数列与级数(mathematica数学实验报告)

可以看出， Fibonacci数列的变化速度非常快，且单调递增趋于无穷；从图象中也

可明显看出n 取值越大，图像越陡，即递增越快。事实上，由Fibonacci 数列的递推关系式

2112,1,2,...,1,1n n n F F F n F F ++=+===， （1） 容易得到

12113/22,n n n n n F F F F F ++++<=+< （2） 因此，n F 的阶应该在()3/2n

与2n 之间。为进一步研究Fibonacci 数列n F 的特性，我们将n F 取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点()(),log ,1,2,...n n F n N =的折线图。此时的折线图近乎于一条直线。因此，我们猜测()log n F 是n 的线性函数。取1000N =，对上述数据进行拟合可得

()log 0.8039030.481211n F n ≈-=， （3） 故

0.447567 1.61803n n F ≈⨯. （4）

2.下面，我们分别取50,100,500,1000n =，利用Mathematica 编程，用直线去拟合上述数据()(),log ,1,2,...n n F n N =，由此来求数列n F 的近似表示。过程如下：

可以看出，给定的n值越大，线性拟合的结果便趋于稳定，而且，对每一组拟合的线性方程，其系数与黄金分割数有着紧密的联系。由计算机观察得到的上述结果我们似乎可F的通项具有形式

以猜测数列

n

n n F cr = （5） 将上式代入递推公式（1）得

21r r =+ （6）

从而()15/2r =+.因为数列趋于无穷，故取()

15/2r =+。于是

152n n F c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ （7）

然而，公式（7）并不满足121F F ==，即并非数列n F 的通项公式.不过，它仍然是数列n F 的主项.

3.取一组整数50,100,500,1000,5000,10000n =，将Fibonacci 数列模n 得到一周期数列，将该周期数列的值作为高音，编程演奏它.运行结果如下：

根据运行结果，明显可以看出，n的取值越大，图像上的点越稠密.实验结果和结果分析：

附录：