第16讲 存在性问题(整除问题)(原卷版)

第16讲 存在性问题（整除问题）

一．选择题（共1小题） 1．已知数列{}n a 满足24

3

n n a +=

，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =且12n k k k <<⋯<，*n k N ∈，则满足条件的最小q 的值为( )

A ．

43

B ．

54 C ．53

D ．2

二．解答题（共15小题）

2．设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知38a =，248S =，数列{}n b 满足24log n n b a =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求正整数m 的值，使得

1

2

m m m b b b ++是数列{}n b 中的项． 3．已知{}n a 是递增数列，其前n 项和为n S ，11a >，且*10(21)(2),n n n S a a n N =++∈． （1）求数列{}n a 的通项n a ；

（2）是否存在m ，n ，*k N ∈，使得2()m n k a a a +=成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由； （3）设3

2

n n n b a -=-

，若对于任意的*n N ∈12111(1)(1)(1)23

n b b b n ++⋯++恒成立，求正

整数m 的最大值．

4．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差d 为整数，且满足131a a +．243a a +，数列{}n b 满足11n n n

b a a +=，

其前n 项和为n S ．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若1S ，2S ，(*)m S m N ∈成等比数列，求m 的值．

5．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，3a ，13a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．

（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项n 和，是否存在正整数n ，使得40600n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．

6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，312S =．

()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 若3a ，1

a

+，S 成等比数列，求正整数的值．