坐标变换总结Clark变换和Park变换

一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。

由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。

解决的思路与基本分析：

1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120

ω的旋转磁场。

度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为

1

又知，取空间上互相垂直的（α，β）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。此时的电机数学模型有所简化。

2. 还知, 直流电机的磁链关系为：

F---励磁绕组

轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。

A---电枢绕组

轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。

由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。换言之，主磁通唯一地由励磁电流决定，由此建立的直流电机的数学模型十分简化。

如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。

电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。

关于旋转磁动势的认识：

1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是：

除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。

根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC——αβ(3-2)变换的思路。

2)进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，使其相互正交或垂直的绕组M，T分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生αβ——dq(2-2)变换。

矢量变换控制的基本思想：通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。

以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示

所谓坐标变换的方法就是用一组新的变量来代替原方程中的一组变量，使得原方程（数学模型）得以简化（弱化强耦合或解耦）。

1．变换原则---功率不变约束条件

设电压方程为

u=Zi

新定义的变量为

'u 、'i

设电压变换矩阵为u C ，电流变换矩阵为i C ，则变换前后的电压和电流关系式为

'u C u u = 'i C i i =

假设变换前后功率不变，即

u i P T = '''u i P T = 'P P = ''u i u i T T =

经代入整理后，有 E C C u T i =

为简化变换阵，一般取 C C C i u ==

代入上式，则有 E C C T = 1-=C C T

式中，C 为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。

满足上述功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统一变换关系。

2．(3s/2s 变换) 三相静止轴系A-B-C 到两相静止轴系βα-的变换

为便于分析，取三相绕组匝数相等：

3N N N N C B A ===

并取两相绕组匝数也相等， 2N N N ==βα

可得到，两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式：

ο

οο

ο240sin 120sin 0240cos 120cos C C B B C C B B A A i N i N i N i N i N i N i N ++=++=ββαα

从而找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，

（为保证推导的严谨性，在非方阵中引入一个独立变量，称为零轴电流。当定子绕组为Y 形接线时，可在变换矩阵中消去该独立因子）经推导整理可以得到3/2变换表达式，

已知无零线Y 形接线时，0=++C B A i i i ，则有B A c i i i --= 。 代入上式进而可简化为：

上式对电压和磁链也成立。

3．(2s/2r 变换) 二相静止轴系α，β到二相旋转轴系 d ，q 的变换

假如有两个相互垂直的绕组，在两绕组中分别通以直流电流，并且将此固定磁场以同样的角速度旋转，则两相旋转绕组产生的合成磁场也是一个旋转磁场。再进一步使两绕组轴线与三相绕组（或与两相静止绕组的轴线同方向）的旋转磁场方向相同。由此即可用两个直流分量来替代三相交流电。这可进一步简化参变量间的关系。

设两相静止坐标系与两相旋转坐标系间的夹角为（且随时间变化）

01ϕωϕ+=t

由两相静止轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可

以得到变换关系，

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡βαϕϕϕϕi i i i q d

sin cos cos sin

当定子三相电流为：

代入3/2变换式，有

⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡)cos()sin(112φωφωt t I i i m q d

其中

式说明，从静止三相A-B-C 变换到静止二相d-q ，在D 、Q 绕组中通以互

差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止

绕组等效的磁动势。

又可知，将上式部分（d 轴）展开后有，

t

I i t

I i m dq m dp 1212cos sin sin cos ωφωφ== 因此，d 轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和， →→→+=dq

dp d i i i 因此，d 轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和， →→→

+=dq

dp d i i i

5．3/2变换结果代入2/2变换后有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'')cos()sin(sin cos cos sin 112φωφωϕϕϕϕt t I i i m q d

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''φφsin cos 22m m q d I I i i

上式说明，在D-Q 轴上通以两个直流电流，其大小分别为三相绕组中的有功电流和无功电流。