不规则几何体体积计算中的三钟方法例析

体积计算中的常用方法

一、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =，112A N ND =，1134

A P A A =

（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积． 分析：若用公式13V Sh =

直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥1A MNP -的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P A MN -的体积，便能很容易的求出其高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解．

解：

11131111111112313323223424

A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===⨯=⨯⨯=△·······． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．

二、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 分析：截面11EB C F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台

A

B 111AEF A B

C -；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．

则三角形AEF 的面积为14

S ． 由于1111734

212AEF A B C S S V h S Sh -⎛⎫=++= ⎪⎝⎭··， 则剩余不规则几何体的体积为111751212

AEF A B C V V V Sh Sh Sh -'=-=-

=， 所以两部分的体积之比为111:7:5AEF A B C V V -'=． 评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算． 三、补形法

例3 已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,

ο60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。

例4 如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分，

已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，求几何体EFGH ABCD -的体积。