2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.2“非”(否定)教学案新人教B版选修1-1

2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.2.2“非”（否定）教学案新人教B版选修1-1学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定．知识点一命题的否定思考1 观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？思考2 你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？梳理(1)对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作________，读作“非p”或“________________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是____________；若p 是假命题，则綈p必是____________．(2)由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁U A＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x∉A}．知识点二全称命题与存在性命题的否定思考1 写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形．思考2 对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形吗？思考3 对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？ 梳理知识点三 含有一个量词的命题p 的否定的真假性判断对“含有一个量词的命题p 的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p 的真假；二是用p 与綈p 的真假性相反来判断．类型一 命题的否定例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54且最大值是1；(2)100是10或20的倍数．反思与感悟 (1)对命题“p ∧q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p ∨q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“或”变为“且”． (2)命题p 与命题p 的否定綈p 的真假相反． 跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：三角形的内角和等于180°；(2)p：美国总统奥巴马是xx年度诺贝尔和平奖获得者．类型二全称命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有的正方形都是菱形；(2)每一个素数都是奇数；(3)直线l⊥平面α，则∀l′⊂α，l⊥l′；(4)∀x>1，log2x>0.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；类型三存在性命题的否定例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．(1)∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)有些素数是奇数；(3)有些平行四边形不是矩形．反思与感悟存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈A，p(x)成立⇒綈p：∀x∈A，綈p(x)成立．跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.类型四全称命题、存在性命题的应用例4 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．反思与感悟通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．跟踪训练4 已知命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．1．若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题2．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n3．对下列命题的否定说法错误的是( )A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋x＋2>04．命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________________________．5．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．答案精析问题导学 知识点一思考1 命题q 是对命题p 的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等． 思考2 ①p 为真命题，q 为假命题；②p 为真命题，q 为假命题．若p 为真命题，则綈p 为假命题．梳理 (1)綈p p 的否定 假命题 真命题 知识点二思考1 ①并非所有的矩形都是平行四边形． ②每一个平行四边形都不是菱形． 思考2 不能． 思考3 不能． 梳理 ∃x ∈A ，綈p (x ) 题型探究例1 解 (1)命题是“p 且q ”的形式，其中p ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54；q ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最大值是1.p 真，q 假，该命题的否定是“x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值不是－54或最大值不是1”，这是“綈p 或綈q ”形式的复合命题，因为綈p 假，綈q 真，所以“綈p 或綈q ”为真命题．(2)命题是“p 或q ”的形式，其中p ：“100是10的倍数”；q ：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p 且綈q ”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题． 跟踪训练1 解 (1)綈p ：三角形的内角和不等于180°. 因为p 为真，故綈p 为假．(2)綈p ：美国总统奥巴马不是xx 年度诺贝尔和平奖获得者． 因为p 为真，故綈p 为假．例2 解 (1)存在一个正方形不是菱形，是假命题； (2)存在一个素数不是奇数，是真命题；(3)直线l ⊥平面α，则∃l ′⊂α，l 与l ′不垂直，是假命题； (4)∃x >1，log 2x ≤0，是假命题．跟踪训练2 解 (1)存在一个矩形，不是平行四边形，是假命题． (2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数，是真命题．(3)∃a ，b ∈R ，使方程ax ＝b 的解不唯一，是真命题． 例3 解 (1)∀x >1，x 2－2x －3≠0，是假命题． (2)所有的素数都不是奇数，是假命题． (3)所有的平行四边形都是矩形，是假命题．跟踪训练3 解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”．当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题．例4 解 在区间[－1，1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1,1]上的所有实数c ，都有f (c )≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋p －－2p 2－p ＋1≤0，4－p －－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故p 的取值范围是－3<p <32.跟踪训练4 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0， 即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1. 当堂训练 1．D 2.C 3.C4．有的向量与零向量不共线 5．(56，＋∞)2019-2020年高中数学第一单元常用逻辑用语1.3.1 推出与充分条件、必要条件教学案新人教B版选修1-1学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．知识点一命题的结构思考1 你能把“内错角相等”写成“如果…，则…”的形式吗？思考2 “内错角相等”是真命题吗？梳理命题的形式“如果p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.知识点二充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；(2)如果ab＝0，则a＝0.思考1 你能判断这两个命题的真假吗？思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？梳理一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的________________，q是p的________________．知识点三充要条件的概念思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q 是p的什么条件？梳理一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．此时，我们说，p是q的________________________，简称________________．知识点四充要条件的判断1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分且必要条件(充要条件)，即p⇒q且q⇒p；(2)充分不必要条件，即p⇒q且q⇒/ p；(3)必要不充分条件，即p⇒/ q且q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒/ q且q⇒/ p.2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件类型一判断充分条件与必要条件命题角度1 定义法判断充分条件与必要条件例1 指出下列各组命题中p是q的什么条件？(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.反思与感悟充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根．命题角度2 用集合观点判断充分条件、必要条件例2 (1)“|x|<2”是“x2－x－6<0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M ＝{x ||x －1|<2}，N ＝{x |x (x －3)<0}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；p ⇔q 可得A ＝B ，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .若B A ，则p 是q 的必要不充分条件．跟踪训练2 (1)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是________________．类型二 充分条件、必要条件的应用命题角度1 由四种条件求参数的范围例3 已知p ：2x 2－3x －2≥0，q ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，若p 是q 的充分不必要条件．求实数a 的取值范围．反思与感悟 在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方向及推出与子集的关系．跟踪训练3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．命题角度2 充要条件的探求与证明例4 求关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1－a >0对于一切实数x 都成立的充要条件．反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练4 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．a<0，b<0的一个必要条件为( )A．a＋b<0 B．a＋b>0C.ab>1 D.ab<－13．下列命题为假命题的是( )A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1C．在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件D．lg x>lg y是x>y的充要条件4．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＝________，b＝________.5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．答案精析问题导学知识点一思考1 如果两个角为内错角，则这两个角相等．思考2 不是．知识点二思考1 (1)真命题；(2)假命题．思考2 命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.梳理p⇒q充分条件必要条件知识点三思考1 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．思考2 因为p⇒q且q⇒p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．梳理p⇔q充分且必要条件充要条件题型探究例1 解(1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0D⇒/x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似D⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，pD⇒/q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，qD⇒/p，所以p是q的既不充分也不必要条件．跟踪训练1 解(1)因为四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1，x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，所以p 是q 的充要条件．(3)因为m >0⇒方程x 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1＋4m >0，即方程有实根； 方程x 2＋x －m ＝0有实根，即Δ＝1＋4m ≥0⇒/ m >0.所以p 是q 的充分不必要条件．例2 (1)A (2)A解析 (1)由|x |<2，得－2<x <2，令A ＝{x |－2<x <2}，由x 2－x －6<0，得－2<x <3，令B ＝{x |－2<x <3}，∵A B ，∴|x |<2是x 2－x －6<0的充分不必要条件．(2)M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |0<x <3}，∵N M ，∴a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．跟踪训练2 (1)B(2)x >0 x >0且y >0(答案不唯一)例3 解 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0}＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}＝{x |x ≤－12或x ≥2}， N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}＝{x |x ≤a －2或x ≥a }，由已知p ⇒q ，且q ⇒/ p ，得M N .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是[32，2]． 跟踪训练3 (1,2]例4 解 充分性：当0<a <45时， 判别式Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0化为1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．必要性：因为ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝a 2－4a －a ，解得0≤a <45. 故0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件． 跟踪训练4 证明 充分性：∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴方程一定有两个不等实根，设两实根为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a <0，∴方程的两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设两实根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a <0，且Δ＝b 2－4ac >0， 即ac <0.综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 当堂训练1．A 2.A 3.D 4.－2 15．解 由3x ＋m <0，得x <－m 3， ∴p ：A ＝{x |x <－m 3}． 由x 2－2x －3>0，得x <－1或x >3，∴q ：B ＝{x |x <－1或x >3}．∵p ⇒q 且q ⇒/ p ，∴A B ，∴－m 3≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．。