高数极限讲解

内容小结
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续
初等函数在 定义区间内 连续
说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
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思考与练习
续? 反之是否成立? 提示: “反之” 不成立 .反例 x 为有理数 x 为无理数
v( x)
e
e
lim v( x) u ( x)
x x0
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例5. 设 讨论复合函数 的连续性 .
x 1 x, ( x) x 4 , x 1
解:
2 ( x),
( x) 1
2 ( x) , ( x) 1
lim f [ ( x)] lim x 2 1
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思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 , S ( ) A
o
S ( )

x
故由介值定理可知:
A 0 ( , ) , 使 S ( 0 ) . 2
二分法


1 2
0
1 x
3 4
则 ( 1 , 3 ) 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 2 4
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例2. 设 f (x) 在 对任意的
使 证: 令
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
,则
f ( x1 ) f ( x2 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )]2 0

故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
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第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
第一章
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一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
x 1
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x2 ,
x 1
2 x , x 1
x 1 时 f [ ( x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
x 1
x 1
lim f [ ( x)] lim (2 x) 3
x 1
故
在点 x = 1 不连续 , x = 1为第一类间断点 .
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例如,
y 1 x 的连续区间为
2
(端点为单侧连续)
y ln sin x 的连续区间为
而 y
cos x 1 的定义域为
因此它无连续点
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例2. 求
解: 原式 例3. 求 解: 令 t a 1, 则 x log a (1 t ) , t 原式 lim t 0 log a (1 t )
x R * 上连续 . 在
y
1 y sin x
o
x
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例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
根据连续函数运算法则 , 可知 连续 .
也在
上
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二、初等函数的连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续
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备用题 确定函数 f ( x)
解: 间断点 x 0 , x 1
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
x0
x , f ( x) 0 当 x 1 时, 1 x x , f ( x) 1 当 x 1 时, 1 x
y
证: 作辅助函数
y f (x)
( x) f ( x) C
则 ( x ) C [ a , b ] , 且
B C A
(a) (b) ( A C )( B C )
o a

b x
使 故由零点定理知, 至少有一点 即 必取得介于最小值与最 推论: 在闭区间上的连续函数 大值之间的任何值 .
在
内连续 .
y sin( x x) sin x
y 2
x sin 2
cos( x
x ) 2
x
即 这说明 在 在
x 0
0
内连续 .
同样可证: 函数
内连续 .
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二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 不连续 : 无定义 ; 之一函数 f (x) 在点 (1) 函数 在
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
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若其中有一个为振荡 , 称
例如:
y
y tan x
2
为其无穷间断点 . x 2
o
x
y
1 y sin x
x 0 为其振荡间断点 .
y
0
x
x 1 为可去间断点 .
x x0 x x0
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对自变量的增量 函数
x x0
有函数的增量 连续有下列等价命题:
x 0
在点
lim f ( x) f ( x0 )
x 0
lim f ( x0 x) f ( x0 )
lim y 0

y y f (x)
y
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )
左连续 右连续
x
o
x0
x x
0 , 0 , 当 x x0 x 时, 有 f ( x) f ( x0 ) y
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例. 证明函数 证: x ( , )
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [ a , b ] , 则 1 , 2 [ a , b ] , 使
f (1 ) min f ( x)
a xb
y y f (x)
f ( 2 ) max f ( x)
a xb
(证明略)
o a 1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
第一章
第八节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义
二、 函数的间断点
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一、 函数连续性的定义
定义: 设函数 在 的某邻域内有定义 , 且
则称函数 f ( x) 在 x0 连续. 可见 , 函数 (1) (2) 极限 (3) 在点 在点 x0 连续必须具备下列条件:
有定义 , 即
o 1
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x
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x , x 1 (4) y f ( x) 1 2 , x 1
显然 lim f ( x) 1 f (1)
x1
y
1
1 2
x 1 为其可去间断点 .
x 1 , x 0 (5) y f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0
处处间断,
处处连续 .
作业
P68 3 (5) , 4 (4) ,
(6) , (7) ; (5) ,(6) ;
第十节 目录 上页
5
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第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理
二、介值定理
第一章
*三、一致连续性
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一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
M
y f (x)
上有界 .
m o a 1 2
y
y f (x)
b
x
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点
( 证明略 )
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o
a

b x
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定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A , f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
上也连续单调递增.
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 证: 设函数 即 于是 且 ( x0 ) u0 .
lim f (u )
uu0
f [ ( x0 )]
故复合函数
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例如,
是由连续函数链
x R*
复合而成 , 因此
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例如, 无最大值和最小值
y 1
又如,
o
1
x
y
2
1
也无最大值和最小值
o
1
2
x
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推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
x[ a , b ]
由定理 1 可知有
x[ a , b ]
M max f ( x) , m min f ( x) y
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续 定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单调 递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
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例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明:
在区间 又 使
内至少有
即
x 1 , f (1) 1 0 , 2 2 8
则 ( 1 ,1) 内必有方程的根 ; 2
取 的中点 x 3 , f ( 3 ) 0 , 4 4
存在 ;
存在 ;
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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ]. ( 有理整函数 ) 在 上连续 .
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
例如,
又如, 有理分式函数 在其定义域内连续.
) 只要 Q( x0 ) 0 lim lim x ) x0 ( , ), , 都有 P( x)R( P)( x0 R( x0 continue
(2) 函数
(3) 函数
在
在
x x0
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
不存在; 存在 , 但
lim f ( x) f ( x0 )
称为间断点 .
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这样的点
间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
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思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 时 为
连续函数.
提示: 3. P64 题 2 , P65 题 5
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P65 题5 提示:
作业
P64 3 ; 4
但不一致连续 . 取点 可以任意小
在 ( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 上一致连续.
(证明略)
定理. 思考: P73 题 6 提示: 设
存在, 作辅助函数 显然
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内容小结
在 在 在 4. 当
上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
机动
o
1
x
y
1
o
f (0 ) 1,

f (0 ) 1

1
x
x 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在 振荡间断点
x
说明: 当
时, 有
ln(1 x) ~ x
ex 1 ~ x
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例4. 求
解: 原式
3 sin x ln(1 2 x )
3 2x x
说明: 若 lim u ( x) 0 , lim v( x) , 则有
x x0 x x0
x x0
lim 1 u ( x)
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
小结
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*三. 一致连续性
已知函数
在区间 I 上连续, 即:
一般情形, 与 , x0 都有关 . 了一致连续的概念 . 定义: 都有 在 I 上一致连续 . 显然:
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就引出 对任意的
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例如,
因为 则 但 这说明