23 随机事件的概率-艺考生文化课百日冲刺

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2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第12章-12.1-随机事件的概率

§12.1随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝nA n 为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A 发生⇒B 发生事件B 包含事件A (事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系若B ⊇A 且A ⊇B 事件A 与事件B 相等A ＝B 并(和)事件A 发生或B 发生事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A ＋B )交(积)事件A 发生且B 发生事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB )互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝1常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(√)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．答案0.5解析掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验有________个基本事件．答案4解析这个试验的基本事件为(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，共4个.题型一随机事件与基本事件个数例1(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能答案A解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为()A．5B．6C．7D．8答案D解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的基本事件有(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共8个．教师备选一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的基本事件；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？解(1)这个试验的基本事件有(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个基本事件：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．思维升华确定基本事件个数的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．跟踪训练1(1)下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1D．概率是随机的，在试验前不能确定答案D解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是()A．3B．4C．5D．6答案D解析事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．题型二事件的关系与运算例2(1)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，给出下列说法：①A⊆B；②A∩B＝∅；③A∪B＝“至少一次中靶”；④A与B互为对立事件．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案B解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以①④错误，②正确．A∪B＝“至少一次中靶”，③正确．(2)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案D解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B错误；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13，D正确．教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论不正确的是()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案C解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4＝{4}，B＝{1,3,5}，A4与B是互斥但不对立事件，故D错误．题型三频率与概率例3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.教师备选某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a .思维升华(1)概率与频率的关系(2)随机事件概率的求法跟踪训练3某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)根据题意，Y ＝460＋X －7010×5＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.课时精练1．下列说法正确的是()A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案C解析不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A 错；频率是由试验的次数决定的，故B 错；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错．2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为()A ．99.61%B ．99.49%C ．99.36%D ．99.23%答案A解析中国体育代表团成员的疫苗接种率约为777－3777≈0.9961＝99.61%.3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3答案C解析由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.5．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个答案D解析对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．6．下列说法不正确的是()A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件答案A解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，基本事件为正品，次品，故D正确．7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则剩余动物的脚数为________．答案0,2,4,6,8解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．答案60解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，∴第1,2,4组的频率分别为640＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA ＝A.10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有基本事件；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，则应从甲协会抽取27×654＝3(人)，从乙协会抽取9×654＝1(人)，从丙协会抽取18×654＝2(人)．故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．11．2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Vero细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝对照组发病率－疫苗组发病率对照组发病率×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是()A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则效力为40% D．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病答案B解析由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A错误；疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B正确；若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝100 10000－402000010010000×100%＝80%，故选项C错误；若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误．12．一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．则以下结论正确的是()A．A∪B＝A B．D∪B是必然事件C．A∪B＝B D．A∪D＝C答案B解析A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A不正确，C不正确；D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案D解析对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确．对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．故B∩D＝∅，故B正确．对于选项C，由题意知正确．对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为________．答案1 2解析共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝12.15．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析由题意知4x＋1y＝1，则x＋y＝(x＋y55＋24yx·xy＝9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立．16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)写出甲、乙抽到牌的所有基本事件；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有基本事件为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是2 3 .(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个基本事件，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因为512<712，所以此游戏不公平．。

重难点32 随机事件的概率、古典概型—2023年高考数学(原卷版)

重难点32 随机事件的概率、古典概型1.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A －)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．2.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出．(2)基本事件总数较多时，常利用排列、组合以及计数原理求基本事件数．(3) 计算公式：P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意：基本事件总数和A 包含的基本事件个数必须在同一个样本空间中(即同一个分类标准下)计数．本考点以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型为主，常与事件的频率交汇考查．在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择题、填空题的形式出现．（建议用时：40分钟）一、单选题1．有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（）A．35B．310C．45D．252．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．恰好有一个白球与都是红球B．至多有一个白球与都是红球C．至多有一个白球与都是白球D．至多有一个白球与至多一个红球3．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.84．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中3个红球，1个黄球，从中随机抽取2个球，则抽取出的2个球恰好是1个红球1个黄球的概率是（）A．13B．12C．23D．15．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为18 35④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则2 ()15 P B AA．1个B．2个C．3个D．4个6．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（）A．只有2次出现反面B．至多2次出现正面7．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.68．纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（）A．14B．112C．121D．1169．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.3810．掷一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（）A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D．以上说法均不正确11．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是（）A．320B．15C．25D．92012．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23二、填空题13．2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.15．古典概率的性质：性质1：()P Ω=______，()P ∅=______；性质2：设A 是一个事件，那么______()P A ≤≤______．16．一个口袋内有()3n n >个大小相同的球，其中3个红球和()3n -个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p ，6p N ∈,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，则n =________. 17．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.18．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是___________.。

高考数学艺体生文化课总复习第十二章概率与统计第1节随机事件的概率抽样方法点金课件

【答案】 A 【解析】由题意,可以假设原来收入为a,则新农村建设后的收入为2a,根据收入的构成比例,原来的种植收入为0.6a,新农村建设后的种植收入为2a·0.37=0.74a.明显比0.6a要大.所以不正确的是A.
11.某班有34位同学,座位号记为01,02,…,34,用下面的随机数表选
.
15.《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五
百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百
钱,欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其意为:“今有甲带了560
钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,
依照钱的多少按比例出钱”,则丙应出
钱(所得结果四舍
A.110
B.
1 5
C.130
D.
2 5
【答案】 D
【解析】如下表所示,表中的点横坐标表示第一次取到的数,纵坐
标表示第二次取到的数.
1
2
3
4
5
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
92 12 06
A.22
B.09
C.02
【答案】 D 【解析】从随机数表第一行的第6列数字3开始,由左到右依次选取两个数字,不超过34的依次为21,32,09,16,17…故第4个志愿者的座号为16.故选D.
图①
图②
13.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列,
则两位女同学相邻的概率是
()
A.

专题118概率《2021年高考数学备考艺考生百日冲刺系列(通用)》(解析版)

专题1.18概率从近几年命题情况看，概率统计问题作为应用题，主观题考查较多，客观题往往考查概率的计算，难度不太大，应该是必得分的题目.由于这部分内容知识点较多，应注意夯实基础知识，掌握古典概型的计算方法及相关概率公式，打有准备之仗.一、随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.S SS SS,,,A B CS n A n A An A A()Annf An=AA A()nf A()p A A AA BA Bφ=A B A B12,,,nA A A12,,,nA A AA BA B A B AB两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. 4.事件的关系与运算如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件 (或称事件包含于事件)若且，那么称事件与事件相等或)(或)为不可能事件，那么称事件为不可能事件，为必然事件，互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是. 5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：. (2)必然事件的概率：. (3)不可能事件的概率：. (4)互斥事件的概率加法公式： ①(互斥)，且有． ② (彼此互斥)．(5)对立事件的概率：．二、古典概型1. 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组A B B A A B B A ⊇A B ⊇A B A B A B +A B AB A B A B φ=AB A B B A B φ=B =ΩA A nmA ()p A ()01p A ≤≤10()01p A ≤≤()1p A =()0p A =()()()p AB p A p B =+,A B ()()()1p A A p A p A +=+=()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++12,,,n A A A ()()1P A P A =-成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=. 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：=. [常用结论] 1．频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小． 2．互斥与对立对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立． 3．概率加法公式的注意点(1)要确定A ，B 互斥方可运用公式．(2)A ，B 为对立事件时并不一定A 与B 发生的可能性相同，即P (A )＝P (B )可能不成立．【典例1】（2020·云南丽江第一高级中学高二期中）抽查8件产品，设“至少抽到3件次品”为事件M ，则M 的对立事件是（） A ．至多抽到2件正品 B ．至多抽到2件次品 C ．至多抽到5件正品 D ．至多抽到3件正品【答案】B 【解析】根据对立事件的定义，事件和它的对立事件不会同时发生，且他们的和事件为必然事件，事件“至多抽到2件正品”、 “至多抽到5件正品”、 “至多抽到3件正品”与“至少抽到3件次品”能同时发生，不是对立事件；只有事件“至多2件次品”与“至少抽到3件次品” 不能同时发生且他们的和事件为必然事件，是M 的对立事件，n1nm ()A p A 所包含的基本事件数总的事件个数mn故选：B．【总结提升】事件间的关系的判断方法1.判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系．2.对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法．判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断．3.判断互斥、对立事件的2种方法:(1)定义法: 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2) 集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集即：事件A，B对应的基本事件构成了集合A，B，则A，B互斥时，A∩B＝∅；A，B对立时，A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)．两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．【典例2】（2020·湖南高一期末）下列说法正确的是（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀C．某种福利彩票的中奖概率为11000，那么买1000张这种彩票一定能中奖D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水【答案】AB【解析】对于A，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故A正确对于B，如果骰子均匀，则各点数应该均匀出现，所以根据结果都是出现1点可以认定这枚骰子质地不均匀，故B正确．对于C，中奖概率为11000是指买一次彩票，可能中奖的概率为11000，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为70%”指下雨的可能性为0.7，故D错．故选：AB．【典例3】（2016高考新课标2文选）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求()P A的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求()P B的估计值；【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）0.3.【解析】（Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55 200+=，故P(A)的估计值为0.55.（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30300.3 200+=，故P(B)的估计值为0.3.【总结提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的．而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率．3．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数．【典例4】（2020·海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（） A ．62% B ．56% C ．46% D ．42%【答案】C 【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.【典例5】（2018·全国高考真题（文））若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（） A ．0.3 B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】B 【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++= 因为()()P A 0.45,P AB 0.15== 所以()P B 0.4=，故选B. 【规律方法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率． 2. 判断事件关系时要注意 (1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系． 3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率. 对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想. 【特别提醒】求复杂的互斥事件的概率的方法 (1)直接法A A A U A A A U =A A φ=,AB A B +,A B ,A B A B +A B B A A ()p A A ()()1P A P A =-n 12,,,n A A A ()()()()1212n n p A A A p A p A p A =+++(2)间接法(正难则反)【典例6】（2020·全国高考真题（文））设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（） A ．15B ．25 C ．12D ．45【答案】A 【解析】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=. 故选：A【典例7】（2019·全国高考真题（文））生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A ．23 B ．35 C ．25D ．15【答案】B 【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ．【总结提升】1.计算古典概型事件的概率可分三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；(2)分别计算基本事件的总个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)利用古典概型的概率公式P (A )＝m n求出事件A 的概率．2. 古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x ，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同． (3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识． 3.古典概型中的基本事件都是互斥的【典例8】通过手机验证码登录哈喽单车App ，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码1234(,,,)a a a a 满足1234a a a a <<<，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为________ 【答案】16【解析】∵12a =，2342a a a <<<，∴2a 、3a 、4a 从中3~9选，只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排，分别对应234,,a a a 即可，7341016C P C ∴==.故答案为：16【典例9】（浙江高考真题（文））一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球. 已知袋中共有10个球，从中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是，从中任意摸出2个球，至少得到1 个白球的概率是. 求：（1）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率；（2）袋中白球的个数【答案】（1）215；（2）5个. 【解析】（Ⅰ）由题意知，袋中黑球的个数为记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B . 设袋中白球的个数为x ，则得到x =5故袋中白球个数为5个【特别提醒】1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解． 2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用．【典例10】设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量(),a m n =，()1,3b =-，则事件“a b ⊥”发生的概率为__________；事件“a b ≤”发生的概率为__________. 【答案】118 16【解析】（1）由题意知，{1,2,3,4,5,6}m ∈、{1,2,3,4,5,6}n ∈，故(m ，n )所有可能的取法共36种.当a b ⊥时，得m -3n =0，即m =3n ，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a b ⊥的概率213618P ==. （2）当a b ≤时，可得m 2+n 2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，其概率61366P ==. 故答案为：118；16. 【典例11】（2019·上海市建平中学高三）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取,{1,2,3,4,5}a b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________.【答案】825【解析】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±，则满足条件的有：()()()()()()()()1,2,2,3,3,4,4,5,5,4,4,3,3,2,2,1，共8组，所以概率为：825P =. 故答案为：825. 【特别提醒】求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识(平面向量、直线与圆、函数、统计等)转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：1．（2019·全国高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．2.（2017·全国高考真题（文））从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．110B．35C．310D．25【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=42. 1053．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：下面有三个推断：①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767；②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750；③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（）.A．①B．②C．①③D．②③【答案】B【解析】：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理；②随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理；③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160次，故③不合理；故选：B.4．（2015·全国高考真题（文））如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．310B．15C．110D．120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.5.（2016·全国高考真题（文））为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A．13B．12C．23D．56【答案】C【解析】将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为23，选C.6.（2020·江苏省高考真题）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.【答案】19【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 7．若随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且分别为()2,()34P A a P B a =-=-，则实数a 的取值范围为_____．【答案】（4332，] 【解析】因为随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，所以有：0()1021430()10341320()()102341P A a P B a a P A P B a a <<<-<⎧⎧⎪⎪<<⇒<-<⇒<≤⎨⎨⎪⎪<+≤<-+-≤⎩⎩. 故答案为：43(,]328.（2019·上海市控江中学高三）甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a 与b ，乙的骰子的点数为c ，则掷出的点数满足||a b c -=的概率为________（用最简分数表示）. 【答案】536【解析】由题可知，基本事件总数666216n =⨯⨯=，掷出的点数满足||a b c -=包含的基本事件(a ，b ，)c 有：当1c =时，有：(1，2，1)，(2，1，1)，(2，3，1)，(3，2，1)，(3，4，1)，(4，3，1)，(4，5，1)，(5，4，1)，(5，6，1)，(6，5，1)，共10个；当2c =时，有：(1，3，2)，(3，1，2)，(2，4，2)，(4，2，2)，(3，5，2)，(5，3，2)，(6，4，2)，(4，6，2)，共8个；当3c =时，有(1，4，3)，(4，1，3)，(2，5，3)，(5，2，3)，(3，6，3)，(6，3，3)，共6个；当4c =时，有(1，5，4)，(5，1，4)，(2，6，4)，(6，2，4)，共4个；当5c =时，有(1，6，5)，(6，1，5)，共2个；合计共30个，∴掷出的点数满足||a b c -=的概率为30521636p ==．故答案为：536． 9.（浙江高考真题（文））从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于 _________ ．【答案】【解析】由树状图可得：从3男3女共6名同学有15种基本事件，2名都是女同学由3种基本事件，故其概率为.10.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14. 【解析】设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为A,B,C,D ，则它们彼此是互斥事件.由题意得P (A )=13，P (B +C )=512，P (C +D )=512，又事件A 与事件B +C +D 对立，所以P (B +C +D )=32，而P (B )+P (C +D )=P (B +C +D )，所以P (B )=14， P (B +C )+P (D )=P (B +C +D )，所以P (D )=14，所以P (C )=1−(P (A )+P (B )+P (D ))=16，所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.11．（2017·山东高考真题（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A 1，但不包括B 1的概率．【答案】（1）15P = ；（2）29P = 【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个，所以所求事件的概率为：29P =. 12．(2019·沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【答案】【解析】 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。

1424_2023届高考数学一轮复习习题：随机事件的概率(含解析)新人教B版.doc_0

随机事件的概率一、选择题1．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为() A．一个是5点，另一个是6点B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点D．至多有一个是5点或6点C[设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能：甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况．]2．一商店有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为() A．0.55B．0.39C．0.68D．0.61B[中奖的概率为0.05＋0.16＋0.40＝0.61，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.61＝0.39．]3．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%．已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为()A．19%B．26%C．68%D．75%C[该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%，故选C．]4．从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是() A．至少有一个是奇数和两个都是奇数B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数D．恰有一个偶数和没有偶数D [对于A，至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以A 错误；对于B，至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥，且为对立事件，所以B 错误；对于C，至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以C 错误；对于D，恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件，且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事件互斥且不对立，所以D 正确．综上可知，故选D．]5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B 表示“出现小于5的点数”，若B 表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B 发生的概率为()A．13B．12C．23D．56C[掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13．∵B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23．]二、填空题6．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量(mm)(100,150)(150,200)(200,250)(250,300)概率0.210.160.130.12则年降水量在(200,300)(mm)范围内的概率是．0．25[设年降水量在(200,300)，(200,250)，(250,300)的事件分别为A ，B ，C ，则A＝B ∪C ，且B ，C 为互斥事件，所以P (A )＝P (B )＋P (C )＝0.13＋0.12＝0.25．]7．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼．1500[由题意可得：从池塘内捞出100条鱼，其中有标记的有2条，所以池塘中有标记的鱼的概率为：2100＝150，又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条，所以可以估计该池塘内共有30150＝30×50＝1500条鱼．]8．某城市2021年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为．3 5[由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35．]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2．(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3．(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L 1的人数612181212选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．[解](1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p ＝44100＝0.44．(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L 1的频率0.10.20.30.20.2L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1．同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P (B 1)＜P (B 2)，∴乙应选择L 2．1．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45D[设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25．所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45．]2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．12B．13C．14D．23C[20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝14，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为14．]3．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率为；(2)至少3人排队等候的概率为．(1)0.56(2)0.44[记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：(利用互斥事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：(利用对立事件求概率)记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44．]1．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为；至少取得一个红球的概率为．8151415[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815．由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415．]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160．(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)由已知可得Y＝X2＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310．。

高考数学冲刺复习随机事件考点速查

高考数学冲刺复习随机事件考点速查高考数学对于广大考生来说，是一场重要的战役。

而随机事件作为概率部分的重要基础概念，在高考中占有一定的比重。

在冲刺复习阶段，对这一考点进行速查和巩固，对于提高成绩至关重要。

一、随机事件的定义在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件称为随机事件。

通俗来讲，就是结果具有不确定性的事件。

比如，抛一枚硬币，正面朝上或者反面朝上就是一个随机事件。

二、随机事件的概率随机事件发生的可能性大小的度量就是概率。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个随机事件发生的概率为 0，则表示这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，则表示这个事件一定会发生。

三、随机事件的分类1、必然事件在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件。

例如，太阳从东方升起就是必然事件。

2、不可能事件在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件。

比如，在地球上，向上抛出的物体不受到重力作用就是不可能事件。

3、随机事件既不是必然事件也不是不可能事件的事件就是随机事件。

四、随机事件的运算1、事件的和（并）若事件 A 或事件 B 中至少有一个发生，这一事件称为事件 A 与事件 B 的和（并），记作 A∪B。

2、事件的积（交）若事件 A 和事件 B 同时发生，这一事件称为事件 A 与事件 B 的积（交），记作A∩B。

3、互斥事件若事件 A 和事件 B 不能同时发生，即A∩B ＝∅，则称事件 A 与事件 B 互斥。

4、对立事件若事件 A 和事件 B 满足 A∪B 为必然事件，A∩B 为不可能事件，即 A 的补集为 B，B 的补集为 A，则称事件 A 与事件 B 互为对立事件。

五、随机事件概率的计算1、古典概型如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1/n。

如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A) ＝ m/n。

2020新课标高考艺术生数学复习：随机事件的概率含解析

考点二随机事件的频率与概率(师生共研)
[典例](20xx·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)、继续购买该险种的投保人称为续保人、续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况、得到如下统计表：
求随机事件的概率、要求认真审题、准确辨析事件是互斥的还是对立的、然后建立恰当的数学模型、套用互斥事件、对立事件的概率公式进行求解．
[典例](20xx·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶、每天进货量相同、进货成本每瓶4元、售价每瓶6元、未售出的酸奶降价处理、以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验、每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25、需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)、需求量为300瓶；如果最高气温低于20、需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划、统计了前三年六月份各天的最高气温数据、得下面的频数分布表：
事件间关系的判断方法
对互斥事件要把握住不能同时发生、而对于对立事件除不能同时发生外、其并事件应为必然事件、这些也可类比集合进行理解、具体应用时、可把所有试验结果写出来、看所求事件包含哪几个试验结果、从而断定所给事件的关系．
提醒：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件、是互斥中的特殊情况、但互斥事件不一定是对立事件、“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5、P(A1)>P(A2)、∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8、P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9、P(B2)>P(B1)、∴乙应选择L2.

艺术生百日冲刺数学课件 2.3

【概念方法微思考】 1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
2.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0).
123456

2.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是
A.－13
1 B.3
1 C.2
D.－12
123456
思维升华
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x) ＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
课时作业
提示 T＝2|a|； (2)f(x＋a)＝f1x(a≠0). 提示 T＝2|a|； (3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b). 提示 T＝|a－b|.
基础自测
JICHUZICE
题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数.( × ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( × ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( √ )
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数

艺体生概率统计(文科)百日突围

专题二概率统计（文科）统计【背一背基础知识】一．抽样方法抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．二．用样本估计总体1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于1；2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分.3.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、、n x ，则()121n x x x x n=+++叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、、n x ，则()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；（5）标准差：设n 个数分别为1x 、2x 、、n x ，则s =n 个数的标准差，标准差也可以衡量样本稳定性的强弱. 三.独立性检验（1）分类变量：对于变量的“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量；（2）列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.（3）与表格相比，三维柱形图与二维条形图更能直观地反映出相关数据的总体状况. （4）利用随机变量2K 来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验（5)两个分类变量的独立性检验的一般步骤：①列出两个分类变量的列联表：②假设两个分类变量x 、y 无关系；③计算()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)；④把2K 的值与临界值比较，确定x 、y 有关的程度或无关系. 临界值附表：（1）作出两个变量的散点图，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)回归方程为y bx a =+，其中1221n i ii nii x y nx y b xnx==-=-∑∑=121)()()niii nii x x y y x x ==---∑∑（，a y bx =-.【讲一讲基本技能】1.必备技能：在求解样本的众数、中位数、平均数以及方差时，首先一般要将样本的数据按照一定的顺序进行列举，并根据这些数的定义进行计算；在综合题中求解相应事件的概率时，可以利用树状图作为巩固辅助基本事件的列举，最后在作答时一般利用点列法进行列举.2.典型例题例1【2017课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x===∑，0.212s==≈，18.439≈，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0．01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑，0.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以；（2）（ⅰ）需要；（ⅱ）均值与标准差估计值分别为10．02，0．09．【解析】试题分析：（1）依公式求r ；（2）（i ）由9.97,0.212x s =≈，得抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii ）剔除第13个数据，则均值的估计值为10．02，方差为0．09．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10．02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，0.09≈．例2【2017课标II ，文19】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

《2016艺体生文化课-百日突围系列》基础篇专题17 概率【学生版】

《2016艺体生文化课-百日突围系列》专题17 概率古典概型【背一背基础知识】1．基本事件的特点：（1）同一试验中任何两个基本事件都是互斥．．的；（2）任何事件都可以表示成几个基本．．．．事件的和．．．．． 2．什么叫古典概型？我们将具有（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．3．如何计算古典概型的概率？如果试验的基本事件的总数为n ，随机事件A 所包含的基本事件的个数为m ，则m n 就是事件A 出现的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作为()p A ，即()m p A n=．【讲一讲基本技能】1．必备技能：求古典概型概率的步骤是：（1）求出总的基本事件数；（2）求出事件A 所包含的基本事件数，然后用公式()A p A =所包含的基本事件数总的事件个数计算．在求基本事件的个数时，要做到不重不漏，可以用列举法把基本事件一一牧举出来，也可用排列组合的思想来求．2．典型例题例1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1例2．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示)【练一练趁热打铁】1．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D 2．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A ．81B ．83C ．85D ．87几何概型【背一背基础知识】1．什么叫几何概型？事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，事件A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与形状和位置无关，满足以上条件的试验称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式：()A P A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，A μ表示区域A 的几何度量．【讲一讲基本技能】1．必备技能：解决几何概型问题的关键是对区域Ω和子区域A 选用什么几何度量？是长度？还是面积？体积？这主要根据具体问题来解决．2．典型例题例1．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14例2．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不．在家看书的概率为【练一练趁热打铁】1．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________．2．设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（）A ．3142π+B ． 112π+C ．1142π-D ． 112π-（一）选择题（12*5=60分）1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1202.随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（）A ． 321P P P <<B ． 312P P P <<C ． 231P P P <<D ． 213P P P <<3．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π 4．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）x y O B C DA FA ．16B ．14C ．38D ．125．在10瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这10瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为（）．（结果用最简分数表示） A ．2445 B ．715 C ．115 D ．14156．从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．107．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则时间“310a ->”发生的概率为 ( )A ．23B ．12C ．13D ．无法计算 8．如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（）A ．14π- B ．12π- C ．22π- D ．4π9．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，领边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为(A) 16 (B) 13 (C) 23(D) 4510．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．2311．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．B ．．C ．D ．12．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 (A) 16 (B) 13 (C) 23 (D) 45（二）填空题（4*5=20分）13. 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________.14．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．15．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．【文】16．从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为．【理】16．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．yy=e xy=lnx O x：。

高考数学艺体生文化课第十章概率与统计第1节随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)课件

C. 1 1 2π
D. 1 1 4 2π
【答案】 D
【解析】 | z | (x 1)2 y2 1,即(x 1)2 y2 1, 表示的是圆及其内部, 如图所示.当 | z | 1时, y x表示的是图中阴影部分,
S圆

π 12

π, S阴影

π 4

1 2
12

()
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
6
4
3
2
【答案】 D 【解析】设两位男同学分别为B1，B2，两位女同学分别为G1，G2. 根据列举法，两位男同学跟两位女同学排成一列可能会出现的情况有：
B1B2G1G2，B1B2G2G1，B1G1B2G2，B1G1G2 B2，B1G2G1B2，B1G2 B2G1， B2 B1G1G2，B2 B1G2G1，B2G1B1G2，B2G2 B1G1，B2G1G2 B1，B2G2G1B1， G1G2 B1B2，G1B1G2 B2，G1 B2G2 B1，G1B1B2G2，G1B2 B1G2，G1G2 B2 B1， G2G1B1B2，G2G1B2 B1，G2 B1G1B2，G2 B1B2G1，G2 B2 B1G1，G2 B2G1B1，共24种. 其中，两位女同学相邻的情况有：
所占百分比为P 23 63.89%. 36
专题训练
1.(2018新课标Ⅱ卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社
区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 ( )
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
【答案】 D 【解析】从5人中任选2人, 共10种可能,选中两个都是女的共3种可能, 所以概率为0.3.

202X届高考(理)总复习资料：第10章第4讲随机事件的概率

互斥若A∩B为________事件，则事件A 事件与事件B互斥
对立事件
若A∩B为________事件，A∪B为 ________事件，则称事件A与事件 B互为对立事件
符号表示 ______ (或______)
A∩B＝∅
A∩B＝∅且 A∪B＝Ω
怎样区分互斥事件和对立事件？
对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是 ________________；互为对立事件的是________．
关系事件B相等
并事件 (和事件)
若某事件发生________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件( 或和事件)
________ (或______)
________
______ (或______)
名称
定义
交事件 (积事件)
若某事件发生当且仅当_________ _______，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
(1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和 3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为________．
(2)国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中 7～10环的概率如表所示：
机事件的概率．
判一判：①× ②× ③× ④√
2．发生一定发生 B⊇A A⊆B A⊇B A＝B 当且仅当事件A发生或事件B发生 A∪B A＋B 事件A发生且事件B 发生 A∩B AB 不可能不可能必然
想一想：提示：在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件．

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（二十三）随机事件的概率
1．若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是
A ．互斥不对立
B ．对立不互斥
C ．互斥且对立
D ．不互斥、不对立
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160，175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为
2.0.A
3.0.B 7.0.C 8.0.D
3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3％，则抽验一件是正品（甲级品）的概率为
95.0.A 97.0.B 92.0.C 08.0.D
4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为
40.0.A 30.0.B 60.0.C 90.0.D
5．从存放号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到卡片的号码为奇数的频率是
53.0.A 5.0.B 47.0.C 37.0.D
6．若A 、B 为互斥事件，,7.0)(,4.0)(=⋃=B A P A P 则=)(B P
7．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知==)(,21)(B P A P ,6
1则出现奇数点或2点的概率为
8．某学校有篮球队、羽毛球队和乒乓球队，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图23 -1所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．。