中考数学：构造一元二次方程巧求代数式的最值

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中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》

专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。

中考数学最值问题总结(含强化训练)

中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

巧用构造法妙解最值题

正解：去括号，得８髫一４—３０ｘ一６＝２４．
防错诀窍：去括号、不漏乘；正不变、负改变．
三、移项
常常是把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程
右边．注意移项要变号，其理论依据是等式性质１．例３８ｘ一４—３０ｘ一６＝２４．
错解：移项，得８ｘ＝３０ｘ＝２４＋４—６．错因分析：（１）一３０ｘ仍在方程左边，没有移项，不应变号；（２）一６由等号左边移项到等号右边应变为６．正解：移项，得８ｘ～３０ｘ＝２４＋４＋６．防错诀窍：移项易、符号变．四、合并同类项根据法则将同类项合并，要防止发生符号错误和分组错误．例４８ｘ一３０ｘ＝２４＋４＋６．
于是Ｐ到ＢＢ’的距离最大，即将直线向上平移到与抛物线有唯
一交点Ｐ处．设与直线ＢＢ’平行的直线Ｚ的解析式为Ｙ＝一算＋
ｍ，与Ｙ＝一ｚ２＋（√３—１）ｚ＋√３联立，消元后令ａ＝０可得所求．
点评：涉及底边为定值，且三角形第三个顶点在函数图象上
运动的面积类最值问题，常可借助一元二次方程根的判别式加
以解决．
三、利用函数构造反比例函数的性质
最多有４４名同学．
点评：在解决有关“不足、至少、至多、不超过”等的最值问

题时，尝试将如上关键词准确转化为不等量关系，并用不等式
加以刻画往往能收到较好的解决效果．
２．构造方程
例４（芜湖卷）如图２，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其
顶点为Ａ（一１，Ｏ），曰（０，√３），０（０，０），将此三角板绕原点Ｄ顺时针旋转９００，得到ＡＡ’Ｂ’０．
错解：合并同类项，得２２ｘ＝３４．错因分析：系数相加时忘记符号的判断．正解：合并同类项，得一２２ｘ＝３４．防错诀窍：合并时、准确算；一判号，二定值．五、系数化为１根据等式性质２在方程两边同时除以未知数的系数或乘以它的倒数进行计算．易发生两种类型错误，一是符号错误，二是

2020年中考复习《最值问题》压轴综合(含答案)

2020年中考复习《最值问题》压轴综合[中考真题]（2019·无锡）如图，在ABC ∆中，54,5,===∆BC AC ABABC ,D 为边AB 上一动点(B 点除外)，以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为B[思路解析]过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ．由AB=AC=5，BC[考点提炼] 类型一：代数最值解数学题时，我们常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1. 利用绝对值求最值； 2. 运用配方法求最值；3. 构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；4. 建立函数模型求最值；5. 利用基本不等式求最值；6. 构造几何模型求最值. 类型二：几何最值几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法，比如中点处、临界点； 2．几何定理(公理)法，比如垂线段最短；3．数形结合法，比如图形面积问题．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．[例题精讲]【例1】利用配方法求最值设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是．【答案】-1【例2】利用判别式法求最值设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．【答案】98 注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该取值范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该取值范围内，二次函数的最值在该取值范围内两端点处取得．【例3】利用基本不等式求最值某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(41+-x ]元．(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 【答案】（1）y=874998500000++x x ；（2）2000天.注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则bab x x a 2≥+．以上各式等号当且仅当b a = (或bxx a =)时成立．【例4】利用函数模型求最值如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2．(1)求s 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【答案】（1）S=-3x 2+24x （8x 314<≤）；（2）AB=5m ；（3）3246max =S .能围成，围法：长10m ，宽324m.【例5】构造几何模型求最值求代数式4)3(122+-++x x 最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则221)0(+-x 可以看成点P 与点A（0，1）的距离，222)3(+-x 可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．∴原代数式的最小值为32.【例6】利用特殊位置与极端位置法求最值如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．【答案】5注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例7】利用定理或公理求最值（1）如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为．【答案】102（2）如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．【答案】5（3）如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22C ．2D ．13-【答案】C（4）如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是 .【答案】71（5）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【答案】3【例8】数形结合求最值1、如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝∠C＝60°由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上∴∠DFC＝∠C＝60°∴∠DFC＝∠A∴DF∥AB；（2）存在，过点D作DM⊥AB交AB于点M，∵AB＝BC＝6，BD＝4，∴CD＝2∴DF＝2，∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，∴当点F在DM上时，S△ABF最小，∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°∴MD＝2∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+62、综合与探究如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；解：（1）∵OA＝2，OC＝6∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC 解析式为y ＝kx ﹣6 ∴3k ﹣6＝0，解得：k ＝2 ∴直线BC ：y ＝2x ﹣6 ∴y D ＝2×﹣6＝﹣5∴D （，﹣5）故答案为：（，﹣5）（3）过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，交直线BC 与点F 设E （t ，t 2﹣t ﹣6）（0＜t ＜3），则F （t ，2t ﹣6） ∴EF ＝2t ﹣6﹣（t 2﹣t ﹣6）＝﹣t 2+3t∴S △BCE ＝S △BEF +S △CEF ＝EF •BG +EF •OG ＝EF （BG +OG ）＝EF •OB ＝×3（﹣t 2+3t ）＝﹣（t ﹣）2+∴当t ＝时，△BCE 面积最大∴y E ＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E 坐标为（，﹣）时，△BCE 面积最大，最大值为．[举一反三] 1、若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6【答案】B2、正实数x 、y 满足1=xy ，那么44411yx+的最小值为( )A ．21 B ．85C ．1D ．45E ．2 【答案】C3、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．14 【答案】B4、如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+ 【答案】A5、当－2≤x≤l 时，二次函数()22y x m m 1=--++有最大值4，则实数m 的值为（） A. 74- B. 3或3- C. 2或3- D. 2或3或74-【答案】C6、如图，点P （-1，1）在双曲线上，过点P 的直线l 1与坐标轴分别交于A 、B 两点，且tan ∠BAO=1．点M 是该双曲线在第四象限上的一点，过点M 的直线l 2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C 、点D ．则四边形ABCD 的面积最小值为（） A 10 B 8 C 6 D 不能确定【答案】B7、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为．【答案】863- 8、若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为【答案】19、甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=，x q 53=．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得多大的利润?【答案】甲：0.75万元，乙：2.25万元，最大利润1.05万元.10、已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D ⊥AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【答案】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．11、如图，抛物线()21y x 312=--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD.求证：∠AEO=∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）()32,0-，()32,0 ，()3,1- ；（2）证明略；（3）（5，1）；（3，1）或1913,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2020年中考数学高频重点《一元二次方程与化简求值》专题突破精练精解(含答案)

【中考数学】专题05 一元二次方程与化简求值【达标要求】1. 要掌握一元二次方程根与系数的关系式及相应的变形式；2. 会利用根于系数关系式进行相关的化简求值；【知识梳理】知识点一一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，称ac b 42-=∆为一元二次方程的根的判别式，当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-=∆ac b 时，方程没有实数根.2. 一元二次方程的根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x ，，则=+21x x a b -,=21x x ac . 【精练精解】1.关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（） A ．74 B ．75 C ．76 D ．02.关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（）A ．0或2B ．﹣2或2C ．﹣2D ．23.若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A ．12B ．10C ．4D ．﹣44.已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（）A ．2023B ．2021C ．2020D ．20195.若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A ．12B ．10C ．4D ．﹣46.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则x 22﹣4x 12+17的值为（）A ．﹣2B ．6C ．﹣4D ．47.设、是方程的两个实数根，则的值为． 8.设x 1，x 2是一元二次方程x 2–x –1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．9.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．10.若2n （n≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为．11.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．13.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．1x 2x 25320x x --=1211x x +（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．14.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．15.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0，求m的值．16.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1.x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．17.已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x ＝0，求代数式(2m －1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m －5的值．(要求先化简，再求值)18.已知关于x 的一元二次方程tx 2﹣6x +m +4＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）当t ＝m ＝1时，若x 1＜x 2，求x 1、x 2；（2）当m ＝1时，求t 的取值范围；（3）当t ＝1时，若x 1、x 2满足3|x 1|＝x 2+4，求m 的值．19.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.专题05 一元二次方程与化简求值【达标要求】3. 要掌握一元二次方程根与系数的关系式及相应的变形式；4. 会利用根于系数关系式进行相关的化简求值；【知识梳理】知识点一一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3. 关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，称ac b 42-=∆为一元二次方程的根的判别式，当042>-=∆ac b 时，方程有两个不相等的实数根；当042=-=∆ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042<-=∆ac b 时，方程没有实数根.4. 一元二次方程的根与系数的关系：若关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x ，，则=+21x x a b -,=21x x ac . 【精练精解】1.关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为（） A ．74 B ．75 C ．76 D ．0【答案】A【解析】∵x 1+x 2=4，∴x 1+3x 2=x 1+x 2+2x 2=4+2x 2=5，∴x 2=12，把x 2=12代入x 2﹣4x +m =0得：（12）2﹣4×12+m =0，解得：m =74，故选A ．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=﹣b a ，x 1•x 2=c a是解题的关键．2.关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（）A．0或2B．﹣2或2C．﹣2D．2【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．【解析】解：△关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，△x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．△（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，△（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．△关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，△△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥22﹣1或k≤﹣22﹣1，△k＝2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．3.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：△方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，△α+β＝2，αβ＝﹣4，△α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．4.已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则a2﹣b+2019的值是（）A．2023B．2021C．2020D．2019【分析】根据题意可知b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，所求式子化为a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016即可求解；【解答】解：a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，△b＝3﹣b2，a+b＝﹣1，ab﹣3，△a2﹣b+2019＝a2﹣3+b2+2019＝（a+b）2﹣2ab+2016＝1+6+2016＝2023；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键．5.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4【分析】根据根与系数的关系可得α+β＝2，αβ＝﹣4，再利用完全平方公式变形α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，代入即可求解；【解答】解：△方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，△α+β＝2，αβ＝﹣4，△α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．6.若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【答案】D【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1?x2＝﹣3，x12+x1＝3，∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，故选：D ．7.设、是方程的两个实数根，则的值为．【答案】【解析】∵方程、是方程的两个实数根，∴，， ∴===．故答案为：． 8.设x 1，x 2是一元二次方程x 2–x –1=0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2=__________．【答案】0【解析】∵x 1、x 2是方程x 2–x –1=0的两根，∴x 1+x 2=1，x 1x 2=–1，∴x 1+x 2+x 1x 2=1–1=0．故答案为：0．【点评】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=–b a ，x 1•x 2=c a． 9.已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为．【分析】根据根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k 的一元二次不等式，解之即可得出k 的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．【解答】解：△x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个实数根，△x 1+x 2＝﹣（3k +1），x 1x 2＝2k 2+1．△（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，即x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝8k 2，△2k 2+1+3k +1+1＝8k 2，整理，得：2k 2﹣k ﹣1＝0，解得：k 1＝﹣21．，k 2＝1． △关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，△△＝（3k +1）2﹣4×1×（2k 2+1）＞0，1x 2x 25320x x --=1211x x +32-1x 2x 25320x x --=1235x x +=1225x x =-1211x x +1212x x x x +32()55÷-32-32-解得：k ＜﹣3﹣23或k ＞﹣3+23，△k ＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，求出k 值是解题的关键．10.若2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，则m ﹣n 的值为．【答案】﹣21．【解答】解：∵2n （n ≠0）是关于x 的方程x 2﹣2mx+2n=0的根，∴4n 2﹣4mn+2n=0，∴4n ﹣4m+2=0，∴m ﹣n=﹣21．故答案是：﹣21．11.已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a 表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a 的不等式，则可求得a 的取值范围，再求其值即可．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a +5）＞0，解得a ＜2；（2）由根与系数的关系知：x 1+x 2＝6，x 1x 2＝2a +5，∵x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2≤30，∴36﹣3（2a +5）≤30，∴a ≥﹣23，∵a 为整数， ∴a 的值为﹣1，0，1．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m ＝2时，方程的根为x 1，x 2，求代数式（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）的值．【答案】（1）m ≤413；（2）1 【解析】（1）由题意△≥0，∴（2m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3）≥0，∴m ≤413．（2）当m ＝2时，方程为x 2+3x+1＝0，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1x 2＝1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1＝0，x 22+3x 2+1＝0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）＝（x 12+2x 1+x 1﹣x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（﹣1+x 2+2）＝（﹣1﹣x 1）（x 2+1）＝﹣x 2﹣x 1x 2﹣1﹣x 1＝﹣x 2﹣x 1﹣2＝3﹣2＝1．13.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若x 1，x 2满足x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，求a 的值．【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a ﹣1）]2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，代入x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2（a ﹣1）x +a 2﹣a ﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝[﹣2（a ﹣1）]2﹣4（a 2﹣a ﹣2）＞0，解得：a ＜3，∵a 为正整数，∴a ＝1，2；（2）∵x 1+x 2＝2（a ﹣1），x 1x 2＝a 2﹣a ﹣2，∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝16，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2＝16，∴[﹣2（a ﹣1）]2﹣3（a 2﹣a ﹣2）＝16，解得：a 1＝﹣1，a 2＝6，∵a ＜3，∴a ＝﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a 的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．14.关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k ≥0，然后解不等式即可；‘（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程x 2﹣3x +2＝0解得x 1＝1，x 2＝2，把x ＝1和x ＝2分别代入一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0求出对应的m ，同时满足m ﹣1≠0．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ≥0，解得k ≤49；（2）k 的最大整数为2，方程x 2﹣3x +k ＝0变形为x 2﹣3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∵一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x +k ＝0有一个相同的根，∴当x ＝1时，m ﹣1+1+m ﹣3＝0，解得m ＝23；当x ＝2时，4（m ﹣1）+2+m ﹣3＝0，解得m ＝1，而m ﹣1≠0，∴m 的值为23．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根15.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根．①求m 的取值范围．②设x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0，求m 的值．【分析】①根据“关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m 的不等式，解之即可，②根据“x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m 的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．【解答】解：①根据题意得：△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣1）＞0，解得：m 41-φ，②根据题意得：x 1+x 2＝﹣（2m +1），x 1x 2＝m 2﹣1，x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝221）（x x +﹣x 1x 2﹣17 ＝（2m +1）2﹣（m 2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝35，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为35．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系．16.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1.x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2＝6，x 1x 2＝4m +1，结合|x 1﹣x 2|＝4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1.x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．17.已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值) 【解析】：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0.∴方程总有两个不相等的实数根．(2)∵x＝0是此方程的一个根，∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.∴原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3m(m＋1)＋5＝5.18.已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1、x2．（1）当t＝m＝1时，若x1＜x2，求x1、x2；（2）当m＝1时，求t的取值范围；（3）当t＝1时，若x1、x2满足3|x1|＝x2+4，求m的值．【分析】（1）当t＝m＝1时，方程变形为x2﹣6x+5＝0，利用因式分解法解方程即可；（2）当m＝1时，方程变形为tx2﹣6x+5＝0，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到t≠0且（﹣6）2﹣4•t•5≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（3）当t＝1时，方程变形为x2﹣6x+m+4＝0，利用判别式的意义得到m≤5，根据根与系数的关系得到x1+x2＝6，x1•x2＝m+4，讨论：当x1＜0时，﹣3x1＝x2+4，通过解方程组先求出x1、x2，再计算m的值；当x1＞0时，3x 1＝x 2+4，利用同样方法计算m 的值．【解答】解：（1）当t ＝m ＝1时，方程变形为x 2﹣6x +5＝0，（x ﹣5）（x ﹣1）＝0，∵x 1＜x 2，∴x 1＝1，x 2＝5；（2）当m ＝1时，方程变形为tx 2﹣6x +5＝0，根据题意得t ≠0且（﹣6）2﹣4•t •5≥0，∴t ≤59且t ≠0；（3）当t ＝1时，方程变形为x 2﹣6x +m +4＝0，△＝（﹣6）2﹣4（m +4）≥0，解得m ≤5，则x 1+x 2＝6，x 1•x 2＝m +4，当x 1＜0时，﹣3x 1＝x 2+4，解得x 1＝﹣5，x 2＝11，m +4＝﹣55，解得m ＝﹣59，当x 1＞0时，3x 1＝x 2+4，解得x 1＝25，x 2＝27，m +4＝435，解得m ＝419，∴m 的值为﹣59或41919.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1.【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤（2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，∴（x12+2x1）（x22+4x2+2）=（x12+2x1+x1-x1）（x22+3x2+x2+2）=（-1-x1）（-1+x2+2）=（-1-x1）（x2+1）=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1．。

专题01代数式的恒等变形【2022中考数学专题复习高频考点拓展讲练】(原卷版)

专题1 代数式的恒等变形（原卷版）专题诠释：代数式的恒等变形是中考最常见的题型，恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。

通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。

第一部分典例剖析+针对训练类型一通过恒等变形求代数式的值典例1 设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，求m 2−n 2mn 的值．典例2 已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为．针对练习11．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝．2．已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：∵a +b ＝8 ab ＝15∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4又∵a ＞b∴a ﹣b ＞0∴a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√5，且x ＜0，求x +1x 的值．类型二通过恒等变形求代数式的最值典例3 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于．典例4（2021秋•鼓楼区校级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式2x 2+4x−3x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x ﹣1，可设2x 2+4x ﹣3＝（x ﹣1）（2x +m ）+n ．因为（x ﹣1）（2x +m ）+n ＝2x 2+mx ﹣2x ﹣m +n ＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以2x 2+4x ﹣3＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以{m −2=4−m +n =−3，解得{m =6n =3，所以2x 2+4x−3x−1=(x−1)(2x+6)+3x−1=2x +6+3x−1．这样，分式就被拆分成了一个整式2x +6与一个分式3x−1的和的形式，根据你的理解解决下列问题：（1）请将分式3x 2+4x−1x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，求m 2﹣n 2+mn 的最大值．针对练习23．若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是．类型三通过代数式的恒等变形求字母的取值范围典例5已知：2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．针对训练34．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k y k x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。

中考数学重难点专题讲座一元二次方程与二次函数含答案

中考数学重难点专题讲座第四讲一元二次方程与二次函数前言前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难;几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了;相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求;中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的;所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析;一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察;但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法;第一部分真题精讲例12010,西城,一模已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．⑴求证：m 取任何实数时,方程总有实数根；⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称．①求二次函数1y 的解析式；②已知一次函数222=-y x ,证明：在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立；⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数23=++y ax bx c 的解析式．思路分析本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式;由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断;第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式;第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可;事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点1,0;根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点;于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.解析解：1分两种情况：当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, 不要遗漏∴当0m =,原方程有实数根.当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,∵()()()222[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.∴原方程有两个实数根. 如果上面的方程不是完全平方式该怎样办再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.2①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称,∴0)1(3=-m .关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y .②∵()()221212210y y x x x -=---=-≥,判断大小直接做差∴12y y ≥当且仅当1x =时,等号成立.3由②知,当1x =时,120y y ==.∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. 很重要,要对那个等号有敏锐的感觉∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥,∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. 巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立,∴320y y -≥,图7∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥.又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a---=最小≥.a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值 ∴2(42)4(25)0a a a ---≤.∴2(31)0a -≤.而2(31)0a -≥.只有013=-a ,解得13a =. ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y .例22010,门头沟,一模关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.1当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根；2点()11A --，是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式； 3在2的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式；若不存在,请说明理由.思路分析第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件;第二问给点求解析式,比较简单;值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.解析：1由题意得[]22224(1)0m m ∆=---->（）解得54m <210m -≠ 解得1m ≠± 当54m <且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. 2由题意得212(2)11m m -+-+=-解得31m m =-=，舍始终牢记二次项系数不为0 28101y x x =++3抛物线的对称轴是58x = 由题意得114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，关于对称轴对称的点的性质要掌握 14x =-与抛物线有且只有一个交点B 这种情况考试中容易遗漏另设过点B 的直线y kx b =+0k ≠把114B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 114y kx k =+- 28101114y x x y kx k ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 整理得218(10)204x k x k +--+= 有且只有一个交点,21(10)48(2)04k k ∆=--⨯⨯-+= 解得6k =162y x =+ 综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,162y x =+例3已知P 3,m -和Q1,m 是抛物线221y x bx =++上的两点． 1求b 的值；2判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根；若没有,请说明理由； 3将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k k 是正整数个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值．思路分析拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组,十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错;但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称;而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b; 第二问依然是判别式问题,比较简单;第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察;考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减单独的x,上加下减表达式整体然后求出结果;解析1因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以,抛物线对称轴3142b x -+=-=,所以,4b =． 2由1可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为,24b ac =-=16－8=8>0．所以,方程有两个不同的实数根,分别是1122b xa -+==-+,2122b x a -==--． 3由1可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k k 是正整数个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0,得1k >又k 是正整数,所以k 得最小值为2．例42010,昌平,一模已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数．1求抛物线的顶点坐标；2若25a >,且抛物线与x 轴交于整数点坐标为整数的点,求此抛物线的解析式．思路分析本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给25a >,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. 1依题意,得0a ≠,∴2442y ax ax a =-+-()()224422 2.a x x a x =-+-=--∴抛物线的顶点坐标为(2,2)-2∵抛物线与x 轴交于整数点,∴24420ax ax a -+-=的根是整数．∴2x == ∵0a >,∴2x = ∴2a是整数的完全平方数． ∵25a >, ∴25a <．很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手 ∴2a 取1,4, 当21a =时,2a =；当24a =时,12a = ． ∴a 的值为2或12． ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2122y x x =-．例52010,平谷,一模已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=m 为实数1若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围；2在1的条件下,求证：无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个固定点；3若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根,把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式．思路分析本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m －1≠0;第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=mx －x －1x+1就可以看出当x=－1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性在X 轴上,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.解：1()()22241m m m ∆=-+-=∵方程有两个不相等的实数根,∴0m ≠∵10m -≠,∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.2证明：令0y =得()()21210m x m x -+--=.∴()()()()222121m m m x m m --±--±==--. ∴()()12221121211m m m m x x m m m -+--++==-==---，这样做是因为已经知道判别式是2m ,计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，，, ∴无论m 取何值,抛物线()()2121y m x m x =-+--总过定点()10-，3∵1x =-是整数 ∴只需11m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠，, ∴2m =当2m =时,抛物线为21y x =-．把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为()223168y x x x =--=-+总结中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题;总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性;这种题目大多包涵多个小问;第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况;第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用;至于根与系数的关系韦达定理近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间;第二部分发散思考思考1. 2010,北京中考已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数.1求k 的值；2当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围. 思路分析去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.思考22009,东城,一模已知：关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= 1若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；2若12＜m ＜40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值．思路分析本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果;本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.思考32009,海淀,一模已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2－bx+kcc ≠0的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.1若方程①的根为正整数,求整数k 的值；2求代数式akcab b kc +-22)(的值； 3求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.思路分析本题有一定难度,属于拉分题目;第一问还好,分类讨论K 的取值即可;第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.思考42009,顺义,一模. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．1求证：不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根；2若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-,求m 的值．思路分析这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ，,发现12x x ，都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.第三部分思考题解析思考1解析解：1由题意得,168(1)0k ∆=--≥．∴3k ≤．∵k 为正整数,∴123k =，，．2当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零；当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根；当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根．综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去；3k =符合题意．当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-．3设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于A B 、两点,则(30)A -，,(10)B ，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线12y x b =+经过A 点时,可得32b =；当直线12y x b =+经过B 点时,可得12b =-．由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为1322b -<<．思考2解析证明： []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）= 0,m > 840.m ∴+>∴方程有两个不相等的实数根;22(23)=(23)2m x m -±-±=∵方程有两个整数根,且m 为整数．又∵12＜m ＜40,252181.m ∴<+<∴ 59．356,.27,24.638,.2m m m =∴==∴==∴=∴m=24思考3解析解：由 kx=x+2,得k －1 x=2.依题意 k －1≠0.∴ 12-=k x . ∵ 方程的根为正整数,k 为整数,∴ k －1=1或k －1=2.∴ k1= 2, k2=3.2解：依题意,二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点1,0,∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a . ∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()( =.122-=--aab ab a 3证明：方程②的判别式为 Δ=－b2－4ac= b2－4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.i 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.ii 证法一: 若ac>0, 由2知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2－4ac= a+kc2－4ac=a2+2kac+kc2－4ac = a2－2kac+kc2+4kac －4ac =a －kc2+4ack －1.∵ 方程kx=x+2的根为正实数,∴ 方程k －1 x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k －1>0.∴ 4ack －1>0.∵ a －kc20,∴Δ=a －kc2+4ack －1>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=－b2－4akc =b2－4akc0.b2－4ac － b2－4akc=4ack －1.由证法一知 k －1>0,∴ b2－4ac> b2－4akc0.∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.思考4解析1[]22(21)4(2)m m m ∆=-+-+-22441448m m m m =++--+90=> ∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根2由原方程可得12(21)32m x +±==， ∴ 1221x m x m =+=-，－－ ∴ 123x x -=又∵ 12211m x x m +-=+- ∴ 2311m m +=+- ∴ 4m = －经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．。

中考数学与一元二次方程组有关的压轴题附详细答案

中考数学与一元二次方程组有关的压轴题附详细答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；（2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P ﹣1，2）；②P （﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得1（舍去）或x=1，∴点P（1，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1．经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1．【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1．【解析】【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.12．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。

2022年中考数学人教版一轮复习课件：第6课一元二次方程的解法及应用

26．(2020·广东)已知关于 x，y 的方程组ax＋ x＋y＝2 43y＝－10 3，与 xx－＋yb＝y＝2， 15的解相同． (1)求 a，b 的值； (2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
10.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克 22 元；小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润 3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的销售价为每千克多少元？
2.(2021·怀化)对于一元二次方程 2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为
A．没有实数根
( A)
B．两根之和是 3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，则 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4.(2021·大连)“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海
水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年平均亩产量约 500
千克，2020 年平均亩产量约 800 千克．若设平均亩产量的年
平均增长率为 x，根据题意，可列方程为
(D)
A．500(1＋x)＝800
B．500(1＋2x)＝800
A．k>－14 C．k＞－14且 k≠0
B．k<41 D．k<41且 k≠0

中考总复习数学第3节一元二次方程及其应用

边的长是方程 x2－8x＋12＝0 的解，则这个三角形的周
长是 17 ．
3. (2020·无锡)解方程：x2＋x－1＝0.
解：x1＝－1＋2
5，x2＝－1－2

5 .
4. (2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出 x 的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4 x2＋2x－5＝0. 【提示】可以用“换元法”解方程．解：设 x2＋2x＝t(t≥0)，则有 x2＋2x＝t2，原方程可化为：t2＋4t－5＝0. 【续解】
－4ac ＞ 0.即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围．(2)将 x＝1 代入方程 x2＋2x＋a－2＝0 得到 a
的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【自主作答】(1)b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－ 4a＞0，解得 a＜3.
(2)设方程的另一根为 x1，由解的定义及根与系数的 1＋2＋a－2＝0， a＝－1，
关系，得 1×x1＝a－2，解得 x1＝－3，则 a 的值是－1，该方程的另一根为－3.
类型3：一元二次方程的应用 ►例3沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从 20 万元增加到 80 万元．设这两年的销售额的年平均增长率为 x，根据题意可列方程为 () A．20(1＋2x)＝80 B．2×20(1＋x)＝80 C．20(1＋x2)＝80 D．20(1＋x)2＝80
数学中考总复习
第3节一元二次方程及其应用
类型1：一元二次方程的解法 ►例1分别用两种不同的方法解下列一元二次方程： (1)x2＋6x＝1； (2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0.
分析：公式法是解一元二次方程通用的方法，在运

2024年中考数学二轮复习模块专练—一元二次方程(含答案)

2024年中考数学二轮复习模块专练—一元二次方程（含答案）a a【例1】试卷第2页，共8页【例1】【例1】【例1】【例1】试卷第4页，共8页试卷第6页，共8页三、解答题（2023·辽宁鞍山·校考一模）26．解下列方程：(1)22410x x +-=．(2)()263x x x -=-；（2023·湖北襄阳·统考中考真题）27．关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．（2023·浙江杭州·统考中考真题）28．设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2,1b c ==；②3,1b c ==；③3,1b c ==-；④2,2b c ==．注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．（2023·四川遂宁·统考中考真题）29．我们规定：对于任意实数a 、b 、c 、d 有[,][,]a b c d ac bd *=-，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2][5,1]352113*=⨯-⨯=．(1)求[4,3][2,6]-*-的值；(2)已知关于x 的方程[,21][1,]0x x mx m -*+=有两个实数根，求m 的取值范围．（2023·湖北·统考中考真题）30．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．（2023·四川南充·统考中考真题）试卷第8页，共8页参考答案：1．B【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+⨯-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．2．C【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0，∴30m -≠且290m -=，解得：3m =-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为答案第2页，共21页231841x x =-+()23314x =-+；∵()230x -≥，∴222x y z ++的最小值是14，故答案为14．【点睛】本题考查配方法的应用．将代数式转化为只含x 的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．6．6【分析】根据a －b 2＝4得出24b a =-，代入代数式a 2－3b 2＋a －14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a －b 2＝4∴24b a =-将24b a =-代入a 2－3b 2＋a －14中得：()2222341423142a a a b a a a a =--+-=--－＋－()2222221313a a a a a --=-+-=--∵240b a =-≥∴4a ≥当a=4时，()213a --取得最小值为6∴222a a --的最小值为6∵22231422a a ab a --=－＋－∴22314a b a －＋－的最小值6故答案为：6．答案第4页，共21页答案第6页，共21页答案第8页，共21页【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥，且0m ≠，据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，440m -≥，且0m ≠，解得，1m £，且0m ≠.故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，一元二次方程没有实数根．13．C【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：2410x x --=移项得，241x x -=两边同时加上4，即2445x x +=-∴2(2)5x -=，故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．14．A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q -()2=110x -+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =-，2Q x =-∴P Q -()()222222110x x x x x x =---=-+=-+>∴P Q -的值大于0，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．15．A【分析】由已知得224y x =-，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∵2240y x -+=，∴224y x =-，且240x -≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x+=-+++2448x x +=+-()228x =+-，∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．16．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-答案第10页，共21页解得0x =或40x y +-=，即0x =或4x y +=，①错误；由243x mxy x x +-=可得()7x my x x +=，∵无论x 取任何实数，等式243x mxy x x +-=都恒成立，∴7x my +=，②正确；2245,47x xy x y xy y +-=+-=两式相加可得：2224412x xy y x y ++--=即2()4()12x y x y +-+=令t x y =+，则24120t t --=，解得16t =，22t =-即2x y +=-或6x y +=，③错误；由22440x xy x y xy y +-+--≤可得22(2)(2)8x y -+-≤正整数解为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，总共有16个，④错误正确的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了整式加减，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握相关运算法则以及灵活运用完全平方公式．19．5【分析】：把1x =代入方程260x mx +-=，求出关于m 的方程的解即可．【详解】把1x =代入方程260x mx +-=，得160m +-=，解得5m =．故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一答案第12页，共21页答案第14页，共21页答案第16页，共21页答案第18页，共21页答案第20页，共21页。

2021中考数学专题06 一元二次方程在实际应用中的最值问题

专题一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5xm . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

2、已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx+t 2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A ．7B ．11C ．12D ．16 二、配方法求最值1、设a 、b 为实数，那么a ab b a b 222++--的最小值为_______。

2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D 在AB 边上，△DEF 绕点D 旋转，腰DF 和底边DE 分别交△CAB 的两腰CA ，CB 于M ，N 两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为．三、“夹逼法”求最值1、不等边三角形 ABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。

1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为元，平均每天的销量为件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80 259月份45 10根据上表的数据，求A的值．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m） 1 3 5 7 矩形ABCD面积（m2）（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．解：（1）设每年平均增长的百分率为x ． 60002)1(x +=8640，2)1(x +=1.44，∵1+x ＞0， ∴1+x=1.2， x=20%．答：每年平均增长的百分率为20%；（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD ，要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AD ∥BC ，AB ∶CD ＝5∶4，且三边的总长为20 m ．设AB 的长为5xm . (1)请求AD 的长；(用含字母x 的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m 2，且周长不大于30 m ，求AB 的长．解：(1)作BH ⊥AD 于点H ，则AH ＝3x ，由BC ＝DH ＝20－9x 得AD ＝20－6x (2)由2(20－9x )＋3x ＋9x ≤30得x ≥53，由12[(20－9x )＋(20－6x )]×4x ＝50得3x 2－8x ＋5＝0，∴x 1＝53，x 2＝1(舍去)，∴5x ＝253.答：AB 的长为253米【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x 、y 为实数，且满足x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

中考数学模拟题《一元二次方程及其应用》专项测试卷(附带答案)

中考数学模拟题《一元二次方程及其应用》专项测试卷(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一单选题1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于x 的一元二次方程22210x ax a ++-=的根的情况是（） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关2．（2023·天津·统考中考真题）若12,x x 是方程2670x x --=的两个根，则（） A ．126x x +=B ．126x x +=-C ．127·6x x = D ．12·7x x = 3．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示 2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x 依题意可列方程为（） A ．23.2(1) 3.7x -= B ．23.2(1) 3.7x += C ．23.7(1) 3.2x -=D ．23.7(1) 3.2x +=4．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图在长为100m 宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路若余下的部分全部种上花卉且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m5．（2023·河南·统考中考真题）关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．32m < B ．3m > C ．3m ≤ D ．3m <7．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程2680x x -+= 配方后得到的方程是（） A ．()2628x +=B ．()2628x -=C ．()231x +=D ．()231x -=8．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、且123x x =，则m 的值为（） A ．4B ．8C ．12D ．169．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程2320x x +-=根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能判定10．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（） A ．33B ．23C ．17D11．（2023·四川·统考中考真题）关于x 的一元二次方程232302x x -+=根的情况下列说法中正确的是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．无法确定12．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（） A ．1m ≥-B ．1mC ．1m ≥-且0m ≠D ．1m 且0m ≠13．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，，则1211+x x 的值为（） A ．32B ．3-C ．3D ．32-14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程2410x x --=时配方后正确的是（） A ．2(2)3x +=B ．2(2)17x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)17x -=二填空题15．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知1x 2x 是方程22310x x -+=的两根，则代数式12121x x x x ++的值为_________．17．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____________．18．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x 的方程()22140x m x m -+++=两根的倒数和为1，则m 的值为___________．19．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．20．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个并按计划逐月增长预计八月份将提供岗位1815个．设七八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x 根据题意可列方程为___________．21．（2023·四川达州·统考中考真题）已知12,x x 是方程2220x kx +-=的两个实数根且()()122210x x --=，则k 的值为___________．22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根，则代数式a b ab +-的值为_________．23．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程2340x x --=的根为12,x x ，则()()1222x x +⋅+的值为____________．24．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________ 另一个根为__________．25．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，则c =________（写出一个满足条件的值）．26．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根那么a 的取值范围是________．27．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是________．28．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为___________．29．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x 2﹣3x ＋1＝0有两个实数根x 1 x 2，则x 1＋x 2﹣x 1x 2的值等于_____．30．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a b 是方程2340x x +-=的两根，则243a a b ++-=___________． 31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x 若1212221x x x x ++=，则实数k =_____________．32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到2022年底校园绿化面积为1000平方米．为美化环境该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为__________．33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．三解答题35．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：2320x x -+=．36．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元 2022年用于购买图书的费用是7200元求20202022-年买书资金的平均增长率．37．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时方程都有两个不相等的实数根(2)设该方程的两个实数根为a b 若()()2220a b a b ++= 求m 的值．38．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值方程总有实数根 (2)若1x 2x 是方程的两个实数根且212152x x x x +=- 求m 的值．39．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值使这个方程有两个不相等的实数根并解这个方程． ①2,1b c == ①3,1b c == ①3,1b c ==- ①2,2b c ==．注：如果选择多组条件分别作答按第一个解答计分．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来某景区游客人数逐月增加 2月份游客人数为1.6万人 4月份游客人数为2.5万人．(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长但增长率不会超过．．．．前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？41．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围(2)当1k =时用配方法．．．解方程．参考答案一单选题1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于x 的一元二次方程22210x ax a ++-=的根的情况是（） A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．实数根的个数与实数a 的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出()()222224144440a a a a ∆=--=-+=> 即可得出答案．【详解】解：①()()222224144440a a a a ∆=--=-+=>①关于x 的一元二次方程22210x ax a ++-=有两个不相等的实数根故C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时方程有两个不相等的实数根当Δ0=时方程有两个相等的实数根当Δ0<时方程无实数根． 2．（2023·天津·统考中考真题）若12,x x 是方程2670x x --=的两个根，则（） A ．126x x += B ．126x x +=- C ．127·6x x = D ．12·7x x = 【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．【详解】解：方程2670x x --=中的1,6,7a b c ==-=- 12,x x 是方程2670x x --=的两个根126b x x a ∴+=-= 12·7cx x a==- 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．3．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示 2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x 依题意可列方程为（）A ．23.2(1) 3.7x -=B ．23.2(1) 3.7x +=C ．23.7(1) 3.2x -=D ．23.7(1) 3.2x +=【答案】B【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x 根据题意列出一元二次方程即可．【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x 根据题意得 23.2(1) 3.7x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用根据题意列出一元二次方程是解题的关键．4．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图在长为100m 宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路若余下的部分全部种上花卉且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m【答案】A【分析】设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x - 宽为()502m x -的矩形的面积根据花草的种植面积为23600m 即可得出关于x 的一元二次方程解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为m x ，则种植花草部分的面积等于长为()1002m x - 宽为()502m x -的矩形的面积依题意得：()()1002502=3600x x -- 解得：15=x 270x =（不合题意舍去） ①小路宽为5m ．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用找准等量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023·河南·统考中考真题）关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根【答案】A【分析】对于20(0)ax bx c a ++=≠ 当0∆>, 方程有两个不相等的实根当Δ0=, 方程有两个相等的实根Δ0<, 方程没有实根根据原理作答即可．【详解】解：①280x mx +-=①()2248320m m ∆=-⨯-=+>所以原方程有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．6．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．32m < B ．3m > C ．3m ≤ D ．3m <【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：①关于x 的一元二次方程2220x x m -+-=有两个不相等的实数根 ①()()22420m ∆=---> ①3m < 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．7．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程2680x x -+= 配方后得到的方程是（） A ．()2628x += B ．()2628x -=C ．()231x +=D ．()231x -=【答案】D【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即262-⎛⎫⎪⎝⎭计算即可．【详解】①2680x x -+=①22268+6622x x --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-=①()22869+3x x -=-- ①()231x -= 故选：D ．【点睛】本题考查了配方法熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．8．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、且123x x =，则m 的值为（） A ．4 B ．8C ．12D ．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出128x x += 然后即可确定两个根再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：①关于x 的一元二次方程280x x m -+=两根为12x x 、 ①128x x += ①123x x = ①212,6x x == ①1212m x x == 故选：C ．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系熟练掌握此关系是解题关键． 9．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程2320x x +-=根的情况为（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能判定【答案】A【分析】根据题意求得2498170b ac ∆=-=+=> 根据一元二次方程根的判别式的意义即可求解．【详解】解：①一元二次方程2320x x +-=中 1,3,2a b c -==- ①2498170b ac ∆=-=+=>①一元二次方程2320x x +-=有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．10．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A ．33B ．23C ．17D 【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式24b ac =-△求出答案．【详解】解：①1a = =5b - 2c = ①()224541172b ac =-=-⨯⨯-=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式正确记忆公式是解题关键．11．（2023·四川·统考中考真题）关于x 的一元二次方程232302x x -+=根的情况下列说法中正确的是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：232302x x -+= 其中2a = 3b =- 32c = ①()23Δ342302=--⨯⨯=-< ①方程没有实数根．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根．12．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（） A ．1m ≥- B ．1mC ．1m ≥-且0m ≠D ．1m 且0m ≠【答案】D【分析】由于关于x 的一元二次方程2210mx x ++=有实数根根据一元二次方程根与系数的关系可知0∆≥且0m ≠ 据此列不等式求解即可．【详解】解：由题意得 440m -≥ 且0m ≠ 解得 1m 且0m ≠. 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-与根的关系熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0∆>时一元二次方程有两个不相等的实数根当Δ0=时一元二次方程有两个相等的实数根当Δ0<时一元二次方程没有实数根． 13．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x ，，则1211+x x 的值为（） A ．32B ．3-C ．3D ．32-【答案】C【分析】先求得123x x +=- 121x x ⋅=- 再将1211+x x 变形代入12x x +与12x x ⋅的值求解即可．【详解】解：①一元二次方程2310x x +-=的两根为12x x 、 ①123x x +=- 121x x ⋅=- ①1211+x x 1212x x x x +=31=-- 3=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系牢记12b x x a+=- 12cx x a ⋅=是解决本题的关键．14．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程2410x x --=时配方后正确的是（） A ．2(2)3x += B ．2(2)17x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)17x -=【答案】C【分析】根据配方法先将常数项移到右边然后两边同时加上4 即可求解．【详解】解：2410x x --= 移项得 241x x -=两边同时加上4 即2445x x +=- ①2(2)5x -= 故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程熟练掌握配方法是解题的关键．二填空题15．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________．【答案】1k <【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式24>0b ac ∆=- 建立关于k 的不等式解不等式即可得出答案．【详解】解：①关于x 的方程220x x k -+=有两个不相等的实数根 ①()224240b ac k ∆=-=--> 解得1k <．故答案为：1k <．【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：（1）0∆>①方程有两个不相等的实数根（2）Δ0=①方程有两个相等的实数根（3）Δ0<①方程没有实数根．16．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知1x 2x 是方程22310x x -+=的两根，则代数式12121x x x x ++的值为_________．【答案】1【分析】根据1x 2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则有1212·b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求解即可．【详解】解：由题意得 1212321·2x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩原式321112==+．故答案：1．【点睛】本题考查了韦达定理掌握定理是解题的关键．17．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x 的一元二次方程220x x m --=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____________．【答案】m ＞-1【分析】根据有两个不相等的实数根得到()()2Δ241m =--⨯⨯-＞0 解不等式即可．【详解】解：根据题意得()()2Δ241m =--⨯⨯-＞0 解得 m ＞-1 故答案为m ＞-1．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当∆＞0时原方程有两个不相等的实数根当∆=0时原方程有两个相等的实数根当∆＜0时原方程无实数根．18．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x 的方程()22140x m x m -+++=两根的倒数和为1，则m 的值为___________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：设方程的两个根分别为a b 由题意得：()+2+1a b m = 4ab m =+ ①()2+111+++4m a b a bab m == ①()2+11+4m m = 解得：2m =经检验：2m =是分式方程的解检验：()()()()22Δ2144421424120m m =-+-+=⨯+-⨯+=>⎡⎤⎣⎦ ①2m =符合题意 ①2m =．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．19．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程256x x x +=+的两根为1x 与2x ，则1211+x x 的值为_______．【答案】23-【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出121246x x x x +==-，将分式通分代入即可求解．【详解】解：①一元二次方程256x x x +=+ 即2460x x --= 的两根为1x 与2x ①121246x x x x +==-， ①1211+x x 12124263x x x x +===-- 故答案为：23-．【点睛】本题考查了分式的化简求值一元二次方程根与系数的关系熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．20．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个并按计划逐月增长预计八月份将提供岗位1815个．设七八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x 根据题意可列方程为___________．【答案】()2150111815x +=【分析】设七八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x 根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设七八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x 根据题意得()2150111815x +=故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用增长率问题根据题意列出方程是解题的关键．21．（2023·四川达州·统考中考真题）已知12,x x 是方程2220x kx +-=的两个实数根且()()122210x x --=，则k 的值为___________．【答案】7【分析】根据根与系数的关系求出12x x +与12x x 的值然后整体代入求值即可．【详解】①12,x x 是方程2220x kx +-=的两个实数根 ①122b kx x a +=-=- 12212c x x a -===-①()()122210x x --= ①121222410x x x x --+= 12122()60x x x x -+-=12602k ⎛⎫--⨯--= ⎪⎝⎭①解得7k =．故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：12b x x a+=-和12cx x a ⋅=是解题关键．22．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根，则代数式a b ab +-的值为_________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系得到31a b ab +==，由此即可得到答案．【详解】解：①a b 是一元二次方程2310x x -+=的两个实数根 ①31a b ab +==， ①31312a b ab +-=-=-= 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠ 若12x x ，是该方程的两个实数根，则1212b ca x x x x a+=-=，．23．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程2340x x --=的根为12,x x ，则()()1222x x +⋅+的值为____________．【答案】6【分析】解方程将解得的12,x x 代入()()1222x x +⋅+即可解答．【详解】解：2340x x --=对左边式子因式分解可得()()410x x -+= 解得14x = 21x =-将14x = 21x =-代入()()1222x x +⋅+可得原式()()42126=+⨯-+= 故答案为：6．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程熟练掌握计算方法是解题的关键．24．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1-，则m 的值为__________ 另一个根为__________．【答案】1- 2【分析】将=1x -代入原方程解得m 根据一元二次方程根与系数的关系得出122x x ⨯=- 即可求解．【详解】解：①关于x 的一元二次方程220x mx +-=的一个根为1- ①120m --= 解得：1m =-设原方程的另一个根为2x ，则12·2x x =- ①11x =- ①22x =故答案为：12-，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义一元二次方程根与系数的关系熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．25．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根，则c =________（写出一个满足条件的值）．【答案】2-（答案不唯一合理即可）【分析】先根据关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根得到4160c ∆=-> 解得14c <根据c 的取值范围选取合适的值即可．【详解】解：①关于x 的一元二次方程2240x x c ++=有两个不相等的实数根 ①224144160c c ∆=-⨯⨯=-> 解得14c <当2c =-时满足题意故答案为：2-（答案不唯一合理即可）.【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式熟练掌握当240b ac ∆=->时一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根是解题的关键．26．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根那么a 的取值范围是________．【答案】9a >【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：①关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根 ①243640b ac a ∆=-=-< 解得：9a > 故答案为：9a >．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 27．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x 的方程2200x mx +-=的一个根是4-，则它的另一个根是________．【答案】5【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1220cx x a⋅==- 根据该方程一个根为4- 即可求出另一个根．【详解】解：根据题意可得：1,,20a b m c ===- ①1220cx x a⋅==- ①该方程一个根为4- 令14x =- ①2420x -=- 解得：25x =．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系解题的关键是掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两根为1x 2x ，则12cx x a ⋅= 12b x x a+=-．28．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为___________．【答案】2019【分析】将3x =代入方程得到32a b -= 利用整体思想代入求值即可．【详解】解：①3x =是关x 的方程26ax bx -=的解 ①2336a b ⋅-= 即：32a b -=①202362a b -+()202323a b =-- 202322=-⨯ 20234=-2019=故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值是解题的关键． 29．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x 2﹣3x ＋1＝0有两个实数根x 1 x 2，则x 1＋x 2﹣x 1x 2的值等于_____．【答案】2【分析】先根据根与系数的关系得x 1+x 2＝3 x 1x 2＝1 然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：根据根与系数的关系得： x 1+x 2＝3 x 1x 2＝1 ①x 1+x 2﹣x 1x 2＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1 x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时 x 1+x 2b a=- x 1x 2ca=．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 30．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a b 是方程2340x x +-=的两根，则243a a b ++-=___________．【答案】2-【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系可得23,340a b a a +=-+-= 从而得到234+=a a 然后代入即可求解．【详解】解：①a b 是方程2340x x +-=的两根 ①23,340a b a a +=-+-= ①234+=a a ①243a a b ++- 233a a a b =+++-()433=+--2=-．故答案为：2-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x 若1212221x x x x ++=，则实数k =_____________．【答案】5-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得出12123,x x x x k +== 代入已知等式即可求解．【详解】解：①一元二次方程230x x k -+=的两个实数根为12,x x ①12123,x x x x k +== ①1212221x x x x ++= ①61k += 解得：5k =- 故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．32．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到2022年底校园绿化面积为1000平方米．为美化环境该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为__________．【答案】()2100011440x +=【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为x 依题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意列方程为()2100011440x += 故答案为：()2100011440x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用根据题意列出一元二次方程是解题的关键．33．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．【答案】k ＜1．【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k 的一元一次不等式解不等式即可得出结论．【详解】①关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根 ①①=2241k 0-⨯⨯> 解得：k 1< 故答案为：k 1<.【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式解题的关键是得出关于k 的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠中若方程有两个不相等的实数根，则①=2b 4ac 0->”是解答本题的关键.34．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根且12122x x x x ++⋅=，则实数m =_________．【答案】3【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=-=-+ 代入12122x x x x ++⋅= 解得m 的值根据求得的m 的取值范围确定m 的值即可．【详解】解：①关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根 ①()()22242480m m m m ∆=--+=->解得m>2①212122,2x x m x x m m +=-=-+ 12122x x x x ++⋅=①2222m m m -+-+=解得123,0m m ==（不合题意舍去） ①3m = 故答案为：3.【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．三解答题35．（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）解方程：2320x x -+=．【答案】11x = 22x =【分析】首先将方程进行因式分解然后根据因式分解的结果求出方程的解．【详解】解：2320x x -+=(1)(2)0x x --=①10x -=或20x -=①11x = 22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程解题的关键是掌握因式分解法求解方程．36．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元 2022年用于购买图书的费用是7200元求20202022-年买书资金的平均增长率．【答案】20%【分析】设20202022-年买书资金的平均增长率为x 根据2022年买书资金=2020年买书资金()21x ⨯+建立方程解方程即可得．【详解】解：设20202022-年买书资金的平均增长率为x由题意得：()2500017200x +=解得0.220%x ==或 2.20x =-<（不符合题意舍去）答：20202022-年买书资金的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用找准等量关系正确建立方程是解题关键．37．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=． (1)求证：无论m 取何值时方程都有两个不相等的实数根(2)设该方程的两个实数根为a b 若()()2220a b a b ++= 求m 的值．【答案】(1)见解析 (2)m 的值为1或2-【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．【详解】（1）证明：①()()22Δ21410m m m ⎡⎤=-+-⨯+=>⎣⎦ ①无论m 取何值方程都有两个不相等的实数根．（2）解：①()22210x m x m m -+++=的两个实数根为,a b。

2018中考数学知识点：一元二次方程求解方法

2018中考数学知识点：一元二次方程求解方法新一轮中考复习备考周期正式开始，为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！
一元二次方程求解方法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，
2、配方法。

一元二次方程-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)

考向12 一元二次方程【考点梳理】1、一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）3、运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．4、配方法解一元二次方程就是将方程变形为q p x =+2)（的形式，如果q ≥0，方程的根是q p x ±-=；如果q ＜0,方程无实根．5、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．6、一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-，则有下列性质：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根：1,2x =．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根：122bx x a==-． ③0∆<⇔方程没有实数根．7、一元二次方程根与系数的关系（又叫韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有a b x x -=+21，ac x x =•21（注意：运用根与系数的关系的前提是b 2-4ac ≥0）【题型探究】题型一：一元二次方程的基础概念1．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（）A ．x 2﹣1=0B ．x 2 +1x+3=0C ．x 2 + 2x +1=0D ．3x 2 x +1=02．（2022·河南洛阳·统考二模）若m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则23m m n -+的值为（） A ．3B ．4C ．5D ．63．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（） A ．0B ．－10C ．3D ．10题型二：一元二次方程的解（开平方和配方法）4．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）方程（9x ﹣1）2＝1的解是（）A ．1213x x ==B ．1229x x ==C ．1220,9x x ==D ．1220,9x x ==-5．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（） A ．103 B ．73C ．2D ．436．（2022·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（） A ．﹣3B ．0C ．3D ．9题型三：一元二次方程的解（公式法）7．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m +++=有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有212x x <<，那么实数m 的取值范围是( ) A ．2m <B ．m>2C ．2m <-D ．2m >-8．（2021·上海·九年级专题练习）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．2-9．（2022秋·北京·九年级北京师大附中校考期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 2,44=．因此，{}max 2,42--=-；按照这个规定，若{}232max ,2x x x x ---=，则x 的值是（）A ．－1B ．－1CD ．1 题型四：一元二次方程的解（因式分解）10．（2022·内蒙古包头·中考真题）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或611．（2023·全国·九年级专题练习）已知方程3a 1a a 44a--=--，且关于x 的不等式a x b <≤只有4个整数解，那么b 的取值范围是（） A ．23b <≤B ．34b <≤C ．23b ≤<D ．34b ≤<12．（2022秋·九年级课时练习）已知实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，则b 的值是（）A ．2或6-B ．2C ．2-或6D ．6-题型五：一元二次方程的判别式问题13．（2022·山东威海·模拟预测）若关于x 的方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的值不能是（）A ．2B ．0C ．94D 14．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．18a >-B ．18a ≥-C ．1,18a a >-≠D ．118,a a ≥-≠15．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）若关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围为（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <且1a ≠题型六：一元二次方程根与系数的问题16．（2022·山东济宁·三模）若m n ，是方程22470x x --=的两个根，则223m m n -+的值为（） A ．9B ．8C ．7D ．517．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（）A ．7B ．7-C ．6D ．6-18．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）若α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，且2211αβαβ--=-，则b 的值是（）A ．－3B ．3C ．－5D ．5题型七：一元二次方程的实际问题19．（2022·辽宁盘锦·校考一模）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如表：(1)求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，x 为多少时，w 有最大值，最大利润是多少？20．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）草莓是大家非常喜欢的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市销售草莓，第一周每千克草莓的销售单价比第二周销售单价高10元，该水果超市这两周共销售草莓180千克，且第一周草莓的销量与第二周的销量之比为4:5，该水果超市这两周草莓销售总额为11600元． (1)第二周草莓销售单价是每千克多少元？(2)随着草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定价与第二周保持一致，且该水果超市推出会员优惠活动，所有的会员均可享受每千克直降a 元的优惠，而非会员需要按照原价购买，第三周草莓的销量比第二周增加了20%，其中通过会员优惠活动购买的销量占第三周草莓总销量的6a，而第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，求a 的值．21．（2022秋·九年级单元测试）某新建公园需要绿化的面积为224000m ，施工队在绿化了212000m 后将每天的工作量增加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道（图中阴影部分），剩余地方种植花草，要使得种植花草的面积为2468m ，那么小道的宽应为多少米？题型八：一元二次方程的综合问题22．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．23．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． (1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值． 24．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ba -，x 1x 2＝c a材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：∵一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ， ∴m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝；x 1x 2＝． (2)类比应用：已知一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两根分别为m 、n ，求n mm n+的值． (3)思维拓展：已知实数s 、t 满足2s 2－3s －1＝0，2t 2－3t －1＝0，且s ≠t ，求11s t-的值．【必刷基础】一、单选题25．（2022·甘肃武威·统考中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（） A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -=26．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．627．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．128．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．14k >-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <且0k ≠29．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（） A ．()316210x x -= B ．()316210x -= C ．()316210x x -=D ．36210x =30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知关于x 的一元二次方程()2430x k x k -+++=．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于0，求k 的取值范围．31．（2022·江苏泰州·模拟预测）用总长为60m 的篱笆围成矩形场地． (1)根据题意，填写下表：(2)设矩形一边长为m x ，矩形面积为2m S ，当x 是多少时，矩形场地的面积S 最大？并求出矩形场地的最大面积； (3)当矩形的长为______m ，宽为______m 时，矩形场地的面积为2216m ．【必刷培优】一、单选题32．（2022秋·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校联考阶段练习）若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（）A ．14B ．1C ．.4D ．333．（2021·广西河池·统考中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定34．（2018·河北秦皇岛·统考中考模拟）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（） A ．50（1+x ）²=182 B ．50+50（1+x ）+50（1+x ）²=182 C ．50（1+2x ）=182D ．50+50（1+x ）+50（1+2x ）²=18235．（2022·四川达州·模拟预测）如图的六边形是有甲、乙两个等腰直角三角形和丙、丁两个矩形组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若甲的直角边长为4，且甲的面积大于乙的面积，则乙的直角边长为（）A ．1B ．65C ．423-D ．843-36．（2022·云南楚雄·云南省楚雄第一中学校考模拟预测）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，下列说法： ①方程2280x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则m n =-或14m n =-；③若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点()2,M t s +，()4,N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为2．其中，正确说法的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．337．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，ACB ∠的角平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若22BM =，则线段AC 的长为( )A ．424+B ．422+C ．426+D ．4238．（2022·四川绵阳·校考二模）已知实数,m n 满足22220,220m am n an -+=-+=．若m n ≠，且4m n +≥，则()()2211m n -+-的最小值是（）A ．6B ．3-C ．3D ．0二、填空题39．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）若关于x 的二次方程()21320m x x +-+=有两个相等的实数根，则m =___________．40．（2023秋·天津南开·九年级南开中学校考期末）已知一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根为1x 、2x ，且1212()3x x x x +=，则m 的值是______．41．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根1x ，2x ，若121212(2)(2)23x x x x x x -+--+=-，则k =_____．42．（2022·四川眉山·模拟预测）若实数m ，n 满足2231,31,m nm m n n n m=+=++的值为______．43．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，平均每天可售出500千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少20千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价______ 元．44．（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x 的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出形式为一般式的方程为______，x 的值是______．45．（2022·四川成都·统考二模）关于x 的一元二次方程240x kx -+=的两个实数根分别是1x 、2x ，且满足2212122270x x x x +---=，则k 的值为______．46．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）从3,1,0,1,2--这五个数中任意取出一个数记作b ，则既能使函数()24y b x =-的图象经过第二、第四象限，又能使关于x 的一元二次方程210x bx b -++=的根的判别式小于零的概率为 _____．三、解答题47．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？48．（2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2220x k x k -++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两根12x x 、与且221220x x +=，求k 的值．49．（2022·江苏盐城·校考三模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同．(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个150元的价格售出120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m 个，最终商家获利5160元，求m ．50．（2022·山东济南·模拟预测）已知M 、N 为双曲线()40y x x=>上两点，且其横坐标分别为a ，2a +，分别过M 、N 作y 轴、x 轴的垂线，垂足分别为C 、A ，交点为B ．(1)若矩形OABC 的面积为12，求a 的值；(2)随着a 的取值的不同，M N 、两点不断运动，判断M 能否为BC 边的中点，同时N 为AB 中点？请说明理由； (3)矩形OABC 能否成为正方形？若能，求出此时a 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．51．（2022·宁夏银川·校考三模）已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，过点P 作PD AB ∥，交AC 于点D ．同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为2cm/s ．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接PQ ．设运动时间为t （s ）（0 2.5t <<），解答下列问题：(1)当t 为何值时，四边形ADPQ 为平行四边形？(2)设四边形ADPQ 的面积为y （2cm ），试确定y 与t 的函数关系式．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使:13:2PQB ADPQ S S =四边形△？若不存在，请说明理由；若存在，求出t 值，并求出此时PQ 的距离．参考答案：1．B【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 、C 、D 选项含有一个未知数，未知数的次数是2，是一元二次方程，故选项A 、C 、D 不符合题意； B 选项分母中含有未知数，是分式方程，故本选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，运用定义判断．2．A【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到2410m m -+=，m ＋n ＝4，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m ，n 分别是一元二次方程2410x x -+=的两个根，∴2410m m -+=，m ＋n ＝4，∴241m m -=-，∴2234143m m n m m m n -+=-++=-+=，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根时，12b x x a+=-，12c x x a ⋅=，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=0，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．4．C【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：2(91)1x -=，911x ∴-=或911x -=-，解得10x =，229x =，故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．【详解】解：∵23610x x +-=，∴2361x x +=，2123x x +=，则212113x x ++=+，即()2413x +=， ∴1a =，43b =， ∴73a b +=．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．6．C【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得239,x c 结合已知条件构建关于c 的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c 配方得：239,x c 而（x +3）2＝2c ，92,c c 解得：3,c =故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键．7．C 【分析】根据求根公式求得(2)(2)2m x m -+±-=，结合条件212x x <<，可知22x =-，1x m ，进而可得m 的范围，即可求解．【详解】解：2(2)20x m x m +++=，(2)(2)2m m x -+±-∴， 212x x <<，22x ∴=-，1x m ，2m ∴->， 2m ∴<-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．8．C【分析】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可．【详解】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =2x = ∵原方程是“邻根方程”1=1= 224b a a ∴-=224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+ ∴当a=2时，t 有最大值，最大值为4．故选C.【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．9．B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有2322x x x --=，解得1x =2x =(舍去)， x<0时，有2322x x x --=-，解得，x 1=−1，x 2=2(舍去)．故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．10．A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案．【详解】解：∵2230x x --=， ∴12331x x -⋅==-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1，当23x =时，212212239x x x x x x ==--⋅=，当21x =-时，2121222··33x x x x x x ⋅==-=，故选：A ．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．11．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，代入不等式组确定出b 的范围即可．【详解】解：分式方程去分母得：3-a -a 2+4a =-1，即a 2-3a -4=0，分解因式得：（a -4）（a +1）=0，解得：a =-1或a =4，经检验a =4是增根，分式方程的解为a =-1，当a =-1时，由a ＜x ≤b 只有4个整数解，得到3≤b ＜4．故选：D ．【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．B【分析】由实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，先消去a ，求解b ，再检验即可．【详解】解：实数a ，b 同时满足2222190,2470a b a b +-=--=，24120,b b620,b b解得：122,6,b b当6b =-时，22219193617a b 不合题意，故舍去，所以 2.b =故选：B 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，非负数的性质，掌握加减消元法是解决本题的关键．13．C【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到2340k ，求出解集判断即可．【详解】解：∵方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，∴2340k ，解得94k <，故选：C ．【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程的根的三种情况是解题的关键．14．D【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到1a ≠且()()2Δ=3-41?20a --≥，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】根据题意得1a ≠且()2=3-41(2)0a ∆--≥，解得18a ≥-且1a ≠．故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24=b ac ∆-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当=0∆时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．15．C【分析】根据一元二次方程的定义和结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有实数根，则△≥0．∴()210=(2)410a a -≠---≥⎧⎨⎩，解得：a ≤2且a ≠1．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．A【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．【详解】解：m n ，是方程22470x x --=的两个根，则22704m m --=，2m n +=，∴2247m m =+，22373794m m n m m n m n +=+-=++-+=，故选：A【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．17．B【分析】根据根与系数关系求出2x =3，a =3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，∴1x +2x =2，∵11x =-，∴2x =3，∴1x ·2x =-a =-3， ∴a =3，∴22123917a x x --=--=-．故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．18．C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出+=,1b αβαβ-=-，代入2211αβαβ--=-得到关于b 的方程，求出b 的值即可．【详解】解：∵α和β是关于x 的方程210x bx +-=的两根，∴+=,1b αβαβ-=-，∴222()1211b αβαβαβαβ--=-+=-+=-∴=5b -故选：C【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-b a ，两根之积为c a是解题的关键． 19．(1)201800y x =-+(2)这种衬衫定价为60元．(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，待定系数法求解析式即可；（2）由题意知，()()502018006000x x --+=，计算求出满足要求的解即可；（3）由题意可得，2(50)(20180020(70)8000)x x x w =--+=--+，由()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％，求出x 的取值范围，然后根据二次函数的图象与性质求w 的最值即可．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，则5570060600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数表达式是201800y x =-+．（2）解：由题意知，()()502018006000x x --+=，解得126800x x ==，，∵尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为60元．（3）解：由题意可得，(50)(201800)w x x =--+220(70)8000x =--+，∵该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，每件售价不低于进货价，∴()50505050x x ≥⎧⎨-÷≤⎩％，解得5075x ≤≤，∵200a =-<，抛物线开口向下，∴当70x =时，w 取得最大值，此时8000w =元，∴售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解不等式组等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．20．(1)60；(2)5．【分析】（1）设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元，然后根据题意，列出关于,x y 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，列出关于a 的一元二次方程，然后求解即可．【详解】（1）解：设第一周草莓销售单价是每千克x 元，第二周草莓销售单价是每千克y 元，根据题意，得10451801801160099x y x y -=⎧⎪⎨⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩，解得7060x y =⎧⎨=⎩，答：第二周草莓销售单价是每千克60元；（2）解：根据题意，3月份第三周的销售单价是60元/千克，3月份第三周的销售量为5180(120%)1209⨯⨯+=千克，其中会员购买的销量为：120206a a ⨯=千克，非会员购买的销量为：(12020)a -千克；第三周草莓的销售总额为(6200100)a +元，∴20(60)(12020)606200100a a a a ⨯-+-⨯=+，整理，得25500a a +-=，5a ∴=或10a =-（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为5．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用，解答此题的关键是根据题意准确列出二元一次方程组和一元二次方程．21．(1)2400m(2)2米【分析】（1）设原计划每天完成2m x ，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设小路宽为m a ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）设原计划每天完成2m x ，由题意得：240001200024000120005 1.2x x x--=+，解得：400x =，经检验：400x =是原方程的根，且符合题意，答：原计划每天完成2400m ；（2）设小路宽为m a ，有题意得：()()30220468a a --=，解得：133a =（超出矩形的长，不合题意，舍去），22a =，即2m a =，答：小路宽2米．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，明确题意，列出相应的方程是解答本题的关键．22．(1)见解析(2)1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值．【详解】（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+，∵2120m ≥，∴241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-，∵25αβ+=，∴52αβ=-，∴522ββ-+=，解得：3β=，1α=-，∴23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 23．(1)k 174≤； (2)k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．【详解】（1）解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∴∆≥0，即32-4（k -2）≥0，解得k 174≤ （2）∵方程的两个实数根分别为12,x x ，∴12123,2x x x x k -+==-，∵()()12111x x ++=-，∴121211x x x x +++=-，∴2311k --+=-，解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．24．(1)32；12- (2)132-【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；（2）根据根与系数的关系先求出32m n +=，12mn =-，然后将n m m n +进行变形求解即可；（3）根据根与系数的关系先求出32s t +=，12st =-，然后求出s -t 的值，然后将11s t -进行变形求解即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两个根为x 1，x 2， ∴123322b x x a -+=-=-=，1212c x x a ⋅==-．故答案为：32；12-．（2）∵一元二次方程2x 2-3x -1＝0的两根分别为m 、n ， ∴3322b m n a -+=-=-=，12c mn a ==-， ∴22n m m n m n mn++= ()22m n mn mn +-= 23122212⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- 132=- （3）∵实数s 、t 满足2s 2-3s -1＝0，2t 2-3t -1＝0，∴s 、t 可以看作方程2x 2-3x -1＝0的两个根， ∴3322b s t a -+=-=-=，12c st a ==-， ∵()()224t s t s st -=+-231422⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 924=+ 174=∴t s -=t s -=，当t s -=11212t s s t st --===-当t s -=11212t s s t st --===-综上分析可知，11s t-或【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t s -或t s -= 25．C【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【详解】解：x 2-2x =2， x 2-2x +1=2+1，即（x -1）2=3．故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 26．A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m 的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出212122,41x x m x x m m +==--，把()()121222217x x x x ++-=变形为12122()130x x x x +--=，再代入得方程28120m m -+=，求出m 的值即可．【详解】解:∵关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根, ∴22=(2)4(41)0m m m ∆----≥, ∴14m ,≥-∵12x x ，是方程222410x mx m m -+--=的两个实数根, ∵212122,41x x m x x m m +==--，又()()121222217x x x x ++-= ∴12122()130x x x x +--=把212122,41x x m x x m m +==--代入整理得,28120m m -+=解得,122,6m m == 故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合12122()130x x x x +--=，找出关于m 的一元二次方程． 27．A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．。

考点07 一元二次方程(精讲)(原卷版)

考点07.一元二次方程（精讲）【命题趋势】一元二次方程以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分值为15分左右。

预计2024年各地中考还将继续考查，复习过程中要多注意各基础考点的巩固，特别是解法中公式法的公式，不要和后续二次函数顶点坐标的纵坐标公式记混了。

【知识清单】1：一元二次方程的相关概念（☆☆）1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2）一般形式：2(0)0ax bx c a ++=≠，其中：a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该一元二次方程的解。

2：一元二次方程的解法（☆☆☆）1）直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程。

2）配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程。

3）因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=。

4）公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a -±=即可。

5）根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式。

6）一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根。

2019中考数学热点难点突破《根与系数的关系问题》(解析版)

考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根；4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x[来源:学.科.网Z.X.X.K]则1212,.b c x x x x a a+=-= 应用举例:[来源:学科网ZXXK]招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（） A ．3 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣3 【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故选B ．学&科网【例2】．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（）A．-13 B．12 C．14 D．15【答案】B招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【答案】A【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在【答案】A【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C ．【解析】试题分析：∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4，∴m n =（﹣4）2=16．故选C ．招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题. 【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16[来源:学科网]【答案】A方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b c x x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1、已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为．【答案】0．【解析】[来源学科网ZXXK]试题分析：根据题意得34αβαβ+==-，，所以原式()3330ααβααα=+-=-=．故答案为：0． 2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________．【答案】1 【解析】解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3， ∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13. 设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为．【答案】32-．考点：根与系数的关系．4. 已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（） A ．﹣1 B ．2 C ．22 D ．30 【答案】D 【解析】∵α方程x 2-2x -4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x 2-2x -4=0的两实根,∴α+β=2, ∴原式=8×2+14=30, 故选D.5. 若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是（）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A ．【解析】考点：1．根与系数的关系；2．配方法；3．最值问题． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣2）x+（m 2﹣2m ）=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 12+x 22=10，求m 的值．【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。

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构造一元二次方程巧求代数式的最值在数学竞赛中，我们经常会遇到求代数式的最值(最大值或最小值)问题，但被求最值的代数式又不是一般代数式，因而同学们都感到困难，觉的无从下手.对于这类问题，如果我们通过设元构造一元二次方程，或者根据题设条件利用根与系数的关系构造一元二次方程，利用一元二次方程的判别式便能巧妙的获解.下面举例说明.
例1当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是解设22365112
x x y x x ++=++.由于221111(1)0222x x x ++=++≠.221365(1)2x x y x x ∴++=++.整理，得21(3)(6)(5)02y x y x y -+-+-=.x 为实数，21(6)4(3)(5)02
y y y ∴∆=----≥.整理，得2
10240y y -+=，即(4)(6)0y y --≤.
由题设知6y ≠，所以解得46y ≤<.故分式22365112
x x x x ++++的最小值是4.例2已知a 为常数，且0x a >>，那么分式2
x x a
-的最小值是.解设2(0)x y y x a
=>-，则有20x xy ay -+=.x 为实数，22()440y ay y ay ∴∆=--=-≥.
由于0y >，所以4y a ≥.
∴所求分式的最小值为4a .
例3设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是解设22
2a ab b a b y ++--=，将其整理成关于a 的二次方程，得22(1)(2)0a b a b b y +-+--=.
a 为实数.
22(1)4(2)0b b b y ∴∆=----≥.
2243613(1)44,1y b b b y ∴≥--=--≥-∴≥-.
故所求代数式的最小值是－1.
例4
已知x 、y 、z 为实数，且5,3x y z xy yz zx ++=++=.试求z 的最大值与最小值.解由5x y z ++=，得5y x z =--，代入3xy yz zx ++=，得(5)(5)3x x z x z z zx --+--+=.
将上式整理成关于x 的二次方程，得22
(5)530x z x z z +-+-+=.x 为实数，22(5)4(53)0z z z ∴∆=---+≥，即2310130z z --≤.
解之得1313z -≤≤
.z ∴的最大值是133，最小值是－1.例5
已知a 、b 均为实数，且满足221a ab b ++=①,则代数式22a ab b -+的最大值与最小值的和.解设22a ab b y -+=②.
①+②，得22221a b y +=+，即221(1)2a b y +=
+③.①－②，得21ab y =-，即2221(1)4a b y =-④.由③、④可知2a 、2b 是二次方程2211(1)(1)023
t y t y -++-=的两个实数根.2
22211(1)41(1)(1)(1)024y y y y 1⎡⎤∴∆=-+-⨯⨯-=+--≥⎢⎥4⎣⎦
.整理，得231030y y -+≤，即(31)(3)0y y --≤.
解得133
y ≤≤.∴代数式22a ab b -+的最大值是3，最小值是13.故代数式22a ab b -+的最大值与最小值的和是103.
例6已知332p q +=，其中p 、q 是实数，则p q +的最大值为.
解由332p q +=，得22
()()2p q p q pq ++-=.2()()32p q p q pq ⎡⎤++-=⎣⎦.
3()3()2p q pq p q +-+=.
设p q m +=①，代入上式，得，212(3pq m m =
-②.由①、②知p 、q 是二次方程2212()03t mt m m -+-=的两个实数根.222()41()0m m m ∴∆=--⨯⨯-≥.化简整理，得38m ≤，故2m ≤，即p q +的最大值为2.。