任意角的三角函数定义
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OP
y
= ry
x
=rx
P(x, y)
P(x, y)
OM
x
tan MP
OM
y
=x
思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
o x离
r x2y2 0
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
余弦cosａ＝
ｘ ｒ
正切tanａ＝
ｙ ｘ
（x≠0）
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值 的函数，它们统称为三角函数
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
ｙ
比值 ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
ｘ 比值 ｒ
比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
三个比值都不会随 P 在 a 终边上的位置变化而改变
a的终边
P( x,y )
y 任意角三角函数的定义
设 是一个任意角，在
ｒ
的终边上任取（异于原点的） 一点P（x,y），P与原点的距
分析：OM1P1∽ OMP
|O|P (1)2( 3)22
siny y 3
12
P(1, 3) y
P1(x, y)
cosxx11 M M 1 O
x
12 2
tany 3 3
x 1
y a的终边
P( x，y ) r P1
y
(x1,y1)
y1 r1
o
x x1
y r
y1 1
y1
x 思位考置值：改会rx当变随点时之x11P，改在上变x终1 述吗边三？上个的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
7 2、求角 6 的三个三角函数值。
19 3、求角 6 的三个三角函数值。
解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义。 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
思考：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的正 弦、余弦和正切值。
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
统称为三角函数
x
P(x，y)
【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是
P( 1 , 3 ) ，求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 )
22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可 直接利用定义求三角函数值。
【例2】：求角2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故
Βιβλιοθήκη Baidu
P（x，y）
2
22
3
sin 2 3 cos2 －1
MO
x
32
32
tan2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1.2.1 任意角的三角函数定义
回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义
在RT△ABC中，
A
sinbc
co sa
c
cb
tanb
a
B
a
C
思考：任意角的三角函数如何定义呢？
探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其
终边上的点的坐标表示吗？
y
记 r|OP | x2y2 = 1
sin MP
OP
co s OM
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
x
P(x，y)
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
y
= ry
x
=rx
P(x, y)
P(x, y)
OM
x
tan MP
OM
y
=x
思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
（2）x叫做α的余弦（cosine），
o x离
r x2y2 0
ｙ 正弦sinａ＝ ｒ
余弦cosａ＝
ｘ ｒ
正切tanａ＝
ｙ ｘ
（x≠0）
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值 的函数，它们统称为三角函数
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么：
y
（1）y叫做α的正弦（sine），记 作sinα，即sinα＝y
ｙ
比值 ｒ
ｙ 称为ａ的正弦，记作sinａ，即sinａ＝ｒ
ｘ 比值 ｒ
比值 ｙ
ｘ
称为ａ的余弦，记作cosａ，即cosａ＝
ｘ ｒ
ｙ
称为ａ的正切，记作tanａ，即tanａ＝ ｘ
三个比值都不会随 P 在 a 终边上的位置变化而改变
a的终边
P( x,y )
y 任意角三角函数的定义
设 是一个任意角，在
ｒ
的终边上任取（异于原点的） 一点P（x,y），P与原点的距
分析：OM1P1∽ OMP
|O|P (1)2( 3)22
siny y 3
12
P(1, 3) y
P1(x, y)
cosxx11 M M 1 O
x
12 2
tany 3 3
x 1
y a的终边
P( x，y ) r P1
y
(x1,y1)
y1 r1
o
x x1
y r
y1 1
y1
x 思位考置值：改会rx当变随点时之x11P，改在上变x终1 述吗边三？上个的
【练习】
1、已知角β的终边过点 P( 2 , 2 )，求角β的
三个三角函数值。
22
7 2、求角 6 的三个三角函数值。
19 3、求角 6 的三个三角函数值。
解题方法总结 （1）已知交点P的坐标，直接用定义。 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
思考：已知角α的终边经过点 P(1, 3)，求角α的正 弦、余弦和正切值。
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
统称为三角函数
x
P(x，y)
【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是
P( 1 , 3 ) ，求角α的正弦、余弦和正切值。
22
y
解：根据任意角的三角函数定义：
sin 3
2
cos 1
2
P( 1 , 3 )
22
tan 3
O
x
点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可 直接利用定义求三角函数值。
【例2】：求角2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：解RtΔOMP可得点
y
P( 1 , 3 ) ，故
Βιβλιοθήκη Baidu
P（x，y）
2
22
3
sin 2 3 cos2 －1
MO
x
32
32
tan2 3
3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
1.2.1 任意角的三角函数定义
回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义
在RT△ABC中，
A
sinbc
co sa
c
cb
tanb
a
B
a
C
思考：任意角的三角函数如何定义呢？
探究：在直角坐标系中，锐角 的三角函数能用其
终边上的点的坐标表示吗？
y
记 r|OP | x2y2 = 1
sin MP
OP
co s OM
（2）x叫做α的余弦（cosine），
O
记作cosα，即cosα＝x
（作3ta）nαxy ，叫即做taαn的α正＝切（（tyxa≠n0g）ent），记
x
x
P(x，y)
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步