，此时A B R =，D 选项正确.故选：D.【点睛】 本题考查与集合运算正误的判断，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.4．D解析：D【分析】化简集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出R AB ，即可得出结论．【详解】集合{|28}{2A x Z x =∈<=，3，4，5，6，7}， 51{||log |1}{|5}5B x R x x R x =∈<=∈<<， 1{|5R B x R x ∴=∈或5}x ， {5R A B ∴=，6，7}．∴其中元素个数为3个．故选：D ．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．5．B 解析：B【分析】分别讨论,x y 的符号，然后对||||||x y xy z x y xy =++进行化简，进而求出集合A ，最后根据集合元素的确定性即可得出答案.【详解】当0x >，0y >时，1113z =++=；当0x >，0y <时，1111z =--=-；当0x <，0y >时，1111z =-+-=-；当0x <，0y <时，1111z =--+=-.所以3A ∈，1A -∈.故选：B.【点睛】本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.6．A解析：A【分析】先分别求出C ,C U U M N ，再求()()C C U U M N ⋂即可【详解】∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤，∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤．故选:A ．【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，属于中档题7．D解析：D【分析】根据一元二次不等式的解法可求出集合A ，根据绝对值不等式的解法可求出集合B ，根据分式不等式的解法可求出集合C ，从而可得出集合A ，B ，C 间的关系.【详解】解：由于{}{{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤， {}{}|1324B x x x x =-≤=-≤≤，{}4|0545x C x x x x -⎧⎫=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 可知，A C ⊆.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式和分式不等式的解法，以及集合间的关系，考查计算能力.8．A解析：A【分析】 求出{2B x x =<或}3x >，利用{|34}A B x x ⋂=<<，得23a ≤≤.【详解】 集合{}4A x a x =<<，{}{25602B x x x x x =-+=<或}3x >，{|34}A B x x ⋂=<<，∴23a ≤≤，∴a故选：A.【点睛】本题考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题，属于中档题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，借助数轴求解参数的范围.9．B解析：B【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确． ∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．10．B解析：B【分析】 先求得{}*|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可. 【详解】 由{}*|421A x x N =--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3, 故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*|421A x x N =--∈的元素个数为7 故A 的真子集个数为721127-=故选：B【点睛】本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.11．C解析：C【分析】根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解.【详解】依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)，∴A∩B ＝(－1,1)．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．D解析：D【分析】先解方程得集合A ，再根据AB B =得B A ⊂，最后根据包含关系求实数a ，即得结果.【详解】 {}2|8150{3,5}A x x x =-+==,因为A B B =，所以B A ⊂，因此,{3},{5}B =∅，对应实数a 的值为110,,35，其组成的集合的子集个数有328=，选D.【点睛】 本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．【分析】根据指数函数的单调性解不等式化简集合A 解分式不等式化简集合B 求交集即可【详解】由得：解得故由得：解得故所以A∩B=【点睛】本题主要考查了指数不等式分式不等式集合的交集运算属于中档题解析：(]3,2-【分析】根据指数函数的单调性解不等式化简集合A ，解分式不等式化简集合B ，求交集即可.【详解】由231x -+≥得：20x -+≥，解得2x ≤，故{|2}A x x =≤， 由2113x x -≤+得：403x x -≤+， 解得34x，故{|34}B x x =-<≤，所以A ∩B = (]3,2-【点睛】本题主要考查了指数不等式，分式不等式，集合的交集运算，属于中档题.14．①④【分析】逐一验证每个选项是否满足融洽集的两个条件若两个都满足是融洽集有一个不满足则不是融洽集【详解】①对于任意的两非负整数仍为非负整数所以取及任意的非负整数则因此是非负整数集：实数的加法是融洽集 解析：①④【分析】逐一验证每个选项是否满足“融洽集”的两个条件，若两个都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”.【详解】①对于任意的两非负整数,,a b a b +仍为非负整数，所以a b G +∈，取0e =及任意的非负整数a ，则00a a a +=+=，因此G 是非负整数集，⊕：实数的加法是“融洽集”；②对于任意的偶数a ，不存在e G ∈，使得a e e a a ⊕=⊕=成立，所以②的G 不是“融洽集”；③对于{G 二次三项式}，若任意,a b G ∈时，则,a b 其积就不是二次三项式，故G 不是“融洽集”；④{},G x x a a b Q ==+∈，设1,x a a b Q =+∈，212,,(,x c c d Q x x a c b d a c b d Q =+∈+=+++++∈，所以12x x G +∈；取1e =，任意,11a G a a a ∈⨯=⨯=，所以④中的G 是“融洽集”.故答案为:①④.【点睛】本题考查对新定义的理解，以及对有关知识的掌握情况，关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件，属于中档题.15．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的 解析：8【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2U A ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制．【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈，则2U x A ∉． 当1A ∈，则2A ∉，即2U A ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制． {1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16．-2或0【分析】由可得即可得到或分别求解可求出答案【详解】由题意①若解得或当时集合中不符合集合的互异性舍去;当时符合题意②若解得符合题意综上的值是-2或0故答案为:-2或0【点睛】本题考查了交集的性解析：-2或0【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.17．【分析】由题意知关于的方程无实数解可得出由此可解出实数的取值范围【详解】由题意知关于的方程无实数解当时原方程为解得不合乎题意；当时则有解得综上所述实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用集合的 解析：()1,+∞【分析】由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解，可得出00a ≠⎧⎨∆<⎩，由此可解出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的方程2210ax x ++=无实数解.当0a =时，原方程为210x +=，解得12x =-，不合乎题意；当0a ≠时，则有440a ∆=-<，解得1a >. 综上所述，实数a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查利用集合的子集个数求参数，将问题转化为方程无实解是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.18．【分析】由根据集合的交集的运算得到或即可求解【详解】由题意集合因为则满足或解得或即实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的运算以及利用集合的交集求参数其中解答中熟记集合交集运算列出相应 解析：(][),12,-∞-⋃+∞【分析】由A B φ⋂=，根据集合的交集的运算，得到11a -≥或10a +≤，即可求解. 【详解】由题意，集合{|11},{|01}A x a x a B x x =-<<+=<<， 因为A B φ⋂=，则满足11a -≥或10a +≤，解得2a ≥或1a ≤-， 即实数a 的取值范围是(][),12,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合的交集求参数，其中解答中熟记集合交集运算，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【分析】通过定义可以用集合中的补集来解释再根据取最小值时所满足的条件最后可以求出集合的个数【详解】因为所以有要想最小只需最大且最小要使最小则有所以集合是集合和集合子集的并集因此集合的个数为个故答案为 解析：8【分析】通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据()()Card X A Card X B *+*取最小值时所满足的条件,最后可以求出集合X 的个数. 【详解】因为{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,所以有()MNM N C M N *=⋂,要想()Card X A *最小,只需()Card X A ⋂最大,且()Card X A ⋃最小,要使 ()()Card X A Card X B *+*最小, 则有A B X A B ⋂⊆⊆⋃,{}{}1,2,4,6,8,10,2,4,8A B A B ⋃=⋂=,所以集合X 是集合{}2,4,8和集合{}1,6,10子集的并集,因此集合X 的个数为328=个. 故答案为：8 【点睛】本题考查了新定义题,考查了集合与集合之间的关系,考查了数学阅读能力.20．【分析】由题得集合A 里只有一个元素所以只有一个解令得到再检验得解【详解】因为集合只有二个子集所以集合A 里只有一个元素由题得只有一个解令令当时不等式（1）的解为不等式（2）解为不等式组的解集为不满足题 解析：2±【分析】由题得集合A 里只有一个元素.所以22+501102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩（）（）只有一个解，令12=00∆∆=，得到2a a =±=±，再检验得解. 【详解】因为集合A 只有二个子集， 所以集合A 里只有一个元素.由题得22+501102x ax x ax ⎧+≥⎨++≤⎩（）（）只有一个解，令21=200,a a ∆-=∴=± 令22=40,2a a ∆-=∴=±.当a =1）的解为R ，不等式（2）解为22x -≤≤组的解集为{|22x x -≤，不满足题意；当a =-1）的解为R ，不等式（2）解为x -≤≤组的解集为{|x x -≤≤，不满足题意；当2a =时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =-，不等式组的解集为{|1}x x =-，满足题意；当2a =-时，不等式（1）的解集为R ，不等式（2）的解为1x =，不等式组的解集为{|1}x x =，满足题意.故答案为2a =±. 【点睛】本题主要考查集合的子集的个数，考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．（Ⅰ）14a ≤；（Ⅱ）{}3a a >. 【分析】（Ⅰ）由空集的意义知，当且仅当212a a ≤-时，集合B 中无任何元素，解不等式即可得实数a 的取值范围；（Ⅱ）根据A B ⊆，得到a 的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：∵集合{}()(){}2327150235052A x x x x x x x x ⎧⎫=+-≤=-+≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭， （Ⅰ）∵B =∅，∴{}122x a x a -<<=∅， ∴212a a ≤-，解得14a ≤， （Ⅱ）∵A B ⊆，则集合B ≠∅,所以212a a >-，则14a >∴1253322a a a -<-⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩∴实数a 的取值集合为{}3a a >． 【点睛】本题考查解二次不等式，根据集合的包含关系求参数的范围，属于中档题. 22．（1）(),2d A B =，(),3d A C =；（2）①证明见解析；②16 【分析】（1）根据定义直接计算即可；（2）①可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，根据()cardA card A B ≥⋂，()cardA card A C ≥⋂可证；②由()()(),,,d A B d A C d B C ++()2cardA cardB cardC ≤++可得. 【详解】 （1）{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，C =∅，()(1)(1)(2,)(2)(8)(8)A B A B A B d A B f f f f f f =-+-+-∴+1011110100000000=-+-+-+-+-+-+-+-2=， ()(1)(1)(2)(2,)(8)(8)A C A C A C f f f f d f f A C =-+-++-1010100000000000=-+-+-+-+-+-+-+-3=；（2）①由题可得()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，()()()(),,cardA cardB card A B cardA d A B cardC card A C d A C ∴=+-⋂++-⋂+()(),d B C cardB cardC card B C =+-⋂， ()(),cardA card A B cardA card A C ≥⋂≥⋂， ()()2cardA card A B card A C ∴≥⋂+⋂，()()()2cardA card B C card A B card A C ∴+⋂≥⋂+⋂，即()()()2cardA card A B card A C card B C -⋂-⋂≥-⋂，∴()()()2cardA cardB cardC card A B card A C cardB cardC card B C ++-⋂-⋂≥+-⋂，即()()(),,,d A B d A C d B C +≥，得证； ②()()(),,,d A B d A C d B C ++()()()cardA cardB card A B cardA cardC card A C cardB cardC card B C =+-⋂++-⋂++-⋂()()()()2cardA cardB cardC card A B card A C card B C =++-⋂+⋂+⋂⎡⎤⎣⎦()2cardA cardB cardC ≤++，当且仅当()()()0card A B card A C card B C ⋂=⋂=⋂=时等号成立，∴当{}*8,xx B C x A N ⋃⋃=≤∈∣且A B A C B C ⋂=⋂=⋂=∅时， ()()(),,,d A B d A C d B C ++有最大值为16.【点睛】关键点睛：本题考查集合的基本运算，新定义的应用，解题的关键是能根据定义得出()(),d A B cardA cardB card A B =+-⋂，进而根据集合的关系可求解.23．（1）0a =或1a =；（2）1a ≤；（3）0a =或1a ≥. 【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定a 的取值范围. 【详解】解：（1）若A 中只有一个元素，则当0a =时，原方程变为210x +=，此时12x =-符合题意，当0a ≠时，方程2210ax x ++=为二元一次方程，440a ∆=-=，即1a =， 故当0a =或1a =时，原方程只有一个解； （2）A 中至少有一个元素， 即A 中有一个或两个元素，由0∆>得1a <综合（1）当1a ≤时A 中至少有一个元素； （3）A 中至多有一个元素， 即A 中有一个或没有元素当44a 0∆=-<， 即1a >时原方程无实数解，结合（1）知当0a =或1a ≥时A 中至多有一个元素. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.24．（1）A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}；(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}；（2）{4a a <-或11}2a -≤≤． 【分析】（1）由a ＝2，得到A ＝{x |1≤x ≤7}，然后利用集合的基本运算求解. （2）由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ．然后分A ＝∅，A ≠∅两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． （2）∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B ．若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；若A ≠∅，由A ⊆B ，得12312234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得－1≤a ≤12综上，a 的取值范围是{4a a <-或 11}2a -≤≤． 【点睛】本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.25．（1）9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【分析】（1）对a 分类讨论：0a =，解出即可判断出是否满足题意．0a ≠时，A 中至少有一个元素，满足0∆，解得a 范围即可得出．（2）对a 分类讨论：0a =，直接验证是否满足题意．0a ≠时，由A 中至多有一个元素，可得0∆≤，解得a 范围即可得出． 【详解】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a，0a ≠．综上可得：a 的取值范围是9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a． 综上可得：a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．26．19,122a b == 【分析】先化简集合A ，再根据A B =∅，(]=-4,8A B ⋃，确定集合B 求解.【详解】因为{}231252042A x x x x x ⎧⎫=-->=-<<⎨⎬⎩⎭，{}20B x x ax b =-+≤ 满足AB =∅，(]=-4,8A B ⋃，所以{}23082B x x ax b x x ⎧⎫=-+≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以3,82是方程20x ax b -+=的两个根， 所以382382a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩ ， 解得19,122a b == . 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于中档题.。
集合的基本概念和性质知识点及练习
集合的基本概念和性质【基本知识点】一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。
2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。
（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。
（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。
3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a A，读作“a不属于集合A”。
4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。
二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。
如小于等于8的偶数构成的集合。
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。
注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。
（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。
集合的概念及运算
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jeh83mcg 到了约300年前，人们则改用一张形状与正方形相若的红纸，包裹铜钱，封作“利市”。而第一代的印刷纸质红包封，约于1900年，印 刷术开始广为所用时，才得以问世。当时的所谓红包封，做法非常简单，只以红纸印上黄油，再于未干的黄油上缀上金粉，效果就如现 今烫了金字的红包封般，而图案则多以简单为主，再配以吉利的字句。
注: 集合与集合的关系特例:
设集合A={1, 2, 3}, B={x | xA}, 则 AB, B. 亦可 B. (4)集合的运算
①交集: 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集, 记作A∩B, 即 A∩B={x | x∈A, 且x∈B}. ②并集: 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 叫做集合 A 与 B 的并集, 记作A∪B, 即 A∪B={x | x∈A, 或 x∈B}. ③补集: 设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集(即AS), 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集 A 的补集 (或余集), 记作 CsA, 即 CsA={x | x∈S, 且 xA}.
10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
1_2_1_1_2_数学培优与强基计划专题解析 王佃田著初稿
清北名校数学培优与强基计划专题解析王佃田著二零二零年十月序言随着新高考的到来，强基计划在高校的招生中占据较高比重、同时高考数学培优也极为重要，也可以说不少优秀学生是通过强基计划考入清北等重点名校的，基于此我们编写了这本校本教材，希望它能为考生数学打下坚实基础，能为考生靠入理想的院校提供一点点的帮助，在此我们对强基计划试题做一下简短介绍：第一：著名高校强基计划要求学生数学视野开阔，不拘泥于考纲（通常高考的考试大纲），但是不超过现行课标设定的知识与能力要求。
第二：著名高校强基计划数学试题刻意追求与高考互补，也就是说高考刚刚考查过的常规题型这里不再考查，坚持在新课标的范围内与高考形成互补，而且很多题目是高考压轴题的升级改造，不少题目来具有竞赛背景，也就是说部分试题来自于竞赛题的改编，主要涉及各省预赛试题和初中数学竞赛试题。
第三：对有志于赢得更多机会的优秀学子而言，应当把功夫放在平常的学习中，不断积累沉淀与高考互补的知识。
强基计划数学考试内容主要涉及代数式、集合、函数、导数、函数方程方程、数论、三角、立体几何、向量、复数、平面几何、概率与统计等，试题灵活性较强，有一定难度和较好的区分度。
对考生的建议：1、要有针对性的训练，比如高考很少考到与数论相关的问题，但是在强基计划的考试中数论占有很大的比重，数论试题技巧性较高也是数学竞赛的热点，同时数论在强基计划中考查具有“多想少算”的特色，同时平面几何也有一定难度，主要涉相似、圆幂定理、面积法、正余弦定理等。
2、往年的强基计划真题、高中数学竞赛一试试题、各省的预赛试题都是很好的备考材料，平时要多练、多思考、多总结方能应对。
3、试题难度每年比较平稳，波动不大，有可能考到原题、或者改编题目，所以不要有太大的心里负担。
在此祝愿各位同学学业有成，考入理想的大学王佃田二零二零年十月第一讲集合与命题一、基础知识集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学自主中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。
集合中含元素的分类讨论
集合中含元素的分类讨论集合是数学中常见的一个概念，它由一组无序的元素组成。
我们可以根据集合中元素的性质和特点进行分类讨论。
下面将介绍几种常见的集合分类。
1. 有限集合和无限集合- 有限集合：有限集合是指元素个数有限的集合。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集合，其中包含了5个元素。
- 无限集合：无限集合是指元素个数无限的集合。
例如，自然数集合{1, 2, 3, ...}就是一个无限集合，其中包含了无穷多个元素。
2. 相等集合和不相等集合- 相等集合：两个集合中的元素完全相同，即集合A和集合B 的元素相等，记作A = B。
例如，{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是相等集合，因为它们包含的元素相同。
- 不相等集合：两个集合中的元素不完全相同，即集合A和集合B的元素不相等，记作A ≠ B。
例如，{1, 2, 3}和{4, 5, 6}是不相等集合，因为它们包含的元素不相同。
3. 子集和真子集- 子集：对于两个集合A和集合B，如果集合A中的所有元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A ⊆B。
例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的子集。
- 真子集：对于两个集合A和集合B，如果集合A是集合B的子集，但集合B中还有其他元素不在集合A中，那么集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。
例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的真子集，因为集合{1, 2, 3}中还有一个元素3不在集合{1, 2}中。
4. 空集和全集- 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
空集是任何集合的子集。
- 全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
全集根据具体情况可以是有限集合或无限集合。
以上是一些常见的集合分类讨论。
通过对集合进行分类，我们可以更好地理解和描述其中的元素关系和特点，并进行相关的数学推理和证明工作。