江苏省苏州市第五中学高中数学2.1向量的概念及表示学案(无答案)苏教版必修4
数学知识点苏教版必修4高中数学2.1《向量的概念及表示》word导学案-总结
_______________ ___________________________________叫单位向量。
4、_________________________________________平行向量
既有大小又有方向的量_________________________________________。
1、向量的概念（两要素）____________________ _____________________
2、如何表示向量？
3、__________________________________________________向量的模，
【学后反思】
【课堂检测】2.1课题:向量的概念
1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，___________________
【学后反思】
【课堂检测】2.1课题:向量的概念
1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，___________________
_______________是数量,____________________________________是向量.
2、在下列结论中，正确的是______________________ ________
（1）分别写出与 ， 相等的向量；
（2）写出与 共线的向量；
（3）写出与 的模相等的向量；
（4）向量 与 是否相等？
4、在如图所示的向量 中（小正方形的边长为 ），是否存在：
（1）共线向量（2）相反 向量（3）相等向量（4）模相等的向量
若存在，分别写出这些向量。
苏教版数学高一-必修4学案 2.1 向量的概念及表示
2．1 向量的概念及表示1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量．2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小．1．向量：既有大小又有方向的量称为向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的向量记作AB →. 3．向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合； (6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a ∥c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1 下列命题中，正确的是________． ①a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等； ②若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同； ④共线的单位向量必是相等向量． 答案 ②解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中： ①模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.②模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM →反向的也有6对．③模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．(1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量有：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量有：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是________． ①零向量没有大小，没有方向； ②零向量是唯一没有方向的向量； ③零向量的长度为0；④任意两个单位向量方向相同． 答案 ③解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故①②错误，③正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故④错误．2．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中向量是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →3．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量． 解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →. (2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标1.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列正确的是______．①AD →＝BC →；②AC →＝BD →；③PE →＝PF →；④EP →＝PF →. 答案 ④解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 2．下列说法正确的有________．(填相应的序号) ①方向相同的向量叫相等向量； ②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量； ⑤共线向量不一定相等； ⑥平行向量方向相同． 答案 ②⑤解析 ②与⑤正确，其余都是错误的．3．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1.其中正确的是________．(填相应的序号) 答案 ③解析 a 任一非零向量，故|a |＞0. 4．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是________． 答案 1解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，不能确定它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．5．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________． 答案 ①③④解析 因为a ＝b ⇒a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④. 6．下列结论中，正确的是________．(填相应的序号) ①若向量AB →，CD →共线，则向量AB →∥CD →； ②若向量AB →∥CD →，则向量AB →与DC →共线； ③若向量AB →＝CD →，则向量BA →＝DC →； ④若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形． 答案 ①②③解析 根据平行向量(或共线向量)定义知①②均正确；根据向量相等的概念知③正确；④不正确．7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列说法正确的是________．(填相应的序号)①向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线；②长度相等的向量叫做相等向量；③零向量长度等于0；④共线向量是在一条直线上的向量． 答案 ③解析 向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以①②④均错． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有____________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________． 答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD |→＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去． (1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形， 故有n ·(180°－α)＝(n －2)·180°. 即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个， 即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。
2019-2020高中数学第2章平面向量2.1向量的概念及表示学案苏教版必修4
3．把同一平面内所有模不小于 1，不大于 2 的向量的起点， 移到同一点 O，则这些向量的终
点构成的图形的面积为．
答案 3π
解析 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为
π· 22－π· 12＝3π．
4. 如图所示，以 1×2 方格纸中的格点 ( 各线段的交点 ) 为起点和终点的向量中．
(1) 写出与 A→F， A→E相等的向量； (2) 写出与 A→D模相等的向量． 解 (1) →AF＝ B→E＝ C→D，→AE＝ B→D.(2) D→A， C→F， F→C.
答案 3 解析 由勾股定理可知， BC＝ AC2－AB2＝ 3，所以 | B→C| ＝ 3. 4. 如图， O是正三角形 ABC的中心，四边形 AOCD和 AOBE均为平行四边形，则图中所示向量 与向量 A→D相等的向量为； 图中所示向量与向量 O→A共线的向量为； 图中所示向量与向量 O→A的模
相等的向量为． ( 填图中所画出的向量 )
(1) 与 O→A的模相等的向量有多少个？ (2) 是否存在与 O→A长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3) 与 O→A共线的向量有哪些？ 解 (1) 与O→A的模相等的线段是六条边和六条半径 ( 如 OB) ，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有 23 个． (2) 存在．由正六边形的性质可知， BC∥ AO∥EF，所以与 O→A的长度相等、 方向相反的向量有 A→O， →OD， F→E， B→C，共 4 个． (3) 由 (2) 知， BC∥ OA∥ EF，线段 OD， AD与 OA在同一条直线上，所以与 O→A共线的向量有 B→C， →CB， E→F， F→E，A→O， O→D，→DO， A→D， D→A，共 9 个． 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A点出发向西行驶了 100km到达 B点，然后又改变方向， 向西偏北 50°的 方向走了 200km到达 C点，最后又改变方向，向东行驶了 100km到达 D点． (1) 作出向量 A→B， B→C，C→D； (2) 求 | A→D|. 解 (1) 向量 A→B， B→C，C→D如图所示．
江苏省苏州市第五中学高中数学2.1向量的概念及表示学案(无答案)苏教版必修4
2.1 向量的概念及表示 平面向量的基本概念和几何表示：向量、 1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念； (2)掌握向量的表示方法； (3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量． 2. 预习提纲 (1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量． ②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号AB 表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小写字母a ，b ，c 等表示． ③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB |．④向量的其他概念及表示方法．3. 典型例题(1) 向量的有关概念例 1 给出下列命题： ①若a =b ，则a b =；②若a <b ，则a b <；③若a =b ，则a ∥b ；④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b ，则a =b ．其中正确命题的序号是 ．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b 的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确．a <b 知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择．(2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；(3)写出与向量DE 相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与CD 共线的向量有7个，它们分别是DC BC BD EF FE DB CB ，，，，，，；(2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是AE EA BE EB FD ，，，，；(3)如图，==.(3) 向量的应用例3 若AB AD =且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD =得出结论．解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形． 点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系．4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确： ①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若a 、b 都是单位向量，则a b =；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c ；⑥零向量没有方向； ⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的；⑨向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．(2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②AB∥CD与AB∥CD一样吗？③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？三、课后巩固练习A组1．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量OE的长度记作_____；0的模是_____，i是单位向量，则||i的值是____．a )平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．4．与非零向量a(15．已知a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c∥a，c∥b，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF中，Ｏ为中心，(1)与OF相等的向量有；(2)与DC共线的向量有；(3)与BA的模相等且反向的向量有．8．直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．B组9.在直角坐标系中，画出向量a：a=5，a的方向与x轴正向的夹角是30°，与y轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形．分别写出：(1)与共线的向量；(2)与FE 共线的向量；(3)与ED 相等的向量；(4)与相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B点向东飞行到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA 表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况．13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为 ．向量的四、学习心得五、 拓展视野 向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．。
高中数学 2.1 向量的概念及表示互动课堂学案 苏教版必修4(2021年整理)
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高中数学 2.1 向量的概念及表示互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.位移的概念在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作是一个质点,用点表示它在平面的位置.一个质点从点A运动到A′,如果我们不考虑它的运动路线,只考虑点A′相对A的“方向”和“直线"距离，我们说质点在平面上作了一次位移，因此位移被“方向”与“距离"唯一确定,位移只表示位置的变化,起、终点间的位置关系,而与质点实际运动的路线无关.特别提示：从两个不同点出发的位移,只要方向相同，距离相等，我们可将它们看成是相同的位移或相等的位移。
2.向量的概念及表示（1）向量的概念在高中阶段,我们暂且把具有大小和方向的量叫做向量，更具体一些，向量可以理解为“一个位移”或表达“一个点相对于另一点的位置”的量.有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如,力就是既有大小，又有方向，并且还有作用点的向量。
有些向量只有大小与方向;而无特定的位置.例如,位移、速度等.通常将后一种向量叫做自由向量.以后无特殊说明，我们所提到的向量，都是自由向量,即我们高中阶段所研究的向量只有大小、方向两个要素，如果两个向量的大小、方向都相同，则说这两个向量相等。
疑难疏引由于向量是具有大小和方向的量,所以向量不能比较大小.这是向量与数量的不同之处。
高中数学：2.1 向量的概念及表示 教案(苏教版必修4)
a 第 1 课时： 2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。
3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法： 采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a 千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
25.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.1向量的概念及表示
第二章平面向量§2.1 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，还有单位圆中的三角函数线等等，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家先通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.提问：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量称为向量．2.向量的表示方法：①用有向线段表示，如“向量常用一条有向线段来表示（这里应理解为几何的表示），有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．”――――课本上的语言；②用字母a 、b 等表示（这才是符号语言）；（注意：这是一个不太好做到的一项规定，“粗体”在手工书写中是很难象印刷体那么区分的，故实际应用中变通为字母上方加箭头，如：a 、b 、c，特别强调“字母上的箭头绝不能丢掉”．）③用有向线段的起点与终点字母再加上箭头表示，如：AB（这也是符号语言）.3.零向量、单位向量、向量的长度的概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；③向量AB （a ）的大小称为向量的长度（或称为模），记作||AB （||a）．说明：01．零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.02．向量的模是一个标量，它是一个非负的数量．4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c平行，记作a b c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 、b 相等，记作a =b；(2)零向量与零向量相等； (3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上；说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量,记作-a ，a与－a 互为相反向量．并规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－（－a ）＝a ．练习1. 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA uu r 、OB uu u r 、OC uuu r相等的向量.解析: 与OA uu r 相等的向量有CB uu r 、DO uuu r ，与OB uu u r 相等的向量有EO uu u r、DC uuu r ，与OC uuu r 相等的向量有FO uu u r 、AB uu u r 、ED uu u r .分析：与AB相等的向量应当满足“等长且同向”，首先要确定这些向量的起点，在方格纸格点中，除去Ａ点外，符合题意的点还有7个，如图2-1-7(2).与AB 长度相等的共线的向量除与AB 方向相同的向量外，还有与AB 方向相反的向量．7.上面一共定义了几个概念？向量、零向量、单位向量、向量的长度、平行向量( 别名“共线向量” )、相等向量和相反向量，共七个．8.出现了几种类型的符号?向量的符号、零向量的符号、向量的模的符号共三种类型．练习2. 如图,O 为正方形的中心. (1) 向量AB uu u r 与向量CD uu u r 是相等向量吗?(2) 向量OA uu r 与向量CA uu r 是平行向量吗? (3) 向量AD u u u r 的长度与向量AC uuu r 的长度之比是多少?解:(1)不相等. (2) 是 (3) 1:2 .辨析1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④若四边形ABCD 是平行四边形,则有AB ＝DC，反之亦然；⑤模为0是判断一个向量方向不确定的唯一条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、CD在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定；③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，必须把握好.辨析2．下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度；2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小；3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘；4.向量a与实数a 必须分清；5.零向量0与实数0必须分清； 6.注意下列写法是错误的： ①a －a ＝0； ②a ＋0＝a ；7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定0 ＝0.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即：两个向量平行⇒两个向量相等，反过来则有：两个向量相等⇒两个向量平行．为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练. Ⅲ.课堂练习练习：（课本P59练习1、2、3、4.）说明:带领同学们观看一下，作为对概念的应用的感受，结论留给同学们课后自己得出．- 11 -Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业1.课外练习：课本P59习题2.1 第1、2、3、4题；2.课时训练P39第1课时 向量的概念及表示．。
高中数学 第2章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学案 苏教版必修4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2章平面向量2.1 向量的概念及表示学案苏教版必修4的全部内容。
2.1 向量的概念及表示1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．（重点）2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点) 3．理解向量的几何表示．（重点）［基础·初探］教材整理1 向量的定义及表示阅读教材P59图2。
1.2以上部分内容，完成下列问题.定义既有大小又有方向的量称为向量表示方法（1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为错误!；(2）字母表示：用小写字母a,b，c表示模向量错误!的大小称为向量的长度(或称为模），记作｜错误!|1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)有向线段就是向量．（）（2）向量就是有向线段．( ）(3）有向线段可以用来表示向量．（）【答案】（1)×(2）×（3)√2．下列物理量:①质量；②速度；③位移；④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度;⑧功．其中不是向量的有________(填序号)．【解析】一个量是不是向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量．【答案】①⑥⑦⑧教材整理2 向量的有关概念及其表示阅读教材P59图2。
江苏省苏州市第五中学高中数学第二章单元复习学案(无
江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章单元复习学案（无答案）苏教版必修4一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且∥，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且=3，若AD a =，则++EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． 5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①=-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？BACODE16．(本小题14分)已知向量=(6，2)，=(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ； (2)a ⊥b ；(3)，的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.1.1 向量的概念及表示》
平面向量的坐标创新整合点1、平面向量得坐标表示由平面向量基本定理知任一向量可以用不共线的两个向量表示，借助白板课件可以将分解的图形展示的非常形象，在课件中用图像可以将分解的情况展示给学生。
本部分内容比较简单,直接运用向量在基底下的表示形式讲解即可，然后通过相关问题让学生感悟提高。
2、平面向量的坐标运算 先与学生共同推出运算法则，然后通过练习强化最后通过学生独立思考,让学生充分动手,动脑,动眼；再通过生生合作和师生合作达到掌握本节课的教学目的。
教学目标：知识与技能目标：正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用与表示它的有向线段的起点坐标、终点坐标来表示；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系； 过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导培养学生演绎、归纳、猜想的能力；通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力；情感态度与价值观目标：借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力． 教学过程：一、创设情景，揭示课题复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ使1212a e e λλ=+．其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
特别地，当基底相互垂直时，称为正交分解。
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．设计意图：借助白板的投影功能和拉幕功能展现向量分解的几何意义。
二、学生活动提出问题：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？实际操作：如图，在直角坐标系内分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底分解向量a ：设计意图：利用白板的书写和平移图像的功能让学生彻底掌握分解向量的相关思维方法，完成学生自我探究，学生与学生交流合作的功能。
2019-2020年高中数学第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案苏教版必修4
2019-2020年高中数学第二章平面向量第1课时2.1向量的概念及表示教案苏教版必修4【教学目标】一、知识与技能1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向），能正确地表示向量；2．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）；3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
二、过程与方法（1）从对不同问题的思考中感受什么是向量。
（2）通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质.三、情感、态度与价值观（1）通过向量包含大小和方向，概念的学习感知数学美。
（2）向量的方向包含正反两方面，正反关系的对照培养学生辨证唯物主义思维【教学重点难点】：1．向量、相等向量、共线向量等概念；2．向量的几何表示【教学过程】一、问题情境：问题1、湖面上有3个景点O，A，B，如图所示.一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客送至景点B，从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移.位移与距离这两个量有什么不同？问题2、下列物理量中，那些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
问题3、上述的物理量中有什么区别吗？二、新课讲解：（一）概念辨析：（1）向量的定义：（2）向量的表示：（3）向量的大小及表示（4）零向量：（5）单位向量：（二）向量的关系：问题4：在平行四边形ABCD中，向量与，与有什么关系？（1）平行向量（2）相等向量（3）相反向量说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；（2）零向量与零向量相等，记作；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
问题5：1.向量能否平移？2. 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？两者有何区别？二、例题分析：例1、已知O为正六边形ABCDEF的中心，如图，所标出的向量中：（1）试找出与FE共线的向量；（2）确定与FE相等的向量；（3）OA与BC向量相等么？例2、判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？例3、如图，在4×5的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与AB 相等的向量有多少个？与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）课时小结：（1） 向量是既有大小又有方向的量，向量有两个要素：方向和长度，称为自由向量；有向线段具有三个要素：起点，方向和长度；（2） 数量（标量）与向量的区别与联系：向量不同于数量。
苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(1)(1)
§2.1 向量的概念及表示教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分3.平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：（1）向量概念的引入，会表示向量.（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，教学难点：（1）“数”与“形”的结合思想（2）平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体，尺规一、问题情景：（1）湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。
思考：位移和距离这两个量有什么不同？（位移既有大小又有方向，距离只有大小没有方向）（2）据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力约为2万牛,每个航天员的质量约为65kg，火箭进入轨道后的速度约为708km/s。
上述力、质量、速度这些在生产生活中常见的量我们如何用数学模型来刻画呢？思考：上述的力、质量、速度三个量有什么区别？AB 二、建构数学： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量 （例：位移、力、速度、加速度等） 注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进 行代数运算、比较大小；（例： 距离、身高、时间、质量等）而向量有方向与大小双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法： ①几何表示法：有向线段．有向线段------具有确定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度 ②代数表示法：字母i)用有向线段的起点与终点字母来表示 ii)用小写的字母来表示 3.两种特殊向量零向量：长度为 0 的向量。
2019-2020学年苏教版必修4 2.1 向量的概念及表示 学案
2．1向量的概念及表示1.理解平面向量的基本概念和几何表示．2.掌握相等向量、共线向量和相反向量的定义．1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小，又有方向的量． (2)有向线段①定义：带有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A 为起点、B 为终点的有向线段记为AB →.④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|. (3)向量的表示2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，记作|AB →|． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量(又称共线向量)．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .(3)相反向量：把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作－a ，其中a 与－a 互为相反向量，并规定零向量的相反向量仍是零向量，对任一向量a 都有－(－a )＝a .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)大小相等的两个向量是共线向量．( ) (2)向量的模是一个正实数．( )解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量． (2)错误．零向量的模是零，不是正实数． 答案：(1)× (2)×2．已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是M D ．终点是M答案：D3．下列说法正确的序号是________． ①两个单位向量一定相等；②若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ③共线的单位向量必相等；④两个相等的向量起点、方向、长度都必须相同．解析：因为零向量与任意向量都共线，又因为a 与b 不共线，所以a 与b 都是非零向量． 答案：②4．与非零向量a 平行的单位向量的个数是________．解析：与非零向量a 平行的单位向量只有与a 方向相同和方向相反的两个向量． 答案：2向量的有关概念如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：(1)AO →与AF →的长度相等吗？它们是相等向量吗？(2)AB →与DE →的长度相等吗？它们平行吗？它们是相等向量吗？【解】 (1)AO →与AF →的长度相等，都是1， 即|AO →|＝|AF →|，但AO →与AF →不是相等向量．(2)|AB →|＝|DE →|，且AB →∥DE →，但AB →与DE →不是相等向量，因为AB →与DE →的方向相反．对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量、共线向量与平行向量之间的区别和联系．(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．1.判断下列各命题是否正确．(1)因为|AB →|＝|BA →|，所以AB →＝BA →； (2)因为a ＝b ，b ＝c ，所以a ＝c ；(3)因为AB →＝DC →，所以AB →与DC →是共线向量，即A 、B 、C 、D 四点共线； (4)因为|0|＝0，所以0＝0.解：(1)不正确.AB →表示以A 为起点，B 为终点，方向从A 指向B ；BA →表示以B 为起点，A 为终点，方向从B 指向A ；虽然|AB →|＝|BA →|，但AB →与BA →的方向不同．(2)正确．相等向量是大小相等，方向相同的向量，显然由a ＝b ，b ＝c 可知，a 、c 都与b 大小相等，方向相同．(3)不正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量中AB →与DC →所在的直线不一定共线，也可能平行．(4)不正确．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0.向量的表示一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|. 【解】 (1)向量AB →、BC →、CD →，如图所示．→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线．(2)由题意，易知AB又|AB→|＝|CD→|，所以在四边形ABCD中，AB═∥CD．所以四边形ABCD为平行四边形．所以AD→＝BC→，|AD→|＝|BC→|＝200 km.用有向线段表示向量的步骤(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．2.在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 的正西方向； (2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向； (3)求出|AB →|的值．解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB→|＝|OB→|2－|OA→|2＝3.相等向量与共线向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量． 【解】 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →， OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．3.如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(1)与DO →，CO →相等的向量； (2)与DO →共线的向量；(3)与AO →模相等的向量． 解：(1)DO →＝CF →，CO →＝DE →. (2)与DO →共线的向量为CF →，BO →，AE →.(3)与AO →模相等的向量有：DO →，CO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.1．向量与数量的区别和联系(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量；(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．4．与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中的正确命题有________个．【解析】对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．【答案】 1(1)解答本题误认为|a|与|a|是同一问题，把向量的模按实数的绝对值来处理．(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE →平行的向量为BE →，FD →，FC →共3个． 2．下列结论中正确的是( ) ①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ； ④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |. A ．①③ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．关于零向量，下列说法中错误的是________． ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的模都相等； ④零向量的方向是任意的．解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的． 答案：①4.如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则 (1)与OA →的模相等的向量有多少个？ (2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？ (3)写出与AB →共线的向量．解：(1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量． (2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →. (3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.[学生用书P101(单独成册)])[A 基础达标]1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选D ．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a|或－a|a|，故④也是错误的．2．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D ．A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( ) A ．相等向量 B ．模相等的向量 C ．平行向量D ．起点相同的向量解析：选B ．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O 到三个顶点A ，B ，C 的距离相等，所以AO →，BO →，CO →是模相等的向量．4．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤解析：选B ．①|a |>|b |不正确，a 是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a ∥b ，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a 是非零向量，故|a |>0正确；④|b |＝1，故④不正确；⑤a|a |是与a 同向的单位向量，不一定与b 同向，故不正确．5.如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形． (1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．答案：(1)FE →、AD → (2)FE →、AD →、EF →、DA →、CB →6.如图所示，O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →.其中，所有表示正确的序号为________．解析：因为正方形的对角线互相平分，所以AO →＝OC →，①正确；AO →与AC →的方向相同，所以AO →∥AC →，②正确；AB →与CD →的方向相反，所以AB →与CD →共线，③正确；尽管|AO →|＝|BO →|，然而AO →与BO →的方向不相同，所以AO →≠BO →，④不正确．答案：①②③7.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 不共线，所以AB →与BC →不共线． 又m 与AB →，BC →都共线， 所以m ＝0. 答案：08.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A 跳到A 1或A 2，用向量AA 1→、AA 2→表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B 、C 分别走了一步的所有情况．解：如图所示，在B 处有3种走法；在C 处有8种走法．[B 能力提升]1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →2．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为AO →(OC →)、OA →(CO →)，DO →(OB →)，AD →(BC →)，DA →(CB →)，AB →(DC →)，BA →(CD →)，BO →(OD →)，AC →，CA →，BD →，DB →，由元素的互异性知T 中有12个元素．答案：123．设在平面内给定一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF →＝HG →.证明：如图所示，连结AC ．在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF ＝12AC ，EF ∥AC ，同理HG ＝12AC ，HG ∥AC ． 所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，所以EF →＝HG →.4．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B ，点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →；(2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由第一问所画的图知，①当点C 位于点C 1和C 2时，|BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5和C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。
高中数学 2.1 向量的概念及表示导学案 苏教版必修4
2.1 向量的概念及表示1．向量的概念及其表示 (1)向量的定义既有大小又有方向的量称为向量． (2)向量的表示方法(3)向量的长度(模)向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|. 预习交流1有向线段是向量吗？提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式． 2．特殊向量及其表示(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(1)相等向量一定是共线向量吗？提示：是．由共线向量与相等向量的概念知，共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(2)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必共线，正确吗？提示：不正确．共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线．一、向量的有关概念判断下列命题的正误：(1)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之，若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点必能组成平行四边形．思路分析：解答有关向量概念的题目，其关键是理解向量的大小和方向及向量的相关概念．解：(1)正确，相等向量具有传递性；(2)不正确，若b ＝0，则不共线的向量a ，c 也有a ∥0，0∥c ；(3)不正确，结合平行四边形的定义可知：四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之不成立，因为A ，B ，C ，D 四点可能共线．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是__________(填序号)．答案：①③④解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确； |a |＝|b |但方向可以任意， ∴②不正确；a 与b 反向必平行或重合， ∴③正确；由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④正确； 两单位向量的模相等但方向不一定相同， ∴⑤不正确．(1)向量是数与形的完美结合体，因此在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．(2)相等向量具有传递性，但共线(平行)向量不具有传递性． (3)注意向量与数量的区别，两者最大的差异在于前者具有方向性．后者可以比较大小，但向量一般不比较大小．二、向量的表示方法在一次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求出|AD →|.思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解．解：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →. ∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.在如图的方格纸中，按要求画出向量．(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应各题的向量如图所示．向量的画法及表示方法(1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示．用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算．三、共线向量与相等向量如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量；(3)若|AB →|＝3，求向量DE →的模． 思路分析：本题可依据相等向量与共线向量的定义求解．寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量．解：(1)与向量AB →相等的向量是ED →，DC →；(2)与向量AB →共线的向量是DE →，DC →，CE →，BA →，ED →，CD →，EC →；(3)∵D E →＝－A B →，且|AB →|＝3， ∴|DE →|＝|AB →|＝3.如图所示，四边形ABCD 为平行四边形．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)分别写出与OA →共线，与AB →共线的向量．解：(1)3个，分别是OC →，CO →，AO →. (2)OC →，AO →.(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →.与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.(1)注意相等向量与共线向量的联系与区别，相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．(2)用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用，利用图形的直观性，向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到．1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④加速度；⑤路程；⑥力；⑦密度；⑧功．其中不是向量的是__________(填序号)．答案：①⑤⑦⑧解析：利用向量的定义判断．2．下列说法错误的是__________(填序号)．①向量AB →与BA →模相等；②两个相等向量若起点相同，则终点必相同； ③只有零向量的模等于0； ④零向量没有方向． 答案：④解析：零向量的方向是任意的．3．若a ＝b ，且|a |＝0，则b ＝__________.答案：0解析：由两向量相等可得．4．下图中，小正方形的边长为1，则|AB →|＝__________； |CD →|＝__________； |EF →|＝__________. 答案：3 2 26 2 2解析：根据勾股定理可得|AB →|＝32；|CD →|＝26；|EF →|＝2 2. 5．在下图的坐标纸上，按要求画出向量(每个小方格的边长为1)．(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； (3)BC →，使|BC →|＝32，点C 在点B 南偏东45°方向． 解：如图所示．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.1 向量的概念及表示整体设计教学分析1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．三维目标1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．重点难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．教具准备实物投影仪，多媒体课件．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.如图1，图1在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．推进新课新知探究1．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．2．向量的表示方法(1)字母表示法：如a 、b 、AB →等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．3．零向量长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．4．单位向量模为1个单位长度的向量．5．平行向量方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.规定：0与任一非零向量平行．a 与b 平行，记作a ∥b .6．相等向量长度相等且方向相同的向量，记作a ＝b .7．相反向量长度相等且方向相反的向量．在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，图2在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点、B 为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →，起点要写在终点的前面．已知AB →，线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．用有向线段表示向量的方法是：①起点是A ，终点是B 的有向线段，对应的向量记作：AB →.这里要提醒学生注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点．②用字母a ，b ，c ，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a ，书写用 a →)③向量AB →(或a )的大小，就是向量AB →(或a )的长度(或称模)，记作|AB →|(或|a |)．教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a ＞b 就没有意义，而|a |>|b |有意义．注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a .综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a ，b ，c 平行，记作a ∥b ∥c .如图3.图3又如图4，a ，b ，c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．图4这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．应用示例例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1) ABCD 中，AB →与CD →是共线向量；(2)单位向量都相等．活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.图5因为AB∥CD，所以AB →∥CD →.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．解：(1)正确；(2)不正确．点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好． 例2见课本本节例1.点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．对于相反向量，我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量(opposite vectors)，记作－a ，a 与－a 互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a 有－(－a )＝a .例3见课本本节例2. 图6在以图中的点为端点的所有向量中，与AG →平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？例4下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．答案：C点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.知能训练课本本节练习1、2、3、4.课堂小结1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．作业如图7，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O 是AC 与BD 的交点，求证：EO →＝OF →.图7证明：∵AB∥CD，∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.同理，OF∥DC，∴E，O ，F 在同一直线上．∴EO DC ＝AE AD ＝BF BC ＝OF DC. ∴EO＝OF ，即|EO →|＝|OF →|.又EO →与OF →方向相同，∴EO →＝OF →.设计感想1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．备课资料备用习题1．若正多边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，…，a n ，则这n 个向量…( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等2．如图8所示，在△ABC 中，DE∥BC，则其中共线向量有…( )图8A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组3．如图9所示，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则下列各组向量相等的是( )图9A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →4．如图10所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．图10(1)写出与ED →相等的向量；(2)若|AB →|＝3，求向量EC →的模．5．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a ∥b ，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．如图11，O 为正方形ABCD 的中心．图11(1)AB →与CD →是相等向量吗？(2)AO →与AC →是平行向量吗？(3)AD →的长度与AC →的长度之比为________．7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与GF →相等的向量．图128.(1)如果非零向量a 、b 平行，非零向量b 、c 也平行，则a 、c 是否平行？(2)如果非零向量a 、b 共线，非零向量a 、c 也共线，则向量a 、b 是否共线？ 参考答案：1．D 2.C 3.D4．(1)与ED →相等的向量有DC →和AB →(因为四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，故AB ＝ED ＝DC)．(2)向量EC →的模等于6.5．C 因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．6．(1)不是 (2)是 (3)1∶ 2评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．7．解：与GF →相等的向量有CG →，MH →，NE →.评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．。
高中数学(向量的概念及表示)教案2 苏教版必修4 教案
§2.1 向量的概念及表示教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的2.模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分3.平行向量、相等向量和共线向量.4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：（1）向量概念的引入，会表示向量.（2）理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，教学难点：（1）“数”与“形”的结合思想（2）平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体，尺规Array教学过程：一、问题情景：（1）湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点A到景点B也有一个位移。
思考：位移和距离这两个量有什么不同？（位移既有大小又有方向，距离只有大小没有方向）（2）据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力约为2万牛,每个航天员的质量约为65kg，火箭进入轨道后的速度约为708km/s。
上述力、质量、速度这些在生产生活中常见的量我们如何用数学模型来刻画呢？思考：上述的力、质量、速度三个量有什么区别？二、建构数学：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量（例：位移、力、速度、加速度等）注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；（例：距离、身高、时间、质量等）而向量有方向与大小双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法：①几何表示法：有向线段．有向线段------具有确定方向的线段．有向线段的三要素：起点、方向、长度②代数表示法：字母i)用有向线段的起点与终点字母来表示ii)用小写的字母来表示A(起点)B（终点）a,,a b c 如：……A BABAB 零向量：长度为 0 的向量。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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2.1 向量的概念及表示典题精讲例1 温度有零上与零下之分，温度是不是向量,为什么?思路分析：判断一个量是不是向量,关键就是看这个量是否同时具备两条：既有大小又有方向，这两者缺一不可.答案：不是，因为温度只有大小没有方向.绿色通道：向量是一种新的量,与以前的数量是不同的体系,两者之间既有联系又有区别；我们把既有大小又有方向而无特定位置的量叫自由向量.描述一个向量有两个指标:大小、方向.变式训练美国“小鹰"号航空母舰导弹发射处接到命令：向1 200千米处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右，射程超过2 000千米)，试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?思路解析：向1 200千米处发射两枚战斧式巡航导弹,这里没有给定发射的方向不能击中伊拉克的军事目标.答案:不能。
例2 如图2—1-1,已知四边形ABCD是矩形，设点集M={A，B，C,D｝，集合T=｛PQ，P、Q∈M,且P、Q不重合}.试求集合T.图2-1-1思路分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集,就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量。
解：从已知条件出发,可以判断出相异的向量有｛,,,,｝.,,,绿色通道:这是一道向量与集合知识交汇的题型，在这里要分别从两个知识点出发,集合主要考查的是其互异性，向量的相关概念在此考查的是相异向量应当具备的一个硬件是排除相等向量的可能性情况，两者之间交汇在一个“异”字,解题时只有认真审题分清思路，才能得到正确的结果.变式训练如图2—1-2,四边形ABCD与ABEC都是平行四边形。
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2.1向量的概念及表示
二、预习指导
1. 预习目标
(1) 理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；
(2) 掌握向量的表示方法；
⑶能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量.
2. 预习提纲
(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义. ⑵阅读课本P57-58,思考下列内容：
①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向
线段的方向表示向量的方向.符
uuu
号AB表示以A为起点，B为终点的向量.向量也可以用小
写字母a , b , c等表示.
uuu umr
③向量的模：向量AB的大小称为向量的长度或向量的模，记作| AB | .
④向量的其他概念及表示方法.
3. 典型例题
(1)向量的有关概念例1给出下列命题：
①若a = b，贝U a b ；②若a < b，则a b ；③若a =b，「则a // b ；
r r rr r r rr rr
④若a // b，贝U a =b ;⑤若a =0,贝U a =0；⑥若a =b，贝U a = b .
其中正确命题的序号是_____________ .
分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断.
r r
解：由相等向量定义可知，若a=b，则a, b的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确.
a < b知模的大小，而不能确定方向，故②不正确.
共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故
③正确，④不正确.
零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0,故⑤不正确.
所以答案为③⑥.
点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量， 可举特例选择.
(2)共线向量与相等向量
方向相同或相反的的非零向量为平行向量， 零向量与任意向量平行.
在图形中要能识别
共线向量与相等向量.
例2如图：EF 是厶ABC 的中位线，AD >^ ABC 勺BC 边上的中线，以 端点的有向线段表示的向量中
(1)与向量CD 共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量;
⑵ 与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量;
⑶写出与向量DE 相等的向量.
分析：根据共线向量与相等向量的定义 即可解决.
解：⑴与CD 共线的向量有7个，它们分别是 CB,DB,FE,EF,BD,BC,DC ;
⑵与向量DF 的模一定相等的向量有 5个，它们分别是FD ,EB,BE,EA,AE ；
(3)如图，DE =CF
= FA .
⑶ 向量的应用
uuu UUU| uuu uuu
例3 若 AB
AD 且 BA CD ，判断四边形
ABC ［的形
状
uur uuu
uuu
分析：先由BA CD 得出四边形为平行四边形，再由 AB AD 得出结论.
uuu
CD 知BA // CD 且BA =CD ，所以四边形 ABC 西平行四边形,
uuu uuu
点评：BA CD 隐含BA // CD 与BA = CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对
边与邻边的关系.
4. 自我检测
(1)判断下列说法是否正确：
① 若两个向量相等，则它们的起点和终点重合;
r r
② 若a 、b 都是单位向量，则a b ；
③ 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量; ④ 不相等的向量一定不平行；
r r
⑤ 若a 平行b , b 平行c ，则a 平行c ;
⑥ 零向量没有方向； ⑦ 零向量与任何向量都平行；
A B C DE 、F 为 urn 解：由BA uuu 「又因为AB uuur
AD ，所以四边形ABCD^菱形.
⑧零向量的方向是任意的；
uuu uuu
⑨向量AB与向量CD是共线向量，则点A B、C、D必在同一条直线上;
⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段.
⑵思考讨论：
①所有的单位向量都相等吗？
ULUT UUU
②AB // CD 与AB // CD 一样吗？
③向量a、b能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为a > b或a v b吗?
三、课后巩固练习
A组
1给出下列命题：
UUU UUU
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
T T
②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量
其中，正确命题的个数是________________ .
2•以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是______________
UUU r r r
3•向量0E的长度记作________ ；0的模是_______ , i是单位向量，贝U |i |的值是
r r
4.与非零向量a(a 1)平行的向量中，不相等的单位向量有 _________________ 个.
T^
5. __________________________________________________________________________ 已知
a、b为不共线的非零向量，且存在向量c，使c // a , c // b ,则c= ____________________
uuu
6•在直角坐标系中，已知OP =2,则点P构成的图形是
7.如图在正六边形ABCDEI中, O为中心，
UUUT
(1) 与OF相等的向量有 _____________________________ ；
Luir
E D
(2) 与DC共线的向量有______________________________ ；
(3) 与BA的模相等且反向的向量有____________________ .
UUU
&直角坐标系中，点A, B的坐标分别为(1 , 3), (5 , 2)，试画出两个与向量AB不相等且
又共线的向量.
B组
r r r
9. 在直角坐标系中，画出向量 a : a =5, a 的方向与x轴正向的夹角是30°,与y轴正方
向的夹角是120° .
10. 如图，D E、F分别是△ ABC各边上的中点，四边形BCM是平行四边形•分别写出:
⑴与ED 共线的向量;
⑵与FE 共线的向量;
⑶与ED 相等的向量;
⑷与FE 相等的向量.
11. 一架飞机从 A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行100 Jk m 到达C 点,
再从C 点向东偏南30°飞行了 50 2 km 到达D 点•问D 点在A 点的什么方向，距 A 点有多 远？
12•右图是中国象棋的半个棋盘， “马走日”是象棋中马的走法，
uur uuun
如图，马可从 A 跳到A ,也可跳到 A,用向量AA ，AA 表示马走
了“一步”，试在图中画出马在 B,C 处走“一步”的所有情况.
13.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一单位圆的圆心的初始位
置在(0 , 1)，此时圆上一点 P 的位置在(0 , 0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位
知识点
题号
注意点
向量的”实际背景
结合向量相等的概念，在一些 几何图形中，能找到相等的向 量，理清平行向量、共线向量、 相反向量、
相等向量的概念
平面向量的基本概 念和几何表示
向量相等的含义
五、拓展视野
向量的由来
向量又称为矢量，最初被应用于物理学•很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、 磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以 表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.
“向量”一词来自力学、
解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，
除零向量外，总可以画出箭头表示方向.但
是在高等数学中还有更广泛的向量.例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间， 这里的多项式都可看成一个向量.
在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向
是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，
可以是任意数学对象或物理对 象•这
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于(2 , 1)时，0P 的坐标为 __________________
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样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了•因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用. 而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优
良运算通性的数学体系.。