地基中的应力计算

z b
(x
/b
x /b 1 1)2 (z
/ b)2 }
k(x , z) p bb
• 地基应力的分布规律
b
p
x
z
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
z
z
(4) 局部面积荷载作用下 角点法
• 矩形均布荷载
a
a
a
b
b
p
b
1
2
34
z z
z
k(a b
,
z) b
p
z
z
z z
z
4k ( a b
,
2z) b
xz yz z - Z
x y z
土体的平衡方程：
x xy xz 0
x y z
xy y yz 0
x y z
xz yz z
x y z
未知量：15个
应力stress分量6个： x、 y、 z、 yx ( xy )、 yz ( zy )、（zx xz） 应变strain分量6个： x、 y、 z、 yx ( xy )、 yz ( zy )、 （zx xz） 位移displacement分量3个： u、v、w
zy
3P
2
yz 2 R5
zx
3P
2
xz 2 R5
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
Valentino Cerrut 1882
应力
HO
x
ry
x
y
Rz
z
3 2
H
xz 2 R5
z
x
H
2
x R3
地基中的应力计算
一、土中一点的应力状态和应力平衡方程
z
地基
1,1
2, 2
yz
zx
zx
zy
x
z
y
yx xy
y
x
应力分量： x y z yx xy yz zy zx xz
平衡方程：
x xy xz X
x y z
xy y yz Y
x y z
1. 土中的孔隙水压pore water pressure和有效应力effective stress
? 剪应力是否产
生孔隙水压力
Psv
u
A Psv uAw
• 地基——Winkler地基
一点的变形只与该点的力有关。 p k s
• 基础——刚性的
• 中心荷载
P
p P A
p
• 小偏心荷载 e
P
b 2
(
p1
p2 )
a
M
b 2
(
p1
p2
)
a
(
b 2
b) 3
p1 p2
PM AW
P (1 A
e)
eM W
P
A
p2
W I 1 ab2 a/2 6
e a
方 程： 15个
平衡方程 equilibrium equations 3个： 协调方程 compatibility equations 6个：应变－位移关系 本构方程 constitutive equations 6个： 应力－应变关系
边界条件： 3个 （x、y、z 方向）
3种类型的边界 位移边界 应力边界 混合边界
p
k k1k2 k3k4 z kp
• 矩形线性荷载
p
b a
p
z
z
z
k(b a
,
z) a
p
3. 基底的接触压力
• 刚性基础 • 柔性基础 • 绝对柔性基础
（1）理论解
P
e
x
(x)
P
b2 4x2
（2）实测结果
(x) 2P
1 ( e)( x) bb
b 1 (2x / b)2
4. 刚性基来自百度文库基底压力简化算法
b
P M
p1
p1
P A
M W1
P (1 A
e )
1
p2
PM A W2
P (1 A
e )
1
W1
I c1
W2
I c2
p2
e a
c1
c2
PM
p1
•大偏心荷载
eP b
e
p1 b b / 3
P
1 2
bp1
a
b b e 32
p1
2P 3a(b
e)
2
• 双向偏心
核心半径
a/6
a
b/6
b
三、饱和土的孔隙水压及有效应力
(1) 集中荷载作用下 ( Boussinesq 解，1885 )
位移
u
P
4 G
xz [ R3
(1
2
)
x R(R
] z)
y
v
P
4 G
[
yz R3
(1
2
)
y R(R
] z)
w
P
4 G
z2 [ R3
(1
)
1] R
P
O
x
ry
x
Rz
z G E
2(1 )
应力
z
3 2
P
z3 R5
P
3
y
z2 2 [1 (r / z)2 ]5/2
荷载
x y
半无限体
z
1. 均匀满布荷载及自重作用下
q
q
y
对称面
z
x
z
0
对称面
x y 0 z
z
z qz
z
x
1 E
[ x
(
y
z
)]
x
y
1
z
y
1 E
[
y
( x
z )]
z q z xy xz yz 0
51kPa 61kPa 78kPa
108kPa
2. 集中、分布荷载作用下
4 z [4( x )2 4( z )2 1]
bb
b
[4( x )2 4( z )2 1]2 16( z )2
k(x b
,
z) b
p
b
b
b
1 3
p
(
sin
)
max
p
sin
max(
max
)
p
•三角形荷载
b
p
x
z
x
z
z
p{x
b
(arctan
x/b z/b
arctan
x / b 1) z/b
{3x2 R2
(1 2 )R2
(R z)2
[1
(3R z) y2 (R z)R2
]}
y
H
2
x R3
{3y2 R2
(1 2 )R2
(R z)2
[1
(3R z)x2 (R z)R2
]}
xy
H
2
y 3x2 R3 { R2
(1 2 )R2
(R z)2 [1
x2 (3R z) R2 (R z) ]}
zy
3H
2
xyz R5
zx
3H
2
x2z R5
(2) 线状荷载作用下
p0
dP p0dy
dy
x
y
z
x
z
2 p0
(x2
z3 z2)2
z
(3) 带状荷载作用下
dP
p
x
y
z
x
z
• 均布荷载
b
p
x
3
1
z
z
p
arctan
1 2( 2(z
x / b) / b)
arctan 1 2(x / b) 2(z / b)
二、地基中的应力计算
地 基假设为:
半无限体 semi-infinite mass 线弹性 linear elastic 胡克Hooker定律 均 质 homogeneous 各向同性 isotropic
自重应力：由自重在地基中产生的 应力。 附加应力：由自重以外的荷载在地 基中产生的应力。
地 基 ground
P
O
x
ry
x
Rz
P z2
k (r
/
z)
z
x
3P
2
x2z {
R5
1 2
3
[1 R(R
z)
(2R z)x2 (R z)2 R3
z R3
]}
y
3P
2
y2z {
R5
1 2
3
[1 R(R
z)
(2R z)y2 (R z)2 R3
z R3
]}
xy
3P
2
[
xyz R5
1 2
3
(2R z)xy ] (R z)2 R3