排列组合(全)

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例题7
7．(1＋ x ) (1＋ 4
3
6
1 x
) 展开式中的常数项为（ ） C．4245
6 r
10
10
A．1 解：因为 1
x
3
B．46
x
D．4246


6
1 r 3 C 6 x ， 1 4 x r0

10
C10 x
r

r 4
，必须令
r0
的指数为整数，才有可能使它们的乘积中消除 x 剩下常数
1 2
种，所以总共有 C 2 6 P1 4 个牌照。选 A。 0
1 2
注意可以重复排列情形
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例题6
6．从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日 参加公益活动， 每人一天， 要求星期五有 2 人参加， 星期六、 星期日各有 1 人参加，则不同的选派方法共有（ A．40 种 B．60 种 C．100 种 D．120 种 ）
r 2
B.6
nr
C.5
2 x ) Cn 3 3
r r nr
D.3
(2) x
r 2n5r
解： T r 1 C n (3 x )
( r,
，
由 2 n 5 r 0, 即 n
5 2
当 r 2 时， n 5 为最小值。
r≥0，n≥1，都取整数
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例题10
10．在 ( x 1)( x 2 )( x 3 )( x 4 )( x 5 ) 的展开式中，含 x 4 的 项的系数是（ （A）-15 ） （B）85 （C）-120 （D）274
A。
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二项式系数
(2 x
2
1 x
)
5
的展开式的“各项系数之和”与“二项式系
数之和”是两个不同的概念。 “ 各 项 系 数 之 和 ” 是 xn 的 系 数 之 和 ， 这 里
n 5,1 0 , n Z
。
n
“二项式系数之和”等于 C nr ，这里等于 2 5 。
r0
解法一：从正面看，至少有 1 名女生，可以分为有 1 名女生
1 的情况和有两名女生的情况，分别为 C 2 C 43 和 C 22 C 42 种，所以
1 总共有 C 2 C 43 C 22 C 42 1 4 种。选 A。
出现最多、至少等词， 要注意分类讨论
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例题1解法二
1．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区 服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数 为( A.14 ) B.24 C.28 D.48
解：乘法原理，5 位同学中选 4 位参加活动，有 C 54 种，在这 4 位中选 2 为星期五去，有 C 42 种，剩下的两位安排星期六和 星期日，有 Байду номын сангаас2 种，所以总共有 C 54 C 42 P2 6 0 种。选 B。
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区分排列与组合
排列和组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或 排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题。排 列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序有关的 是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组 合问题的求解特别重要。
两个基本原理
分类计数原理和分步计数原理的作用：计算做完一件 事完成它的所有不同的方法种类， ①要分清要完成的事情是什么； ②是要分类完成还是分步完成， “类”间相互独立， “步”间相互联系； ③有无特殊条件的限制。
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例题3
3．记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求 排成一排， 位老人相邻但不排在两端， 2 不同的排法共有 （ A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 ）
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解：首先两位老人不站在两端，那么在 5 名志愿者中挑 2 位 站两端，有 P52 种；两位老人要相邻，用捆绑法把他们看成 一位，和剩下的 3 名志愿者一起排，有 P4 种；两位老人内部 排列，有 P2 种，则总共有 P52 P4 P2 9 6 0 种。 故选 B。
相邻问题捆绑法
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例题4
排列与组合、二项式定理
历届学生成功经验
1
赵轶白
2
翁欣汇
历届学生成功经验
5 6
陈 铠 劳艾佳
7
8 9
朱丽丽
田
鋆
庄振宇
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上海市特级教师 高考命题人
数学名师—卜照泽
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例题1解法一
1．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区 服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数 为( A.14 ) B.24 C.28 D.48
系数，所以，前一项的 r 可以取 0，3，6，相应地后一项的 r 可以取 0，4，8； 则结果的常数项应该为 1 C 63 C 140 C 66 C 180 4246 。选 D。
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例题8
8.（2009 江西卷理） (1 a x b y ) n 展开式中不含 x 的项的系 数绝对值的和为 2 4 3 ，不含 y 的项的系数绝对值的和为 3 2 ， 则 a , b , n 的值可能为( A． a 2, b 1, n 5 C． a 1, b 2, n 6 ) B． a 2, b 1, n 6 D． a 1, b 2, n 5
4．高三（1）班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞 蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连 排，则不同排法的种数是（ A.1800 B.3600 ） C.4320 D.5040
解： 用插空法，4 个音乐节目和 1 个曲艺节目先排， P5 种； 有 排完这 5 个节目，有 6 个空位，将舞蹈节目安排在这 6 个空 位上，有 P62 种，所以总共有 P5 P62 3600 种。选 B。
历届学生成功经验
1
赵轶白
2
翁欣汇
翁欣汇
长期对数学 恐惧，成绩 一直不好 在优盟学习 一年，数学 成绩最后拿 了143分， 总分539分 07年，南 汇区文科 第一名， 考入复旦 英文系
历届学生成功经验
3
黄徐星
4
杨暑雨
历届学生成功经验
5 6
陈 铠 劳艾佳
7
8 9
朱丽丽
田
鋆
庄振宇
到底能进步多少分
不相邻问题插空法
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例题5
5．某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组 ．． 成，其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有（ A. C 2 6 P1 0
1 2 4
）个 D. P226 1 0 4
B. P2 6 P1 0
2 4
C. C 2 6 1 0 4
1 2
解：乘法原理，先排英文字母，没要求两个字母不同，所以 英文字母有 C 2 6 种；接下来 4 个数字要求互不相同，有 P1 4 0
解：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本 题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供 x ，其余 1 个提供 常 数 ） 的 思 路 来 完 成 。 故 含 x4 的 项 的 系 数 为
( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) 15. 选
解：首先应考虑“0”是特殊元素， ①当 0 排在末位时，有 P92 9 8 7 2 （个） 个位，百位，十位 ，
1 ②当 0 不排在末位时，有 P41 P81 P 8 2 5 6 （个） ，
由分类计数原理， 得符合题意的偶数共有 72 256 328（个） 故选 B.
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解法二：从反面看，6 人中选 4 人的方案 C 64 1 5 种，没有女 生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有 14 种。 选 A。
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例题2
2． （2009 北京卷理）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有 重复数字的三位偶数的个数为（ A．324 B．328 ） C．360 D．648
解 ： (1 b ) n 243 3 5 ， (1 a ) n 3 2 2 5 ， 则 可 取
a 1, b 2, n 5 ，选
D。
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例题9
9． 如果 3 x 2
2 3 x
n
的展开式中含有非零常数项， 则正整数 n ）
的最小值为（ A.10