小学奥数简单的排列问题精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

简单的排列问

题

教学目标

1.使学生正确理解排列的意义；

2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

3.掌握排列的计算公式；

4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维

能力；通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．

知识要点

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n个不同的元素中取出m（m n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中

取出m 个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n 个不同的元素中取出m （m n ）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做 P n m．

根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：

步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；

步骤2 ：从剩下的（ n 1）个元素中任取一个元素排在第二位，有（n 1）种方法；

步骤m ：从剩下的 [n （m 1）]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有 n （m 1） n m 1 （种）方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m个元素的排列数是 n（n 1）（n 2）（n m 1），即

P n m（n n 1）（. n 2）（n m 1），这里，m n，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．

二、排列数

一般地，对于m n的情况，排列数公式变为 P n n n（n 1）（n 2） 3 2 1 ．

表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n个排列全部取出的排列，叫做n

个不同元素的全排列．式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为 n!，读做n的阶乘，则 P n n还可以写为： P n n n! ，其中 n! n（n 1）（n 2） 3 2 1 ．

例题精讲模块一、排列之计算

巩固】 4 名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？ 考点】简单排列问题 【难度】 2 星 【题型】解答 解析】 4 个人到照相馆照相，那么 4 个人要分坐在四个不同的位置上．所以这是一个从 4 个元素中选 4个，

排成一列的问题．这时 n 4， m 4 ．

由排列数公式知，共有 P 44

4 3 2 1 24 （种 ）不同的排法． 答案】 24

巩固】 9名同学站成两排照相，前排 4人，后排 5 人，共有多少种站法？ 考点】简单排列问题

【难度】 3 星 【题型】解答 解析】 如果问题是 9名同学站成一排照相， 则是 9个元素的全排列的问题， 有P 99

种不同站法． 而问题中， 9 个人要站成两排，这时可以这么想，把 9 个人排成一排后，左边 4个人站在前排，右边 5 个人站在后 排，所以实质上，还是 9 个人站 9 个位置的全排列问题．

方法一：由全排列公式，共有 P 99

9 8 7 6 5 4 3 2 1 362880 （种 ）不同的排法． 方法二：根据乘法原理 ,先排四前个，再排后五个． 【考简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答

【解析】 由 排列数公式 P n m （n n 1）（. n 2）（ n m

1）知： 2 ⑴ P 5 4 20

⑵ P 74 7 6 5 4 840 ,P 73 7 6 5 210 ，所以 P 74 P 73 840 210 630 ．

【答案】 ⑴ 20 ⑵ 630

【巩固】 计算：⑴ P 32 ；⑵ 32 P 6 P 10 ． 【考点】 简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答

【解析】 2 ⑴ P 3 2 6 32 ⑵ P 63 P 120 6 5 4 10 9 120 90 30 ． 【答案】 ⑴6 ⑵ 30 【巩固】 计算：⑴ P 134 P 124 ； ⑵ 3P 65 P 33 ． 【考点】 简单排列问题 【难度】 1 星 【 题型】解答

【解析】

32 ⑴ P 134 P 142 14 13 12 14 13 2002 ； 53 ⑵ 3P 65 P 33 3 (6 5 4 3 2) 3 2 1 2154 ． 【答案】 ⑴ 2002 ⑵ 2154

模块二 、排列之排队问题

【例 2】 有 4 个同学一起去郊游， 照相时，必须有一名同学给其他 3 人拍照，共可能有多少种拍照情况？ 相时 3 人站成一排 )

【考点】 简单排列问题 【难度】 2 星 【 题型】解答

【解析】 由于 4 人中必须个人拍照，所以，每张照片只能有 3 人，可以看成有 3个位置由这 3 人来站 ．由 于要选一人拍照，也就是要从四个人中选 3 人照相，所以，问题就转化成从四个人中选 3人，排在 3 个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法． 由排列数公式，共可能有： P 43

4 3 2 24 （种）不同的拍照情况． 也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有： P 44

4 3 2 1 24 （种） 不同的拍照情况．

答案】 24

例 1】 计算：⑴ P 52 ；⑵ P 74 P 73

． （