04第四章误差与实验数据的处理全解
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误差与实验数据处理实验报告
误差与实验数据处理实验报告误差与实验数据处理实验报告引言：实验是科学研究的基础，而数据处理则是实验结果的关键环节。
在实验中，我们不可避免地会遇到误差，而正确处理误差对于实验结果的准确性和可靠性至关重要。
本实验旨在探讨误差的来源、分类以及如何进行实验数据处理，以提高实验结果的可信度。
一、误差的来源1.1 人为误差人为误差是由实验操作者的技术能力、主观判断和个人经验等因素引起的误差。
例如，在使用仪器时，操作者的手部不稳定、读数不准确等都可能导致人为误差的产生。
1.2 仪器误差仪器误差是由于仪器本身的设计、制造和使用不完美而产生的误差。
每个仪器都有其精度和灵敏度限制，而这些限制会对实验结果产生影响。
因此，在进行实验前，我们需要了解仪器的精度和灵敏度，并在数据处理时进行相应的修正。
1.3 环境误差环境误差是由实验环境中的温度、湿度、气压等因素引起的误差。
这些因素会对实验结果产生影响，因此，在实验过程中，我们需要控制环境条件，或者在数据处理时进行环境误差的修正。
二、误差的分类2.1 系统误差系统误差是由于实验装置、仪器或操作方法等造成的误差，其特点是在多次实验中具有一定的规律性。
系统误差可以通过校正仪器、改进操作方法等方式进行减小。
2.2 随机误差随机误差是由于实验过程中的偶然因素引起的误差，其特点是在多次实验中无规律可循。
随机误差可以通过增加实验次数、采用统计方法等方式进行减小。
三、实验数据处理方法3.1 平均值处理平均值处理是最常用的实验数据处理方法之一。
通过多次实验，取得的数据可以计算出平均值，从而减小随机误差的影响。
在计算平均值时，需要注意排除掉明显与其他数据不符的异常值，以保证结果的准确性。
3.2 不确定度分析不确定度是对实验结果的精度进行评估的指标。
在实验数据处理中，我们需要对每个数据的不确定度进行分析，以确定实验结果的可靠程度。
不确定度的计算可以采用传统的“合成法”或“最大偏差法”，具体选择哪种方法取决于实验的特点和要求。
第四章误差和分析数据的处理
与上述情况不同的是，有些误差是由于分析者的主观因 素造成的，称之为“个人误差” 例如，在读取滴定剂的体 积时，有的人读数偏高，有的人读数偏低；在判断滴定终点 颜色时，有的人对某种颜色的变化辨别不够敏锐，偏深或偏 浅等所造成的误差。
2、偶然误差
偶然误差也叫不可测误差，产生的原因与系统误差不同， 它是由于某些偶然的因素(如测定时环境的温度、湿度和气压的 微小波动，仪器性能的微小变化等)所引起的。
如天平、法码和量器刻度不够准确等，在使用过程 中就会使测定结果产生误差。 (3)试剂误差
由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质所引起。
(4) 操作误差
主要是指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操 作规程与正确控制条件稍有出入而引起的。例如，使用了缺 乏代表性的试样；试样分解不完全或反应的某些条件控制不 当等。
1.485-1.515,1.515-1.545,1.545-1.575等等。 统计测定值落在每组内的个数（称为频数），
再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。
分组（%）
1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755
第二节 误差的表征
一、准确度与误差 误差愈小，表示分析结果的准确度愈高，反之，
误差愈大，准确度就越低。所以，误差的大小是衡 量准确度高低的尺度。误差又分为绝对误差和相对 误差。其表示方法如下： 绝对误差＝测定值-真实值
Ea x T
相对误差% =(绝对误差/真实值) ×100%
Er
Ea T
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ%
在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试剂和分
2、偶然误差
偶然误差也叫不可测误差，产生的原因与系统误差不同， 它是由于某些偶然的因素(如测定时环境的温度、湿度和气压的 微小波动，仪器性能的微小变化等)所引起的。
如天平、法码和量器刻度不够准确等，在使用过程 中就会使测定结果产生误差。 (3)试剂误差
由于试剂不纯或蒸馏水中含有微量杂质所引起。
(4) 操作误差
主要是指在正常操作情况下，由于分析工作者掌握操 作规程与正确控制条件稍有出入而引起的。例如，使用了缺 乏代表性的试样；试样分解不完全或反应的某些条件控制不 当等。
1.485-1.515,1.515-1.545,1.545-1.575等等。 统计测定值落在每组内的个数（称为频数），
再计算出数据出现在各组内的频率（即相对频数）。
分组（%）
1.485-1.515 1.515-1.545 1.545-1.575 1.575-1.605 1.605-1.635 1.635-1.665 1.665-1.695 1.695-1.725 1.725-1.755
第二节 误差的表征
一、准确度与误差 误差愈小，表示分析结果的准确度愈高，反之，
误差愈大，准确度就越低。所以，误差的大小是衡 量准确度高低的尺度。误差又分为绝对误差和相对 误差。其表示方法如下： 绝对误差＝测定值-真实值
Ea x T
相对误差% =(绝对误差/真实值) ×100%
Er
Ea T
10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ%
在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、所用试剂和分
误差与实验数据的处理优秀课件.pptx
例2：在吸光光度分析中，用一台旧仪器测定溶液6次，得标准偏 差S1＝0.055,再用一台性能稍好的新仪器测定4次，得标准偏差S2 ＝0.022。问新仪器的精密度是否显著地优于旧仪器的精密度?
解： 依题意，新仪器性能稍好，它的精密度不会比旧 仪器的差，所以，属于单边检验。
(1)旧仪器：n1 6, s1 0.055, s大2 0.0552 0.003
(4)查表：t95%,8 2.31 (5) : t计 t表，
有显著性差异
四、可疑测定值的取舍
平行测定的数据中，有时会出现一两个与其结果 相差较大的测定值，称为可疑值或异常值 对于为数不多的测定数据，可疑值的取舍往往对 平均值和精密度造成相当显著的影响。
检 验 原因不明 可疑值
过失
舍去
随机误差
（一）Q检验法
由于格鲁布斯法引入了t分布中最基本的两个
参数 x和s，故该方法的准确度较Q法高。
统计检验的正确顺序：
可疑数据取舍
F 检验
精密度
t 检验
准确度
例6：6次标定某NaOH溶液的浓度，其结果为0.1050 mol/L， 0.1042 mol/L，0.1086 mol/L，0.1063 mol/L，0.1051 mol/L， 0.1064 mol/L。用格鲁布斯法判断0.1086 mol/L这个数据是否 应该舍去？（P=0.95）
F计＝
0.755 0.287来自2.63F0.10,5,6 4.39
在90%的置信度下，看不出显著性差异。
(三) 两组数据平均值的比较 （F检验和t检验，同一试样）
新方法--经典方法（标准方法） 两个分析人员测定的两组数据 两个实验室测定的两组数据
F检验法：两组实验结果的精密度检验
误差与实验数据的处理课件
1－10％， 3位 <1%， 2位
1. 下列数值各有几位有效数字？ 0.072，36.080，4.4×10-3，6.023×1023，100， 998， 1000.00，1.0×103，pH = 5.20时的[H+]。
答：有效数字的位数分别是：2，5，2，4， 不确定，3，6，2，2。
2. 标定碱标准溶液时，邻苯二甲酸氢钾（KHC8H4O4， M = 204.23 g·mol-1）和二水合草酸（H2C2O4·2H2O，M = 126.07 g·mol-1）都可以作为基准物质，你认为选择哪 一种更好？为什么？
第四节 提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法
在生产实践和一般科研工作中，对测定结果要求的准确度 常与试样的组成、性质和待测组分的相对含量有关。
➢ 化学分析——准确度高但灵敏度低，用于常量组分的分析。 ➢ 仪器分析——较高的灵敏度但准确度低，用于微量或痕量
组分含量的测定。
例如：用光谱法测定纯硅中的硼（2×10-6％）； 用重铬酸钾滴定法测定某铁矿中铁的含量（40.20%）。
1位：2 104；2位：2.0 104 ； 3位：2.00 104 ） 5. 非测量数，倍数、分数、π、e等无限多位√；
(Fe原子量55.847)
6. pH、pM、lgK（负对数）、对数，仅小数点后√； （pH=3.75，2位； pH= 3，模糊； pH= 2.03，2位）
7. 10x或ex等幂指数，与x的小数点后的位数相同。 1020.0035
例4-13
三、分析化学中的质量保证和质量控制
质量保证(QA )：为了保证产品、生产（测定）过程或服务
符合质量要求而采取的有计划和有系统的活动。
质量控制(QC)：为了达到规范和规定的数据和质量要求而采取的
1. 下列数值各有几位有效数字？ 0.072，36.080，4.4×10-3，6.023×1023，100， 998， 1000.00，1.0×103，pH = 5.20时的[H+]。
答：有效数字的位数分别是：2，5，2，4， 不确定，3，6，2，2。
2. 标定碱标准溶液时，邻苯二甲酸氢钾（KHC8H4O4， M = 204.23 g·mol-1）和二水合草酸（H2C2O4·2H2O，M = 126.07 g·mol-1）都可以作为基准物质，你认为选择哪 一种更好？为什么？
第四节 提高分析结果准确度的方法
一、选择适当的分析方法
在生产实践和一般科研工作中，对测定结果要求的准确度 常与试样的组成、性质和待测组分的相对含量有关。
➢ 化学分析——准确度高但灵敏度低，用于常量组分的分析。 ➢ 仪器分析——较高的灵敏度但准确度低，用于微量或痕量
组分含量的测定。
例如：用光谱法测定纯硅中的硼（2×10-6％）； 用重铬酸钾滴定法测定某铁矿中铁的含量（40.20%）。
1位：2 104；2位：2.0 104 ； 3位：2.00 104 ） 5. 非测量数，倍数、分数、π、e等无限多位√；
(Fe原子量55.847)
6. pH、pM、lgK（负对数）、对数，仅小数点后√； （pH=3.75，2位； pH= 3，模糊； pH= 2.03，2位）
7. 10x或ex等幂指数，与x的小数点后的位数相同。 1020.0035
例4-13
三、分析化学中的质量保证和质量控制
质量保证(QA )：为了保证产品、生产（测定）过程或服务
符合质量要求而采取的有计划和有系统的活动。
质量控制(QC)：为了达到规范和规定的数据和质量要求而采取的
第四章 误差与实验数据的处理-4-PPT文档资料
组分含量的测定。
例如：用光谱法测定纯硅中的硼（2×10-6％）；
用重铬酸钾滴定法测定某铁矿中铁的含量（40.20%）。
2019年3月25日星期一
分析化学教研室
第2页
二、减小分析过程中的误差 （一）减小测定误差
1、仪器和量器的测定误差会传递到分析结果中去。
例：分析天平一般的绝对误差为±0.0002g，如欲称量的相对误差不 大于0.1%，那么应称量的最小质量为多少？ 绝对误差 相对误差 试样质量 0.0002 g 0.0002 g 0.1% 试样质量 试样质量 0.2 g 试样质量 0.1 ％ 例：在滴定分析中，滴定管的读数误差一般为±0.02ml。为使读数的 相对误差不大于0.1%，那么滴定剂的体积就应不小于多少？ 绝对误差 相对误差 滴定剂体积 0.02mL 0.02mL 0.1% 滴定剂体积 滴定剂体积 20mL 滴定剂体积 0.1 ％
分析化学教研室 第8页
总结：提高分析结果准确度的方法
选择合适的分析方法 尽量减小测定误差
适当增加平行测定次数，减小随机误差
消除或校正系统误差 杜绝过失 正确表示分析结果
例4-13
2019年3月25日星期一
分析化学教研室
第9页
三、分析化学中的质量保证和质量控制
• 质量保证(QA )：为了保证产品、生产（测定）过程或服务
上 式 表 明 测 定 结 果 的
2019年3月25日星期一 x t p , f sx x t p , f
s n
大小： x 表示数据 的集中趋势。 准确度：置信限 t p ,f s x 越窄，准确度越高。 精密度： s 表示数据的分散程度。
可靠程度： P
测定次数： n= f +1
例如：用光谱法测定纯硅中的硼（2×10-6％）；
用重铬酸钾滴定法测定某铁矿中铁的含量（40.20%）。
2019年3月25日星期一
分析化学教研室
第2页
二、减小分析过程中的误差 （一）减小测定误差
1、仪器和量器的测定误差会传递到分析结果中去。
例：分析天平一般的绝对误差为±0.0002g，如欲称量的相对误差不 大于0.1%，那么应称量的最小质量为多少？ 绝对误差 相对误差 试样质量 0.0002 g 0.0002 g 0.1% 试样质量 试样质量 0.2 g 试样质量 0.1 ％ 例：在滴定分析中，滴定管的读数误差一般为±0.02ml。为使读数的 相对误差不大于0.1%，那么滴定剂的体积就应不小于多少？ 绝对误差 相对误差 滴定剂体积 0.02mL 0.02mL 0.1% 滴定剂体积 滴定剂体积 20mL 滴定剂体积 0.1 ％
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总结：提高分析结果准确度的方法
选择合适的分析方法 尽量减小测定误差
适当增加平行测定次数，减小随机误差
消除或校正系统误差 杜绝过失 正确表示分析结果
例4-13
2019年3月25日星期一
分析化学教研室
第9页
三、分析化学中的质量保证和质量控制
• 质量保证(QA )：为了保证产品、生产（测定）过程或服务
上 式 表 明 测 定 结 果 的
2019年3月25日星期一 x t p , f sx x t p , f
s n
大小： x 表示数据 的集中趋势。 准确度：置信限 t p ,f s x 越窄，准确度越高。 精密度： s 表示数据的分散程度。
可靠程度： P
测定次数： n= f +1
误差和实验数据的处理
分别求这两组数据的平均值、平均偏差和相对平均偏差。
经过计算发现两组数据的平均偏差都为0.24%，但显然第二组数据比较分散，并且有过大和过小的值，因此用平均偏差已不能反映出这两组数据的精密度的差异。
样本标准偏差
贰
总体标准偏差
壹
有限次测量 对平均值的离散
肆
体标准偏差与样本标准偏差
中位数xM：数据由小到大排列后中间的那个数（n为奇数）或中间相邻两个数据的平均值（n为偶数）。
样本大小（容量）：样本中所含测量值的数目。幻灯片 7
样本平均值与总体平均值： 在无系统误差存在的前提下，μ= xT
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则，从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这2000mL样品水是供分析用的总体，如果从样品水中取出20个试样进行平行分析，得到20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样品水的一个随机样本，样本容量为20。
设x1、xn为异常值，则统计量Q为：
x1 , x2 , …… , xn-1, xn
式中分子为异常值与其相邻的一个数值的差值，分母为整组数据的极差。Q值越大，说明xn离群越远。Q称为“舍弃商”。当Q计算>Q表时，异常值应舍去，否则应予保留。
例6：书p97：例4-11
Q检验法
1
格鲁布斯(Grubbs)法
选择合适的分析方法
4.4 提高分析结果准确度的方法
减小测量的相对误差
分析天平每次称量误差为±0.0001克。一份样品需称量两次，最大绝对误差为±0.0002克，若要求相对误差<0.1%。计算试样的最小质量。
滴定管每次读数误差为±0.01mL。一次滴定中，需读数两次，最大绝对误差为±0.02mL，若要求相对误差<0.1%。计算消耗溶液的最小体积。
经过计算发现两组数据的平均偏差都为0.24%，但显然第二组数据比较分散，并且有过大和过小的值，因此用平均偏差已不能反映出这两组数据的精密度的差异。
样本标准偏差
贰
总体标准偏差
壹
有限次测量 对平均值的离散
肆
体标准偏差与样本标准偏差
中位数xM：数据由小到大排列后中间的那个数（n为奇数）或中间相邻两个数据的平均值（n为偶数）。
样本大小（容量）：样本中所含测量值的数目。幻灯片 7
样本平均值与总体平均值： 在无系统误差存在的前提下，μ= xT
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则，从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这2000mL样品水是供分析用的总体，如果从样品水中取出20个试样进行平行分析，得到20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样品水的一个随机样本，样本容量为20。
设x1、xn为异常值，则统计量Q为：
x1 , x2 , …… , xn-1, xn
式中分子为异常值与其相邻的一个数值的差值，分母为整组数据的极差。Q值越大，说明xn离群越远。Q称为“舍弃商”。当Q计算>Q表时，异常值应舍去，否则应予保留。
例6：书p97：例4-11
Q检验法
1
格鲁布斯(Grubbs)法
选择合适的分析方法
4.4 提高分析结果准确度的方法
减小测量的相对误差
分析天平每次称量误差为±0.0001克。一份样品需称量两次，最大绝对误差为±0.0002克，若要求相对误差<0.1%。计算试样的最小质量。
滴定管每次读数误差为±0.01mL。一次滴定中，需读数两次，最大绝对误差为±0.02mL，若要求相对误差<0.1%。计算消耗溶液的最小体积。
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2018年10月22日星期一10时13分10秒
14
样本的平均值定义为：
一般地，当n＞30次时：(实际测定一般都小于20次)
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15
(4.7)
σ2：称为方差。
注：自由度f＝n-1
(4.8)
见教材P79 的解释
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2 2
2
(4.13)
方程中各项的意义
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35
1 y=f x e 2
x
2 2
2
(4.13)
⑴x——测量值。
⑵y——称为概率密度函数，它是测量 值x的函数。 ⑶——总体标准偏差，它表示了测量 值的分散程度。
2018年10月22日星期一10时13分10秒
2018年10月22日星期一10时13分10秒
3
定量分析：指的是准确测定试样中物质
对试样进行准确测量
分析 工作者 的任务
① ② ③
对分析结果的可靠性 和准确性作出评价
对产生误差的原因进 行分析提出改进措施
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4
差的基本概念
一、准确度与误差 ☆真实值 (T)—— 也称为真值，指的是
式样中某组分的真实含量。 ☆准确度 —— 指的是测定值 x 与真值 T
相接近的程度。
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5
两点注意： ◇准确度的高低是由误差的大小来衡
量的。误差越小，表明分析结果的准 确度越高。即：误差的大小是准确度
高低的量度。
◇在实际工作中，对分析结果的评价通常
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dr
2.4％
2.4％
平均偏差和相对平均偏差都不能准 确地反映大偏差的存在。
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13
㈡标准偏差和相对标准偏差 总体与样本的定义 总体：当测定次数 n→∞ 时，测定数 据的全体称为总体(或母体)。
样本：如果测定的次数 (n) 为有限次 时，则所测定的数据仅为总体中的一 部分。即一个样本(或子样 )， n为样本 的容量或样本的大小。
30
要研究随机误差的分布规律，首先 要列出频数和频率的分布表 ( 见教材 P84 的表 4-1) ，然后再绘制出频率分布 的直方图。其步骤为： ⑴算出极差： R=1.92－1.63 =0.29 ⑵确定组数和组距
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31
①组数：要由样本的容量而定。根
26
㈢过失误差 ☆过失误差：是由于操作者的过失而 引起的误差。例： ①损失试样。 ②加错试样、试剂等。 ③记录或计算出现错误等。 ◇过失误差是一种错误，在本质上不 属于上述误差的范畴。
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误差的正态分布
实验事实证明：大多数的定量分析 误差是符合或基本符合正态分布规律 的。本节在不涉及系统误差的影响下， 讨论随机误差的分布规律。 例：在相同的实验条件下，对某合金 中铁的质量分数(%)进行重复测定，获 得了100个数据。(如教材P84所示)
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3、中位数(值)：是指一组测定数据从小至
⑴中位数(值)可以用来简单地表示分析测
⑵真实值可以用理论值或权威机构发布
阅读教材P77的例4.1
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9
讨论： ⑴绝对误差和相对误差都有正负之分。
⑵在测定的绝对误差相同的条件下，待测
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一、频率分布
㈠频数：在研究随机误差的分布规 律时，一般将许多个测定值 ( 样本 ) 按
照一定的规律分成若干个组，落在每
个组内的测定值的个数就称为频数。
㈡频率：指的是频数与样本容量的
比值，即相对频数。
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1.69 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.81 1.82 1.86
1.70 1.73 1.74 1.76 1.77 1.78 1.79 1.81 1.83 1.87
1.70 1.73 1.74 1.76 1.77 1.78 1.80 1.81 1.83 1.88
1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.78 1.80 1.81 1.83 1.92*
(4.11)
的概念，实际测量的差异往往18年10月22日星期一10时13分10秒
18
㈤准确度与精密度的关系 系统误差
阅读教材 P81的实例
准确度
随机误差
精密度
纯 属 巧 合
甲：精密度高、准确度低。 乙：精密度高、准确度高。 丙：精密度低、准确度较高。 丁：精密度低、准确度低。
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数据排序后如下表所示：
返回
1.63* 1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.79 1.80 1.81 1.83 1.66 1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.79 1.80 1.81 1.84 1.67 1.72 1.74 1.75 1.76 1.78 1.79 1.80 1.82 1.84 1.67 1.72 1.74 1.75 1.76 1.78 1.79 1.80 1.82 1.84 1.68 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.80 1.82 1.85 1.69 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.81 1.82 1.85
36
1 y=f x e 2
x
2 2
2
(4.13)
⑷——总体平均值。
T
消除系统误差 n
⑸ x ——随机误差。
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37
㈡讨论：
(测定值)
钟形对称
1 y=f x e 2
这样数据1.65就只分在了1.6251.655 这一组。
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33
⑶将所有的测定数据排序，统计出 频数和计算出相对频数。 统计 见教材P84的表4-1
⑷以频率值为纵坐标，测定值区间 (分组)为横坐标绘出直方图。
见教材P85的图4-4
讨论：见教材P85
⑶相对误差与绝对误差相比更具有实际意
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10
见教材P78的例子 二、精密度与偏差 精密度：是指一组平行测定结果的 相互接近程度。它反映了测定值的再 现性，常用偏差的大小来量度。
第一组 1.10 第二组 1.10
1.12 1.18
1.11 1.15
1.11 1.13
38
㈡讨论：
(测定值)
钟形对称
1 y=f x e 2
1
2
y [频率(相对频数)]
x 2 2
2
(4.13)
图4-5 正态分布曲线(μ相同，σ2＞σ1)
测量值的 正态分布 随机误差 正态分布
0
测定值区间
x
x
1.10 1.16
精密度的高低取决于随机误差还是 系统误差？答：随机误差。
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11
㈠偏差的表示方法：
平均偏差和相对平 均偏差都是正值
(4.4)
(4.5)
(4.6)
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12
例：测定铜合金中铜含量的两组结果如下
测定数据/％ X d 第 10.3，9.8，9.6*，10.2， 10.0 一 10.1，10.4*，10.0， 0.24% % 组 9.7，10.2，9.7 第 10.0，10.1，9.3*， 10.0 0.24% 二 10.2，9.9，9.8，10.5*， % 组 9.8，10.3，9.9
1
作 业
2 、3、8 、12 16、 18、22、25、28
(书 ) (书 ) (电脑)
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与实验数据的处理
误差：是分析结果与真实值之差。
不准确的测定结果会导致生产上的重大损失和科学研究的错误结论。
2
◇误差是客观存在的和不可避免的。
1、分析方法。 2 、仪器和试剂。 原因是： 3、工作环境。 4、分析者等。
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21
三、系统误差和随机误差
◇根据误差产生的原因和性质，误差分为
㈠系统误差
系统误差是分析 误差的主要来源
☆系统误差：指的是由某些确定的、 经常性的因素引起的误差。
特点: 有重现性、单向性、可测性。
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22
系统误差产生的原因(4点)：
16
(4.9)
阅读教材P80的例题4.2
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17
*㈢平均值的标准偏差
统计学已经证明：同一总体中的n个容量 相同的样本的平均值的标准偏差为 (4.10)
P81图4-2 平均值的标准偏差与n的关系 讨论：见教材P81.
注意：误差和偏差是两个不同
㈣极差： R＝xmax - xmin (4.12)
1
2
y [频率(相对频数)]
x 2 2
2
(4.13)
图4-5 正态分布曲线(μ相同，σ2＞σ1)
测量值的 正态分布 随机误差 正态分布
14
样本的平均值定义为：
一般地，当n＞30次时：(实际测定一般都小于20次)
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15
(4.7)
σ2：称为方差。
注：自由度f＝n-1
(4.8)
见教材P79 的解释
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2 2
2
(4.13)
方程中各项的意义
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1 y=f x e 2
x
2 2
2
(4.13)
⑴x——测量值。
⑵y——称为概率密度函数，它是测量 值x的函数。 ⑶——总体标准偏差，它表示了测量 值的分散程度。
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3
定量分析：指的是准确测定试样中物质
对试样进行准确测量
分析 工作者 的任务
① ② ③
对分析结果的可靠性 和准确性作出评价
对产生误差的原因进 行分析提出改进措施
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4
差的基本概念
一、准确度与误差 ☆真实值 (T)—— 也称为真值，指的是
式样中某组分的真实含量。 ☆准确度 —— 指的是测定值 x 与真值 T
相接近的程度。
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5
两点注意： ◇准确度的高低是由误差的大小来衡
量的。误差越小，表明分析结果的准 确度越高。即：误差的大小是准确度
高低的量度。
◇在实际工作中，对分析结果的评价通常
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dr
2.4％
2.4％
平均偏差和相对平均偏差都不能准 确地反映大偏差的存在。
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13
㈡标准偏差和相对标准偏差 总体与样本的定义 总体：当测定次数 n→∞ 时，测定数 据的全体称为总体(或母体)。
样本：如果测定的次数 (n) 为有限次 时，则所测定的数据仅为总体中的一 部分。即一个样本(或子样 )， n为样本 的容量或样本的大小。
30
要研究随机误差的分布规律，首先 要列出频数和频率的分布表 ( 见教材 P84 的表 4-1) ，然后再绘制出频率分布 的直方图。其步骤为： ⑴算出极差： R=1.92－1.63 =0.29 ⑵确定组数和组距
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31
①组数：要由样本的容量而定。根
26
㈢过失误差 ☆过失误差：是由于操作者的过失而 引起的误差。例： ①损失试样。 ②加错试样、试剂等。 ③记录或计算出现错误等。 ◇过失误差是一种错误，在本质上不 属于上述误差的范畴。
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误差的正态分布
实验事实证明：大多数的定量分析 误差是符合或基本符合正态分布规律 的。本节在不涉及系统误差的影响下， 讨论随机误差的分布规律。 例：在相同的实验条件下，对某合金 中铁的质量分数(%)进行重复测定，获 得了100个数据。(如教材P84所示)
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3、中位数(值)：是指一组测定数据从小至
⑴中位数(值)可以用来简单地表示分析测
⑵真实值可以用理论值或权威机构发布
阅读教材P77的例4.1
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讨论： ⑴绝对误差和相对误差都有正负之分。
⑵在测定的绝对误差相同的条件下，待测
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一、频率分布
㈠频数：在研究随机误差的分布规 律时，一般将许多个测定值 ( 样本 ) 按
照一定的规律分成若干个组，落在每
个组内的测定值的个数就称为频数。
㈡频率：指的是频数与样本容量的
比值，即相对频数。
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1.69 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.81 1.82 1.86
1.70 1.73 1.74 1.76 1.77 1.78 1.79 1.81 1.83 1.87
1.70 1.73 1.74 1.76 1.77 1.78 1.80 1.81 1.83 1.88
1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.78 1.80 1.81 1.83 1.92*
(4.11)
的概念，实际测量的差异往往18年10月22日星期一10时13分10秒
18
㈤准确度与精密度的关系 系统误差
阅读教材 P81的实例
准确度
随机误差
精密度
纯 属 巧 合
甲：精密度高、准确度低。 乙：精密度高、准确度高。 丙：精密度低、准确度较高。 丁：精密度低、准确度低。
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数据排序后如下表所示：
返回
1.63* 1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.79 1.80 1.81 1.83 1.66 1.71 1.73 1.75 1.76 1.77 1.79 1.80 1.81 1.84 1.67 1.72 1.74 1.75 1.76 1.78 1.79 1.80 1.82 1.84 1.67 1.72 1.74 1.75 1.76 1.78 1.79 1.80 1.82 1.84 1.68 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.80 1.82 1.85 1.69 1.72 1.74 1.75 1.77 1.78 1.79 1.81 1.82 1.85
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1 y=f x e 2
x
2 2
2
(4.13)
⑷——总体平均值。
T
消除系统误差 n
⑸ x ——随机误差。
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㈡讨论：
(测定值)
钟形对称
1 y=f x e 2
这样数据1.65就只分在了1.6251.655 这一组。
2018年10月22日星期一10时13分10秒
33
⑶将所有的测定数据排序，统计出 频数和计算出相对频数。 统计 见教材P84的表4-1
⑷以频率值为纵坐标，测定值区间 (分组)为横坐标绘出直方图。
见教材P85的图4-4
讨论：见教材P85
⑶相对误差与绝对误差相比更具有实际意
2018年10月22日星期一10时13分10秒
10
见教材P78的例子 二、精密度与偏差 精密度：是指一组平行测定结果的 相互接近程度。它反映了测定值的再 现性，常用偏差的大小来量度。
第一组 1.10 第二组 1.10
1.12 1.18
1.11 1.15
1.11 1.13
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㈡讨论：
(测定值)
钟形对称
1 y=f x e 2
1
2
y [频率(相对频数)]
x 2 2
2
(4.13)
图4-5 正态分布曲线(μ相同，σ2＞σ1)
测量值的 正态分布 随机误差 正态分布
0
测定值区间
x
x
1.10 1.16
精密度的高低取决于随机误差还是 系统误差？答：随机误差。
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11
㈠偏差的表示方法：
平均偏差和相对平 均偏差都是正值
(4.4)
(4.5)
(4.6)
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例：测定铜合金中铜含量的两组结果如下
测定数据/％ X d 第 10.3，9.8，9.6*，10.2， 10.0 一 10.1，10.4*，10.0， 0.24% % 组 9.7，10.2，9.7 第 10.0，10.1，9.3*， 10.0 0.24% 二 10.2，9.9，9.8，10.5*， % 组 9.8，10.3，9.9
1
作 业
2 、3、8 、12 16、 18、22、25、28
(书 ) (书 ) (电脑)
2018年10月22日星期一10时13分10秒
与实验数据的处理
误差：是分析结果与真实值之差。
不准确的测定结果会导致生产上的重大损失和科学研究的错误结论。
2
◇误差是客观存在的和不可避免的。
1、分析方法。 2 、仪器和试剂。 原因是： 3、工作环境。 4、分析者等。
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三、系统误差和随机误差
◇根据误差产生的原因和性质，误差分为
㈠系统误差
系统误差是分析 误差的主要来源
☆系统误差：指的是由某些确定的、 经常性的因素引起的误差。
特点: 有重现性、单向性、可测性。
2018年10月22日星期一10时13分10秒
22
系统误差产生的原因(4点)：
16
(4.9)
阅读教材P80的例题4.2
2018年10月22日星期一10时13分10秒
17
*㈢平均值的标准偏差
统计学已经证明：同一总体中的n个容量 相同的样本的平均值的标准偏差为 (4.10)
P81图4-2 平均值的标准偏差与n的关系 讨论：见教材P81.
注意：误差和偏差是两个不同
㈣极差： R＝xmax - xmin (4.12)
1
2
y [频率(相对频数)]
x 2 2
2
(4.13)
图4-5 正态分布曲线(μ相同，σ2＞σ1)
测量值的 正态分布 随机误差 正态分布