第三章X射线衍射强度
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第3章 X射线衍射强度
由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会有所加强， 某些方向的强度将会减弱甚至消失，习惯上将这种现象称 为系统消光
13
X射线衍射强度理论
包括运动学理论和动力学理论.
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
1. 一个电子对X射线的散射
由汤姆逊公式进行描述，是汤姆逊从经典电动力学的观点分析 推出的。
re 2 1 (cos2 ) 2 Ie Io ( ) R 2
消失的反射
无
H、K全为奇数或全为 偶数 （H+K为偶数）
H+K+L为偶数 H、K、L全为奇数或 全为偶数
H、K奇偶混杂 （H+K为奇数）
H+K+L为奇数 H、K、L奇偶混杂
第二节 单位晶胞对X射线的散射与结构因数
二、几种点阵的结构因数计算
三种点阵晶体衍射线分布见图5-20 ， 图中N = H2 + K2 + L2，产生衍射的干 涉面指数平方和之比分别为， 简单点阵 体心点阵 面心点阵 12345 2 4 6 8 10 3 4 8 11 12
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
2. 一个原子对X射线的散射
Ia f Ie
2
这里引入了f――原子散射因子
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
推导过程：
一个原子包含Z个电子，那么可看成Z个电子散射的叠加。 （1）若不存在电子电子散射位相差：
I a Z Ae Z I e
2 2
26
单位晶胞对X射线的散射与结构因素
• 4. 底心点阵 – 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000和1/2 1/2 0，原子散射因子相同，都为fa。
第3章 X射线衍射强度ppt课件
• 因此，在讨论衍射强度时，此假设显得过分粗略。 • 3、实际上，原子中Z个电子按电子云规律分布在原子空间的
不同位置上，故同一原子中各电子在某方向上散射波相位不 尽相同。
24
原子散射强度（2）
• 原子对X射线的散射情况：
• 入射X射线分别照射到原子中任意两电子A和B。
1. 在XX′方向散射波： 因2θ=0，散射前后所经路程 相同；或当入射线波长λ远 大于原子半径 d 时，可认为 位相差为0。 此时，相当于Z个电子集中 于一点，则原子散射强度为：
14
一、一个电子对X射线的散射
• 晶体中的电子散射包括：相干散射与非相干散射。
1. 相干散射： • 指入射光子与原子内层电子发生弹性碰撞作用，仅使运动
方向改变而无能量损失。又称弹性散射或汤姆逊散射。
2. 非相干散射： • 指入射光子与原子外层电子或晶体中自由电子发生非弹性
碰撞作用，不仅运动方向改变，且有能量损失，又称为非 弹性散射或康普顿散射。
• 汤姆孙公式：给出了散射线强度的绝对值（J／(m2• s)。 • 绝对数值计算和测量是困难的，所有衍射问题，取相对强度
值就足够了。 • 一般地，除极化因子外，其它因子在实验条件一定时，均为
定值，可设法除去。
IeR I0 2(4 0)2(e m 2)2(1c2o 22s)
21
2. 一个原子对X射线的散射强度
Ia= Z2 Ie
X射线受一个原子的散射
25
原子散射强度（3）
2、在任意方向（2 θ≠ 0）如YY′方向上：
不同电子对X射线散射波存 在光程差，又因原子半径比 X射线波长λ要小，故不能产 生波长整数倍的位相差，导 致电子波合成强度减低。 即原子散射波强度：
Ia ＜ Z2 Ie
不同位置上，故同一原子中各电子在某方向上散射波相位不 尽相同。
24
原子散射强度（2）
• 原子对X射线的散射情况：
• 入射X射线分别照射到原子中任意两电子A和B。
1. 在XX′方向散射波： 因2θ=0，散射前后所经路程 相同；或当入射线波长λ远 大于原子半径 d 时，可认为 位相差为0。 此时，相当于Z个电子集中 于一点，则原子散射强度为：
14
一、一个电子对X射线的散射
• 晶体中的电子散射包括：相干散射与非相干散射。
1. 相干散射： • 指入射光子与原子内层电子发生弹性碰撞作用，仅使运动
方向改变而无能量损失。又称弹性散射或汤姆逊散射。
2. 非相干散射： • 指入射光子与原子外层电子或晶体中自由电子发生非弹性
碰撞作用，不仅运动方向改变，且有能量损失，又称为非 弹性散射或康普顿散射。
• 汤姆孙公式：给出了散射线强度的绝对值（J／(m2• s)。 • 绝对数值计算和测量是困难的，所有衍射问题，取相对强度
值就足够了。 • 一般地，除极化因子外，其它因子在实验条件一定时，均为
定值，可设法除去。
IeR I0 2(4 0)2(e m 2)2(1c2o 22s)
21
2. 一个原子对X射线的散射强度
Ia= Z2 Ie
X射线受一个原子的散射
25
原子散射强度（3）
2、在任意方向（2 θ≠ 0）如YY′方向上：
不同电子对X射线散射波存 在光程差，又因原子半径比 X射线波长λ要小，故不能产 生波长整数倍的位相差，导 致电子波合成强度减低。 即原子散射波强度：
Ia ＜ Z2 Ie
3 衍射强度
• 有序化使无序固溶体因消光而失却的衍射线复出
现，这些被称为超点阵衍射线。 • 根据超点阵线条的出现及其强度可判断有序化的 出现与否并测定有序度。
§3-3 多晶体的衍射强度
• 本小节讨论最广泛应用的粉末法的衍射强度问题. • 在粉末法中影响衍射强度的因子有如下五项: • （1） 结构因子(上节已讨论)
• 本章我们将讨论X射线衍射强度
• 从一个电子、一个原子、一个晶胞、一 个晶体、粉末多晶循序渐进地介绍它们 对X射线的散射问题.
• 最后讨论粉末多晶体的衍射强度问题.
一、关于衍射强度
** 单位时间内通过与衍射方向相垂直的单位面积 上的X射线光量子数目。 **绝对强度的测量既困难又无实际意义。 **衍射强度常用同一衍射图中各衍射线强度 (积分 强度或峰高)的相对比值即相对强度表示.
度变为0）。
**对衍射强度作出系统而全面的研究 ,就要依靠结 构因子。当 X 射线照射到晶体中某个晶胞时，该晶 胞中各原子的散射波具有不同的位相和振幅，其合 成波的强度为：
2 FHKL
n n 2 = f k cos 2p ( mc H + PK K + q K L + f k sin 2p ( mk H + PK K + q k L k =1 k =1
• A(θ)-吸收因子
• r-试样直径
• 线吸收系数-μl
• 这样的吸收与θ有关。
• 平板试样的吸收因子，在入
射角与反射角相等时，吸收 与θ无关。
四、温度因子
＊＊前面所讲的各节，均将晶体中的原子看作是 处于理想平衡位置的结点上。 ＊＊实际上，晶体中原子是处在连续不断的热振 动状态下，必然给衍射带来影响． 1.晶胞膨胀； 2.衍射线强度减小；
第三章 X射线衍射强度
温度因子
e
2 M
IT I
式中：IT — 原子热振动影响时的强度 I — 理相状态的强度 热振动的方向无规则性，使得非衍射方 向散射强度↑，增加衍射花样背底。
5 吸收因子 A(θ )
试样对x-ray的吸收造成衍射强度的衰减。
无吸收A(θ
)＝1，吸收越多，其值越小。 圆柱状试样的A(θ )是试样 l 和半径r的 函数，可通过查表求得。 1 板状试样的A(θ )与θ 无关， A( ) 2
角顶 Cs (0,0,0) FHKL = f Cs + f Cl e H + k + L = 偶数 F = f Cs+ f Cl 强度高 （110）（200）（211）… H + k + L= 奇数 F = f Cs – f Cl 强度低 （100）（111）（210）…
1 1 1 体心 Cl（ 2 , 2 , 2 ） iπ(H+K+L)
2 多重性因子 P
表示多晶体中同族晶面｛HKL｝的等同晶面
数。
P值越大，晶面获得衍射的几率越大，对应
的衍射线越强。
d同
θ同 衍射线重叠在同一衍射线环上。
P数值随晶系及晶面指数而变化。
例：
立方晶系（a
= b = c α=β=γ=90°）
P100= 6 四方晶系（a = b≠c α=β=γ=90°） P100= 4 P001= 2
系统消光
衍射线I=0，衍射线消失，称为系统消光。
（原子在晶胞中的位置不同引起某些方向 衍射线的消失--点阵消光）。
尽管满足衍射条件，因F
= 0使衍射线消失
的现象。
对于体心点阵，可以产生衍射的晶面为
第三章 X射线衍射强度.
式中：Io—入射x-ray强度 m、e — 电子的质量与电荷 c— 光速 λ— 入射x-ray波长 R— 衍射仪半径 cm V— 试样被x-ray照射体积，cm3 Vo— 晶胞体积 cm3 F— 结构因子 P— 多重性因子 e－2M — 温度因子
( ) — 角因子 A(θ) — 吸收因子
同一衍射花样中，e、m、c为固定物理常数， Io、λ、R、V、Vo对同一物相的各衍射线均相 等，衍射线的相对积分强度可用 5个强度因子的乘积来表示：
而（100）,（111）,（210）,（221）等均无散射
4. 面心晶胞：四种位置的原子坐标分别是（0 0 0）和 （½ ½ 0）,（ ½ 0 ½ ）,（0 ½ ½）。
F fe2 i0 fe2 ih/ 2k / 2 fe fe 2 ik / 2l / 2 2 il / 2h/ 2 f 1 eihk eikl eilh
当h, k, l为全奇或全偶，(h + k)，(k+l) 和
(h+l) 必为偶数，故F = 4f，F 2 = 16f 2
当h, k, l中有两个奇数或两个偶数时，则在（h+k)，(k+l) 和 (h+l)中必有两项为奇数，一项为偶数，故F = 0, F2 = 0 所以（111）,（200）,（220）,（311）有反射，而 （100）,（110） ,（112）,（221）等无反射。
衍射线强度的测量采用衍 射仪法，得到I～θ曲线。
每个衍射峰下面的 面积（积分面积）称 为积分强度或累积强度。
x射线衍射线束的强度
波长λ强度Io的x-ray，照射到 晶胞体积Vo的多晶试样上，被 照射晶体的体积V，与入射线 夹角为2θ方向上产生（HKL） 晶面的衍射，距试样R处记录 到的衍射线其单位长度上积分 强度为：
第3章 X射线的衍射强度
1 1 1 2 i h k l F f 1 e 4 4 4
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
2) 当hkl全为奇数时，Ff=Fa。h+k+l=2n+1，其中n为任 意整数，则有
1 e
i
2
h k l
1 cos
2
h k l i sin
I＝A2
实际上，晶体要产生x射线衍射，x射线的波长应当 与晶体中原子间距在同一数量级。
与入射x射线平行的方向上(XX’): 相位差为0，所以Aa=ZAe 除了XX’方向：各电子的散射波之 间存在一定的相位差。 如在YY’方向上a、b两个电子产 生的散射波的波程差为CB-AD，
会产生干涉作用。 由于原子半径的尺度比x射线的波长的尺度要小，所以各电子的
四、一个晶胞对x射线的衍射
1、复杂点阵的衍射分析
简单点阵只由一种原子组成，每个晶胞只有一个原子，它 分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原 子的散射强度。 复杂点阵晶胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。 复杂点阵的衍射特点 （1）任何复杂点阵都是由完全相同且平行的几个简单点阵 镶嵌而成的； （2）整个复杂点阵的衍射可以看做是由各个简单点阵及基 点原子在相同方向的衍射合成结果； （3）复杂点阵的可能衍射方向不可能多余其中任何一个简 单点阵的衍射方向，只能减少或相等。
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、f3…… fn ；它们的散射波的振幅为 Aef1、Aef2、Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、φ2、φ3、……φn。 那么，这n 个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞的散射波的振幅Ab为
第三章 X射线衍射强度
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
晶体的衍射强度与参加衍射晶粒数目成正比.
∵ 参加衍射的晶粒分数＝(cosθΔθ)/2 ∴ 这一数目与衍射角有关，即I ∝ cosθ。
也将这一项称为第二几何因子。
⑶单位弧长的衍射强度（第三几何因子，即 衍射线位置对强度测量的影响）
意义：描述了衍射线所处位置不同对衍射强度的影 响，即2θ↓衍射线圆弧半径↓，单位弧长上的强度↑。
2.三种衍射几何对衍射强度的影响规律
⑴.晶粒大小的影响（第一几何因子）
由于实际晶体的不完整性、入射线也不可能是绝对 单色的，且不会绝对平行而是具有一定的发散角。因此， 衍射线的强度尽管在满足布拉格方程的方向上最大，但 偏离一定的布拉格角时也不会为零，故衍射曲线呈山峰 状，具有一定的宽度，而不是严格的直线。
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
X射线衍射强度
那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3Ae ...fn Ae ； 各原子与O原子之间旳散射波光程差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
晶胞旳构造因子推导
则该晶胞旳散射振幅为这n种原子叠加：
n
Ab Ae
f j eij
j 1
引入构造参数 ：
FHKL
Ab Ae
n j 1
f j eij
（100）晶面族旳P为6 （111）晶面族旳P为8 （110）晶面族旳P为12 考虑多重性因数旳影响，强度公式为
I
I0
32
R
可知晶胞中（H K L）晶面旳衍射强度：
Ib FHKL 2 I e
(四) 构造因子旳讨论
构造因子
构造因子计算式 构造因子计算例
产生衍射旳充分条件及系统消光
系统消光 消光规律
1. 构造因子：
因为： j 2 HX j KYj LZ j
其中：Xj、Yj、Zj是j原子旳阵点坐标； H K L是发生衍射旳晶面。
1. 散射X射线旳强度很弱。 假定R=1cm，2θ=0处 Ie/I0=7.94×10-23 2. 散射X射线旳强度与电子到观察点之间旳距 离旳平方成反比。这是时很轻易了解旳。 3.不同方向上，即2θ不同步，散射强度不同。 平行入射X射线方向(2θ=0 或180°)散射线强度最大。 垂直入射X射线方向(2θ=90或270°)时，散射旳强 度最弱。为平行方向旳1/2。其他方向则散射线旳强
(2) 体心立方晶胞旳构造因子
体心立方晶胞内有两个同种原子，即000和
1 2
1 2
1 2
F
2
f
cos 0
f
cos 2 ( H
2
K 2
X射线的衍射强度
有序固溶体分析
（1）完全无序 每个晶胞中含有四个平均原子（0.75 Cu+0.25Au）属面心立 方点阵。坐标000 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1/2
FHKL=f平均[1+eπi(H+K)+eπi(H+L)+eπi(K+L)] 当H、K、L全为奇数或全为偶数时 FHKL=4 f平均=fAu+3fCu 当H、K、L为奇偶混杂时，FHKL=0消光
一个原子对X射线的散射
原子散射因子曲线 对于不同类型的原子，其原子散射因子 f 是可变的，它与sinθ和λ有关。随 sinθ/λ的值的增大而变小。 Sinθ＝0时，f=Z. 原子序数越小，非相干散射越强。（核外电子所占比例增大）
一个晶胞对X射线的散射
预备知识： X射线的波前电场强度随时间的变化可以用周期函数表示：
实际上，原子中的电子是按照电子云状态分布在原子空 间的不同位置上，故各个电子散射波之间是存在位相差的， 这一位相差使得合成波的强度减弱。
一个原子对X射线的散射
X射线受到一个原子的散射
一个原子对X射线的散射
经过修正： 一个电子对X射线散射后空间某点强度可用Ie表示，那么一个 原子对X射线散射后该点的强度Ia：
fe 2 2 2
= f [1+ eπi(h+k+l) ]
F = 2 f （h+k+l）为偶数 F2 = 4f 2
F = 0 （h+k+l）为奇数
体心点阵中，只有当H+K + L为 偶数时才能产生衍射
体心立方
面心立方晶胞的结构因子
每个晶胞中有4个同类原子，分别位于000、1/2 1/2
03X射线衍射强度解析
i j
引入结构参数F，定义F是以一个电子散射波振幅为 单位所表征的晶胞散射波振幅，即 ：
FHKL
n Ab i j f j e Ae j 1
可知晶胞中（H K L）晶面的衍射强度
I b FHKL
2018/10/5
2
Ie
15
HNU-ZLP
可以证明，hkl晶面上的原子（坐标为uvw）与 原点处原子的经hkl晶面反射后的位相差φ，可 以表示为：
2018/10/5
HNU-ZLP
2
3-2 结构因子
结构因子（structure factor）是定量表征原子排 布以及原子种类对衍射强度影响规律的参数，即 晶体结构对衍射强度的影响因子。 因原子在晶体中位置不同或原子种类不同而引起 的某些方向上衍射线消失的现象，称为系统消光。 根据系统消光结果以及通过测定X射线强度的变 化可以推断出原子在晶体中的位置。 对结构因子本质的理解可以按照下述层次逐步分 析：X射线在一个电子上的散射强度，在一个原 子上的散射强度以及在一个晶胞上的散射强度。
HNU-ZLP
9
（2）实际上，存在位相差，引入原子散射因子：
Aa f Ae
原子散射强度：
即Aa＝f Ae 。
其中f与有关、与λ有关。
I a Aa f I e
2
2
（f总是≤Z，如图1-25） f是考虑了各个电子散射波的位相差之后原子 中所有电子散射波合成的结果。反映了一个原子将 X射线向某个方向散射时的散射效率。
2 2
2
公式讨论
2018/10/5
HNU-ZLP
5
2018/10/5
HNU-ZLP
6
公式讨论：
第三章 X射线的强度
b、两偶一奇
2
结构消光 结构消光
F 0
2
例题4：具有底心阵胞的点阵，由同名原子组成，m＝2 ；
u、v、w＝（0、0、0）；（1/2、1/2、0）
2 m
F
2
f
m
exp[2πi(um H v m K wm L)]
2
1 1 f1 exp[2i (0H 0K 0L)]＋f 2 exp[2i ( H K 0L)] 2 2
2 f 2 1＋exp(i L) exp[ i (H 2K)] 3 讨论： ① 当H＋2K＝3n（n为任意整数）和L为奇数时：
2
F 0
② 当H、K、L为其它组合时：
2
F 0
2
例题6：由异名原子组成晶体结构，计算NaCl 的结构因数，NaCl晶体 结构中，每个晶胞中有4个钠原子和4个氯原子，原子散射因数分别为 fNa 和 fCl ： 钠原子的坐标为：
位相和振幅不同的正弦波的合成
两个波长相同而位相和 振幅不同，其波函数可用下
式表示：
E1 A1 sin( 2πν t 1 )
E2 A2 sin( 2 t 2 )
若求两个波的合成，可
用复数方法进行解析运算。
波的向量合成
波的解析表达式：
A cos Ai sin ix 又：e cos x i sin x
j 1 m i j
令：
Ab m i j F f je Ae j 1
结构因子
衍射波的位相与衍射面和原子的位置有关
2 ( Hu Kv Lw)
FHKL f j e
j 1 m 2 i ( Hu j Kv j Lw j )
2
结构消光 结构消光
F 0
2
例题4：具有底心阵胞的点阵，由同名原子组成，m＝2 ；
u、v、w＝（0、0、0）；（1/2、1/2、0）
2 m
F
2
f
m
exp[2πi(um H v m K wm L)]
2
1 1 f1 exp[2i (0H 0K 0L)]＋f 2 exp[2i ( H K 0L)] 2 2
2 f 2 1＋exp(i L) exp[ i (H 2K)] 3 讨论： ① 当H＋2K＝3n（n为任意整数）和L为奇数时：
2
F 0
② 当H、K、L为其它组合时：
2
F 0
2
例题6：由异名原子组成晶体结构，计算NaCl 的结构因数，NaCl晶体 结构中，每个晶胞中有4个钠原子和4个氯原子，原子散射因数分别为 fNa 和 fCl ： 钠原子的坐标为：
位相和振幅不同的正弦波的合成
两个波长相同而位相和 振幅不同，其波函数可用下
式表示：
E1 A1 sin( 2πν t 1 )
E2 A2 sin( 2 t 2 )
若求两个波的合成，可
用复数方法进行解析运算。
波的向量合成
波的解析表达式：
A cos Ai sin ix 又：e cos x i sin x
j 1 m i j
令：
Ab m i j F f je Ae j 1
结构因子
衍射波的位相与衍射面和原子的位置有关
2 ( Hu Kv Lw)
FHKL f j e
j 1 m 2 i ( Hu j Kv j Lw j )
哈工大材料成型加工方法第三章 x射线衍射强度
• 出现超点阵。
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
晶胞中不是同种原子时--结构振幅的计算
• 代入 FHKL 2 公式，其结果是： • 1）当 H、K、L全奇或全偶时，
FHKL 2 ( f Au 3 fCu )2
• 2）当H、K、L奇偶混杂时，
FHKL 2 ( f Au fCu )2 0
• 有序化使无序固溶体因消光而失去的衍射 线复出现，这些被称为超点阵衍射线。根 据超点阵线条的出现及其强度可判断有序 化的出现与否并测定有序度。
• 由此可计算各种晶胞的结构振幅
结构振幅的计算
1、简单点阵
• 单胞中只有一个原子，基坐标为（0，0，0），原
子散射因数为f，根据式（2-20）： FHKL 2 [ f cos2 (0)]2 [ f sin 2 (0)]2 f 2
• 该种点阵其结构因数与HKL无关，即HKL为任意整 数时均能产生衍射，例如（100）、（110）、 （111）、（200）、（210）…。能够出现的衍射
B为背射相， • 目前劳埃法用转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
（1） 多重性因子
• 对多晶体试样，因同一{HKL}晶面族的各晶面组面 间距相同，由布拉格方程知它们具有相同的θ，其 衍射线构成同一衍射圆锥的母线。通常将同一晶 面族中等同晶面组数P称为衍射强度的多重性因数。 显然，在其它条件相间的情况下，多重性因数越 大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶 粒参与衍射的几率越多。
FHKL f j [cos 2 (Hx j Ky j Lz j ) i sin 2 (Hx j Ky j Lz j )] j 1
第三章 X射线衍射强度
K L H K FHKL [ f1 cos 2 (0) f 2 cos 2 ( ) f 3 cos 2 ( ) f 4 cos 2 2 2 2 2 H L K L H K ( )]2 [ f 1 sin 2 (0) f 2 sin 2 ( ) f 3 sin 2 ( ) f 4 sin 2 2 2 2 2 2 2 H L 2 ( )] f 2 [1 cos ( K L) cos ( H K ) cos ( H L)]2 2 2
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
• 对于简单立方： N1:N2:N3:„Nn= 1:2:3:4:5:6:8:9:10…
•对于体心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=2：4：6：8：10: 12 : 14: 16:18 …
•对于面心立方： N1:N2:N3:…Nn=
=3：4：8：11；12：16…
（N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:8:9:10 （N1:N2:N3:…Nn）/N1 =1:2:3:4:5:6:7:8:9
f与sin/λ 有关， sin/λ 减 小时， f增大；sin =0时，f=Z； 一般情况下f〈Z
•一个晶胞对X射线的散射
1. 简单点阵只有一种原子组成，每个单胞中只有一个原子， 其位于单胞的顶角上，所以简单点阵单胞的散射强度相当 于一个原子的散射强度 2. 复杂点阵单胞中含有n个相同或不同种类的原子，它们除 占据单胞的顶角外，还可能位于体心、面心或底心位置， 所以复杂点阵单胞的散射波振幅为单胞中所有原子散射波 的合成振幅
4.消光规律与晶体点阵
点阵 简单点阵
体心点阵 面心点阵
Fhkl
2
n f j cos 2 HX j KY j LZ j j 1
第三章 X射线衍射强度
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原子中的电子在其周围形成 电子云，当散射角2θ=0时， 电子云，当散射角 时 各电子在这个方向的散射波 之间没有光程差， 之间没有光程差，它们的合 δ = Gn − Om = r ⋅ S − r ⋅ S = r (S − S ) 成振幅为Aa=ZAe； 成振幅为 ； 当散射角2θ≠0时，如图所 当散射角 时 观察原点O和空间一点 示，观察原点 和空间一点 G的电子，它们的相干散射 的电子， 的电子 波在2θ角方向上有光程差 角方向上有光程差。 波在 角方向上有光程差。 δ = Gn − Om = r ⋅ S − r ⋅ S 0 = r (S − S 0 ) 设入射和散射方向的单位矢 量分别是S 量分别是 0和S，位矢 ， 则其相位差Φ为 则其相位差 为 ： GO = r 2π 2π φ= (Gn − Om) = r (S − S 0 ) λ λ
2π 2π 2π
O与A原子散射波位相差为： 与 原子散射波位相差为 原子散射波位相差为：
＝ Hx j + Ky j + Lz j
原子的fj作振幅 以A原子的 作振幅，以与 原子的散射波的位相差 原子的 作振幅，以与O原子的散射波的位相差 为Φ位相， 位相， 位相 则晶胞内任意A原子沿 原子沿（ 则晶胞内任意 原子沿（HKL）晶面反射方向的散 ） 射波表示为： 射波表示为： iφ 2π i ( Hx j + Ky j + Lz j )
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主要内容
1 2 3 4
一个电子对X射线的散射 一个电子对 射线的散射
一个原子对X射线的散射 一个原子对 射线的散射
单位晶胞对X射线的散射 单位晶胞对 射线的散射
晶体对X射线的散射与衍射积分强度 晶体对 射线的散射与衍射积分强度
【材料课件】03X射线衍射强度
其中：Xj、Yj、Zj是j原子的阵点坐标； H K L是发生衍射的晶面。
所以有：
2
2
n
FHKL f j cos2 HX j KYj LZ j
j1
2
n
f j sin 2 HX j KYj LX j
6/1/2019
j1
各晶面族的多重因子列表.
6/1/2019
HNU-ZLP
32
各晶面族的多重因子列表
指数
晶系
H00 0K0 00L HHH HH0 HK0 0KL H0L HHL HKL
立方
菱方、六方
正方 斜方 单斜 三斜
6/1/2019
P
6
8 12
24
24 48
62
6
12
24
42
48
8
16
2
4
8
2
42
4
2
2
2
HNU-ZLP
它分为：点阵消光 结构消光。
四种基本点阵的消光规律 （图表）
6/1/2019
HNU-ZLP
22
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射
消失的反射
简单点阵
全部
无
底心点阵 体心点阵
H、K全为奇数或全为偶数 H+K+L为偶数
H、K奇偶混 杂
H+K+L为奇 数
面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数
H、K、L奇 偶混杂
因原子在晶体中位置不同或原子种类不同 而引起的某些方向上衍射线消失的现象， 称为系统消光。
根据系统消光结果以及通过测定X射线强 度的变化可以推断出原子在晶体中的位置。
X射线衍射强度
6
衍射强度－原子种类，原子位置
电子
晶体
思路:
晶胞
原子
一个原子 核
In电子
I原子核
I原子
I晶胞
I晶体
I多晶
7
二、电子对X射线的衍射
晶体的X射线衍射作用是由电子的相干 散射引起的.
当一束X射线碰到一个电子时，该电子在X射 线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射振动频 率（波长）与原X射线频率相同的X射线。这就是相 干散射。电子就成为一个新的X射线源。
46
四种基本点阵的消光规律
布拉菲点 阵
出现的反射 全部
消失的反射 无
简单点阵
H、K奇偶混 底心点阵 H、K全为奇数或全为偶数 杂 H+K+L为奇 体心点阵 H+K+L为偶数 数 H、K、L奇 面心点阵 H、K、L全为奇数或全为偶数 偶混杂
47
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方面 要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附加原 子的存在，还有附加的消光，称为结构消光
（3）体心点阵
每个晶胞中有2个同类原子，其坐标为 000和1/2 1/2 1/2 ，其原子散射因子相同
41
– 分析
• 当H+K+L为偶数时， • 当H+K+L为奇数时，
结论： 在体心点阵中，只有当H+K+L为偶数时 才能产生衍射
42
（4）面心点阵
– 每个晶胞中有4个同类原子
43
分析
• 当H、K、L全为奇数或偶数时，则（H+K）、 （H+K）、（K+L）均为偶数，这时：
这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
X射线衍射强度
bcc的（001）面
单胞对X射线的散射
单胞内原子的散射分析
假定O为晶胞的一个顶点，同时取其为坐标原点， A为晶胞中任意一个原子j，它的坐标矢量为
式中，a,b,c为基本 平移矢量
单胞对X射线的散射
波长差与相位差
A原子的散射波与坐标原点O处原子散射波之间 的光程差为：
相位差为：
（4-17）
单胞对X射线的散射
第二节 单胞对X射线的散射
结构因子的推导
一般情况下，可以把晶体看成是单位晶胞在空间 的一种重复。所以在讨论原子位置与衍射线强度 的关系时，只需考虑一个单胞内原子排列是以何 种方式影响衍射线强度 在简单晶胞中，每个晶胞只由一个原子组成，这 时单胞的散射强度与一个原子的散射强度相同。 而在复杂晶胞中，原子的位置影响衍射强度
单胞对X射线的散射
结构消光
由两种以上等同点构成的点阵结构来说，一方
面要遵循点阵消光规律，另一方面，因为有附 加原子的存在，还有附加的消光，称为结构消 光 这些消光规律，存在于金刚石结构、密堆六方等 结构中
单胞对X射线的散射
结构消光
金刚石结构
每个晶胞中有8个同类原子， 坐标为000、1/2 1/2 0，1/2 0 1/2，0 1/2 1/2， 1/4 1/4 1/4，3/4 3/4 ¼，3/4 ¼ 3/4 ，1/4 3/4 3/4
1. 右图为简单点阵
假如一束单色X射线以θ 角投射到简单晶胞的 （001）晶面上产生衍 射时，反射线1’和2’之 间的光程差ABC为一个 波长，所以两反射线同 相位，于是在的所示方 向上产生衍射线
（001）晶面的衍射
单胞对X射线的散射
结构消光的实例 2. 体心立方的两个（001） 面之间还有一个原子 面，它的反射线与 1‘的光程差恰好是波 长的一半，因此，1’ 和3’的相位相反，互 相抵消。同理，3’和2’ 也是这样。 所以， 在体心点阵点不会出 现（001）面的衍射线
X射线分析第三章—衍射强度(简化)
立方点阵德拜相的指标化及点阵类型与点阵参数的确定
步骤： 1．从低角到高角，测德拜相各线对间距S1、S2、S3…； 2．由S算出修正后的θ1、θ2、θ3…； 3．由θ及入射线波长算出晶面间距dl、d2、d3……； 4．求得sin2θ1／sin2θ2比例数列，与表各立方点阵比例 数列对比，确定出被测物质为哪种类型的立方点阵。 再查出相应的HKL，标定出每一线对的干涉指数。 5．根据已标定干涉指数HKL的高角衍射线，算出晶体 的点阵参数。
4. 面心点阵 每个晶胞中有4个同类原子
F h kl f [1 e
i ( k h )
e
i ( h l )
e
i ( l k )
]
f [1 co s( h k ) co s( h l ) co s( k l ) ]
H、K、L全奇或全偶， |FHKL|2=16f2； 其它 FHKL=0
j
Kv
j
Lw j
点阵对X射线衍射必要、充分条件： 满足布拉格方程，且FHKL≠0。 由于FHKL＝0 而使衍射线消失的现象称系统消光
证明：φ= 2π(hu+ vk+ lw)
• 设：入射波和散射波矢量S0、S，原子A的坐标（u v w），点阵矢量为rj，则经（h k l）晶面反射后与原点 处原子（000）的波程差：
a
L
2
2 sin
• 立方点阵sin2θ(H2+K2+L2,, 整数)比例数列: • 简单立方: 1 2 3 4 5 6 8 9 …14 16 17
• 体心立方: 1 2 3 4 5 6 7 8…→变2 4 6 8 10 …
• 面心立方: 3 4 8 11 12 16
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衍射方向，可根据布拉格方程，当λ一定时， 取决于d值；因此衍射方向反映了晶胞的大小以及 形状因素（根据d得知）——由布拉格方程决定。 比如：（100）晶面的面间距决定了晶胞的大小等。
但是，造成结晶物质种类千差万别的原因不 仅是由于晶格常数不同，最重要的是组成晶体的 原子种类、原子在晶胞中的位置不同所造成的。 这两种信息均可反映在衍射线强度的大小和衍射 线的有无；
波程差 ：DE+EF=1/2λ
由于晶面的重复性、相消干涉持续下去，因此 （001）晶面的反射强度变为零。
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
性因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数对 强度的影响
小晶体内 各晶胞散 射波合成
(粉末)多晶体 衍射(积分)强度
单位弧长 衍射强度
参加衍射的晶粒 (小晶体)数目
一个小晶体对X射线的 散射强度与衍射(积分)
强度(干涉函数)
§3.2 单位晶胞对X射线的散射与 结构因素
图 底心晶胞(a)与体心斜方晶胞(b)的比较
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2
12——Ie为2θ=0时的一半
四.一个原子对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
Y Y 方向：波程差=CB-AD<λ，
位相差φ=（2π/ λ） δ
= （2π/ λ） CB-AD ≠0
（由于原子半径小于λ）.故合成波振幅小于A、 B电子散射波振幅之和:
Ia<Z2Ie
⑶ 引入原子散射因子 ： （则 ≤Z Ia≤Z2Ie）即：Ia = 2Ie
原子散射因子——考虑了各个电子散射波的 位相差之后，原子所有电子散射波合成的结 果。
衍射线绝对强度— —指的是单位时间内 通过与衍射方向垂直 的单位面积上的Xray光量子的数目，其 测量困难也无实际意 义。
图 X射线衍射强度问题的处理过程
原子内各 电子散射 波合成
一个原子对X射 线的散射强度 (原子散射因子)
晶胞内各 原子散射 波合成
一个晶胞对X射 线的散射强度
(结构因子)
引入吸收 因子、温度 因子、多重
图3-3 底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)(001) 面的衍射
一 . 晶胞中原子的位置不同对X射线衍射强度的影响
一个晶胞中原子位置不同，强度将发生变化。 图3-2（a）、（b）是同种原子的晶胞，其区 别在于（a）中底心原子向上移动了1/2C距离。 假设X-ray在图（a）晶胞中（001）面上产生 衍射，且波程差AB+BC=λ， 则图（b）晶胞中多出（002）面，
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
原子种类不同，其电子数及排列也不同，因 此首先讨论一个电子对X-ray的散射，再讨论一个 原子中所有电子的位置对散射强度的影响。
三 . 一个电子对X-ray的散射
根据电磁波理论，原子对X-ray的散 射主要是由核外电子而不是原子核引起的， 因为原子核相对光子来说质量很大，不容 易受到激发而产生振动，因此我们首先要 讨论一个电子对X射线的相干散射。
⑴. 散射线强度很弱，约为入射强度的几十分之一;
⑵. 散射线强度与观察点距离的平方成反比；
⑶. 一束非偏振的X-ray经电子散射后其散射强度 偏振化了。
偏振光——光强在空间各个方向不相等。
非偏振光——在0~2π的范围光强相等，即强度 在空间各个方向上是相等的。
当2θ=0 。时 1 cos2 2 1——散射光最强
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§3.1 引言 §3.2 结构因数 §3.3 洛伦兹因素 §3.4 影响衍射强度的其他因素 §3.5 多晶体衍射的积分强度
§3.1 引言
利用X-ray在晶体中的衍射可进行晶体结构 分析，也就是进行物相的定性分析和定量分析， 晶体结构的信息的获知是通过两类信息得到的:衍 射方向2θ角、衍射强度。
这是我们在X-ray衍射中要把握的第二类信息， 衍射强度：用衍射仪法可反映在衍射峰的高低上 （峰高强度大）、用照相法反映在底片的黑度上 （越黑强度越大）。
图示为衍射线强度曲线的例子。这是钢中马
氏体(200) 和残余奥氏体(220) 的衍射强度, 曲
线所包围的面积(阴影部分)即为该衍射峰的积分
强度(integrated intensity) 。
物理意义——1个原子散射波振幅与1个电子 散射波振幅之比= Aa / Ae
图 原子散射因子曲线
五. 一个晶胞对X-ray的散射
1. 两列λ相同、φ、振幅不同的X射线衍射波的
合成（波的合成）:
有两列波如左图：
EAsi2 n t( )
1
1
1
EAsi2 n t( )
2
2
2
其中：E1 E2振幅A、 位相角φ均不同； 频率（或λ）相同
假设有一束非偏振的X射线被一个电子散射， 其散射波向四面八方，散射波强度的大小I与入 射束I。与散射角度有关。
在距电子R处的——经典电子半径， re＝e2/4ε0mc2
2θ——电场中任一点P到原点连线与入射 X-ray 方向的夹角。
对公式分析，发现电子对X-ray散射的特点：
Aa=ZAe 而 Ia/Ie= Aa2/Ae2 ∴Ia=Z2Ie
（Ia为原子散射波强度） ⑵ . 而实际情况与假设不符，核外电子按电子 云分布规律分布在原子核外的不同位置。
图 X射线受一个原子的散射
X X 方向：如图所示：一束X-ray被电子A、B散 射以后，在 X X 方向上，两列波无波程 差，即位相差φ=0，则合成波为A、B 电子散射波振幅之和，即 Ia=Z2Ie
但是，造成结晶物质种类千差万别的原因不 仅是由于晶格常数不同，最重要的是组成晶体的 原子种类、原子在晶胞中的位置不同所造成的。 这两种信息均可反映在衍射线强度的大小和衍射 线的有无；
波程差 ：DE+EF=1/2λ
由于晶面的重复性、相消干涉持续下去，因此 （001）晶面的反射强度变为零。
由此可见，图3-2（a）中的（001） 晶面会参于衍射，而（b）中（001）面却 不产生衍射，也就是说原子位置改变，衍 射强度改变。
二 . 结构因素的概念
1. 系统消光——因原子在晶体中的位置不同或 原子种类不同，衍射线相互干涉，造成在某些 方向上衍射线强度减弱甚至消失的现象称之系 统消光。
性因子
温度对强度 的影响
吸收对强度 的影响
等同晶面数对 强度的影响
小晶体内 各晶胞散 射波合成
(粉末)多晶体 衍射(积分)强度
单位弧长 衍射强度
参加衍射的晶粒 (小晶体)数目
一个小晶体对X射线的 散射强度与衍射(积分)
强度(干涉函数)
§3.2 单位晶胞对X射线的散射与 结构因素
图 底心晶胞(a)与体心斜方晶胞(b)的比较
2
当2θ=90。时
1 cos2 2
2
12——Ie为2θ=0时的一半
四.一个原子对x射线的散射
1. 原子核对X-ray的散射
由于散射波强度与引起散射的粒子 质量成反比，原子核质量是电子质量的1840 倍，因此原子核引起的散射强度极弱，可忽 略不计。
2 . 原子中Z个电子对X-ray的散射
⑴ . 首先假设原子中的电子集于一点，即所有 电子散射波之间无位相差，则原子序数为Z的原 子对X-ray散射波振幅Aa为电子散射波振幅Ae的 Z倍，即 :
Y Y 方向：波程差=CB-AD<λ，
位相差φ=（2π/ λ） δ
= （2π/ λ） CB-AD ≠0
（由于原子半径小于λ）.故合成波振幅小于A、 B电子散射波振幅之和:
Ia<Z2Ie
⑶ 引入原子散射因子 ： （则 ≤Z Ia≤Z2Ie）即：Ia = 2Ie
原子散射因子——考虑了各个电子散射波的 位相差之后，原子所有电子散射波合成的结 果。
衍射线绝对强度— —指的是单位时间内 通过与衍射方向垂直 的单位面积上的Xray光量子的数目，其 测量困难也无实际意 义。
图 X射线衍射强度问题的处理过程
原子内各 电子散射 波合成
一个原子对X射 线的散射强度 (原子散射因子)
晶胞内各 原子散射 波合成
一个晶胞对X射 线的散射强度
(结构因子)
引入吸收 因子、温度 因子、多重
图3-3 底心晶胞(a)和体心斜方晶胞(b)(001) 面的衍射
一 . 晶胞中原子的位置不同对X射线衍射强度的影响
一个晶胞中原子位置不同，强度将发生变化。 图3-2（a）、（b）是同种原子的晶胞，其区 别在于（a）中底心原子向上移动了1/2C距离。 假设X-ray在图（a）晶胞中（001）面上产生 衍射，且波程差AB+BC=λ， 则图（b）晶胞中多出（002）面，
2. 结构因数——定量地表征原子排布以及原子种 类对衍射强度影响规律的参数。即晶体结构对 衍射强度影响规律的参数。
原子种类不同，其电子数及排列也不同，因 此首先讨论一个电子对X-ray的散射，再讨论一个 原子中所有电子的位置对散射强度的影响。
三 . 一个电子对X-ray的散射
根据电磁波理论，原子对X-ray的散 射主要是由核外电子而不是原子核引起的， 因为原子核相对光子来说质量很大，不容 易受到激发而产生振动，因此我们首先要 讨论一个电子对X射线的相干散射。
⑴. 散射线强度很弱，约为入射强度的几十分之一;
⑵. 散射线强度与观察点距离的平方成反比；
⑶. 一束非偏振的X-ray经电子散射后其散射强度 偏振化了。
偏振光——光强在空间各个方向不相等。
非偏振光——在0~2π的范围光强相等，即强度 在空间各个方向上是相等的。
当2θ=0 。时 1 cos2 2 1——散射光最强
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§3.1 引言 §3.2 结构因数 §3.3 洛伦兹因素 §3.4 影响衍射强度的其他因素 §3.5 多晶体衍射的积分强度
§3.1 引言
利用X-ray在晶体中的衍射可进行晶体结构 分析，也就是进行物相的定性分析和定量分析， 晶体结构的信息的获知是通过两类信息得到的:衍 射方向2θ角、衍射强度。
这是我们在X-ray衍射中要把握的第二类信息， 衍射强度：用衍射仪法可反映在衍射峰的高低上 （峰高强度大）、用照相法反映在底片的黑度上 （越黑强度越大）。
图示为衍射线强度曲线的例子。这是钢中马
氏体(200) 和残余奥氏体(220) 的衍射强度, 曲
线所包围的面积(阴影部分)即为该衍射峰的积分
强度(integrated intensity) 。
物理意义——1个原子散射波振幅与1个电子 散射波振幅之比= Aa / Ae
图 原子散射因子曲线
五. 一个晶胞对X-ray的散射
1. 两列λ相同、φ、振幅不同的X射线衍射波的
合成（波的合成）:
有两列波如左图：
EAsi2 n t( )
1
1
1
EAsi2 n t( )
2
2
2
其中：E1 E2振幅A、 位相角φ均不同； 频率（或λ）相同
假设有一束非偏振的X射线被一个电子散射， 其散射波向四面八方，散射波强度的大小I与入 射束I。与散射角度有关。
在距电子R处的——经典电子半径， re＝e2/4ε0mc2
2θ——电场中任一点P到原点连线与入射 X-ray 方向的夹角。
对公式分析，发现电子对X-ray散射的特点：
Aa=ZAe 而 Ia/Ie= Aa2/Ae2 ∴Ia=Z2Ie
（Ia为原子散射波强度） ⑵ . 而实际情况与假设不符，核外电子按电子 云分布规律分布在原子核外的不同位置。
图 X射线受一个原子的散射
X X 方向：如图所示：一束X-ray被电子A、B散 射以后，在 X X 方向上，两列波无波程 差，即位相差φ=0，则合成波为A、B 电子散射波振幅之和，即 Ia=Z2Ie