三视图与体积面积计算

变式1(2010 广东卷)如右图， ABC为正三角形，AA / / BB / / CC，CC 平面ABC，且 3AA BB CC AB，则多 面体ABC ABC的正视图(也
称主视图)是
解析：答案为D
如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视 图和俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
例3半径为R的球有一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径 为何值时，它的侧面积最大？最大值是多少？
切入点： 选择适当的截面图，建立侧面积的 函数关系，利用函数求出相应的最值．
解析：取圆柱的一个轴截面ABCD，则 e O为球的ຫໍສະໝຸດ Baidu一个大圆．设圆柱的半径为r，高为h，侧面积为S. 连接OB，作OH AB交AB于H.
.
答案：C
6
3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如 图所示，则其侧面积等于（ ）
A. C.2 3
答案：D
B.2 D.6 3
7
4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何 体的体积等于( )
A.12
B.4
C.
D.
答案：B
8
例2 在四棱锥P ABCD中，侧面PBC是等腰直角 三角形，且垂直底面，PB PC 2 cm，底面 ABCD是菱形，ABC 60.
解析：1证明：Q AC 1，BC 2，AB 5，
AC2 BC2 AB2， AC BC. Q 平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC AC， BC 平面PAC. Q PA 平面PAC， PA BC..
2 该几何体的正视图如下：
又SE SF 2 EF 2 7 a2 a 2 6 a，
2
22
V棱锥

1 3
S底

h

1 a2 3

6 a a3. 2
r 3V
3
6 a3 6

42
6 a，
S 7 1a2
12
S球
4 r2

4 3
7 a2.
1．在三视图中，正俯和正侧视图的对应关系比较 直观，易于理解掌握，而难点在于侧俯两视图的宽 相等和前后方位的理解和判断． 2．对于几何体的表面积与体积问题，要熟记各类 几何体的表面积与体积公式，做到正确选用，准确 计算． 3．几何体的切接问题： (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是 把握球的直径即它们的体对角线． (2)柱、锥的内切球问题，需找准切点的位置，化 归为平面几何问题．
在RtOBH中，有( h)2 R2 r2，即h 2 R2 r2 . 2
S 2 rh 2 r 2 R2 r2 4 r R2 r2 .
S 2 16 2r2 R2 r2 16 2 r2 2 16 2R2r2.
1设外接球的半径为R，球心为O，则OA
OC OS，所以O为SAC的外心， 即SAC的外接圆半径就是球的半径． Q AB BC a， AC 2a，SAC为正三角形．
由正弦定理得2R AC 2a 2 6 a， sinASC sin60 3
因此，R

2
6 3
1 2

AB

PG

1 2

2
2
14 2
7 cm2 ．
同理，SPCD 7 cm2 ，SPBC 2 cm2
S全 S底面ABCD SPAD SPAB SPCD SPBC
4 3 4 7 7 2 4 3 2 7 6 cm2 ．
表面积是
A．372
B．360
C．292
D．280
解析：该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面面积之和． 故S 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360.
3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的 表面积为 .
1.(2010 深圳一模)如图，一个简单空间几何体的三视图中，
正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为
正方形，则此几何体的表面积是
A．4 4 3
B．12
C．4 3
D．8
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为边长 是2的正方形，高为的正四棱锥．易计算得表面积是12.
2.(2010 安徽卷)一个几何体的三视图如图，该几何体的
又底面ABCD为菱形，
底面ABCD的面积为S底面ABCD BC ABsin60
2 2 2 2 3 4 3 cm2 ． 2
VP ABCD

1 3

S底面
ABCD
PE

14 3
3
2
4 6 cm3 ． 3
2Q 底面ABCD是菱形，ABC 60，E为BC的中点，
5.如图所示的几何体中，平面PAC 平面ABC，PM / /BC， PA PC，AC 1，BC 2PM 2，AB 5.已知该几何体
的侧视图(左视图)的面积为 3 . 4
1求证：PA BC； 2 画出该几何体的正视图(主视图)，并求其面积S； 3求出多面体PMABC的体积V .
因为PA PC，取AC的中点D，连接PD，则PD AC. 又平面PAC 平面ABC，则PD 平面ABC，
该几何体的左视图面积为1 AC PD 1 1 PD 3 ，
2
2
4
PD 3 ，从而易知PAC是边长为1的正三角形． 2
主视图的面积是上、下底面边长分别为1和2，
解析：由三视图知该几何体是底面为直径是2的圆，高为
3的圆锥．所以该几何体外接球的半径为R 2 3 ，所以 3
V 4 R2 4 ( 2 3 )2 16 .
3
3
4.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图
都是矩形，俯视图为正方形．在该几何体上任意
选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4
2 积V 1 Sh 1 3 2 2.
33
1．三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考 重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握 三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯 之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等， 即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”． 2．解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几 何体，再结合三视图进行处理
ABC为等边三角形． 连接AE，则有AE BC.又BC PE，AE PE E， BC 平面PAE， BC PA. Q AD / /BC， AD PA.
在PAE中，由PE 2cm，AE AC sin60 6 cm，
得PA 2 2 ?cm.又AD BC 2 2 ?cm，
由BC 平面PAC，可知BC PC.
由PM / /BC，
可知四边形PCBM 是上、下底边长分别为1和2，
PC为高的直角梯形，其面积S 3 . 2
所以V 1 S AN 1 3 3 3 .
3
32 2 4
本节完，谢谢！
Q 这是一个关于r2的二次函数，
当r2 16 2R2 R2 ，即r 2 R时S有最大值，
2(16 2 ) 2
2
最大值为4 2 R R2 ( 2 R)2 2 R2.
2
2
故当这个圆柱的底面半径为R时，它的侧面积最大，
最大值是2 R2.
1．有关旋转体的切接问题一般通过轴截面图 化归为平面问题解决． 2．立体几何中的最值问题，可构造目标函数， 用求最值的方法加以解决．
变式3已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为 2a.
求：1它的外接球的体积； -
2它的内切球的表面积．
解析：设正四棱锥S ABCD，如图所示．SAC 的外接圆是外接球的一个大圆，所以只要求出 这个外接圆的半径即可．而内切球的球心到 棱锥的各个面的距离相等，所以可由正四棱锥 的体积求出内切球的半径．
PD为高的直角梯形的面积，所以S 1 1 3 3 3 . 22 4
3 取PC的中点N，连接AN .
由PAC是边长为1的正三角形，可知AN PC.
由1 BC 平面PAC，可知AN BC，
AN 平面PCBM .
AN是四棱锥A PCBM的高，且AN 3 . 2
例1 (2009 珠海二模)一个五面体的三视图如下： 正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是 直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的 体积为________．
将三视图还原成直观图再进行计算．
解析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其 直观图如下图所示．
由直观图结合三视图可知，此四棱锥的底面为直角 梯形，其面积S 1 2 2 3，高为h PA 2.故体
1
1
SPAD 2 AD PA 2 2
22
2 4 cm2 ．
过E作EG AB于G，连接PG，则PG AB.
在EGB中，EG 3 BE 6 .
2
2
在PEG中，PG PE2 EG2 2 3 14 . 22
SPAB

个顶点，这些几何形体是
(写出所有正
确结论的编号)．
①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰 三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析：由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体． 显然①可能，②不可能，③④⑤由下图甲、乙、丙知 都有可能．
切入点：利用直截面面积与侧棱的积求侧面积；或 用“分解法”求出各侧面面积，从而得全面积．运 用此法的关键在于证明侧面BCC1B1是矩形．
解析：如图，作BD AA1于D，连接CD. 可证BAD≌CAD. CDA BDA 90，即AA1 CD. 而BD I CD D， AA1 平面BCD，即平面BCD为直截面．
求：1 这个四棱锥的体积； 2 这个四棱锥的全面积．
切入点：求体积的关键是求出 底面积和高；求全面积的关键 是求出各个侧面的面积．
解析: 1Q 平面PBC 平面ABCD，
过P作PE BC于E，则有PE 平面ABCD. Q PBC是等腰直角三角形，PB PC 2 cm， PE 2cm，BC 2 2cm
易知BD CD 4 sin60 2 3.
1 S侧 c直截面 l (2 3 2 3 4) 8
32 32 3，
S全 2S底 S侧 40 3 32.
2Q
S BCD

1 2
4
（2
3）2 22 4
2，
V SBCD AA1 4 2 8 32.
四棱锥的全面积为(4 3 2 7 6)cm2.
面积与体积的计算要注意如下两个方面： 1．目标明确，根据相应的面积与体积公式， 弄清已知了什么量，还需要什么量，怎样得到 这些量． 2．保证计算的合理性．在运用公式计算之前， 要有必要的推理与证明．
变式2 斜三棱柱ABC — A1B1C1中，底面是边长为4的正 三角形，且- A1AB A1AC 60，AA1 8.求它的全面 积与体积．
a，则V外接球

4
3
R3


a3.
2设内切球的半径为r.作SE 底面于E，
作SF BC于F，连接EF.
则有SF SB2 BF 2 2a2 a 2 7 a， 22
SSBC

1 2
BC
SF

1a 2
7 a a2， 2
S棱锥全 4SVSBC S底 ( 7 1)a2.