大学物理学课后答案(湖南大学出版社)

12．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A 和B ．A 平面的电荷面密度为2σ，B 平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d ．当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为多少？

[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 E A = 2σ/2ε0 = σ/ε0，E B = σ/2ε0，

两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = E A - E B = σ/2ε0， 方向由A 平面指向B 平面．

两平面间的电势差为 U = Ed = σd /2ε0，

当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd /2ε0．

13．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一

点电荷q ， 球心o 的电势为多少？

[解答]点电荷q 在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心

都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电

势叠加，大小为 000

111444o q q Q q U r a b

πεπεπε-+=++

13．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．

[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr )ε0S /2d ．

（2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ．设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则

Q 1 + Q 2 = Q ． ① 由于C = Q/U ，所以

U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ② 解联立方程得

0111221

1/C U C Q

Q C C C C =

=

++， 真空中一半电容器的自由电荷面密度为

001

12122/2(1/)(1)r C U U Q S C C S d

εσε=

==

++． 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

14．1通有电流I 的导线形状如图所示，图中ACDO 是边长为b 的正方形．求圆心O 处的磁感应强度B = ？

[解答]电流在O 点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定

律：002

d d 4I r μπ⨯

=l r B ， 圆弧上的电流元与到O 点的矢径垂直，在O 点产生的磁场大小为 012d d 4I l

B a

μπ=， 由于 d l = a d φ，

积分得 11d L B B =⎰3/2

00

d 4I a πμϕπ=⎰038I

a μ=

． OA 和OD 方向的直线在O 点产生的磁场为零．在AC 段，电流元在O 点产生的磁场为

图13.3

022

d sin d 4I l B r μθ

π=

，

由于 l = b cot(π - θ) = -b cot θ， 所以 d l = b d θ/sin 2θ； 又由于 r = b /sin(π - θ) = b /sin θ，

可得 02sin d d 4I B b

μθθ

π=，

积分得3/402/2d sin d 4L

I B B b ππμθθπ==⎰

⎰3/4

00/2

(cos )48I

I

b b

ππμθππ=-=

同理可得CD 段在O 点产生的磁场B 3 = B 2． O 点总磁感应强度为

14．23 均匀带电细直线AB ，电荷线密度为λ，可绕垂直于直线的轴O 以ω角速度均速转动，设直线长为b ，其A 端距转轴O 距离为a ，求：

（1）O 点的磁感应强度B ； （2）磁矩p m ；

（3）若a >>b ，求B 0与p m ．

[解答]（1）直线转动的周期为T = 2π/ω，

在直线上距O 为r 处取一径向线元d r ，所带的电量为 d q = λd r ，

形成的圆电流元为 d I = d q/T = ωλd r /2π，

在圆心O 点产生的磁感应强度为 d B = μ0d I /2r = μ0ωλd r /4πr ， 整个直线在O 点产生磁感应强度为 001d ln

44a b

a a

b B r r a μωλμωλππ++==⎰

， 如果λ > 0，B 的方向垂直纸面向外．

（2）圆电流元包含的面积为S = πr 2，形成的磁矩为 d p m = S d I = ωλr 2d r /2，

积分得 233d [()]

2

6

a b

m a

p r r a b a ωλωλ

+=

=

+-⎰

．如果λ > 0，p m 的方向垂直纸面向外． （3）当a >>b 时，因为 00ln(1)( (44)

b B a a μωλμωλππ=

+=+， 所以 04b

B a μωλπ≈．33[(1)1]6m a b p a ωλ=+-3223[33()()]62

a b b b a b a a a ωλωλ=++≈

． 16．1 一条铜棒长为L = 0.5m ，水平放置，可绕距离A 端为L /5处和棒垂直的轴OO`

在水平面内旋转，每秒转动一周．铜棒置于竖直向上的匀强磁场中，如图所示，磁感应强度B = 1.0×10-4T ．求铜棒两端A 、B 的电势差，何端电势高．

[解答]设想一个半径为R 的金属棒绕一端做匀速圆周运动，角速度为ω，经过时间d t 后转过的角度为

d θ = ωd t ，扫过的面积为d S = R 2d θ/2， 切割的磁通量为 d Φ = B d S = BR 2

d θ/2， 动生电动势的大小为

ε = d Φ/d t = ωBR 2/2．

根据右手螺旋法则，圆周上端点的电势高． AO 和BO 段的动生电动势大小分别为 2

2

()2550

AO B L

BL ωωε=

=

， 2

2416()2550

BO

B L BL ωωε==

． 由于BO > AO ，所以B 端的电势比A 端更高，A 和B 端的电势差为

图14.23

图16.1