描述函数

2
y(t)sin ntd(t)
0
n 1
Yn
A
2 n

B2n
n

t g 1
An Bn
输出的一次谐波分量
y(t) y1(t) A1 cos t B1 sin t Y1 sin(t 1 )
N(A)

Y1 A
1

A12 B12 tg1 A1
A
B1
Y1 A12 B12
非线性饱和特性参数 a=1 、k=2
首先在G平面作出线性部分幅相和-1/N（A）曲线，考察两条曲线 相互关系。两条曲线的交点应同时满足：
G( j) 1
N ( A)
G( j) 1
N ( A)
1


N ( A) 2k[sin 1 a a 1 ( a )2
AA
A
(A a)
非线性特性的描述函数的共同点
1）单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描述函数是复数：
2）非线性的描述函数可叠加、即
y y1 y2
设y1、y2、y分别有N1(A)、N2(A)、N(A）
N(A) N1(A) N2 (A)
N1 N2
N1( A) N 2 ( A)
非线性系统与线性系统的差异
正弦输入下非线性环节 的输出一般情况
x(t) Asin t


y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
n 1
斜对称
A0 0
1
An
2
y(t) cos ntd(t)
0
1
Bn
0
A
N（A）
死区继电器特性 N(A) 4M 1 ( a )2
A A A=a时， N (A) 0 A=时， N (A) 0 N（A）存在极值
(A a)
滞环继电器特性
N(A) 4M sin 1 h
A
A
(A h)
N（A）复数型，非线性为多值函数其
描述函数为复数型。
这两点的频率相等，振幅由
1 N ( A)
决定。
a——不稳定自振交点 b——稳定自振交点
4、确定自激振荡的振幅

1 N ( A)
与G(j)交于(-2/3+j0)，即有
1 N ( A) 12
解得
A
2

1 ( 1 )2
3
A
A1＝1.11 a— 不稳定自振交点
6
A2＝2.3 b — 稳定自振交点
ImG( j) 0
2
ReG( j) |

2
3K
4 52 4 |
2
1 N ( A)
Re G( j) |
0.5
2
K=3
非线性系统的校正
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
！改变G(j ) ！改变N(A)
① K＝20，死区继电器特性M＝3，a＝l，试分析系统稳定性； ②如果系统出现自持振荡，如何消除之？
1

tg 1
A1 B1
N（A）是复增益是输入正弦振幅A的函数。
举例：理想继电器特性的描述函数
x(t) Asin t
M y(t) M
(0 t ) ( t 2 )
傅氏展开

y(t) A0 (An cos nt Bn sin nt)
令
Im G(
j)

K (6 2 )] ( 4 13 2 36)

0
得 6
3、交点在负实轴上的位置
Re
G
(
j
)
|


6

K (5) ( 4 13 2
36)
|


2 63
0.667 0.524
G(j)轨迹与

1 N ( A)
有两个交点：
n 1
斜对称、奇函数A0=An=0
输出的基 波分量
y1(t) B1 sin t
B1

1

2 0
y(t) sin
td (t )
描述函数 N(A) Y1 0 4M
A
A
2 y(t) sin td(t)
0

1



0
M
sin
td (t )

4M

N（A）既反映了非线性的特性，又体现了输入的影响。
斜wk.baidu.com称
②非线性环节特性是斜对称的；
y(x) y(x)
③系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 正弦信号输入时，
输出不含直流分
量。
在上述条件下，正弦输入信号作用于非线性环节时，输出的 高次谐波分量将被其后的线性部分滤除，也就是说，可以忽 略输出的所有高于一次的谐波分量。由此可定义：
描述函数=非线性环节输出的一次谐波分量/输入的正弦函数
K=10，相交于稳定自 振交点m
ImG( j) 0
2
Re
G(
j
)
|



2
30

4

5
2

4
|


1.66
2
该值是求取振幅A的依据
1
Re G( j) | 1.66
N(A)
2
N(A) 0.6
N(A) 0.3 k
a/A=0.24
A=4.38
稳定自振交点m:
系统稳定； 振幅A继续减小； 不返回到a。
a点为不稳定自振交点。
！ 微小扰动
考察b点的振荡情况
当微小扰动使振幅A增大到e点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围，
系统稳定； 振幅A减小； 返回到b。
当微小扰动使振幅A减小到f点， f点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围，
系统不稳定； 振幅A增大； 返回到b。
6
如要求稳定
Re G( j) |

6
1 N ( A) |max
要求
Re G( j) |

6
1 N ( A) |max
1 G(s) 0
G(s) 1
(奈奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环稳定 的充要条件是G(j) 轨迹 不包围G平面的(-1,j0)。
负倒描述函数（描述函数负倒特性)
1 N ( A)
．?
(-1,j0)
设：系统开环的线性部分G(j)稳定
① G(j)不包围负倒描述函数 闭环系统稳定
③ G(j) 与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡
AA
A
(A a)
A＝a时
1 1 N ( A) k
A ∞ 时
1 N ( A)
负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -∞)。
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡
G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab
具有死区特性的非线性系统
b点为稳定自振交点。
a点:不稳定自振交点 b点:稳定自振交点 c点:不稳定自振交点
典型非线性系统的稳定性
具有饱和特性的非线性系统 具有死区特性的非线性系统 具有间隙特性的非线性系统 具有理想继电器特性的非线性系统 具有滞环继电器特性的非线性系统
具有饱和特性的非线性系统
1


N ( A) 2k[sin 1 a a 1 ( a )2
b Ab
具有理想继电器特性的非线性系统
1 A N(A) 4M
负倒描述函数轨迹为整个负实轴
1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点
2）如有数个交点 必有稳定的自振交点
具有滞环继电器特性的非线性系统
1 A (180 0 sin1 h )
N ( A) 4M
A
负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。
A＝a时 A ∞ 时
1 1 0.5 N ( A) k
1 N ( A)
负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-∞)。
G( j)
K

j( j 1)( j 2)
3 2
K
3K
j(2 2 ) 4 5 2 4
K (2 2 ) j ( 4 5 2 4)
1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点
2）如有数个交点 必有稳定的自振交点
3）单边滞环宽度 h增加
负倒描述函数轨迹向下移动
自持振荡频率将低，振幅增大
h2>h1
试求： ①当K＝10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求 出自持振荡的振幅和频率； ②当K为何值时，系统处于稳定边界状态。
K s(s 1)(s 2)
非线性系统的描述函数法分析
描述函数的概念 例 典型的非线性特性的描述函数
非线性系统的稳定性 非线性自持振荡的稳定 分析法
典型非线性系统的稳定性 例
非线性系统的校正
利用描述函数的前提条件
1、系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 、线性部分G(s)
2、假定：
①非线性环节的特性不是时间的函数；
描述函数的认识
描述函数是输入正弦振幅A的函数，重 点掌握实数型描述函数的图形表达方法。
饱和特性
A=a时，
A=时，
0
N(A) 2k [sin 1 a a 1 ( a )2 ] (A a)

AA
A
a和k非线性参数，A正弦的振幅。这是
实数型的描述函数。可在数轴上表现出
N（A）随A由小到大的变化情况。
1


N ( A) 2k[ sin1 a a 1 ( a )2
2
AA A
A＝a时
1 N ( A)
A ∞ 时 1 1 N ( A) k
(A a)
负倒描述函数轨迹 =实轴上（-∞,-1/k)。
G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相交 不存在自持振荡
G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:不稳定自振交点
N (A) 2k [sin1 a a

aa
1
( a )2 a
]

2k


2

0

k
N ( A) 2k [sin 1 a a 1 ( a )2 ] 2k 0 0 0


A
k
理想继电器特性
N ( A) 4M
A
( A 0)
A=0时， N (A) A=时， N (A) 0
具有间隙特性的非线性系统
1 N ( A)
A ∞ 时
A
(180 tg1 A1 )
A12 B12
B1
1 1 N ( A) k
负倒描述函数为G平面上一条曲线。
G1(j)轨迹不与负倒描述函 数轨迹相交
不存在自持振荡
G2(j)轨迹与负倒描述函 数轨迹相交
b点:稳定自振交点
因此，对于非线性系统讨论的重点是系统是否稳定，是否 产生自激振荡，振荡的频率和振幅与那些因素有关等有关 稳定性的分析上。
非线性系统的稳定性
D(s) 1 N(A)G(s) 0
G(s) 1 N ( A)
C(s) G(s)N(A) R(s) 1 G(s)N(A)
N (A) 1 线性系统
(极限环振荡) 稳定？不稳定？ 振幅（A）?! 频率()?!
② G(j)包围负倒描述函数 闭环系统不稳定
分析法
考察a点的振荡情况
当微小扰动使振幅A增大到c点时， c点“(-1,j0)” 被G(j )轨迹包围，
系统不稳定； 振幅A继续增大； 不返回到a。
当微小扰动使振幅A减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围，
取得极值。
极值为
1
a
N ( A) |max 2M 6 0.524
2、求G(j)轨迹与
1 N ( A)
交点
由于-1/N（A）是负实轴一部分，在交点处ImG(j)=0。
G( j)
K
j( j 2)( j 3)
K[5 j(6 2 )] ( 4 13 2 36)
1、非线性系统输出响应的形态（发散或收敛）除受系统的结构和 参数影响以外，还与输入信号的大小及初始条件有关，因此叠加原 理不适用于非线性系统。 2、非线性系统的稳定性相对于线性系统，显得更为复杂。此时必 须考虑输入信号及初始条件带来的影响。 3、非线性系统独有的现象是，除了发散或收敛两种运动形式外， 还可能产生稳定的自激振荡。对于线性系统这是不可能观察到的。
2 A=4.38
非线性饱和特性参数 a=1 、k=2
当K为何值时，系统处于稳定边界状态？
临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n
G( j)
K

j( j 1)( j 2)
3 2
K
j(2

2)

4
3K
5 2

4

K (2 2) j ( 4 5 2 4)
KK s(s 2)( s 3)
1、非线性环节的负倒描述函数：
1
A
A



N ( A) 4M 1 ( a )2 12 1 ( 1 )2
A
A
当A＝a=1时 1 N ( A)
当A ∞时
1 N ( A)
明显，负倒描述函数存在极值，当 A
2a
时，
1 N ( A)