立体几何求体积方法总结及习题演练(精)

立体几何求体积大题

立体几何中有关体积问题一、知识归纳一、知识归纳1、柱体体积公式：.V S h =2、椎体体积公式：1.3V S h =3、球体体积公式：343V R π=二、点到平面的距离问题二、点到平面的距离问题求解方法：求解方法：1、几何法：等体积法求h2、向量法：、向量法：点A 到面α的距离AB nd n•=u u u u r r r其中，n →是底面的法向量，点B 是面α内任意一点。

内任意一点。

题型分析：题型分析：1、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥,1AB BB ⊥12AC BC BB ===,D 为AB 中点，且1CD DA ⊥（1）求证：1BB ABC ⊥平面（2）求证：1BC ∥平面1CA D (3)(3)求三棱椎求三棱椎11-A B DC 的体积的体积2、如图，在四棱锥E ABCD -中，ADE ∆是等边三角形，侧面ADE ABCD ⊥地面,AB ∥DC ，且，且2435BD DC AD AB ====，，.（1）若F 是EC 上任意一点，求证：面BDF ADE ⊥面(2)(2)求三棱锥求三棱锥C BDE -的体积。

的体积。

3、如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别为1DD DB 、的中点。

的中点。

（1）求证：EF ∥平面11ABC D (2) (2)求证求证1EF B C ⊥ （2）求三棱锥1B EFC -的体积。

1A 1B 1C A DCB1A 1B 1C AECBDF1D A ECBDF4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

的体积。

5、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．的高．6、如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点。

立体几何求体积专题精编版.doc

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯文科立体几何体积专题1、如图 5 所示，在三棱锥P ABC 中，AB BC 6 ，平面PAC 平面 ABC ，PD AC 于点 D ， AD 1 ，CD 3 ， PD 2 ．（ 1）求三棱锥P ABC 的体积；（2）证明△ PBC 为直角三角形．PAD CB2、如图， E 为矩形 ABCD所在平面外一点，AD平面ABE，图5AE=EB=BC=2， F 为 CE是的点，且BF平面ACE，AC BD G（1 ）求证：AE平面BCE；（2）求三棱锥C— BGF的体积。

3、如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD AC DE 2 AB =1，且EF 是 CD 的中点．AF 3 B（Ⅰ）求证： AF ∥平面 BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； A(III)求此多面体的体积．C DF(18 题图 )4、在如图 4 所示的几何体中，平行四边形ABCD的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a，AP CP 2a ，DP // AM，且 AM 1DP ， E, F 分别为 BP, CP 的中点. 2(I)证明：EF //平面ADP ;(II)求三棱锥M ABP 的体积.5、在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1 D1中,E是线段 A1C1的中点, 底面 ABCD的中心是 F.(1)求证 : CE BD；(2) 求证 : CE∥平面A1BD；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6、矩形 ABCD 中， 2AB AD ，E 是 AD 中点，沿 BE 将 ABE 折起到 A ' BE的位置，使 ''D ， F 、 G 分别是 BE 、 CD 中点 .AC A （ 1）求证： A F ⊥ CD ；（ 2）设 AB2，求四棱锥 A BCDE 的体积 .7 、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面是边长为2 的正方形，侧面 PAD 底面 ABCD ，且A B C DP A P D2A ，D 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点 .2（ 1）求证： EF ∥平面 PAD ；（ 2）求证：平面 PDC 平面 PAD .（ 3）求四棱锥 P ABCD 的体积 V P ABCD .8、如图 , 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1 中， AC 3 ， BC 4， AB 5 , AA 1 4 ，点 D 是 AB 的中点，（ 1）求证： AC BC 1 ；（ 2）求证： AC 1 // 平面 CDB 1 ；（ 3）求三棱锥 C 1 CDB 1 的体积。

立体几何体积表面积题型总结

立体几何体积表面积题型总结全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于日常生活和各种工程领域。

在考试中，经常会出现与立体几何体积和表面积相关的题型，考查学生的综合能力和解题技巧。

本文将对关于立体几何体积表面积题型进行总结，希望能帮助读者更好地掌握相关知识。

在解立体几何体积表面积题型时，首先需要了解各种常见几何体的体积和表面积公式。

下面是一些常见几何体的体积和表面积公式：1. 立方体：- 体积公式：V = a³ （a为边长）- 表面积公式：S = 6a²了解以上公式是解立体几何体积表面积题目的基础，接下来需要根据具体题目的要求灵活运用这些公式。

在解题过程中，可以遵循以下一般步骤：1. 画图：根据题目绘制准确的图形，有助于理清思路和分析问题。

2. 确定参数：明确各个参数的含义，包括边长、半径、高等。

3. 应用公式：根据具体题目要求，选择合适的体积和表面积公式进行计算。

4. 计算验证：将得到的具体数值代入公式进行计算，并进行验证。

5. 总结解法：总结解题过程，确保计算结果正确且符合题目要求。

在解题过程中，有一些常见的考点和技巧也是需要注意的，下面列举一些常见的题型及解题技巧：1. 混合体积问题：有时题目会涉及到多种几何体的组合，需要将各个部分的体积分别计算，然后相加得到总体积。

2. 变换题型：有些题目需要根据给定条件进行变换，例如将一个正方体切割成若干小正方体，需要注意每个小正方体的边长与体积的关系。

3. 边长、半径的关系：根据题目给定的条件，需灵活利用边长、半径之间的关系来求解问题。

4. 知己知彼：要根据具体题目的特点选择合适的解题方法，不要死记硬背，要有灵活应对的能力。

5. 多维度思考：对于复杂的题目，可以通过多种角度进行思考，可以更快地找到解题思路。

第二篇示例：立体几何体积和表面积是几何学中非常重要的概念，它们广泛应用于工程、建筑、物理学和计算机图形学等领域。

立体几何形的体积计算知识点总结

立体几何形的体积计算知识点总结体积是立体几何形的一个重要属性，它用来描述一个物体所占的空间大小。

在几何学中，我们经常需要计算不同形状的物体的体积。

为了更好地理解和掌握立体几何形的体积计算，我们需要掌握一些基本的知识点。

本文将根据不同的几何形状，总结一些常用的体积计算公式和方法。

一、正方体的体积计算正方体是最简单的立体几何形之一，它的六个面都是正方形。

计算正方体的体积非常简单，只需要将正方体的边长乘以自身再乘以自身即可。

即体积=边长×边长×边长。

例如，一个边长为5厘米的正方体的体积为5×5×5=125立方厘米。

二、长方体的体积计算长方体是更常见的一种立体几何形，它的六个面中，相对的两个面是相等的长方形。

计算长方体的体积也非常简单，只需要将长方体的长、宽和高相乘即可。

即体积=长×宽×高。

例如，一个长10厘米，宽6厘米，高8厘米的长方体的体积为10×6×8=480立方厘米。

三、圆柱体的体积计算圆柱体是一个底面为圆形的立体几何形。

要计算圆柱体的体积，需要知道底面的半径和高。

计算公式为体积=底面积×高=π×半径的平方×高。

例如，一个底面半径为3厘米，高为6厘米的圆柱体的体积为3.14×3×3×6=169.56立方厘米。

四、球体的体积计算球体是一个所有点到球心的距离都相等的立体几何形。

计算球体的体积需要知道球的半径。

计算公式为体积=4/3×π×半径的立方。

例如，一个半径为4厘米的球体的体积为4/3×3.14×4×4×4=268.08立方厘米。

五、锥体的体积计算锥体是一个底面为圆形，顶点与底面圆心相连的立体几何形。

计算锥体的体积需要知道底面的半径和高。

计算公式为体积=1/3×底面积×高=1/3×π×半径的平方×高。

求立体几何形的体积的方法总结

求立体几何形的体积的方法总结立体几何形的体积计算方法总结立体几何形体积的计算是数学中的重要内容。

很多地方需要用到立体几何体积的计算方法，例如建筑、机械、化学等各个领域。

下面将对常见的几何体体积计算方法进行总结和介绍。

1. 直体的体积计算方法直体是指由两个平行的底面和沿着这两个底面的侧面组成的几何物体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

由于其底面和侧面的性质很稳定，直体的体积计算方法比较简单，一般采用公式计算即可。

如：（1）长方体的体积计算公式为V= lwh，其中l、w、h分别为长方体的长、宽和高。

（2）正方体的体积计算公式为V= a^3，其中a为正方体的边长。

（3）圆柱体的体积计算公式为V= πr^2h，其中r为圆柱体的底面半径，h为圆柱体的高。

（4）圆锥体的体积计算公式为V= 1/3 πr^2h，其中r为圆锥体的底面半径，h为圆锥的高。

以上公式计算的是标准形状的直体，如果是不规则形状的直体，可以将其划分为一些标准形状，然后分别计算，再将它们的体积相加。

2. 曲体的体积计算方法与直体不同，曲体是由曲面和两个端面（底面和顶面）组成的，如球体、棱锥、棱台、棒球棒等。

由于曲面的性质比较复杂，因此曲体的体积计算方法也相对较为复杂。

（1）球体的体积计算公式为V= 4/3 πr^3，其中r为球体的半径。

（2）棱锥的体积计算公式为V= 1/3 Sbh，其中S为底面的面积，b为底边长，h为高。

（3）棱台的体积计算公式为V= 1/3 h（S1+S2+√S1S2），其中S1、S2分别为上下底面的面积。

（4）棒球棒的体积计算需要将其分解为许多简单的几何图形，如圆台、圆柱、球等，然后分别计算它们的体积，再将其相加。

3. 复合体的体积计算方法复合体是由多个几何图形组成的，如汽车、火车等复杂的机械产品，通过将其分解成为多个简单的几何图形，每个几何图形计算体积，最后加和，来求出总体积。

总之，立体几何形的体积计算方法根据几何形状的不同而有所不同，有些体积计算公式比较简单，有些比较复杂。

习题范例解决立体几何中的体积问题

习题范例解决立体几何中的体积问题在立体几何的学习中，计算体积是一个重要的问题。

体积表示了一个立体物体所占据的空间大小，它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

为了更好地理解和解决立体几何中的体积问题，本文将通过一些习题范例来进行详细的解析。

1. 三棱柱的体积计算题目：一个三棱柱的底面是一个边长为5cm的等边三角形，高度为8cm。

求这个三棱柱的体积。

解析：首先计算底面的面积。

由于等边三角形的面积公式为 (边长)^2 * √3 / 4，代入数值计算得到底面面积为(5^2 * √3) / 4 = 10.83cm^2。

然后将底面面积乘以高度，即可得到体积。

计算结果为 10.83cm^2* 8cm = 86.64cm^3。

因此，这个三棱柱的体积为 86.64cm^3。

2. 圆柱的体积计算题目：一个圆柱的底面半径为4cm，高度为10cm。

求这个圆柱的体积。

解析：圆柱的面积公式为π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为π * 4cm^2 * 10cm = 125.66cm^3。

因此，这个圆柱的体积为 125.66cm^3。

3. 球的体积计算题目：一个球的半径为6cm。

求这个球的体积。

解析：球的体积公式为4/3 * π * (半径)^3。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为4/3 * π * 6cm^3 = 904.78cm^3。

因此，这个球的体积为 904.78cm^3。

4. 锥体的体积计算题目：一个锥体的底面半径为3cm，高度为5cm。

求这个锥体的体积。

解析：锥体的体积公式为1/3 * π * (半径)^2 * 高度。

代入数值进行计算，即可得到体积。

计算结果为1/3 * π * 3cm^2 * 5cm = 15.71cm^3。

因此，这个锥体的体积为 15.71cm^3。

通过以上习题范例的解析，我们可以看到，计算立体几何中的体积问题需要根据不同的几何体选择相应的公式进行计算。

高考数学中的立体几何体积

高考数学中的立体几何体积在高考数学中，立体几何是我们必须要掌握的一项知识。

其中，计算各种立体几何的体积也是一项非常重要的技能。

那么，在立体几何中，我们应该如何计算体积呢？本文将详细探讨这个问题，帮助大家更好地掌握立体几何的体积计算知识。

1. 三棱锥体积的计算我们先来看一下三棱锥体积的计算。

三棱锥是指顶点为三角形顶点，底面为三角形的锥体。

计算三棱锥体积的公式为：$V =\frac{1}{3}S_hh$，其中$S_h$为底面积，$h$为高。

我们可以通过以下例题来更好地理解三棱锥体积的计算方法：如图所示，底面为边长为$3$的等边三角形，高为$4$，求此三棱锥的体积。

解：首先，我们需要求出三角形的面积$S$。

由于此三角形是等边三角形，因此可以使用海伦公式计算其面积：$$S=\sqrt{3}\times\frac{(3+3+3)}{2}\times\frac{(3+3-3)}{2}=3\sqrt{3}$$由此，我们可以得到该三棱锥的体积$V$：$$V=\frac{1}{3}S_hh=\frac{1}{3}\times3\sqrt{3}\times4=4\sqrt{3} $$因此，该三棱锥的体积为$4\sqrt{3}$。

2. 圆锥体积的计算我们接下来来看圆锥体积的计算。

圆锥是指顶点在圆锥轴上，底面为圆的锥体。

计算圆锥体积的公式为：$V = \frac{1}{3}\pir^2h$，其中$r$为底面半径，$h$为高。

以下是一个例题：如图所示，底面半径为$4$，高为$5$，求此圆锥的体积。

解：根据圆锥的体积公式，可以轻松计算出此圆锥的体积$V$：$$V=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times4^2\times5=\frac{80}{3}\pi$$因此，该圆锥的体积为$\frac{80}{3}\pi$。

3. 球体积的计算最后，我们来看一下球体积的计算。

球体积是指球体内部所填充的物质的容积。

立体几何体积计算练习题

立体几何体积计算练习题1. 正方体计算(1) 已知一个正方体的边长为5cm，计算其体积。

解答：正方体的体积计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知数据可得，V = 5cm × 5cm × 5cm = 125cm³。

(2) 若正方体的体积为64cm³，求其边长。

解答：将正方体的体积计算公式改写为a³ = V。

代入已知数据可得，a³ = 64cm³。

对等式两边开立方根可得，a = ∛(64cm³) = ∛(4 × 4 × 4cm³) = 4cm。

因此，正方体的边长为4cm。

2. 长方体计算(1) 已知一个长方体的长、宽、高分别为8cm、6cm和4cm，计算其体积。

解答：长方体的体积计算公式为V = lwh，其中l、w和h分别为长方体的长、宽和高。

代入已知数据可得，V = 8cm × 6cm × 4cm = 192cm³。

(2) 若长方体的体积为360cm³，已知长和宽的比为2:3，求长方体的长、宽和高。

解答：设长和宽分别为2x和3x（其中x为比例系数），代入长方体的体积计算公式可得，(2x) × (3x) × h = 360cm³。

化简该方程可得，6x²h = 360cm³。

解方程可得，h = 360cm³ / (6x²)。

同时，已知长和宽的比为2:3，即有 (2x) / (3x) = 2/3。

解方程可得，x = 3。

代入h的表达式可得，h = 360cm³ / (6 × 3²) = 10cm。

因此，长方体的长为2x = 2 × 3 = 6cm，宽为3x = 3 × 3 = 9cm，高为10cm。

3. 圆柱体计算(1) 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高为10cm，计算其体积。

立体几何文科体积问题归类总结

立体几何大题（文科）---体积问题学前了解：立体几何体积问题，几乎是作为文科大题第二问的必考选项。

里面考查思想中，重点考察了等体积、等面积的转化思想。

其中，有两个难点。

一是寻找垂线转移顶点，二是计算边长。

那么，针对转化的模型不同，我对其进行以下分类。

针对求体积、和求点到面的距离问题，通常采用等体积法。

（三棱锥）一、简单等体积法。

1、如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB＝2，BC＝2，PC＝6，E，H分别为PA、AB中点。

（I）求证：PH⊥平面ABCD；（II）求三棱锥P－EHD的体积。

2、如图，在三棱柱中，三条棱两两互相垂直，且，分别是的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求到的距离．3、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC =CB ，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

（1）证明：//1BC 平面CD A 1；（2）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；（3）设12,22AA AC CB AB ＝＝＝＝，求E 到截面DC A 1的距离d.4、111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =o ，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ；（II ）求点A 到平面1C A M 的距离．二、平行线转移顶点法（找好顶点后，看有没有过顶点平行底面的直线）1、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝AD＝2，CD＝4，四边菜ADE1F1是正方形，且平面ADE1F1⊥平面ABCD，M是E1C的中点。

（1）证明：BM∥平面ADE 1F1；（2）求三棱锥D－BME1的体积。

2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：平面ADM⊥平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离．3、在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，∠CAD＝90°，EF // BC，EF ＝12BC，AC ＝2，AE＝EC＝1．（1）求证：CE ⊥AF ；（2）若三棱锥F －ACD 的体积为13，求点D 到平面ACF 的距离．三、斜三棱柱（或多边锥体）变三棱锥法（等高等低的柱体和锥体是3倍关系）1、（全国卷2014文科）如图1-4，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C 的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.图1-4(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC -A1B1C1的高．2、如图4,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB ==,1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ；(Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点.（Ⅰ）证明：11A D A BC ⊥平面；（Ⅱ）求四棱锥111A BB C C -的体积.A B C A 1B 1C 1D H 图44、如图所示的多面体ABCDE 中，已知ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB=90°，AE=BE.（Ⅰ）若M 是DE 的中点，试在AC 上找一点N ，使得MN//平面ABE ，并给出证明；（Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积。

立体几何的练习题及解题方法

立体几何的练习题及解题方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何图形。

在学习立体几何时，我们常常需要进行一些练习题来加深对各种几何图形的理解，并熟悉解题方法。

本文将提供一些立体几何的练习题，并探讨它们的解题方法。

一、体积计算题1.请计算一个边长为5cm的正方体的体积。

解题方法：正方体的体积计算公式为V = a^3，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到V = 5^3 = 125 cm^3。

因此，正方体的体积为125立方厘米。

2.已知一个椎体的底面半径为4cm，高为6cm，求它的体积。

解题方法：椎体的体积计算公式为V = (1/3)πr^2h，其中r表示底面半径，h表示高。

将已知数据带入公式，得到V = (1/3)π(4^2)(6) ≈100.53 cm^3。

因此，椎体的体积约为100.53立方厘米。

二、表面积计算题1.已知一个正方体的边长为3cm，求它的表面积。

解题方法：正方体的表面积计算公式为S = 6a^2，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到S = 6(3^2) = 54 cm^2。

因此，正方体的表面积为54平方厘米。

2.请计算一个圆锥的表面积，已知它的底面半径为6cm，侧面高为8cm。

解题方法：圆锥的表面积计算公式为S = πr(r + l)，其中r表示底面半径，l表示斜高。

首先，我们需要计算斜高，可以利用勾股定理得到l = √(r^2 + h^2)。

将已知数据带入公式，得到l = √(6^2 + 8^2) = 10 cm。

然后，将r和l带入表面积计算公式，得到S = π(6)(6 + 10) ≈ 251.33 cm^2。

因此，圆锥的表面积约为251.33平方厘米。

三、图形的相交与不相交题1.已知一个正方体和一个立方体，它们的边长均为4cm，判断它们是否相交。

解题方法：两个立体图形相交的条件是它们至少有一个公共点。

由于正方体和立方体的边长相等，并且它们的中心点重合，因此它们相交。

数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算

数学综合算式专项练习题立体几何中的体积计算在数学学科中，立体几何是一个重要的部分。

对于学生来说，掌握立体几何的知识点和计算方法，不仅可以提高数学综合能力，还可以帮助解决实际问题。

本文将重点介绍立体几何中的体积计算，通过专项练习题的形式，帮助读者掌握相关知识。

练习题一：长方体的体积计算1. 已知一个长方体的长为10cm，宽为5cm，高为8cm，求该长方体的体积。

解析：长方体的体积计算公式为V = 长 ×宽 ×高，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 10cm × 5cm × 8cm = 400cm³。

练习题二：正方体的体积计算2. 已知一个正方体的边长为6cm，求该正方体的体积。

解析：正方体的体积计算公式为V = 边长³，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 6cm³ = 216cm³。

练习题三：圆柱体的体积计算3. 已知一个圆柱体的底面半径为4cm，高度为10cm，求该圆柱体的体积。

解析：圆柱体的体积计算公式为V = π × 半径² ×高度，将已知的数值代入公式计算即可。

其中，圆周率π取3.14。

解答：V = 3.14 × 4cm² × 10cm = 125.6cm³。

练习题四：金字塔的体积计算4. 已知一个金字塔的底面为边长为6cm的正方形，高度为8cm，求该金字塔的体积。

解析：金字塔的体积计算公式为V = 底面积 ×高度 ÷ 3，将已知的数值代入公式计算即可。

解答：V = 6cm × 6cm × 8cm ÷ 3 = 96cm³。

练习题五：球体的体积计算5. 已知一个球体的半径为5cm，求该球体的体积。

圆周率π取3.14。

解析：球体的体积计算公式为V = 4/3 × π × 半径³，将已知的数值代入公式计算即可。

求几何体体积的常用方法总结分解

A B
A B
C
A' B'
C'
M
C
PA BC ED 例3：已知三棱锥P—ABC中， , BC
ED PA , PA=BC=a且ED=b求三棱锥的体积 ED BC 解法分析： BC 平面PAD P PA BC VP ABC VB PAD VC PAD a

E b C
4
三棱锥A 1—M N P 的体积．
分析
1 若用公式V = Sh直接计算三棱锥A 1—M N P 的 3
体积，则需要求出△M N P 的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1—M N P 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P —A 1M N 的体积，显然就容易解答了．解析
求几何体体积的常用方法
一、分割法对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要运用分割法，按照结论的要求，将原几何体分割成若干个可求体积的几何体，然后再求和．【例 1】如右图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 △ ADE、△BCF 均为正三角形， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 .
A
a D B
1 1 S PAD BD S PAD CD 3 3 1 1 1 S PAD CB a b a 3 2 3
1 2 a b 6
垂面法
例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F 分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？解法分析：易证四边形EBFD1为菱形，
体A B C D E F 分割成正四面体A D E P 、P B C F 和正四棱锥 P —A B C D ，也易于计算．

习题范例解决实际问题的立体几何运算

习题范例解决实际问题的立体几何运算立体几何是数学中的一个重要分支，通过运用几何图形的性质和公式，解决实际问题。

在本文中，我们将通过一系列习题范例来展示在立体几何中进行运算的方法和应用。

题目一：求解立体体积现有一个正方体，边长为5厘米。

请问它的体积是多少？解法：正方体的体积可以通过边长的立方来计算，即 V = a^3，其中 V 为体积，a 为正方体的边长。

根据给定条件可得，a = 5厘米。

将该数值代入公式中，可得：V = 5^3 = 125立方厘米。

因此，该正方体的体积为125立方厘米。

题目二：求解圆柱体积现有一个圆柱体，底面半径为3厘米，高度为8厘米。

请问它的体积是多少？解法：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高度来计算，即V = πr^2h，其中 V 为体积，r 为底面半径，h 为高度。

根据给定条件可得，r = 3厘米，h = 8厘米。

将这两个数值代入公式中，可得：V = π3^2×8 = 72π立方厘米。

因此，该圆柱体的体积为72π立方厘米。

题目三：求解球体积现有一个球体，半径为4厘米。

请问它的体积是多少？解法：球体的体积可以通过4/3乘以π乘以半径的立方来计算，即 V = (4/3)πr^3，其中 V 为体积，r 为半径。

根据给定条件可得，r = 4厘米。

将该数值代入公式中，可得：V = (4/3)π4^3 = 256/3π立方厘米。

因此，该球体的体积为256/3π立方厘米。

题目四：求解立方体表面积现有一个立方体，边长为6厘米。

请问它的表面积是多少？解法：立方体的表面积可以通过6乘以边长的平方来计算，即 S = 6a^2，其中 S 为表面积，a 为边长。

根据给定条件可得，a = 6厘米。

将该数值代入公式中，可得：S = 6×6^2 = 216平方厘米。

因此，该立方体的表面积为216平方厘米。

通过以上习题范例，我们深入了解了如何运用立体几何知识解决实际问题。

在立体体积求解中，我们通过边长的立方、底面积乘以高度等公式来计算不同几何图形的体积。

立体几何5----体积问题

VBACE BE VD ACE ED
x 2
2
2
22
22
2
22
22
8、如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是边长为 2 的菱形， BAD=60 ，已知 PB PD 2 ， PA= 6 （1）求证： PC BD （2）若 E 为 PA 中点，求三棱锥 P BCE 的体积．
VPBCE VABCE
VS ABCD
3 2
VS
ABD
=
3 2
VD
SAB
VGEFB VH EFB VEHFB
E
G
H F
1 VGEFB 2 VG EBM
G
H F
E
1
题型四、不规则或高难求的几何体的体积求法——割（补）法
10、如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，
EF ∥平面 ABCD， EF 1， FB FC, BFC 90 ， AE 3 ， H 是 BC 的中点.
3.
C1
选择合适的底面
A1
找过顶点与底面垂直的平面
在平面内作高
A
B1
C G
D
B
面积比
lC D
C
C
D
A
BA B D
l //AB
B为AD中点
SABC : SABD = __
SABC : SBCD = __
A
B
AD：DC 1: 2
SABD : SBCD = ___
SABD : SABC = ___
体积比:
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC ；（2） Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ 2 DA，求三棱锥 Q ABP 的体积．

必修二—立体几何体积计算的五种方法

体积计算的五种方法方法1.公式法例1．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A ．20+B ．C ．563D 例2．（2020全国1卷）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.解析：（1）连接,,OA OB OC ，D Q 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥ 平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为,rl rl π=2222OD l r =-=，解得1,r l ==2sin 60AC r =，在等腰直角三角形APC 中，22AP AC ==Rt PAO 中，2PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11333P ABC ABC V PO S -=⋅==△.方法2.等积转化1.等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性。

2.尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积。

转化的目的是为了找到易于计算的：“好底”与“好高”.例3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11BB C C 内的一个动点，则三棱锥1D AED -的体积为_________.例4.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 中点.若正方体棱长为2，求三棱锥1D AEC -的体积.23三、多面体割，补法求体积1.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，再将其分割没转化成比较好求体积的几何体；大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥+四棱锥，从四棱锥底面对角线或者几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”2、补形法：把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算；常见的补形有：（1）将正四面体补形成正方体；（2）将等腰四面体（对棱相等）补形成长方体；（3）将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体；（4）将台体补成锥体等等。

高中数学立体几何体积的求解方法

高中数学立体几何体积的求解方法立体几何体积的求解方法在求解立体几何体积时，需要注意一个原则：找到易于求解的底面和高。

其中，椎体是最易考到的题型，尤其是高的求解。

下面介绍四种求解椎体体积的方法：1.直接法：通过点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。

2.转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。

3.分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。

4.向量法：利用空间向量的方法（理科）。

下面列举几个典型例题：1.直接法例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3.求四棱锥B-A1A1C1D的体积。

例2：已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积。

变式1：在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1.求三棱锥E-BCF的体积。

变式2：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。

求三棱锥P-ABC的体积。

2.转移法例3：已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。

若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积。

例4：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE。

求三棱锥P-XXX的体积。

变式3：在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD。

若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-XXX的体积。

变式4：在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面XXX。

专题01 巧求体积-2020-2021学年高中数学之立体几何解题技法全指导(解析版)

巧求体积对于空间几何体的体积的计算，只记住公式是远远不够的，还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解。

现结合实例说明如下：1.公式法公式法的思想是：根据题意直接套用体积计算公式，求出体积。

例1.圆锥的母线长为1,侧面展开图的圆心角为 240,该圆锥的体积是多少? 解:设圆锥的底面半径为r,圆锥母线长为1，又圆锥侧面展开图的圆心角为 240，32,21801240==⨯r r ππ。

所以圆锥的高353212=⎪⎭⎫⎝⎛-=h ,81543532313122πππ=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯==∴h r V 圆锥. 变式.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面的面积之和，求棱台的高和体积．解：如右图所示，在三棱台ABC -A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中心，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ，则上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253，所以DD ′＝1333(cm)．又∵O ′D ′＝36×20＝1033(cm)，OD ＝36×30＝53(cm)，∴棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×(3253＋34×20×30)＝1 900(cm 3)． 2.作差法作差法的思想是：将原几何体的体积转化为两个几何体体积的差，通过求体积差来计算原几何体的体积。

立体几何求体积方法总结及习题演练(精)

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源-于-网-络-收-集求立体几何体积方法归纳
一、分割法
如右图，多面体ABCDEF 中，已知ABCD
是边长为1的正方形，且三角形ADE ，BCF 均
为等边三角形，EF//AB ，EF=2，则该多面
体的体积为：
二、补形法
四面体S —ABC 的三组对棱分别相等，且依次为25、13、5，求该四面体的体积．
练习：已知：长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，AB=4 ，BC=2， BB 1=3，求三棱锥 B 1- AD 1C 的体积
三、等积转换法
在边长为a 的正方体ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1中，M 、N 、P 分别是棱A 1B 1、
A 1D 1、A 1A 上的点，且满足A 1M= A 1
B 1，
A 1N=2ND 1，A 1P= A 1A ，如图，试求
三棱锥A 1—MNP 的体积．
强化练习
1、如图，在边长为a 的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，点E 为AB 上的任意一点，求三棱锥 A 1-DEB 1 的体积。

2、已知三棱锥P —ABC 中，PA ⊥ BC 、 ED ⊥BC 、ED ⊥PA , , PA=BC=a 且ED=b 求三棱锥的体积
3、已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别
是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？
B B 1 C
D A C 1 D
1
A 1 E F。

立体几何中的体积问题

立体几何中的体积问题立体几何中体积问题的求解技巧体积计算是立体几何的教学重点，也是数学竞赛的常见考查内容之一．解决这类问题时，除了牢记公式以外，还需要巧恩妙想，结合具体条件灵活选择计算体积的合适方法．一、公式法例 1 (2012 年江苏赛区初赛7) 在四面体ABCD中，AB =AC =A D =DB=5 ，BC = 3，CD =4 ，则该四面体的体积为-________解析：根据题意，BC=3，CD =4 ，D B=5，则∠B C D =90°．如图1，取BD的中点E ，连结AE、CE ，由直角三角形性质可知B E = CE =D E ，而 A B = A C =A D =5,所以△ABE ≌△ACE ≌△ADE ，从而有AE⊥BD ，AE⊥EC ，故AE⊥平面BCD，即AE为平面BCD上的高，计算可知V A-BCD=13·S△BCD·AE=13·6·532=53变式1：如图1，在三棱锥P-ABC中，PA = 1，AB = AC = 2 ∠PAB =∠PA C =∠BAC = 60°，求三棱锥A-PBC的体积解在△PAB中，P B2=PA2+ A B2一2P A ·A B cos∠P A B=1 2+ 22一2×1 ×2cos60 °= 3解得AB2= PA2+ PB2，即P A⊥P B ．同理可得PA⊥PC ，从而PA⊥平面PB C ．又因为A B = A C = 2 ，∠ B A C = 60°，所以△ABC为正三角形，B C = 2．取B C的中点D ，连结P D ，则PD =PB2?BD2=3?1=2．S△PBC= 12BC ·PD =因此V A-PBC=13S△PBC·PA=13·2·1=23二、分割法例2(201年安徽预赛6)如图3设正四棱锥 P-ABCD 的体积为1，E 、F 、G 、H 分别是线段A B 、CD 、PB 、PC 的中点，则多面体BEG-CFH 的体积为_______解析此题要求多面体BEG -CF 的体积，必须先将它切割成常见的几何体，取BC 、EF 的中点M 、N ，连结M N 、GM 、GN ，则多面体BEG-CFH 分割为一个四棱锥G-EBMN 和一个三棱HFC -GNM ，因为E 、F 、G 、H 分别是线段 AB 、CD 、PB 、PC 的中点，且正四棱锥 P -A B CD 的体积为 1，则四棱锥G -EB M N 的体积为V G-ECMN =18，从而三棱锥 E -GNM 的体积为V E –GNM =116又三棱柱 H F C — GN M 的体积为三棱锥 E 一G N M 的体积的 3 倍。