(49)约数个数与约数和

五年级奥数解析（四十九）约数个数与约数和

《奥赛天天练》第三十七讲《约数个数与约数和》，学习利用合数的质因数分解式求一个较大自然数所有约数的个数及所有约数和的方法。

计算公式：

求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：

N﹦P1 a1·P2a2·P3a3……PKak

N的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）；

N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋PK＋PK2＋…＋PKak）。

例如：72﹦23×32

先找出23的所有（3＋1﹦）4个约数：1、2、22、23；

再找出32的所有（2＋1﹦）3个约数：1、3、32。

用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）﹦]12个约数：

1、3、3

2、2×1、2×

3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。

约数和为：

（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）﹦195

约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。

《奥赛天天练》第37讲，模仿训练，练习1

【题目】：

求500的约数的个数。

【解析】：

分解质因数：500﹦22×53

根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：

（2＋1）×（3＋1）﹦12（个）。