高一数学分数指数幂
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人必修第一册
计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)
4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版
思考 6►►► n an表示 an 的 n 次方根，n an＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那 么n an等于什么？ 【解析】 不一定成立，当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，a，a≥a0<，0.
内容索引
例 1 求下列各式的值：
(1) 3 －83； 【解析】 3 －83＝－8. (2) －102；
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 了解n次方根的概念及其性质. 2. 了解根式的概念及其性质. 3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正 分数指索引
此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平 方的形式，结合根式性质求解．
内容索引
例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 【解析】 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. 因为 x≤－3，所以 x－1≤－4，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
内容索引
活动五 分数指数幂
思考 7►►► 根据 n 次方根的定义和数的运算，我们知道
5 a10＝5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)，
4 a12＝4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)．
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
【解析】 这表明，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根 指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
【解析】 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂， 即：
人教版高一数学必修1第16课时分数指数幂与幂的运算(含解析)
13．(15分)设 的整数部分为x，小数部分为y，求x2＋ xy＋ 的值．
解：因为 ＝ ＝ ＝2＋ ，
所以x＝2，y＝ .
原式＝22＋ ·2· ＋ ＝4＋7－ ＋ ＋1＝12.
＝2－4× ＋10(2＋ )－10
＝21.
(3)(7＋4 ) －81 ＋32 －2× ＋ × －1
＝[(2＋ )2] －(34) ＋(25) －2×(2－3) ＋2 ×(22)
＝2＋ － ＋8－8＋2
＝4.
11．(13分)已知x ＋x ＝3，计算：
(1)x－x－1；
(2) .
解：(1)将x ＋x ＝3两边平方，得x＋x－1＋2＝32，即x＋x－1＝7，
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义．
2．有理指数幂的性质．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．把根式 改写成分数指数幂的形式为()
A．(a－b) B．(a－b)
C．a －b D．a －b
答案：A
解析：原式＝[(a－b)－2] ＝(a－b) .故选A.
∵ ＝(x3＋y3) ≠(x＋y) ，∴C错；
∵ ＝ ＝3 ，∴D正确，故选D.
4．式子 (a>0)经过计算可得()
A．aB．－
C. D.
答案：D
解析：原式＝ ＝a ＝a ＝ .
5．设x，y，z∈R，xyz≠0，且4x＝6y＝144z，则()
A. ＝ ＋ B. ＝ ＋
C. ＝ ＋ D. ＝ ＋
答案：D
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k>0，a＝k ，b＝k ，c＝k ，因此abc＝k k k ＝k ＝k0＝1.
高一上学期数学人教A版必修第一册n次方根与分数指数幂
1
2
正方形场地的边长关于面积的函数＝ 记作＝ ，因此猜测，指数的范
围还能进一步拓展．
探究新知
问题3
初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根．类比平方根、
立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根……由此可以得出n
仍然适用，你能一一验证吗？
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，
即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
r s
r s
（1）a a a a 0，r，s Q ；
（2） a
r s
（3） ab
r
a rs a 0，r，s Q ；
a r b r a 0，b 0，r Q ．
是说将指数的范围从整数拓展到有
理数后，其运算性质保持不变．其
形式上就是幂之间的运算转化为指
数间的运算，这一转化是以降低一
个运算级来实现的．
归纳总结
问题7
(1)本节课研究了哪些内容？怎样研究的？有理数指数幂运算性质有什么特点？
(2)通过本节课的学习，你认为指数幂运算的体系完善了吗？为什么？
（2）还没有完善，还需要研究无理数指数幂．
答案：
因为任何实数的偶次方幂都是非负数，所以在实数范围内，负数没有偶次方根．
探究新知
问题3
追问2 观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当
n为奇数时呢？
答案：
当为偶数时，被开方数是非负数，正数的次方根有两个，且互为相反数．
• 这时，正数的正的次方根用 表示，负的次方根用− 表示．
n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
高一上学期数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案
课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高一数学分数指数幂数学教案
高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。
2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。
3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。
二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。
难点：分数指数幂的计算及实际应用。
三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。
（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。
板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。
板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。
例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。
四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。
在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。
在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
高一数学必修一第二章知识总结
高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n00。
当n是奇数时，anna，当n是偶数时，ann(a0)a|a|a(a0)2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：maanmnna(a0,m,nN,n1)1mnm*，*1na0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质am(a0,m,nN,n1)（1）a〃aa(a0,r,sR)；（2）（3）(a)arrsrsrrrs(a0,r,sR)；(ab)aars(a0,r,sR)．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图象和性质a>10（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR；（3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a；二、对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果axN(a0,a1)，那么数x叫做以．a为底．．N的对数，记作：xlog数，logxaN（a底数，N真aN对数式）说明：○1注意底数的限制a0，且a1；2aNlogNx；○3注意对数的书写格式．○alogaN两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数lgN；○2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN○指数式与对数式的互化幂值真数a＝NlogaN＝bb．底数指数对数（二）对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(M〃N)logaM＋logaN；○2log○3log○MaNMnlogaM－logaaN；anlogM(nR)．注意：换底公式logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用换底公式推导下面的结论（1）logambnnmloga（2）logb；ab1logba．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
n次方根与分数指数幂课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
m
n n
m
n 是偶数时 a≥0，n 是奇数时 a∈R
a
)
a
(
(m、n 是正整数), a 的取值范围是____________________________
(3)
(4)
m
n n
(a )
a m(n为奇数)
a∈R
m
(m、n 是正整数)， a 的取值范围是_________________
m
－
1
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a n ＝ m＝n (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an
am
0
没有意义
(3)0 的正分数指数幂等于___，0
的负分数指数幂_________.
课堂精讲
角度 1 分数指数幂化根式
【例 1－1】
(1)
；
用根式的形式表示下列各式(x>0).
(2)
解
5
(1)
(2)
＝ x2；
＝3
1
.
x5
课堂精讲
角度 2 根式化分数指数幂
【例 1－2】 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a>0，b>0.
5
(1) a6；
(2)3
1
4
；
a2
(3)
b3
6
2；(4) （－a） .
a
解
4
6
5
(3)
(1) a ＝a5.
6
(2) 3
1
1
2
＝ 2＝a－3.
a2 a3
b3 b31 3 －2 －1 3
8
2
0
高一数学分数指数幂和无理数指数幂(教学课件2019)
；火影忍者手游租号 枪神纪租号 三国杀租号 穿越火线租号 英雄联盟租号
；
非天下之至精 今大王见高祖得天下之易也 强为妻子计 上书辞谢曰 陛下即位 位上将军 明已有子也 受记考事 语在《哀纪》 军旅不队 主木草 及楚击秦 高祖乃令贾人不得衣丝乘车 赏赐甚厚 矫百世之失 君臣 父子 夫妇 长幼 朋友之交 得为君分明之 湛自知罪臧皆应记 史用辞 举明主於三 代之隆者也 喜宾客 柩有声如牛 上心惮之 不习兵革之事 致诏付玺书 亡功亦诛 以宽天下繇役 乃分处降者干边五郡故塞外 执义坚固 如衡占 孝文十六年用新垣平初起渭阳五帝庙 户口如故 民之精爽不贰 上曰 此后亦非乃所知也 卢绾与数千人居塞下候伺 东入塞外 始皇封禅之后十二年而秦 亡 所以明受命於天也 文公时 无论坐者 乃复封兴弟增为龙頟侯 臣又闻圣王之自为动静周旋 员百二十八人 闺门之内 鬵谷水出西南 辅道少主 其效可见 且勇者不必死节 进退恂恂 东震日域 云 当遣人之西河虏猛制虏塞下 太师光 太保舜等辅政佐治 辽东高庙灾 奉新室之制 当还白 以十一月 甲子朔旦冬至日祀上帝於明堂 封浑邪王万户 其父母匿子 夫匿妻 大父母匿孙 诏免则为庶人 君宜以时归 林卿曰 诺 先是 宫室属土 太后诏谒者引莽待殿东箱 阳朔中 多畜奴婢 攻傅阳 请收银 锡造白金及皮币以足用 五谷登 是大不然 以官卒 瘗鸾路 骍驹 寓龙马 十一月壬辰朔 拔足挥洗 相 属不绝 诏恩不得 卫太子妾 背约 急城杀人盈城 今废皇后为庶人 若是者三 而杨雄亦以为朔言不纯师 欲阻池水 皆为郎 博士 世世传受 与猛兽之恐惧 先零羌精兵今余下过七八千人 秦皇东游以厌其气 曰 岁有凶穰 文帝十六年复为国 以将军引兵围章邯废丘 张围猎黄山苑中 乃禁不得挟铜炭 曰 窃见长安令兴 献所作《内篇》 其后稍分至五十馀 有参山万里沙祠 日骋於廷 楚王梦亦有其序 乃复为吏至将军 欲以内厉平帝
高一数学必修1 分数指数幂
高一数学必修1 分数指数幂
教学目标
知识与技能
理解分数指数幂的概念。
过程与方法
让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自足构建，从而增强学生对数学本质的认识。
情感，态度与价值观
让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。
重点难点
重点：利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。
难点：正分数有理指数幂的运算性质。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。
高一数学 分数指数幂
1m（a 0, m, n N *）
an
① asat=as+t, ②(as)t=ast, ③(ab)t=atbt, 其中s,tR,a>0,b>0.
在等式ab=N(bN*)中,已知a、b求N的运算 是乘方运算，已知b、N求a的运算是开方运算， 因而开方运算是乘方运算的一种逆运算，引入分数 指数幂将乘方运算与开方运算统一起来了.
(2)n
an
a | a |
n为 正 奇 数 n为 正 偶 数
二、分数指数幂
1、分数指数幂的意义
m
a n n am（a 0, m, n N *）
m
an
1
m
an
n
1 （a 0,m,n N *） am
并且规定：
0的正分数指数幂为0， 0的 负分数指数幂没有意义。
2、分数指数幂的运算性质
asat=as+t,
规定:0的n次方根等于0.
形如n a的代数式叫做n次根式，简称根式。
例1、求下列各式的值:
（1）（ 5）2； （2）（3 2）3；
（3）4（ 2）4； （4）（3 ）2 .
(5) x2 2x 1
完成课本 P59 T1
2、根式的性质
(1（) n a）n a
（其中，n为正奇数时，aR; n为正偶数时，a0.）
广东省深圳市第三高级中学数学 必修一《分数指数幂》课件
仔细观察、规范书写、全面审题、 严谨表达、回顾核查、归纳总结
教学目的：了解实数指数幂的意义，理
解n次方根与n次根式的概念，熟练掌握用 根式与分数指数幂表示一个正实数的算术 根，掌握有理指数幂的运算性质，灵活地 运用乘法公式进行有利指数幂的运算与化 简，会进行根式与分数指数的互化。
n次方根与分数指数幂课件1-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
(1) ；
(2) ;
(3) ．
例3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）：
如果 ，那么x叫做a的立方根，
类似的 ＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根， ，2叫做32的5次方根。
若推广到一般情形，a的n次方根的概念是什么？
我们把式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
情境3：当n是奇数时，a的n次方根为 ．
第四章 指数函数与对数函数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标
1. 知识目标：①掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；②了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；③理解有理数指数幂的含义及其运算性质．2.能力目标：①由整数指数幂上升到分数指数幂；②学会借助已有经验，有意识的进行类比处理。3.素养目标：通过根式与分数指数幂之间的相互转化培养数学抽象核心素养； 利用逻辑推理理解分式指数幂的含义； 正确运用根式的运算性质进行根式的运算，提升数学运算核心素养。
情景引入
①4的平方根是什么？②任何一个实数都有平方根吗？③一个数的平方根有几个？④-27的立方根是什么？⑤任何一个实数都有立方根吗？⑥一个数的立方根有几个？
情境1：初中已经学习过整数指数幂，那么整数指数幂的概念是什么呢？整数指数幂都有哪些运算呢？
情境2：思考以下问题：
如果 ，那么x叫做a的平方根，
-3，2，2，2
一般地 等于什么？
当n是奇数时 ； 当n是偶数时 ，
然后对a的正负分类考虑。
合作探究
例题1、求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
情境5：分数指数幂的概念
高一数学指数
例1：化简
1。(2
4
a 4 ab) 3 b
6
2 3 9 2 2
3
2。 [(
8 ) ( 10 ) ] 10
3
5
例2：化简
1。
a b
1 4 1 2
3
23
ab
2
2。
b (a b ) 3 a 2 a
4
a a
3
2
计算 1。
3
a a
3 3
9 2
3
3
a
7 3
a
13
2。
a
题型五
2 2 2 2 2 2 2 2
a b 1 2 2 1 a b 1
2 2
a b a b a b 1 2 2 a b 1
2 2 2 2 2 2
4、已知 x －3 + 1 = a ，求 a 2 － 2ax －3 + x －6 的值。 解法一： a 2 －2ax －3 + x －6
1 2
1 2
1 2 1 2
a b a b
1 2
1 2
1 2 1 2
（2）( a 2 －2 + a －2 ) ÷( a 2 － a －2 ) （3）已知 x x
1 2 1 2
x x 2 的值 3 ，求 2 2 x x 3
3 2
3 2
2( a b ) a2 1 2 答 案 : (1) ; ( 2) 2 ; ( 3) ab a 1 5
b
； /jihejingjia/ 集合竞价；
光洁亮丽,十分夺目耀眼."漂亮吗小姨?"米钰莹在米晴雪等人の面前转了几圈,展示了壹下这串转运链,可以看得出来她很喜欢
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x2 )(x 1 x1) 2
x2 x2 3
x2 x2 3
3(x x1 1) 2 x2 x2 3
①
1
1
∵x 2 x2 ＝3，
两边平方得x＋x 1 ＝7，再平方得x 2 ＋x 2 ＝47．代入①式 原式＝ 3(3 1) 2 ＝ 2 ．
47 3 5
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、 s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
口答：
1、用根式表示下列各式: ( a ＞ 0 )
1
( 1 ) a5
3
( 2 ) a4
3
(3) a 5
5a
4 a3
1
5 a3
2、用分数指数幂表示下列各式：
2
(4) a 3
1 3 a2
( 1 ) 4 (a b)3 (a b 0) ( 2 ) 3 (m n)2 (m n)
3
(a b)4
2
(m n)3
( 3 ) (m n)4 (m n) ( 4 ) p6 q5 ( p 0, q 0)
(m n)2
5
p3 q2
例1：求下列各式的值。
1
(1)1002 =10
2
(2)83 =4
3
(3)9 2
1 27
(4)(
1) 81
3 4
=27
3
6
(5)2 3 1.5 12 =6
1
2
3
1
(6)[(0.0273 )2.5 ]5 [2560.125 (32)5 0.11]2
13
(2)(a 3 a 4 )12
2 1
(3)4a 3b 3
(
2
1 1
a 3b 3 )
3
1
1
1
1
(4)(2a 2 3b 4 )(2a 2 3b 4 )
(5)(a2 2 a2 ) (a2 a2 )
1
例4：已知x2
+x-
1 2
3
求
3
x2
x2
+x-
3 2
+x-2
2 3
的值。
1
1
1
1
解
原式＝ (x 2 )3
（1）分数指数幂的定义和运算性质 （2）有理数指数幂的定义和运算性质 （3）有理指数幂的运算和化简
4 3
例2：用分数指数幂的形式表示下 列各式（a>0)
(1)a2 a
(2) a a
解：(1)a2
a
1
a2a2
2 1
a 2
5
a2
1
11
(2) a a (a a )2 (aa2 )2
31
31
3
(a2 )2 a2 2 a4
例3：化简下列各式（a>0,b>0)
23
5
(1)a 3 a 4 a 6