随机变量相互独立的定义(精)
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随机变量的独立性
P{ X = 0} = 1 p , P{ Z = 0} = 2 p(1 p) ,
P{ X = 0, Z = 0} = P{ X = 0, X + Y = 1}
= P{ X = 0, Y = 1} = P{ X = 0} P{Y = 1} = p(1 p ) .
2 p(1 p ) 2 = p(1 p ) , p = 0.5 . 令
1 ,若X + Y为偶数, Z= 0 ,若X + Y为奇数. 取何值时, 和 相互独立 相互独立? 问p取何值时,X和Z相互独立? 取何值时
解 首先求出Z的概率分布: 首先求出 的概率分布: 的概率分布
P{ Z = 0} = P{ X + Y = 1}
因为X和 因为 和Y 相互独立
= P{ X = 0, Y = 1} + P{ X = 1, Y = 0}
1 α= . 6
2 β = . 9
5
又由分布律的性质,有 又由分布律的性质 有
1 1 1 1 α + + + +β + =1 9 18 3 9
7 α+β = 18
假设随机变量X和 相互独立 相互独立, 例3 假设随机变量 和Y相互独立,都服从参数为 p(0<p<1)的0-1分布,随机变量 分布, ( ) 分布
f (x, y) = f X ( x) fY ( y) 成立,所以 相互独立.8 成立,所以X,Y相互独立 相互独立.
例5 设(X,Y )的联合密度函数为 ,
8 xy 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = , 其它 0
1
y
y= x
是否相互独立? 问X与Y是否相互独立? 与 是否相互独立 的边缘密度分别为 解 X,Y的边缘密度分别为
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
f X ( x) fY ( y), x, y R,
10:42:20
即 1 , 2 , 1 , 2 ; ), 且已知X与Y
2 2
相互独立， 由于 f ( x , y )，f X ( x )，fY ( y )都是连续函数，
故对于所有的 x , y , f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )成立, 特别地，取 x 1 , y 2 , 则 f ( 1 , 2 ) f X ( 1 ) fY ( 2 ),
求X与 Y的边缘分布函数，并判断X与Y是否相互 独立？
x
y
10:42:20
2
(1 e x )(1 e y ), x 0, y 0, F ( x, y) 解 其它. 0, 1 e x , x 0, F X ( x ) F ( x , ) 其它. 0, 同理 y 1 e , y 0, FY ( y ) F ( , y ) 其它. 0,
则X , Y独立的充分必要条件是 随机向量 ( X ,Y ) 有联合密度 f ( x , y )，且 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上几乎处处成立 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上 除去面积为0的集合外，处处成立.
10:42:20
9
下面考察二维正态随机变量的两个分量的 独立性. 由第二节的讨论可知，
10
f ( x, y)
1 2σ1σ 2 1 ρ
2
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 1 , 2 ; ),
2 2
1 ( x μ1 ) 2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 ) 2 exp 2ρ 2 2 2 σ1 σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
相互独立的随机变量
即 pij = pi • ⋅ p• j .
( 2 ) 设连续型随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为 f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和Y 相互独立 ⇔ f ( x, y) = f X ( x) fY ( y).
( 3) X 和 Y 相互独立 , 则 f ( X ) 和 g (Y )也相互独立 .
当 y > b 时, f ( x , y ) = 0.
例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
的分布律. 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律 解 因为 X 与 Y 相互独立 所以 相互独立,
P{ X = xi ,Y = yj } = P{ X = xi } P{Y = yj }.
因此 ( X ,Y ) 的联合分布律为
X 1 3
Y
2 0.18 0.42
4 0.12 0.28
二、二维随机变量的推广
1.分布函数 分布函数
n 维随机变量 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的分布函数
F( x1, x2 ,L, xn ) = P{ X1 ≤ x1 , X2 ≤ x2 ,L, Xn ≤ xn },
6.重要结论 重要结论
定理 设 ( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 (Y1 ,Y2 ,L,Yn ) 相互独 立, 则X i (1,2,L, m )和Y j ( j = 1,2,L, n)相互独立 .又 若 h, g是连续函数 , 则 h( X 1 , X 2 ,L, X m ) 和 g (Y1 ,Y2 , L,Yn ) 相互独立 .
随机变量的相互独立性
p ij = p i • × p • j
证 ∵X与Y的边缘分布律分别为 与 的边缘分布律分别为
X p.i -1 2/5 0 1/5 2 2/5 Y 1/2 Pj. 1/4 1 1/4 2 2/4
2 1 p11 = p12 = = p1. ⋅ p.1 = p1. ⋅ p.2 20 20 4 p13 = = p1. ⋅ p.3 20 p21 = p2. ⋅ p.1 p22 = p2. ⋅ p.2 p23 = p2. ⋅ p.3
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dx
y ≤ 0 或 y ≥1 时
fY ( y ) = 0
0 < y ≤ 1 时，
0
fY ( y ) = ∫ y −1 4dx = 2(1 − y )
2
所以，关于 的边缘分布密度为 所以，关于Y的边缘分布密度为
2(1 − y ), fY ( y ) = 0,
随机变量的相互独立性
定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 的联合分布函数为F(x,y) F(x,y)， 边缘分布函数分别为F 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y (y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。 (y)，则称随机变量X 相互独立。 特别，对于离散型和连续型的随机变量， 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分 别等价于
(0 < y ≤ 1) 其它
所以
1 8(2x +1)(1− y),(− < x ≤ 0,0 < y ≤ 1 ) f X ( x) ⋅ fY ( y) = 2 0, 其它
随机变量相互独立的定义
1 , 8 < x <12 f X (x) = 4 0, 其它
由独立性
1 , 7< x <9 fY ( y) = 2 0, 其它
概率论
1 , 8 < x <12,7 < y < 9 f (x, y) = f X (x) fY ( y) = 8 0, 其它
概率论
解 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi⋅
2
0
m
2
( m + n)
mn ( m + n) n
2
m m+ n n m+ n
1
p⋅ j
mn ( m + n)
2
( m + n)
2
m m+ n
n m+ n
(2) 由上表可知 pij = pi⋅ ⋅ p⋅ j ( i, j = 0,1) 的相互独立. 故 X,Y 的相互独立
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 超过 分钟的概率 所求为P( 所求为 |X-Y | ≤1/12) , 1/12, 记G=|X-Y | ≤
y
所以 P( | X-Y| ≤1/12 )60 − Nhomakorabea40
− −
概率论
= ∫∫ f (x, y)dxdy
G
x − y = −5 x−y =5
1 = ×(G 的面积） 8
不是相互独立. 故 X,Y 不是相互独立
概率论
三、多维随机变量的一些概念
上面说过， 维随机变量 上面说过，n维随机变量 ( X1, X2 ,L, Xn )的分布函数定义为
3.4(随机变量的相互独立性)
证：二维正态分布的概率密度为
f ( x , y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ ( 2 } 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 2
由例3.11知，f X ( x ), fY ( y)的乘积为
0
1
x2 2
)dx
1 1 2 e 2 0
1
x2 2
dx
1 2 (1) (0)
1 2.5066 0.8413 0.5
0.1445
□
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.19】对于二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的 充要条件是ρ=0.
0.5
pj
0.5
0.5
及独立性得到下表：
3.4 随机变量的相互独立性
pij
Z
0.25
1
0.25
0
0.25
0
0.25
1
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X Z 0 0 0.25 1 0.25 p i. 0.5
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi } 即 F ( x1 , x2 , , xn ) FX i ( xi )
f ( x , y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 exp{ ( 2 } 2 2 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 2 2
由例3.11知，f X ( x ), fY ( y)的乘积为
0
1
x2 2
)dx
1 1 2 e 2 0
1
x2 2
dx
1 2 (1) (0)
1 2.5066 0.8413 0.5
0.1445
□
3.4 随机变量的相互独立性
【例 3.19】对于二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立的 充要条件是ρ=0.
0.5
pj
0.5
0.5
及独立性得到下表：
3.4 随机变量的相互独立性
pij
Z
0.25
1
0.25
0
0.25
0
0.25
1
(X，Y) (0，0) (0，1) (1，0) (1，1)
(X，Z) (0，1) (0，0) (1，0) (1，1)
(X，Z)的分布律及边缘分布律为：
X Z 0 0 0.25 1 0.25 p i. 0.5
第3章 多维随机变量及其分布
3.4 随机变量的相互独立性
定义3.9 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分 布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi (xi)为Xi的边缘分布 函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有
P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } P{ X i xi } 即 F ( x1 , x2 , , xn ) FX i ( xi )
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
概率论与数理统计 3.5 随机变量的独立性
dt
=
同理Байду номын сангаас
x R
fY ( y ) =
10
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
令
9
y 2 x 1 t= 2 1 1 2 1
则
dt =
1
2 1
1
2
dy ,
所以
2 t2 2
f X ( x) =
( x 1 ) 1 exp e 2 2 1 2 1 2
2 ( x ) 1 1 exp , 2 2 1 2 1
( x 1 )2 1 exp 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 )2 + 2 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
7
因为
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 + 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 ( x 1 )2 ( y 2 )2 1 = + 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 ( x 1 )( y 2 )
y 1 2 e fY ( y ) = 2 0
, ,
y0 y0
概率论：相互独立的随机变量
2. 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
Y
0
1
p i.
0.3 0.4
0.7
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0) p
0.2 0.1
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
Y
0
1
p i.
0.3 0.4
0.7
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0) p
0.2 0.1
相互独立的随机变量
故 X , Y 独立 .
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
随机变量的独立性
定义3. 7 设X 和Y 为两个随机变量，若对于任意的x 和y 有 P{X x，Y y} P{X x}P{Y y}，
则称X 和Y 是相互独立的( Mutually independent )。
若二维随机变量( X , Y )的分布函数为 F (x，y) ，其边缘分
布函数分别为FX (x)和FY (y)，则上述独立性条件等价于对所有x 和y 有
fY
(
y)
e y，y
0，
0， 其他。
求X 和Y 的联合概率密
度 f (x，y) 。
解 由X 和Y 相互独立可知
f (x，y) fX (x) fY ( y)
e(xy)，x 0，y 0，
0，其他。
概率学与数理统计
F (x，y) FX (x)FY ( y) 。
(3.13)
1. 对于二维离散型随机变量，上述独立性条件等价于对于
( X , Y )的任何可能取的值 (xi，y j ) 有
P{X x，Y y} P{X xi}P{Y y j}。
(3.14)
2. 对于二维连续型随机变量，独立性条件的等价形式是对
一切x 和y 有
f (x，y) fX (x) fY ( y) ，
(3.15)
这里， f (x，y)为( X , Y )的概率密度函数，而 fX (x) 和 fY ( y)
分别是边缘概率密度函数。
如在例3.7中，(1)有放回摸球时，X 与Y 是相互独立的；而
(2)无放回摸球时，X 与Y 不是相互独立的。
π
1 y2，1 0，
y 1， 其他。
可见在圆域 x2 y2 1 上，f (x，y) fX (x) fY ( y) ，故X 和Y 不相
互独立。
第4节相互独立的随机变量
例如,同时抛掷n枚骰子,记Xi表示第i枚骰子出 现的点数, i=1,2,…,n,则 X1,X2, ,Xn相互独 立.
三、小结
1.随机变量独立性的定义
x,yR F(x,y)=FX(x) FY(y) 注意 与事件独立性的联系 2.随机变量独立性的两个结论
会判断随机变量的独立性 掌握利用独立性进行有关计算
函数,并求Z的分布律. (P.87 题19)
解 X~ fX(x)
1
x2
e 2,
2
y
D3 D2
Y~ fY(y)
1
y2
e2
2
X,Y独立
(X,Y
)~
f(x,y)=fXபைடு நூலகம்x)fY(y)
1
2
e
1(x2y2 ) 2
o
D1
2x
1
Z0,1,2
P{Z=2}= P{X (,Y)D 1} f (x, y)dxdy
则X与Y 独立 f(x,y)=fX(x) fY(y).
(几乎处处成立)
结论 2 设(X,Y)~P{X= xi,Y= yj}=pij , i,j=1,2,…,
X~ P{X= xi}= p i . , i=1,2,… Y~ P{Y= yj }=p . j , j=1,2,… 则X与Y独立P{X= xi,Y= yj}=P{X= xi}P{Y= yj } 即pij= p i. ·p. j (对所有的 i=1,2,…, j=1,2,…).
例2 设(X,Y)的分布律为
X Y
0
1
0
25 36
p11
5 36
p21
5 6
p.1
1
5 36
p12
1 36
p22
三、小结
1.随机变量独立性的定义
x,yR F(x,y)=FX(x) FY(y) 注意 与事件独立性的联系 2.随机变量独立性的两个结论
会判断随机变量的独立性 掌握利用独立性进行有关计算
函数,并求Z的分布律. (P.87 题19)
解 X~ fX(x)
1
x2
e 2,
2
y
D3 D2
Y~ fY(y)
1
y2
e2
2
X,Y独立
(X,Y
)~
f(x,y)=fXபைடு நூலகம்x)fY(y)
1
2
e
1(x2y2 ) 2
o
D1
2x
1
Z0,1,2
P{Z=2}= P{X (,Y)D 1} f (x, y)dxdy
则X与Y 独立 f(x,y)=fX(x) fY(y).
(几乎处处成立)
结论 2 设(X,Y)~P{X= xi,Y= yj}=pij , i,j=1,2,…,
X~ P{X= xi}= p i . , i=1,2,… Y~ P{Y= yj }=p . j , j=1,2,… 则X与Y独立P{X= xi,Y= yj}=P{X= xi}P{Y= yj } 即pij= p i. ·p. j (对所有的 i=1,2,…, j=1,2,…).
例2 设(X,Y)的分布律为
X Y
0
1
0
25 36
p11
5 36
p21
5 6
p.1
1
5 36
p12
1 36
p22
随机变量相互独立的定义
概率论
解 (1) X ,Y 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi
2
0
m
2
m n
mn m n n
2
m mn n mn
1
p j
mn m n
2
m n
０
１／６
１
Ｐ｛ｙ＝ｊ｝
２／６ １／２
１／６
２／６ １／２
２／３ １
Ｐ｛ｘ＝ｉ｝ １／３
问X和Y是否独立？
概率论
解
P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0} P{Y=1} P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0} P{Y=2} P{X=1,Y=1}=2/6=P{X=1} P{Y=1} P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1} P{Y=2}
因而Ｘ，Ｙ是相互独立的． 再如第二节的例２中随机变量Ｆ和Ｄ，由于 Ｐ{D=1,F=0}=1/10 Ｐ{D=1}P{F=0}, 因而F和D不是相互独立的
概率论
例2 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
2 é ì ? 1 - 1 ê( x m1 ) ï f ( x, y ) = exp í 2 ê 2 2 ï 2ps 1s 2 1 - r ï î 2(1 - r ) ë s 1 2ù ü ï ( x m )( y m ) ( y m ) 2 1 2 2 ï ú - 2r + ý 2 ï s 1s 2 s2 ú ï û þ
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 所求为P( |X-Y | 1/12) ,
记G=|X-Y | 1/12,
y
所以 P( | X-Y| 1/12 )
60
40
相互独立的随机变量
§3.4
相互独立的随机变量
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念. 相互独立的概念 则称事件 事件A, 相互独立 相互独立. 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件 B相互独立 1.定义 设(X, Y ) 为二维随机变量 , 若对于所有的 x, y有 定义: 定义
P{X ≤ x, Y ≤ y} = P{X ≤ x} ⋅ P{Y ≤ y} 即 F(x, y) = FX (x) ⋅ FY (y), 则称随机变量 X和Y相互独立
e -x , x ≥ 0, f X (x) = 0, x < 0,
e -y , y ≥ 0, f Y (y) = 0, y < 0,
故 P{X + Y ≤ 1} =
由于 X 与 Y 相互独立 , 故其联合密度函数为 f(x, y) = f X (x)f Y (y).
x + y ≤1
2π 1 σ 2π 2 σ 令x = µ 1 , y = µ 2 , 则有
1 2π 1 σ 2 1-ρ σ ρ
2
=
1
-
( x−µ1 )2
2 2σ1
e
⋅
1
-
( y−µ2 )2 2σ2 2
e
.
1 2π 2 σ
=
1 2π 1 σ
⋅
所以: ρ=0. 所以 4. 一个重要定理 一个重要定理: 设(X1, X2, …, Xm)和(Y1, Y2, … Yn)相互独立 和 相互独立, 相互独立 相互独立,又若 则Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立 又若 和 相互独立 h, g是连续函数 则h(x)和g(y)相互独立 是连续函数, 相互独立. 是连续函数 和 相互独立 5. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到 n维r.v.的情况 的情况. 维 的情况
相互独立的随机变量
由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念. 相互独立的概念 则称事件 事件A, 相互独立 相互独立. 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件 B相互独立 1.定义 设(X, Y ) 为二维随机变量 , 若对于所有的 x, y有 定义: 定义
P{X ≤ x, Y ≤ y} = P{X ≤ x} ⋅ P{Y ≤ y} 即 F(x, y) = FX (x) ⋅ FY (y), 则称随机变量 X和Y相互独立
e -x , x ≥ 0, f X (x) = 0, x < 0,
e -y , y ≥ 0, f Y (y) = 0, y < 0,
故 P{X + Y ≤ 1} =
由于 X 与 Y 相互独立 , 故其联合密度函数为 f(x, y) = f X (x)f Y (y).
x + y ≤1
2π 1 σ 2π 2 σ 令x = µ 1 , y = µ 2 , 则有
1 2π 1 σ 2 1-ρ σ ρ
2
=
1
-
( x−µ1 )2
2 2σ1
e
⋅
1
-
( y−µ2 )2 2σ2 2
e
.
1 2π 2 σ
=
1 2π 1 σ
⋅
所以: ρ=0. 所以 4. 一个重要定理 一个重要定理: 设(X1, X2, …, Xm)和(Y1, Y2, … Yn)相互独立 和 相互独立, 相互独立 相互独立,又若 则Xi(i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立 又若 和 相互独立 h, g是连续函数 则h(x)和g(y)相互独立 是连续函数, 相互独立. 是连续函数 和 相互独立 5. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到 n维r.v.的情况 的情况. 维 的情况
概率与数理统计3.4 相互独立的随机变量
26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节 相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变 量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp
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m1 )2
s
2 1
-
2r 2 (x -
m1)( y s 1s 2
m2 ) +
(
y
s
m2
2 2
)2
ùúúûüïïýïïþ
问X和Y是否独立？
概率论
解 由第二节中例5知道,其边缘概率密度 fX (x), fY ( y)
的乘积为
fX (x) fY ( y) =
1 2ps 1s 2
expìï镲睚镲ïî -
1 轾犏(x - m1)2
概率论
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称 X 和 Y 相互独立 . 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
概率论
若 (X,Y)是连续型随机变量，则上述独立性 的定义等价于：
因而Ｘ，Ｙ是相互独立的．
再如第二节的例２中随机变量Ｆ和Ｄ，由于
Ｐ{D=1,F=0}=1/10 Ｐ{D=1}P{F=0},
因而F和D不是相互独立的
概率论
例2 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f ( x, y) =
1 2ps 1s 2 1-
r2
expì?ïíïïî
2(1-
1 r
2
)
éê(x êë
1
1
=
,
2ps 1s 2 1- r 2 2ps 1s 2
从而 r = 0 .综上所述,可得以下结论:
对于二维随机变量(X, Y), X和Y相互独立的充要条件
是参数 0 .
概率论
例3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室 的时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率.
概率论
第四节 相互独立的随机变量
随机变量相互独立的定义 课堂练习 小结 布置作业
概率论
一、随机变量相互独立的定义
设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
则称 X 和 Y 相互独立 .
两事件 A , B 独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 .
故 X ,Y 的相互独立.
概率论
(3) X ,Y 的联合分布律及边缘分布律如下
表所示 :
Y X
0
1
pi
0
mm 1 m nm n 1
mn
m nm n 1
m mn
mn
nn 1
n
1 m nm n 1 m nm n 1 m n
0,
其它
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率
所求为P( |X-Y | 1/12) , 记G=|X-Y | 1/12,
所以 P( | X-Y| 1/12 )
f (x, y)dxdy
G
1 (G的面积） 8
y
60
40
10
0 15
概率论
x y 5 xy5
概率论
例4 盒内有 n个白球 , m 个黑球,有放回地摸球
两次. 设
X
1, 0,
第1次摸到白球 第1次摸到黑球
1, 第2次摸到白球 Y 0, 第2次摸到黑球
试求 (1) X ,Y 的联合分布律及边缘分布律;
(2) 判断 X ,Y 的相互独立性; (3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题.
概率论
解 (1) X ,Y 的联合分布律及边缘分布律
如下表所示 :
XY
0
1
pi
0 m2 m n2 mn m n2 m m n
1 mn m n2 n2 m n2 n m n
p j
m mn
n mn
(2) 由上表可知 pij pi p j i, j 0,1
２ １／６
Ｐ｛ｘ＝ｉ｝ １／３
２／６ １／２ ２／３ １
问X和Y是否独立？
解 P{X=0,Y=1}=1/6=P{X=0} P{Y=1}
概率论
P{X=0,Y=2}=1/6=P{X=0} P{Y=2}
P{X=1,Y=1}=2/6=P{X=1} P{Y=1}
P{X=1,Y=2}=2/6=P{X=1} P{Y=2}
2 犏臌
s
2 1
+
( y - m2 )2
s
2 2
üï ïþ
因此,如果r = 0 , 则对于所有x ,y 有
f (x, y) = fX (x) fY ( y)
概率论
即X , Y 相互 独立 .反之,如果X , Y 相互独立,由于
f (x, y), fX (x), fY (y) 都是连续函数,故对于所有的x, y 有 f (x, y) = fX (x) fY ( y) . 特别, 令 x = m1, y = m2 自这一等 式得到
对任意的 x, y, 有
f (x, y) fX (x) fY ( y)
几乎处处成立，则称 X 和 Y 相互独立 .
其中 f (x, y)是X和Y的联合密度，f X (x), fY ( y)
分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 .
这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除 去面积为 0 的集合外，处处成立.
45
x
1 6. 被积函数为常数， 直接求面积
(此图以分钟为单位)
概率论
类似的问题如：
甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头 只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出 的概率.
概率论
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等 可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信 号互相干扰的概率.
解 设X为负责人到达时间,Y为他的秘书 到达时间
由假设X, Y的概率密度分别为
f
X
(
x)
1 4
,
8 x 12
0, 其它
概率论
fY
(
y
)
1 2
,
7 x9
由独立性
0, 其它
f
(x,
y)
ห้องสมุดไป่ตู้
fX (x) fY ( y)
1 8
,
8 x 12, 7 y 9
概率论
若 (X,Y)是离散型随机变量，则上述独立性的 定义等价于：
对(X,Y)的所有可能取值(xi , yj),有
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
则称 X 和Y 相互独立.
二、
概率论
例1 若Ｘ，Ｙ具有联合分布律
ＹＸ
０
１ １／６
１ Ｐ｛ｙ＝ｊ｝
２／６ １／２