串并联电路的等效阻抗变换与回路抽头阻抗变换

2.3 串并联电路的等效阻抗变换与回路抽头阻抗 变换
1. 串、并联阻抗的等效变换 为电路分析的方便，有时 需将串联与并联阻抗进行等 效互换。 所谓“等效”是指当电路工 作 于频率时，串联与并联的 阻抗从AB端看进去是相同的。
R s jX s
Rp
jX
p p
R p jX

Rp X
X 22 X I 2 m ax
f 2

M
2 R1 1
2

2 X 11
X 11
M V1 m
2 M R22 R1 1 2 2 R1 1 X 1 1
R1 1 X 1 1
2
2
(2) 复谐振：在部分谐振的情况下，改变互感量 M，使反射电阻Rf1与谐振回路自电阻R11相等， 此时可使次级回路电流I2m达到可能达到的最 大值I2max,max。
I 2 m ax , m ax 2 V1 m
M
R22 X 22
2 2
R22 2
V1 m R 1 1 R1 2
而满足前面复谐振条件的耦合电抗为
X 12 c M R1 1 R1 2 1 X 22 R22
2 2
当初级达到复谐振时，次级也必然达到复谐 振。 (3) 全谐振与最佳全谐振 全谐振：初级和次级回路分别调谐到信号源频 率时的状态。此时有： X11=X22=0 （初级和次级回路均呈电阻性）
1 1 2
P也可用线圈圈数比来表示：设L1的线圈圈数 为N1， L2的线圈圈数为N2，可得：
p N1 N1 N 2
电压源折合与电流源折合： 在双电感抽头回路中，
Vb c p n L1 L 2 Va c 1 L1
在电流源折合电路中， 1 R 电流源内阻Ri 折合为 p R ，可得： 当Ri中的电流很小时，有： I p I
f1 22 2 f 2 11
M
2
1
1
1
11
11
j M I j M V1 V2 1 Z 11
由此可得出初、次级回路的等效电路如下：
初级反射阻抗：
Z
f1
R f 1 jX
f1

M
R
2 22
2
X
2 22
R 22 j
M R
2 22

2
X
2 22
X 22
次级反射阻抗：
Z
f 2
R f 2 jX
f 2

M
R
2 11
2
X
2 11
R1 1 j
M R
2 11

2
X
2 11
X 11
由前面两式可得： (1) 反射电阻Rf1和Rf2总为正； (2) 反射电抗与原回路总电抗性质相反，即：当 X22>0（感性）时， Xf1<0（容性）；反之， 当X22<0（容性）时， Xf1>0（感性）； (3) 反射电阻、反射电抗的值与耦合阻抗的平方 (M)2成正比。当M=0时，Zf1=Zf2=0，变成 单回路的情况； (4) 当初、次级回路都调谐到与激励频率谐振时 （X11=X22=0），反射阻抗为纯电阻。 以上基于互感耦合回路的分析与结论对于纯 电抗耦合系统都适用。
通常把最佳全谐振时初、次级回路间的耦合称 为临界耦合。 M R R 1 k 临界耦合系数 L L L L Q Q 其中Q1和Q2分别为初级和次级回路的品质 因数。
c 11 11 22 c 11 22 22 1 2
当Q1=Q2=Q时，有：kc=1/Q
耦合系数k<1/Q，称为弱耦合； 耦合系数k>1/Q，称为强耦合。
11 1 2 1 1 22 2
解得：
I1 Z 11
V1
j M
2
V1 Z 11
2
M
Z 22
,
I2 Z 22
M
Z 11
其中，定义 Z Z ，称为次级回路对初级回 路的反射阻抗； M Z 定义 ，称为初级回路对次级回 Z 路的反射阻抗； V V j M 为次级开路时，初级电流 I Z Z 在次级线圈L2中所感应的电动势，即
复谐振产生时，有：
X 11
M
2 R22
2 2 22
X
X 22 ,
R1 1
M
2 R22
2 2 22
X
R22
次级回路电流最大值为：
j M I2 m ax , m ax V1 R1 1 R f 1 Z 22 j M Z 22 V1 2R f1
电流模值为：
n 1 p L1 L 2 L1 L L1
为接入系数的倒数。
(2) 双电容抽头电路 1 C 定义接入系数 p n C

C2 C1 C 2
1
其中
C
C 1C 2 C1 C 2
可得：
Z ab Z db
p
2
，接入系数p<1。
在双电感抽头电路中，若L1和L2之间存在互感 L M p M，则接入系数 ， L1与L2绕向一 L L 2M 致时M的符号取为正，否则为负。
0 L1
2
R1 R 2
其中回路谐振频率
0
1
可得：
而
Z db L C R1 R 2
L1 L 2 C
2

1 LC
Z ab p Z db
为d、b端在谐振时的等效阻抗。
可推出：
Z ab Z db
p
2
当抽头位置发生改变时，则p值改变，可改变回 路在a、b端的等效阻抗。 同时，可定义
L1 s s p p
由此可得：
R p R s 1 Q L1
2


X
p
当QL1的值较大时，有：
1 X s 1 2 Q L1
R p R s Q L1
2
X
p
Xs
该结果表明： (1) 串联电抗Xs和并联电抗Xp性质相同，在高 QL1时X X ； (2) 小的串联电阻Rs可转化为大的并联电阻Rp：
M 1 M
L1 L 2
2
CM

由以上定义可知，耦合系数k为小于1的正数， 且为无量纲的常数。
互感耦合回路的等效阻抗： 初级回路电压方程： Z I j M I V 次级回路电压方程： j M I Z I 0 Z 其中，Z11为初级回路自阻抗： 1 1 R1 1 jX 1 1 Z Z22为次级回路自阻抗： 2 2 R 2 2 jX 2 2
***************************************** 本章作业： 3.5, 3.6, 3.8, 3.17
s p
R p 1 Q L1 R s
2


(3) 串联电路的有效品质因数 Q
L1
X s Rs R p X
p
2. 回路抽头阻抗变换 (1) 双电感抽头电路 令 p L L 表示接入系数， L L L (L=L1+L2) 在高Q值时，a、b端阻抗：
1 1 1 2
Z ab
而回路电流为：
I1 R1 1 V1 j M V1 R11 R22
M
R22

2
,
I2
M
R1 1

2
最佳全谐振：在全谐振的条件下改变互感M使 其满足匹配条件。即当X11=X22=0时，有：
Rf1
M
R22
2
R1 1 ,
Rf2
M
R1 1
2
R22
V1 m 2 R1 1 R 2 2
可得次级回路的电流可能最大值为：
I 2 m ax , m ax
它与复谐振时的次级回路电流最大值相同。
由于最佳全谐振满足复谐振的条件（初级匹配 /次级匹配），所以它是复谐振的一个特例。
最佳全谐振时的互感 M c R11 R 22 可以看到，它比复谐振时的互感值小。
耦合程度：按照耦合参量的大小，耦合回路一 般分为强耦合、弱耦合及临界耦合三种情况。 引入耦合系数k来表示耦合程度。
耦合系数k的定义：耦合回路元件电抗的绝对 值与初、次级回路中同性质的电抗值的几何 中项之比， k X
12X Biblioteka 1 X 22相应地，在互感耦合串联回路中，k M 在电容耦合并联回路中，k C C C C
2 2 22
X
R22
I2 m ax j M I1 m ax Z 2 2
此处的I1m和I2m达到最大值是在次级回路参 数和互感M不变的情况下所得的电流最大值， 而非回路可能达到的最大电流。
同理，次级部分谐振是指当初级回路参数及互 感M不变时，只改变次级回路电抗X22而使次 级回路发生串联谐振。此时有：
2
2 p 2 p
Rp X
j
Rp X
2
2
p 2 p
Rp X
等式两边实部与虚部分别相等，可得：
Rs Rp X
2 2 p 2 p
Rp X
Xs
Rp X
2
2
p 2 p
Rp X
这说明Xs与Xp电抗性质相同，即同为电感或电 容。
串联电路的有效品质因数： Q X R R X 即串联电路的有效品质因数QL1等效于并联电路 的电阻Rp与电抗Xp的比值。
(1) 部分谐振：分为初级部分谐振和次级部分谐 振两种。 初级部分谐振是指当次级回路参数及互感M 不变时，只改变初级回路电抗X11而使初级 回路发生串联谐振。此时有：