定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用

摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余

引言

积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题

在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。

设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有

dx x u u x u x

)()0()(0⎰'+=

例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。

解 总成本函数

dx x c c x c x ⎰'+='0)()0()(

=dx x x x )100143(1000002+-+⎰

=x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+

2 利用定积分由变化率求总量问题

如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。

解 所求的总产量为

dt t Q Q ⎰'=0

5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10

5210

5=+-+=+=+=⎰t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值

例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,

问生产量为多少时利润最大? 并求出最大利润。

解 总成本函数为)0()2100()(0c dt t x c x

++=⎰

=10001002++x x

总收益函数为R( x ) = 500x

总利润函数为L ( x ) = R ( x ) - C( x ) = 10004002--x x

L '= 400- 2x 令L '= 0, 得x= 200

因为L '' ( 200) < 0

所以, 生产量为200 单位时, 利润最大。最大利润为L( 200)=400 ⨯200-2200-1000=39000( 元) 。

例4 某企业生产x 吨产品时的边际成本为3050

1)(+='x x c ( 元/ 吨) 。且固定成本为900元, 试求产量为多少时平均成本最低? 解： 首先求出成本函数 90030100

1900)30501(

)()(2000++=++=+'=⎰⎰x x dx x c dx x c x c x x , 得平均成本函数为 x x x x c x c 900301001)()(++== 求一阶导数 29001001)(x

x c -=' 令0='c , 解得3001=x (2x = - 300 舍去) 。

因此, c ( x) 仅有一个驻点1x = 300, 再由实际问题本身可知c ( x ) 有最小值, 故当产量为300 吨时, 平均成本最低。

例5、某煤矿投资2000万元建成，在时刻t 的追加成本和增加收益分别

为 232

3//()62()18C t t

R t t =+=-（百万元/年）

试确定该矿的何时停止生产可获得最大利润？最大利益是多少？

解： 有极值存在的必要条件 //()()0R t C t -=，即 223318(62)0t t --+=

可解得 t=8 132

////

3////24()()33()()0R t C t t t R t C t ---=---<

故*t =8时是最佳终止时间，此时的利润为 2233

538

//0808

0[()()]20[(18)(62)]209(12)|205

38.420

18.4L R t C t dt t t dt t t =--=--+-=--=-=⎰⎰

因此最大利润为18.4百万元

4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余

在经济管理中, 一般说来, 商品价格低, 需求就大; 反之, 商品价格高, 需求就小, 因此需求函数Q = f( P)是价格P 的单调递减函数。 同时商品价格低, 生产者就不愿生产, 因而供给就少; 反之, 商品价格高, 供给就多, 因此供给函数Q= g( P)是价格P 的单调递增函数。 由于函数Q = f( P)与Q = g( P)都是单调函数, 所以分别存在反函数P=)(1Q f -与P= )(1Q g -, 此时函数P=)(1Q f -也称为需求函数, 而P=)(1Q g -也称为供给函数。