几种常用的分布 抽样分布

n4
n8
2 分布图
2. 性质
1° 若 2 ~ 2(n) ，则 E2 =n, D2 =2n;
2°
(可加性）：若
2 1
~
2
(n1
),
2 2
~
2 (n2 ),
且
12与
2 2
相互独立，则
2 1
2 2
~ 2 (n1 n2 )
可推广到k个的情形。
3. 分位点
P{
2
2
(n)}
(给定)
2 分布的上 分位点（表三）
1 F1 (n1, n2 )
§5.3 抽样分布 1. 单个正态总体
设 X1 , X2 ,, Xn 是来自正态总体X ~ N (, 2 )的样本
下面介绍几个常用统计量的分布（Th5.4, 5.6, 5.7）。
1.
X
~N ,
2
n
2.
u
X
/
n
~
N (0,1)
5.
t X
S/ n
~ t(n 1)
3.
2
(n 1)S 2
2
1
2
n
(Xi
i 1
X )2
~
2 (n 1)
4.
2
1
2
n i 1
(Xi
)2
~
2 (n)
例（P.126 ，定理5.4的应用）
X1 , X 2 ,, X 25为来自总体N (21,22 )的一个样本，
求 (2) P{| X 21 | 0.24}.
解 由 X ~ N (21, 22 ) 25
P 36.65
15 i1
(Xi
X )2
235.
解：（1）令12
1 32
15 i 1
Xi2
~
2 (15)
15
P{
i 1
Xi2
225} P{312
15
(Xi
i 1
0)2
23225}
P{12 25} 1 P{12 25} 1 0.05 0.95
(2) P 36.65 15 ( Xi X )2 235.
n
(Xi
i 1
X )2
则服从 t(n-1) 分布的统计量是( 4 )
(1) n( X ) ;
(3) n 1( X ) ;
(2) n( X ) ;
Sn
(4) n 1( X ) .
Sn
例：设随机变量X1, X2, …,X6为总体X~N(,2)的 一个样本，则
Y
1
2
( X1
X 2 )2
(X3
P{| t | t (n)} (给定)
2
例如： 0.05, n 21,
查表四(P.257)得 t (21) 2.080,
单侧分位点t2(n)也可由表四查得， P{t t (n)}
定理5.2 （P.124）设 X ~ N(0,1), Y ~ 2(n),
且 X与Y 独立，则
t X ~ t(n) Y /n
F 分布的上分位点由表五给出
P{F F (n1 , n2 )} (小)
当所给概率较大时利用后面的推论，查分位点。
定理5.3 （P.125）设 X ~ 2 (n1 ),Y ~ 2 (n2 ) ，
且X与Y相互独立，则
F X / n1 Y / n2
~
F (n1 , n2 )
推论 若 F ~ F(n1, n2) ，则
例 设总体 X ~ N(0,1), X1,X2为总体X的样本，Z= X1+X2
Y
X12
X
2 2
,
令W
z ,则W服从的分布是（） Y Z 0
W Z 2 ~ t(2) Y Y /2
三、F分布 定义5.7 随机变量 F 的概率密度
称 F服从第一自由度为n1，第二自由度为 n2的F分布，
记为
F ~ F(n1, n2).
0.995 0.025 0.97
查表三
4.07
26.11
(P.255,256)
对于非正态总体的大样本有以下结果：
定理5.5（P.126）设X为任意总体，且 EX , DX 2 , X1 , X2 ,, Xn为X的一个样本，则当 n 充分大时，
X ~ N (0,1) （近似） / n
证 由中心极限定理，当n充分大时
§5.2 几种常用的分布（统计三大分布）
一、2 （卡方）分布
1. 定义
2 ~
称随机变量 2 服从自由度为n的2 分布，记为2 ~ 2(n).
其中，(r ) xr e 1 xdx (r 0时收敛). 0
有 (r 1) r(r)(r 0),(1) 1,(1) .
2
n 2(指数分布)
1 F
~
F
(n2
,
n1
),
且
F1－
(n1
,
n2
)＝ F
1 (n2
,
n1
)
F0.95
(12,
9)＝
F0.05
1 (9,12)
1 2.8
0.357
证明：
P{F F1 (n1,n2 )} 1
P{ 1 1 } 1
F F1 (n1, n2 ) P{ 1 1 }
F F1 (n1, n2 )
F (n2, n1)
X2 i
~
2 (n)
i 1
自由度：构成平方和的独立项数。
本平方和中，有 n个独立项： X1 , X 2 ,, X n
X ~ N (0,1),则X 2 ~ 2(1),即EX 2 1_, DX 2 _2
二、t 分布 定义5.6 随机变量t 的概率密度为
称t 服从自由度为n 的t 分布，记为 t ~ t(n). 双侧分位点（表四）
例如：
0.01, n
14,
查表三( P .256)得
2 0.01
(14)
29.141
即若 2 ~ 2 (14),则 P{ 2 29.141} 0.01
4. 与正态分布之间的关系
定理5.1（P.123 ）设随机变量
Xi ~ N(0,1) (i 1,2,, n), 且它们相互独立，则
n
2
X 4 )2
(X5
X6 )2
服从( 4 )分布。
(1) N (0,1); (3) t(3);
(2) 2(6); (4) 2(3) .
i1
(2) 由定理5.6知
2 2
1
32
15
(Xi X )2
i 1
~ 2 (14)
P 36.65 15 ( Xi X )2 235
i1
P{4.07
2 2
26.11}
P
36.65 32
1 32
15
(Xi
i 1
X )2
235
32
P{
2 2
4.07}
P{
2 2
26.11}
对n=14
n
X
/ n
X i n
i 1
n 2
~ N (0,1) (近似)
2. 两个正态总体（P.128 ）
定理5.8 的结果
定理5.9
若两总体方差相等：
2 1
2 2
2 ,则有
例：设随机变量X1, X2, …,Xn为总体X~N(,2)的 一个样本，
X
1 n
n i 1
X i , Sn2
1 n
0.42 得
X
21
~
N (0,1)
0.4
故
P{|
X
21 |
0.24}
P
X 21 0.4
0.6
2(0.6) 1
Βιβλιοθήκη Baidu 0.4514
例（ P.130 定理5.1，定理5.6的应用）
X1, X 2, , X15为来自总体N (0, 32 )的一个样本，
求:(1)P
15 i 1
Xi2
225
(2)