正交分解法解题指导

正交分解法解题指导

在高中物理学习中，正确应用正交分解法能够使一些复杂的问题简单化，并有效的降低解题难度。力的正交分解法在整个动力学中都有着非常重要的作用，那么同学们如何运用力的正交法解题呢？

一、

正交分解法的目的和原则

把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交

分解法，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算。在力的正交分解法中，分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况，物体受到F 1、F 2、F 3…，求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解，则在x 轴方向各力的分力分别为 F 1x 、F 2x 、F 3x …，在y 轴方向各力的分力分别为F 1y 、F 2y 、F 3y …。那么在x 轴方向的合力F x = F 1x + F 2x + F 3x + … ，在y 轴方向的合力F y = F 2y + F 3y + F 3y +…。合力2

2

y

x F +=

，设合力与x 轴的夹角为θ，则x

y F F =

θtan 。在运用

正交分解法解题时，关键是如何确定直角坐标系，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则；在动力学中，以加速方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标，这样使牛顿第二定律表达式为：ma F F

x y

==;0

二、 运用正交分解法解题步骤

在运用正交分解法解题时，一般按如下步骤：㈠以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合；㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示；㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式。如：F 与x 轴夹角分别为θ，则θθsin ;cos F F F F y x ==。与两轴重合的力就不需要分解了；㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。

三、 运用正交分解法典型例题

例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？

解析：对F 进行分解时，首先把F 按效果分解成竖直向上的分力和水平向右的分力， 对物体进行受力分析如图2所示。F 的效果可以由分解的水平方向分力F x 和竖直方向的分力F y 来代替。则：

030

sin ,30cos F F F F y X ==

由于物体处于静止状态时所受合力为零，则在竖

直方向有：

G F N =+030sin 030sin F G N -=

则在水平方向上有： 0

30cos F f =

例2.如图3所示，一物体放在倾角为θ的光滑斜面上，求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力。

解析：使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的，把重力分解成两个互相垂直的两个力，如图4所示，其中F 1 为使物体下滑的力，F 2为物体压紧斜面的力，则：

θ

θcos sin 21G F G F ==

点评：F 1和F 2是重力的分力，与重力可以互相替代，但不能

共存。

如图5所示，拉力F 作用在重为G 的物体上，使它沿水平地

面匀速前进，若物体与地面的动摩擦因素为μ，当拉力最小时和地面的夹角θ为多大？

解析：选取物体为研究对象，它受到重力G 、拉力F 、支持力N 和滑

动摩擦力f 的作用，根据平衡条件有：

0cos =-N F μθ

0sin =-+G N F θ

解得：θ

μθμsin cos +=

G

F

设μφ=tan ，则2

11cos μ

φ+=

，代入上式可得：

21)cos(sin sin cos cos cos sin tan cos μ

φθμφθφθθμθ

φθμ+-=

+=

+=

G

G G

F 当φθ=时，1)cos(

=-φθ，此时F 取最小值。 拉力取最小值2

min 1μ

μ+=

G

F 时，拉力与地面的夹角μφθarctan ==

图5

图1

y x

f F G N 图2

α

点评：这是一个和数学最值知识相结合典型例题，同学们可以通过本题体会和总结用数学知识解决物理问题的方法，逐步建立数学物理模型。

例3：大小均为F 的三个力共同作用在O 点，如图6所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力。 解析：此题用正交分解法既准确又简便，以O 点为原点，F 1为x 轴建立直角坐标； （1）分别把各个力分解到两个坐标轴上，如图7所示：

0;111==y x F F F

0222260sin ;60cos F F F F y o x == 03303360sin ;60cos F F F F y x =-=

（2）然后分别求出 x 轴和y 轴上的合力

F cos60F -cos60F F F F F 030213X 2X 1X =+=++=合X F

F 3sin60F sin60F 0F F F 03023y 2y 1y =++=++=合y F （3）求出F x 和F y 的合力既是所求的三个力的合力如图8所示。

F F

F 2F

2y 2

x =+=合

合

合

0Y 603F ===

θθ；既合

合

X F tg ，则合力与F 1的夹角为600

点评：用正交分解法求共点力的合力的运算通常较为简便，

要在今后学习中经常应用。

图8

图6 F 1

F 2

F 3