高中数学人教版选修46 同余与同余方程 五 拉格朗日插值和孙子定理 课件

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x≡e（moda）， x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
课堂小结
一、一次同余式组： x≡e（moda）
设a，b，c两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f ， f
（c）=g的一个多项式可用
f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x) (Ⅰ)
其
中
p(x)
x a
bx ba
c c
,
q(x)
x b
a a
x b
c c
, r(x)
x c
a a
x c
（ b Ⅱ）
b
上面的公式（Ⅰ）和（Ⅱ）叫做拉格朗日公式. 用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题. 1）求整数p,使p≡1（mod3）, p ≡0（mod5）, p≡0（mod7）.
证明：
因为 yn+1 - xn+1 = f(yn ) - f(xn )
yn - xn
yn - xn
由拉格朗日中值定理知: 总存在 (xn使, y得n )
由于 又 yn+1 - xn+1 = f'(ξ)
yn - xn
当
(
xn
,
yn
)
[0,
1] 2
f '(x故) 得3x2证 2x 1
2
1
1
x [0, ],[ f 2
过程与方法
1.先阅读案例，探究解决问题的算法. 2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.
情感态度与价值观
1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界 数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人， 树立远大理想和目标.
教学重难点
重点
1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.
我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要
我们知道其上的三个值如（x1，f（x1））， （x2，f
（x2））， （x2，f（x2）），就能得到要求的多项事.
一种更一般的拉格朗日插值法.
1）
求多项式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求 多项式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求多 项式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取p （x）=c（x-x2）（x-x3），其中c为常数.
x≡f（modb） x≡g（modc）
二、拉格朗日插值公式：
f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x)
xbxc xaxc xaxb p(x) a ba c ,q(x) b ab c ,r(x) c ac b
三、孙子定理：
设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任 意整数，则同余方程组
证明：要证︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2
︳ 只要证f'(x2) - f'(x1) > 1 由拉格朗日定理，总存在 x2 - x1 x1 x2 使 f ''( ) 1 故只要证明 f ''( ) 1
只要证
f''ξ =
2
+
4 ξ3
-
a ξ2
>
2
+
4 ξ3
-
4 ξ2
>1
令
显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可
求得c为 (x1 - x2)（ x1 – x3）的倒数. 求得
p(x)
x x1
x2 x2
x x3 x1 x3
同理得
q(x)
x x1 x x3 x2 x1 x2 x3
r(x)
x
x3
x1 x1
x x2 x3 x2
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚Байду номын сангаас的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5 人一排多3人，问至少有多少人 ？ 解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理. 解1 7×5c1 =35c1≡1(mod9) 得 c1 ≡ 8(mod9), 解2 9×5c2 =45c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 5(mod7), 解3 9×7c3 =63c3≡1(mod5) 得 c3 ≡ 2(mod5), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得 x≡6×7×5×8+2×9×5×5+3×9×7×2 ≡303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.
知识回顾
学过的函数： 一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数 f（x）=ax2+bx+c f（1）= a+b+c
方程组：
f（-1）= a-b+c
f（2）= 4a+2b+c
导入新课
今有物不知数，三 三数之剩二，五五数之 剩三，七七数之剩二， 问物几何？
你能算出来吗？
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 .
g( )
2
3
2
4
2
，则
g
'(
)
8
3
6
4
2(4 3) 4
令
g
'( )
0
3 4
gmin
g(3) 4
1
故当a≤4时︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2
︳ 3、已知函数
f (x) x3 x2且 12存x 在14 x0∈(0, ) ,使
f(x0)=x0. 证明：
yn1 xn1 1 yn xn 2
A.5 B. 7 C.8 D.9
4、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余 4，这个数最小是（ C ）.
A.274 B. 40 C.34 D.36
5、若4人一组多1人，5人一组正好分完，6 人一组少3人，最少有几人？
解析：若4人一组多1人，6人一组少3人, 则加3人为4和6的公约数=12K，12K-3能 被5整除,根据5和2的倍数特征规 律:12×4-3=45，所以至少有45人.
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5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
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6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
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7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
求整数q,使q≡0（mod3）, q ≡1（mod5）, q≡0（mod7）.
求整数r,使r≡0（mod3）, r ≡0（mod5）, r≡1（mod7）.
2）作整数k=2×p+3×q+2×r，这个k使同余式
都成了.此时x≡k（mod3×5×7）现在的焦点
就是如何求p、q、r.
由于
p≡0（mod5），p ≡1（mod7）
于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得
x≡2×7×11×2+1×3×11×3+2×3×7×10=727
≡24(mod231) 是同余方程的解.
再见
•
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
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2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
孙子定理的推导过程.
3.
用孙子定理解一次同余方程.
难点
建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.
孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3， 除以7余2，问这个数是几?
m=3x+2 x≡2（mod3） 相当于解方程组 m=5y+3 即 x≡3（mod5）
m=7z+2 x≡2（mod3）
同余方程组
为了能更方便的求解方程组我们将学 习拉格朗日插值法.
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
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4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
证明:当t≥1时，f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立.
即
（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3当
t≥1恒成立.
即a[lnt2-ln（2t-1）] ≤2（t-1）2