2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线

1.椭圆C 1：()22210x y

a b a b

+=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410.

过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线

l 与圆C 2：()()2

2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；

（Ⅱ）若43

AN MN =u u u r u u u u r

，求直线l 的方程和圆C 2的半径r .

2.已知椭圆C ：112

162

2=+

y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ⋅λ的值；

（2）求证：点Q 在一定直线上.

3.已知椭圆C ：)0(12

42

2>>=+

b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，

且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .

（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；

（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.

4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>

=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；

（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .

5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为

2d ，且

212

d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且

180OFA OFB ∠+∠=︒.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；

（3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45

，A ，B 分别

为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点． （1）求m 的值及椭圆的准线方程；

（2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．

7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1

2，且过点

31,2⎛⎫

⎪⎝⎭

.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点.

（2）若AF FC =，求

BF

FD

的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点

6

(2,

). （1）求椭圆E 的方程；

（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于

A ，

B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .

①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；

②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.

9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．

（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；

（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.

10.已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点在直线l

30y --=上，且椭圆上任意

两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为1

4

-. （1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中

02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足

||

||

A B d PA d PB =

恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.

11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.

（I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率； （II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214

S S <.