2 - 频谱和单位脉冲函数

函数
函数定义在区间(-∞，∞)上，满足

(t ) 0

t 0 t0


(t )dt 1
函数
将函数的奇异点移到t=t0

(t t0 ) 0

t t0 t t0


(t t )dt 1
0
函数
函数可以看作如下函数的极限
的振幅频谱和相位频谱。
例1. 求单边指数衰减函数
e t f (t ) 0
ˆ ( ) 解： f
t0 ( 0) t0
的振幅频谱和相位频谱。
1 j 2 2 j
振幅频谱和相位频谱分别为 1 ˆ ˆ | f ( ) | arg f ( ) arctan 2 2
1
例2. 证明

1 H (t ) ( ) j
t0 1 t0 j
注意到 1 2 ( ) ，只需证明
1 2 g (t ) 1 2

充分利用已有的结果 在单独一个点t=0处的取值变化不
影响积分
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换
1 H (t )= (sgn t 1) 2
例4. 求如下符号函数的Fourier变换
1 sgn t 1
解：
t 0 t0
sgn t =2H (t ) 1 1 而 H (t ) ( ) j 1 2 ( ) 因此， 2 sgn t j
习题：
P54-55
a
性质1. 函数是偶函数。 证明1：由定义知
(-t ) 0

t 0 t0
(-t )dt 1
(-t )= (t )
也符合函数的定义，可见
性质1. 函数是偶函数。 证明2：利用筛选性质，设C(-∞，∞)


(-t ) (t )dt = ( s) (s)ds
☺
广义函数论中也用筛选性质来定义

函数，即满足
-
(t t ) (t )dt (t )，
0 0
的函数称为函数。这两个定义等价。
☺
广义函数论中也用筛选性质来定义

函数，即满足
-
(t t ) (t )dt (t )，
0 0
的函数称为函数。这两个定义等价。 ☺ 筛选的点恰好为(t-t0)的奇异点
j

即
sin at j ( a) j ( a)
例4. 求如下符号函数的Fourier变换
1 sgn t 1
t 0 t0
例4. 求如下符号函数的Fourier变换
1 sgn t 1
t 0 t0
分析： 从图像上看，sgnt 向上平移一
个单位再压缩 1/2 即得到 H(t)。即
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换

f(t)=cosat 不是绝对可积函数， 寻找和余弦相关的已有结果
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换

f(t)=cosat 不是绝对可积函数， 寻找和余弦相关的已有结果
e
j0t
2 ( 0 )
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换
例2. 证明
1 H (t ) () j
例2. 证明
1 H (t ) () j
证明：对右边做Fourier逆变换
1 1 1 jt 1 jt F [ ( )]= e d ( )e d j 2 j 2 1 cos t j sin t 1 Euler公式= d 2 j 2 1 sin t 1 函数奇偶性 d 0 2 Dirichlet公式=H (t )
0
t0 t t0 其它


(t t ) (t )dt = lim (t t ) (t )dt
0+ 0
1 lim 0+ 2
t0
t0
t0
(t )dt
积分中值定理 lim ( ) (t0 )

= (t )dt
0
(0)
可知结论成立。
= (t ) (t )ds


性质4. 函数有任意阶导数，对(-∞，∞)
上的具有n阶连续导数的函数，有



(t t0 ) (t )dt =(1) (t0 )
(n) n ( n)
性质4. 函数有任意阶导数，对(-∞，∞)
频谱
设f为(-∞，∞)内的非周期函数，

ˆ f ( t ) f ( )。 ˆ f ( )； 频谱密度： F
振幅频谱： 相位频谱：
ˆ ( )|； |f ˆ ( ) arg f
例1. 求单边指数衰减函数
e t f (t ) 0
t0 ( 0) t0

(0) = (t ) (t )ds
由上述引理可知

(-t )= (t )
性质2. 设函数g在t0的邻域连续，则
g (t ) (t -t0 )=g (t0 ) (t -t0 )
特别地，g(t0)=0时，
g (t ) (t -t0 )=0

性质2意味着t0之外的相乘不起作用
上的具有n阶连续导数的函数，有




(t t0 ) (t )dt =(1) (t0 )
(n) n ( n)
分部积分法是将一个函数的导数转
移到另一个函数上的有效方法
性质5. 函数的Fourier变换与逆变换
(t t0 ) e jt0 (t ) 1 e j0t 2 ( 0 ) 1 2 ( )

仍然记作
0+
lim (t ) (t )
定理(筛选性质)：
记C(a,b)为[a,b]上连续函数全体，
对任意C(a,b)，有
(t t ) (t )dt (t )，
0 0 a
b
at b
(a,b)=(-∞，∞)时，

-
(t t ) (t )dt (t )
0 0 0 0 0
因此， g (t ) (t -t0 )=g (t0 ) (t -t0 )
性质3. 单位阶跃函数的导数
H (t ) (t )
其中，
1 H (t ) 0
t0 t0
性质3. 单位阶跃函数的导数
H (t ) (t )
其中，
1 H (t ) 0
1 (t ) 0
1 2 (t ) 0
......
0 t 其它
- t 其它
弱收敛
函数是广义函数，此处的收敛指弱收敛，
对任意(-∞，∞)上的连续函数，

0+
lim

(t ) (t )dt (t ) (t )dt
0 0
☺
事实上，只需要公式

-
(t t ) (t )dt (t )，
0 0
为什么？
☺
事实上，只需要公式
ห้องสมุดไป่ตู้
-
(t t ) (t )dt (t )，
0 0
为什么？

对于C(a,b)中函数，作如下扩充
(a)， t a (t ) (t )， a t b (b)， b t
t0 t0
☺ ☺
这也可以作为函数的等价定义 也可以这样理解
1 ( s)ds = 0
t
t0 t0
性质3. 单位阶跃函数的导数
H (t ) (t )
证明：任取连续可微，满足 lim (t )=0 t H ( t ) ( t ) dt = H ( t ) (t )dt
函数的性质
回顾如下引理：
f为广义函数，若对任意C(a,b)，
b
f (t ) (t )dt 0
则f(t)0，a<t<b。
a
函数的性质
回顾如下引理：
f为广义函数，若对任意C(a,b)，
b
f (t ) (t )dt 0
则f(t)0，a<t<b。 注：广义函数的性质都在“弱”意义下， 即如上套上积分。
7、8（1，2，3，4）、9
可得
j0t
cos at ( a) ( a)
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换

类似地，由
可得
2 ( 0 ) 1 jat jat sin at (e e ) 2j e
sin at
j0t

j
( a) ( a)
☺
广义函数论中也用筛选性质来定义

函数，即满足
-
(t t ) (t )dt (t )，
0 0
的函数称为函数。这两个定义等价。 ☺ 筛选的点恰好为(t-t0)的奇异点
☺
函数的积分值称为冲击强度： A(t-t0)的冲击强度为A
证明：取
1 2 (t t0 ) 0
性质2. 设函数g在t0的邻域连续，则
g (t ) (t -t0 )=g (t0 ) (t -t0 )
特别地，g(t0)=0时，
g (t ) (t -t0 )=0
证明：设C(-∞，∞)，则由筛选性质


[ g (t ) g (t )] (t -t ) (t )dt =[ g (t ) g (t )] (t ) 0
性质5. 函数的Fourier变换与逆变换
(t t0 ) e jt0 (t ) 1 e j0t 2 ( 0 ) 1 2 ( )

由性质5，不可作Fourier变换的某些 函数有广义Fourier变换，如f(t)=1
F [1] 2 () 不是绝对可积的，

f(t)=cosat 不是绝对可积函数， 寻找和余弦相关的已有结果
e

j0t
2 ( 0 )
利用Euler公式
1 jat jat cos at (e e ) 2
例3. 求f(t)=cosat 的Fourier变换 解： 注意到
2 ( 0 ) 1 jat jat cos at (e e ) 2 e