师大附中高一自主招生考试数学测试题及参考答案

师大附中2014年高一自主招生考试

数学测试题

本卷满分150分 考试时间120分钟

题号 一 二 三

总 分 复 核 1 2 3 4 5 得分 阅卷教师

一、选择题（每小题6分，共30分。每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）

1、下列图中阴影部分面积与算式2

131242-⎛⎫

-++ ⎪⎝⎭

的结果相同的是………………【 】

2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】

① 实数不是有理数就是无理数；② a ＜a ＋a ；③121的平方根是 ±11；④在实数范围内， 非负数一定是正数；⑤两个无理数之和一定是无理数

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4

3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知：父母买全票，女儿按

半价优惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费。若这两家旅行社每人的原标价相同，那么……………………………………………………………………【 】

A 、甲比乙更优惠

B 、乙比甲更优惠

C 、甲与乙相同

D 、与原标价有关 4、如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右

滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为【 】

A 、2π

B 、π

C 、32

D 、4

5、平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m n + 等于……………………………………………………………………………【 】 A 、36 B 、37 C 、38 D 、39

二、填空题（每小题6分，共48分）

1、甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲、乙两人的速度和为32.5千米/时，则经过 小时，两人相遇。

2、若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 。

3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50％、20％和30％的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 。

笔试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙

90

88

90

4、已知点A 是一次函数x y =的图像与反比例函数x

y 2

=的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OB OA =（O 为坐标原点），则AOB ∆的面积为 。

5、如果多项式2

12x px ++可以分解成两个一次因式的积，那么整数p 的值是 。

6、如右图所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足。延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP =x （01x ≤≤），△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数

是 。

7、已知12x x ，为方程2

420x x ++=的两实根，

则3

121455x x ++= 。

8、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多 道。

三、解答题（本大题6小题，共72分）

1、（10分）在ABC ∆中，AC AB =， 45=∠A 。AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连结CD ，如果1=AD ，求：BCD ∠tan 的值。

2、（12分）某公司为了扩大经营，决定购买6台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所需的资金不能超过34万元。

甲 乙 价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个）

100

60

⑴ 按该公司的要求，可以有几种购买方案？

⑵ 若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，为了节约资金，应选择哪种购买方案？

3、（12分）如图所示，已知边长为4的正方形钢板有一个角锈蚀，其中2=AF ，1=BF 。为了合理利用这块钢板．将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率。

4、（12分）如图所示等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD CB =,对角线AC 与BD 交于O ,60ACD ∠=, 点S P Q 、、分别是OD OA BC 、、的中点。

求证：△PQS 是等边三角形。

5、（12分）如右图，直线OB 是一次函数2y x =的图像，点A 的坐标是（0，2），点C 在直线OB 上且△ACO 为等腰三角形，求C 点坐标。

6、（14分）已知关于x 的方程018)13(3)1(2

2

=+---x m x m 有两个正整数根（m 是整数）。

△ABC 的三边a 、b 、c 满足32=c ，0822=-+a m a m ，082

2=-+b m b m 。

求：⑴ m 的值；⑵ △ABC 的面积。

师大附中2014年高一自主招生考试

数学试题参考答案

一、1、B ，2、B ，3、B ，4、C ，5、B

二、1、2 2、41≤≤x 3、甲、乙 4、2 5、7,8,13±±±6

242)x x -+ 7、7 8、20 三1、有已知可得CDE ADE ∆∆和均为等腰直角三角形，计算得12-=BD ，在直角三角形BCD 中，12tan -==

∠CD

BD

BCD 。 2、（1）设购买x 台甲机器，则34)6(57≤-+x x ，所以2≤x 。即x 取0、1、2三个值，有三种购买方案：①不购买甲机器，购6台乙机器；②购买1台甲机器，5台乙机器；③购买2台甲机器，购4台乙机器。 （2）按方案①，所需资金3056=⨯（万元），日产量为360606=⨯（个）；按方案②，所需资金325571=⨯+⨯（万元），日产量为

4006051001=⨯+⨯（个）

；按方案③，所需资金为344572=⨯+⨯（万元），日产量为4406041002=⨯+⨯（个）。所以，选择方案②。

3、如图所示，为了表达矩形MDNP 的面积，设 DN ＝x ，PN ＝y ，则面积 S ＝xy ， ① 因为点P 在AB 上，由△APQ ∽△ABF 得

2

1

)4(24=---x y ，即y x 210-=． 代入①，得y y y y S 102)210(2

+-=-=，

即2

25

)25(22+--=y S ．

因为3≤y ≤4，而y ＝25不在自变量的取值范围内，所以y ＝2

5

不是最值点，

当y ＝3时，S ＝12；当 y ＝4时，S ＝8．故面积的最大值是S ＝12．

此时，钢板的最大利用率是80％。 4、连CS 。

∵ABCD 是等腰梯形，且AC 与BD 相交于O ，

∴AO=BO,CO=DO.

∵∠ACD=60°，∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是OD 的中点，∴CS ⊥DO.

在Rt △BSC 中，Q 为BC 中点，SQ 是斜边BC 的中线，∴SQ=12

BC. 同理BP ⊥AC.

在Rt △BPC 中，PQ=12

BC.

又SP 是△OAD 的中位线，∴SP=1

2

AD=12

BC.

∴SP=PQ=SQ.

故△SPQ 为等边三角形.

5、若此等腰三角形以OA 为一腰，且以A 为顶点，则AO=AC 1=2. 设C 1（,2x x ），则得222(22)2x x +-=，解得85x =，得C 1（816

,55

）

若此等腰三角形以OA 为一腰，且以O 为顶点，则OC 2=OC 3=OA=2. 设C 2（'',2x x ），则得'2'22(2)2x x +=

，解得'x =得C 2

又由点C 3与点C 2关于原点对称，得C 3

（ 若此等腰三角形以OA 为底边，则C 4的纵坐标为1，从而其横坐标为1

2

，得C 4（1,12

）. 所以，满足题意的点C 有4个，坐标分别为：

（816,55），

，

（，C 4（1,12） 6、（1）方程有两个实数根，则012

≠-m ，解方程得

161+=m x ，13

2-=m x ．由题意，得11,2,3,6,11,3,m m +=⎧⎨-=⎩ 即⎩

⎨⎧==.4,2,5,2,1,0m m

故2=m ．

（2）把2=m 代入两等式，化简得0242

=+-a a ，0242

=+-b b ，

Q

N

M

P

A

F B

C

D E