1988年(高考数学试题文理科)

一九八八年（理科）
一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。

每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。

（1）2
i 1i 1⎪⎭
⎫
⎝⎛+-的值等于 （ B ）
（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i
（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。

（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。

（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。

（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。

（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个
（4）已知双曲线方程15
y 20x 2
2=-，那么它的焦距是 （ A ）
（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152
（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）
（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）4
10C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2
π （D ）π4
（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6
)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3
)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6
k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3
k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=
ρcos 234
所表示的曲线是 （ D ）
（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆
（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是
（A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线
（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线
（10）)3arctg 5
1arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）2
1 （C ）8
1 （D ）8
（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。

命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列。

那么（ C ） （A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件。

（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件。

（C ）甲是乙的充要条件。

（D ）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。

（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |-=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ B ） （A ）圆 （B ）直线 （C ）椭圆 （D ）双曲线 （13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为 1y x 22='-'，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ D ） （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（-1，1） （D ）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ B ）
（A ）319723C C 种 （B ）219733319723C C C C +种
（C ）51975200C C -种 （D ）4
197135200C C C -种 （15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ A ） （A ）∠CEB>∠DEB （B ）∠CEB=∠DEB （C ）∠CEB<∠DEB
（D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定
二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分。

只要求直接写出结果
（1）求复数i 3-的模和辐角的主值。

[答]模：2;复角主值：
π6
11
（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---
[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2
tg ,273,5
3sin θ
π<
θ<π-=θ求的值。

[答]-3
（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值。

[答]
5
5 （5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b ≠0）求
.a a a a a a a a lim
n 876n
321n ΛΛ++++++∞→ [答]1
三．（本题满分10分）
已知,a tgx =求
x
3cos x cos 3x
3sin x sin 3++的值。

解：x cos x 2cos 2x cos 2x cos x 2sin 2x sin 2x 3cos x cos x cos 2x 3sin x sin x sin 2x 3cos x cos 3x 3sin x sin 3++=
++++=++ )3a (2
a
)3x tg (2tgx )2x (sec 2tgx x cos 2)x cos 21(tgx )x 2cos 1(x cos 2x cos x sin 4x sin 22222
22+=+=+=+=++=四．（本题满分10分）
如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积。

解：连结AE ，因为△SDE 和△ABC 都是边长
为a 的正三角形，并且SE 和AE 分别是它们的中线，所以SE=AE ，从而△SDE 为等腰三角形，由于D 是SA 的中点，所以ED ⊥SA 。

作DF ⊥SE ，交SE 于点F 。

考虑直角△SDE 的面积，得到
,DE SD 2
1
DF SE 21⋅=⋅所以， .a 6
6a 2
3a
22
2a DF ,,a 22)2a (a 43SD SE DE ,
a 2
3)2a (a BE SB SE ,.SE DE
a 21
SE DE SD DF 22222222=⋅==-=
-==-=-=⋅=⋅=所以易知 所求的旋转体的体积是以DF 为底面半径，分别以SF 和EF 为高的两个圆锥的体积的和，即
.a 36
3a 236a 31SE )a 66(31EF )a 66(31SF )a 66(3132222π=⋅⋅π=⋅⋅π=⋅⋅π+⋅⋅π五．（本题满分11分）
设2
1
t log t log 2
1
,0t ,1a ,0a a
a +>≠>与比较的大小，并证明你的结论。

解：当t>0时，由重要不等式可得
t 21
t ≥+，当且仅当t=1时取“=”号.t log 21
21t log ,t log 21
t log ,1t a a a a
=+=+=∴即时
t log 2
1
21t log ,t log 21t log ,x log y ,1a .t log 2
1
21t log ,t log 21t log x log y ,1a 0.
t 2
1
t ,1t a a a a
a a a a a a >+>+=><+<+=<<>=≠即所以是增函数时当即所以是减函数
时当 六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分，
第（2）小题满分8分.
给定实数).a
1
x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈--=
≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行
于x 轴;
（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形。

解：（1）设M 1（x 1,y 1),M 2(x 2,y 2)是这个函数图象上任意两个不同的点，则x 1≠x 2，且
.
0y y ,x x ,1a ,
)
1ax )(1ax ()
1a )(x x ()1ax )(1ax ()x x ()x x (a )
1ax )(1ax ()
1ax x x ax (1ax x x ax 1ax 1x 1ax 1x y y 122112121212121211211221112212≠-∴≠≠----=-----=
--+---+--=
-----=-且Θ
从而直线M 1M 2的斜率,0x x y
y k 1
212≠--=因此，直线M 1M 2不平行于x 轴。

（2）设点P )y ,x (''是这个函数图象上任意一点，则
,
1
1
1)1(,1,01)2(,1)1(,1)1()1(),(),()1(1
1,1-'-'=='=-'-'=-''-'=-'''''=''-'-'='≠
'x a x a a y y a y y a x x x a y x y P x y y x P x a x y a x 得代入则假如即式得由的坐标为的对称点关于直线易知点且
,,1,1与已知矛盾由此得即=-'=-'a x a a x a
成轴对称图形
线这个函数的图象关于直因此在已知函数的图象上这说明点式得于是由x y x y P y a y x y a ='''-'-'='≠-'∴,,),(.
1
1
)2(.01（注：对（1）也可用反证法。

或考察平行x 轴的直线y=c 与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况。

由其无交点或恰有一交点，从而得证。

对（2）也可先求反函数，由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x 对称。

） 七．（本题满分12分）
如图，直线L 的方程为2
p
x -=，其中p ＞0;椭圆的中心为
D )0,2
p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的 一个顶点为A )0,2
p (。

问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。

解：假定椭圆上有符合题意的四点，则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程：
,1y 4
)]2p
2(x [22
=++- 又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程y 2=2px,
从而椭圆上有四点符合题意的充要条件是下面的方程组有四个不同的实数解：
⎪⎩⎪⎨
⎧
==++-)2(.
px 2y )1(,1y 4)]2p 2(x [2
22 将（2）式代入（1）式，得
)
3(.
0p 24
p x )4p 7(x ,
4px 8)]2
p
2(x [22
2=++-+=++-即
所以原方程组有4个不同的实数解，当且仅当方程（3）有两个不相等的正根。

而这又等价于
3
1
0,,0.047,024,0)24(4)47(2
22
<
<>⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<->+>+--=∆p p p p p
p p p 得到解此不等式组的条件下在
所以，所求的p 的取值范围为.3
1p 0<<
一九八八年（文科）
一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。

每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。

（1）2
i 1i 1⎪⎭
⎫
⎝⎛+-的值等于 （ B ）
（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i
（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。

（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。

（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。

（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。

（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ D ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个
（4）函数)1a 0(a y x <<=的图象是 （ B ）
（5）已知椭圆方程111
y
20x 2
2
=+，那么它的焦距是 （ A ）
（A ）6 （B ）3 （C ）312 （D ）31 （6）在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于（ B ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （7）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）
（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）4
10C 9
（8）函数)6
x 5
2cos(3y π
-=的最小正周期是 （ D ）
（A ）π52
（B ）π2
5 （C ）π2 （D ）π5
（9）)6
19
sin(π-的值等于 （ A ）
（A ）21 （B ）2
1
- （C ）23 （D ）23-
（10）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是 （A ）2
1a =
（B ）2
1
a -= （C ）1a = （D ）1a -= （ C ）
（11）函数)2
1x ,R x (1
x 22x y ≠
∈--=且的反函数是 （ A ）
（A ）)2
1
x ,R x (1x 22
x y ≠
∈--=
且 （B ）)2x ,R x (2x 1
x 2y ≠∈--=
且 （C ）)21
x ,R x (1x 22x y ≠∈-+=且 （D ）)2x ,R x (2
x 1x 2y -≠∈+-=且
（12）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是
（A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线
（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线
（13）函数)4
x sin(y π+=在闭区间 （ B ）
（A ）]2
,2[ππ-上是增函数 （B ）]4,43[π
π-
上是增函数 （C ）]0,[π-上是增函数 （D ）]4
3,4[π
π-上是增函数
（14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ A ）
（A ）219733319723C C C C +种 （B ）319723C C 种
（C ）51975200C C -种 （D ）4
197135200C C C -种
（15）已知二面角β--αAB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的
距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtg 的值等于 （ C ） （A ）4
3
（B ）5
3 （C ）
773 （D ）73
1 二．（本题满分20分）本题共5小题，每1个小题满分4分。

只
要求直接写出结果
（1）求复数i 3-的模和辐角的主值。

[答]2;
π6
11
（只答对一个值的给2分） （2）解方程.27329x 1x =⋅---
[答]x=-2（直接答-2也算对） （3）已知2
tg ,273,5
3sin θ
π<
θ<π-=θ求的值。

[答]-3
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积。

[答]
3cm 5
48
π（未写单位，只给3分） （5）求.1
n 3n n 2n 3lim 22n
-++∞→ [答]3 三．（本题满分10分）
证明α-α=αcos 3cos 43cos 3 证明：略。

四．（本题满分10分）
如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD ，求αsin 的值。

解：因为SB 垂直于底面ABCD ，所以斜线段SA 在底面上的射影为AB ，由于DA ⊥AB 所以 DA ⊥SA 从而.SD
1
SD AD sin ==
α 连结BD ，易知BD=2由于SB ⊥BD ，所以
5)2()3(BD SB SD 2222=+=+=
因此，.55
151sin ==
α
五．（本题满分11分）
在双曲线x 2-y 2=1的右支上求点P （a,b ），使该点到直线y=x 的距离为2。

解：由题意，点P （a,b ）是下述方程组的解：
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=-)
2(,22
|b a |)1(,1b a 22并且a>0.由（1）式得,b 1a 22+=因为a>0，
所以|b |b b 1a 22=>+=，从而a>b ，于是由（2）式得 a-b=2 （3）把（3）式代入得,1b )2b (22=-+ 解得.4
5a )3(,43
b =-=得代入 ∴所求的点P 的坐标为).4
3,45(- 六．（本题满分12分）
解不等式.0)x
1x lg(<-
解：原不等式等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-.1x
1x ,0x
1
x 22
情形1 当x>0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+<>.
1x x ,
1x 22
解得：.2
5
1x 1+<< 情形2 当x<0时，上述不等式组变成⎩⎨⎧+><.
1x x ,
1x 22
解得.2
5
1x 1-<
<- 所以原不等式解集为}2
5
1x 1|x {}251x 1{|+<<⋃-<<- 七．（本题满分12分）
一个数列}a {n ：当n 为奇数时，
;1n 5a n +=当n 为偶数时，.2a 2
n
n =求这个数列的前2m 项的和（m 是正整数）。

解：因为,10]1)1k 2(5[]1)1k 2(5[a a 1k 21k 2=+--++=--+ 所以1m 2531a ,a ,a ,a -Λ是公差为10的等差数列。

因为,2)2()2(a a 2
k 222k 2k 22k 2=÷=÷++ 所以m 2642a ,a ,a ,a Λ是公比为2的等比数列。

从而数列}a {n 的前2m 项和为： .22m m 521)21(22m ]1)1m 2(56[)a ,a ,a ,a ()a ,a ,a ,a (S 1m 2m m 26421m 2531m 2-++=--++-+=+=+-ΛΛ。