求未知参数置信区间一般方法

f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 6/9
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知. 的置信水平为1 的置信区间
(X

S n
t

/
2
(n

1))
2 已知, 的置信水平为1 的置信区间
(9.5 0.98) (8.52, 10.48)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 4/9
设 X1, X2,, Xn为来自总体 X ~ N(, 2) 的样本,
, 2均未知,,求2 的无2 的偏置估(n信计1水2分)S平2别~视为为为21X(n“,S1等2的,) 且价置符形信式区运间算. ”
等价地有
P
|
X S
/

n
|

t
/
2
(n

1)


1


P{ X

S n
t / 2(n 1)


X

S n
t /2(n 1)} 1 Nhomakorabea故 的置信水平为1 的置信区间为
(X

S n
t

/
2
(n

1))
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 3/9
试验中,用老工艺进行了 8 次试验,计算出得率的 x 91.73,
样本方差 s12 3.89 ;又用新工艺进行了 8 次试验,计算出得 率的平均值 y 93.75,样本方差 s22 4.02 .假定老、新工艺
的得率分别为 X ~ N(1, 2 ),Y ~ N(2, 2 ), 两样本相互独立. 试求 1 由2题的给置条信件水有平n为1 0看n.92似5的新8置,工t0信.艺025区能(1间4提).高2得.14率48
1 2 ( X Y
2) )n1St1(n1nn11n2122n)1S2
1
n1

1
n2
t / 2(n1 n2 2)
t第/ 2七(n章1 n参2数12估)计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 9/9
为了提高某化学产品得率,试采用新工艺.在对比
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 5/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求, 的较好的点估计ˆ,ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
W W (,ˆ,ˆ) ~ f (x)
对于给定的置信水平1 ，由 f (x) 确定两个分

S n
t / 2 (n 1))
由题给数据计算得
8.52~10.48
n 5, 0.05,t /2(n 1) t0.025(4) 2.7764
ˆ
x

9.5,
s2

1 4
(1
0

0.25

0.25

1)
0.625
故 的 0.95 的置信区间为
e | ˆ | 20.98 1.96
(X

S n
t

/
2
(n

1))
未知, 2的置信水平为 1的置信区间

(n 1)S 2
2 / 2 (n 1)
,
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n

1)

第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 7/9
设产品的某质量指标
X
~
N
(1
,
2 1
)
由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革
从甲地发送一个电讯号到乙地，设发送的讯号值
为 ,由于噪声干扰使得乙地接收的讯号值 X ~ N(, 2 ). 设 甲地发送讯号 5 次,乙地收到的讯号值为
8.5, 9.5, 10, 9, 10.5
试给出 的置信水平为 0.95的区间估计. 由上例, 的置信水平为 0.95 的置信区间为
(X

F / 2 (n1
1 1, n2
, 1)
S12 S22

1
F1 / 2 (n1 1, n2
1)

第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 10/9
随机地从 A, B 两批导线中各抽取 4 根和 5 根,分 别测得电阻 ()为
A 批 : 0.143 , 0.142 , 0.143 , 0.137
B 批 : 0.140 , 0.142 , 0.136 , 0.138 , 0.140
设 A, B 两批导线的电阻分别为 X ~ N(1, 2 ) , Y ~ N( 2, 2 ). 试求 1 2 的 95%的置信区间,并问两批导线电阻是否有
分布密度f (x已) 知,且
数P{f1,而 /2不 W含(其,它ˆ,ˆ) f /2} 不1含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{ } 1 的置信区间为 ( , )
f 1 /2 (x)
f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 2/9
新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时
该产品的质量指标应为 Y
~
N
(
2
,
2 2
)
为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑
的统计推断问题
1

2,

2 1
/

2 2
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 8/9
Y1,Y2 ,,Y设n2是X来1, 自X2总,体, XYn1 是~ N来(自2,总 2体) 的X样~本N(,两1,样2 )本的独样立本,,
§5 正态总体均值与方差的区间估计 11/9
设 X1, X2 ,, Xn1为来自总体 X ~ N (1,12 )的样本, Y1,Y2 ,,Yn2为来自总体 Y ~ N (2,22 )的样本，两样本独立,
其样本均值和样本方差分别为 X ,Y , S12 , S22 .试求12 /22的置信 水平为 1 的置信区间.
1, 2,12 ,22的无偏估计分别为 X ,Y , S12 , S22,且
S12 / S22
12
/
2 2
~ F(n1 1, n2 1)
/2
12 ~ S12
1
/2

2 2
S22 F (n1 1, n2 1)
故
12 22
的置信度为
1


的置信区间为

S12 S22
显著差异？

1

2
(X
的(XY1)SYt)置n/121((信n11n1区2n2间2) 为2~)t(Sn1

n2
1
n1

2)
1
n2
具体计算得
x 0.14125, y 0.1392
1 2的置信区s12 间 8为.251016,s22 ~(5X.2Y1)06t(n1 n2 2) S
s2

(n1
1)s12
n1
(n2 1)s22
n2 2

3.96
,
s

s2
1.99
求得 1 2的置信度为 0.95的置信区间为
(x y) t0.025 (14)S
1 8

1 8
(4.15, 0.11)
新工艺是否能显著提高产品得率
0 (4.15, 0.11) 1 2 故不能认为新工艺显著提高了第产七章品得参率数估计
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知.试求 的置信水平为1 的置信区间.
, 2 的无偏估计分别为 X , S2 ,且
X ~ t(n 1)
S/ n
故对于给定的置信水平 1 , 查表可求得 t /2 (n 1) 使得
( X Y ) (1 2) ~ t(n1 n2 2)
S
故改1为 分2 位的形数置式信上度有为
1改n11为的n不12 置等信号区间为
改为分位数
P
(
X
Y
)

t(n1n(2(12X)S2Y)n1)~1(tXn12/
2(Yn1)nt(2n1 2)n2S
故 2 的置信怎水样平直为接1写出的置置信信区区间间为
仍用这个
改为分位数(n

2 /
2 (1n)(Sn221()n1,)S1)21(2n~
12)S 2 区间行否？ /2 (n改1为) 不等号
若 已知, /2 2的置信区间是什么
2 的置2 的信区MPL间E利为为(用n2 /2S下(1n2)S述1221)1n/n分22(/Sin2nX布(121n()/)2X能,ni 否~11(22nn求)NS22///222,(1(出2((0n且)n/n,2S1)1))21n)2S的22置~1信2 区(n)间
§5 正态总体均值与方差的区间估计 1/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求, 的较好的点估计ˆ,ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
W W (,ˆ,ˆ) ~ f (x)
对于给定的置信水平1 ，由 f (x) 确定两个分
位点 f1 W/ 2 ,只f /包2，含使未得知参
样本均值和样本方差分别为
X
,
Y
,
S
2 1
,
S
2 2
.
1,
2
,

2
均未知,
求 1 2的置信度为 1 的置信区间.
1, 2, 2 的无偏估计分别为
且
X

1
n1
n1 i 1
Xi
,
Y

1
n2
n2
Yj
j 1
,
S2

(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
1
n1

1
n2
故 1 2 的 95(%X 的s2Y置)6信.5t1区/2(1间n016为,nt20.0252()7)S 2.8n161 46n12
( 0.00285 ,0.00695)
因该置信区间包含 0 , 故两批导线电阻没第有七章显著参差数估异计.
位点 f1 W/ 2 ,只f /包2，含使未得知参
分布密度f (x已) 知,且
数P{f1,而 /2不 W含(其,它ˆ,ˆ) f /2} 不1含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{ } 1 的置信区间为 ( , )
f 1 /2 (x)