相交线与平行线最全知识点汇总

一、本章共分大节共个课时；?第、周）

章节7 课时

第五章相交线与平行线14

5. 1 相交线 3

5.2 平行线及其判定 3

5.3 平行线的性质 4

5.4 平移 2

单元小结 2

二、本章有四个数学基本事实

L过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；

3?两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行;

4.两直线平行，同位角相等.

三. 本章共有19个概念

1.对顶角

2.邻补角

3.垂直

4.垂线

5.垂足

6.垂线段7?点到克线的距离8.同位角9.错角

10.同旁角IL平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题

17?定理18 ?证明19 ?平移

四. 转化的数学思想

遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题?P14

五、平移

1?找规律

2.转化求面积

3 ?作图

（2009年中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dem,如图所示.已知每个菱形图案的边长10√3cm,其一个角为60°?

（1）若

√=26t

（2）当〃=20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？

【解】

相交线与平行线知识点

5. 1相交线

1、邻补角与对顶角

图形顶点边的关系大小关系

对顶角

X

ZI 与Z2 有公共顶点Zl的两边与Z 2的

两边互为反向延长

线

对顶角相等即

ZI=Z2

邻补角

4/3XX 有公共顶点Z3与Z4有一条边

公共，另一边互为反

向延长线.

Z3+Z4=180o

/

Z3 与Z4

注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果Za与Z B是对顶角，那么一定有Za=ZB;反之如果Za=Zβ,那么Za与ZB 不一定是对顶角

(3)如果Za与ZB互为邻补角,则一定有Za÷Zβ=180o；反之如果Za÷Zβ=180σ ,则Za与ZB不一

定是邻补角.

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直,

其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足?符号语言记作：

如图所示：AB丄CD,垂足为0

⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记)

⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.

3.垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线.

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上.

画法：(1)一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

(2)二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

(3)三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线.

4、点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时侯应该结合图形进行记忆.

A O B

如图，Po丄AB,同P到直线ΛB的距离是Po的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短"性质的应用.

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

分析它们的联系与区别

⑴垂线与垂线段区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度.联系：具有垂直于已知直线的共同特征.（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距稱区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离.

⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同.

5. 2平行线

1、平行线的概念：

在同一平面，不相交的两条直线叫做平行线，直线"与直线b互相平行，记作a∕∕b.

2、两条直线的位置关系

在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.

因此当我们得知在同一平面两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

判断同一平面两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理一一平行线的存在性与惟一性

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

如左图所示，'：b H a、c // a

----------------- b ：.b // c

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才

会结论，这两条直线都平行.

5、三线八角

两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、错角与同旁角./

③Z5与Z4在截线/的同侧?在被截直线匕“之间()，叫做同旁角.

④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；错角是“Z”型；同旁角是“U”型.

6、如何判别三线八角

判别同位角、错角或同旁角的关键是找到构成这两个角的“三线S有时需要将有关的部分“抽出”或把无关

的线略去不看，有时又需要把图形补全.

例如

如图，判断下列各对角的位置关系：(I)Zl与Z2；⑵ZI与Z7；⑶ZI与ZBΛD; (4)Z2 与Z6；(5)Z5 与Z8.

我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线)，得到下列各图.

如图所示，不难看出Zl与Z2是同旁角；Zl与Z7是同位角；Zl与ZBAD是同旁角；Z2与Z6是错角；Z5与Z8对顶角.

B

注意：图中Z2与Z9,它们是同位角吗？

不是，因为Z2与Z9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.

7.两直线平行的判定方法

方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

简称：同位角相等，两直线平行

方法二两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行

简称：错角相等，两直线平行

方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行

简称：同旁角互补，两直线平行

几何符号语言：

???Z3=Z2

/. ΛB√CD （同位角相等，两直线平行）

?/ Z1 = Z2

.?. ΛB∕7CD （错角相等，两直线平行）

??? Z4 + Z2=180q

???ΛB√CD （同旁角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行?平行线的判定是写角相等，然后写平行.

注意：（1）几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着在的联系，常由 "位置关系”决定其"数量关系”，反之也可从"数量关系”去确定"位置关系”?上述平行线的判定方法就是根据同位角或错角"相等”或同旁角"互补”这种“数量关系”，判定两直线"平行"这种“位置关系”.

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行.

典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请绐予改正：

⑴不相交的两条直线必定平行线.

（2）在同一平面不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交.

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答:（!）错误，平行线是“在同一平面不相交的两条直线” ?“在同一平面"是一项重要条件，不能遗漏.⑵正确

（3）不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”?因为如果这一点不在

已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.

典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据

是什么？

解答：

⑴由Z2 = ZB可判定AB/7DE,根据是同位角相等，两直线平行；

⑵由Zl = ZD可判定AC/7DF,根据是错角相等，两直线平行；

⑶由ZΛCF+ZF= 180°可判定AC〃DF,根据同旁角互补,两直线平行.

5? 3平行线的性质

k平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等;

性质2：两直线平行，错角相等；

性质3：两直线平行，同旁角互补.

几何符号语言：

V AB/7 CD

ΛZ1 = Z2 （两直线平行，错角相等）

V AB # CD

ΛZ3=Z2 （两直线平行，同位角相等）

V AB √ CD

ΛZ4+Z2=180o（两直线平行，同旁角互补）

2、两条平行线的距离

如图?直线AB〃CD, EF丄AB于E, EF丄CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD

间的距离.

A ∏LJ

E B

C ∏ H-l D

F

注意：直线AB√CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB 与CD间的距离.

3、命题：

⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命題.

⑵命题的组成

每个命题都是题设.结论两部分组成?题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 命题常写成"如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用"如果”开始的部分是题设，用"那么”开始的部分是结论.

有些命题，没有写成''如果……，那么……”的形式，題设和结论不明显?对于这样的命题，要经过分析才能找出題设和结论，也可以将它们改写成"如果……，那么……”的形式. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者'‘若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用"求证……”或'‘则……”等形式表述.

4、平行线的性质与判定

①平行线的性质与判定是互逆的关系

两直线平行V=A同位角相等；

两直线平行V=A错角相等；

两直线平行 <=> 同旁角互补.

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线

的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质.

典型例题：已知Zl = ZB,求证：Z2 = ZC 证明：VZl = ZB （已知）

ΛDEBC （同位角相等，

两直线平行）

ΛZ2 = ZC （两直线平行

同位角相等）

注意，在了DE〃BC,不需要再写一次了，得到了DE〃

BC,这可以把它当作条件来用了.

典型例題：如图，AB〃DF, DE/7BC, Zl=65o 求Z2、Z3的度数

解答：VDE#BC （已知）

ΛZ2=Z1=65° （两直线平行，错角相等）

VΛB∕7DF （已知）

ΛΛB∕7DF （已知）

ΛZ3+Z2=180o（两直线平行，同旁角互补）

ΛZ3=180o -Z2 = 180o -65° =115°

5.4平移

1、平移变换

①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

③连接各组对应点的线段平行且相等

2,平移的特征：

①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化?

②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.

典型例题：如图，AABC经过平移之后成为ADEF,那么:

⑴点A的对应点是点________________________ ;（2）点B的对应点是点______________

⑶点____________ 的对应点是点F;⑷线段AB的

对应线段是线段___________________ ;

⑸线段BC的对应线段是线段____________________ ;

（6） ZA的对应角是____________ .

（7）____ 的对应角是ZF.

解答：

（DD；（2）E；（3心（4）DE; （5）

EF;⑹ZD；（7）ZACB.

思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等,

B C

B

对应点的连线段平行或在同一直线上解

考点一：对相关概念的理解

对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等 例1：判断下列说法的正误。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)

练习：

C 、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。D.过一点有且只有一条直线

与已知直线平行 考点二：相关推理(识记)

(1) Va√c ? b 〃c (已知)

/. ZBOC=

b

(2)

3 )

? ?

■

Zl+Z2=180

o

, Z 2=30 o

)

( 已 知)

??? Zl=

4 ) ? ?

?

Zl÷Z2=90 o

,Z2=22 o

)

(已 知 )

??? Zl=

5 ) 如 图(1 ),

?/ ZAoC=55 o

)

(已 知 )

??? ZBOD=

6

) 如 图(1 ),

?/ ZAoC=55 o

)

(已 知 )

/. ZBoC=

(2) VZI=Z2, Z2=Z3 (已知) (

)

(已知)

VZAoC4 ZAOD, ZAOC÷ZA0D=!80≡ 对顶角相等； 相等的角是对顶角； 邻补角互补； 互补的角是邻补角； 同位角相等； 错角相等； 同旁角互补；

直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离; 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 两直线不相交就平行；

互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。 下列说确的是(

)

A 、相等的角是对顶角

B 、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离

(3)

h

(17)如图(4), VZ1÷Z4= ________ (已知) ???a"b ( __________________________________ )

考点三：对顶角.邻补角的判断.相关计算

例题1：如图5—1,直线AB. CD 相交于点0,对顶角有

对，它们分别是

ZAOD 的邻补角是

例题2：如「图5—2,直线人N 和厶相交构成8个角，已知Z1=Z5,那么，Z5是

的对顶角，与Z5相等的角有Zl. ____________ ,与Z5互补的角有 _______________ o

例题3：如图5-3,直线AB 、CD 相交于点0,射线OE 为ZBOD 的平分线，ZBOE=30° ,则 ZAOE 为一 .o

考点四：同位角.错角.同旁角的识别

例题1：如图2-44, Zl 和Z4是AB 、 ___________ 被

5是 _________ 、 ___________ 被 ______________ 所截得的 __________ 角,Z2和Z5是_、 __________ 被

所截得的 ___________ 角，AC 、BC 被AB 所截得的同旁角是 _____________ .

例题2：如图2-45, AB, DC 被BD 所截得的错角是 _______________ , AB 、CD 被AC 所截是的错角 是 _____________ , ΛD, BC 被BD 所截得的错角是 _______________ , AD 、BC 被AC 所截得的错角 是 ___________ O

例题 3：如图 1一26 所示? ΛE/7BD, Z1=3Z2, Z2=25o

,求ZC.

（8）如图（2）, Tsdb （已知） AZl= ______ ( _________________________ )

(9)如图(2), VZl=

（已知）

???a 丄b ( (10)如图(3),V 点C 为线段AB 的中点

(11) (12) (13)

(14) (15)

(16)

如图 如图 如图 如图 如图 如图

ΛΛC=

（3）

, V AC=BC/.点C 为线段AB 的中点（ （4） , （4）, ⑷， （4）, （4）, Va∕∕b

(已知) Va∕∕b (已知) VaZZb (已知) VZl=Z2 (已知)

VZl=Z3 (已知) ΛZ1=Z2 ( ΛZ1=Z3 ( AZ1+Z4=_ Λa√b (

Λa√b ( 图5—

1

，所截得的 _______ 角，Z3和Z

A GB

因 1-28

图5-3

A

<≡ 2- 45)

考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）

例题1：如图9?已知DF 〃八C?ZC=ZD?要证ZΛMB-Z2.请完善证明过程?□并在括号填上相应依据：

VDF√AC(已知).ΛZD=Z1( V ZC=ZD(已知)tΛZl=ZC(ΛDB√EC(

???ZΛMB= Z2(

考点六：特殊平行线相关结论

)

□)

)

例题2：如图，直线丿矽、被直线胪所截, 与ZG相等吗？说明你的理由.

例题1：已知，如图：AB//CD.试探究下列各图形中SZD2BPD的关系?考点七：探究、操作题

例题：（阅读理解题）直线ΛC/7BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时，连结PA,PB,构成ZPΛC, ZAPB, ZPBD 三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0° 角.）

（1）当动点P落在第①部分时，求证：ZAPB=ZPAC +ZPBD；

（2）当动点P落在第②部分时，ZAPB=ZPAC+ZPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

（3）当动点P在第③部分时，全面探究ZPAC, ZAPB, ZPBD之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论?选择其中一种结论加以证明?