中考数学复习探索规律专题练习

第 3 题图
第 4 题图
4. 如图，已知点 O 是射线 AA1 上一点，过点 O 作∠AOB＝60°，在射线 OB 上取点 B1，使得∠B1AO＝ 20°，过点 B1 作射线 AC1，作∠C1B1O 的平分线交∠A1OB 的平分线于点 P；将射线 AC1 绕点 A 逆时针旋转 15°得到射线 AC2，与射线 OB 交于点 B2，作∠C2B2O 的平分线与∠A1OB 的平分线交于点 P1，则∠OP1B2 的度数为________；将射线 AC2 绕点 A 逆时针旋转 15°，得到射线 AC3，交射线 OB 于 B3，作∠C3B3O 的 平分线与∠A1OB 的平分线交于点 P2，得到∠OP2B3，…，依此方式，将射线 AC1 旋转 n 次，可得到∠ OPnBn＋1，则 n 的最大值为________．
9. 如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列，如：红球，黄球，绿球，红球，黄球，绿 球，…，嘉淇依次在小球上标上数字 1，2，3，4，5，6，…， 尝试 左数第三个黄球上标的数字是________； 应用 若某个小球上标的数字是 101，则这个小球的颜色是什么？它左边共有多少个与它颜色相同的小 球？ 发现 试用含 n 的代数式表示左边第 n 个黄球所标的数字．
第 1 题图 2. 如图，∠BOC＝9°，点 A 在 OB 上，且 OA＝1.按下列要求画图：以 A 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A1，得第 1 条线段 AA1；再以 A1 为圆心，1 为半径向右画弧交 OB 于点 A2，得第 2 条线段 A1A2； 再以 A2 为圆心，1 为半径向右画弧交 OC 于点 A3，得第 3 条线段 A2A3；…这样画下去，直到得第 n 条线 段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则 n＝________．
A. (10，3)
B. (－3，10)
C. (10，－3)
D. (3，－10)
4. 有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是 0，第二数是 1，那么前 6 个数的和是______，这 2019 个数的和是________．
5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB＝8，BC＝4，一发光电子开始置于 AB 边的点 P 处，并设定此时为发光 电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着 PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射 角和入射角都等于 45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过 2019 次后，则它与 AB 边碰撞的次数是 ________．
7. 如图所示，一动点从半径为 2 的⊙O 上的点 A0 出发，沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处，再 向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处；接着又从 A2 点出发，沿着射线 A2O 方向 运动到⊙O 上的点 A3 处，再向右沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处；A4A0 间的距 离是______；…；按此规律运动到点 A2019 处，则点 A2019 与点 A0 间的距离是______．
第 5 题图
6. 如图，在△ABC 中，∠A＝64°，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1，则∠A1＝ ________；∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，得∠A2；…；∠An－1BC 的平分线与∠An－1CD 的平分线交于点 An，得∠An，要使∠An 的度数为整数， 则 n 的值最大为________．
中考数学复习探索规律专题练习
类型一 数式规律
（2014.20，2012.17）
1. 计算 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 的结果是( )
1×3 3×5 5×7 7×9
37 × 39
19 A.
37
19 B.
39
37 C.
39
38 D.
39
2. 一列数按某规律排列如下：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，…，若第 n 个数为5，则 n＝( )
第 7 题图 8. 如图①，△ABC 是⊙O 内接等边三角形，直线 MN 与⊙O 相切于点 A，P 是B︵C的中点，则∠PAM＝ 90°；如图②，正方形 ABCD 是⊙O 内接正方形，直线 MN 与⊙O 相切于点 A，P 是B︵C的中点，则∠PAM ＝________； 如图③，若正 n 边形 ABC…GQ 是⊙O 内接正 n 边形，直线 MN 与⊙O 相切于点 A，P 是B︵C的中点，若∠ PAM 的度数小于 30°，则 n 的最小值是________．
第 5 题图
6. 砸“金蛋”游戏：把 210 个“金蛋”连续编号为 1，2，3，…，210，接着把编号是 3 的整数倍的“金蛋”全部 砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为 1，2，3，…，接着把编号是 3 的整数倍的“金蛋”全部砸碎… 按照这样的方法操作，直到无编号是 3 的整数倍的“金蛋”为止，操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共 ________个．
第n …
个数
n2－2n …
－5
…
(3)在这两组数中，是否存在同一列上的两个数相等，请说明理由．
类型二 图形变化规律
1. 如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点 A 发出后射向 OB 边．若光线与 OB 边垂直，则光线沿原路返回 到点 A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A＜83°时，光线射到 OB 边上的点 A1 后，经 OB 反射到线段 AO 上的 点 A2，易知∠1＝∠2.若 A1A2⊥AO，光线又会沿 A2→A1→A 原路返回到点 A，此时∠A＝________°.…若光 线从点 A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点 A，则锐角∠A 的最小值＝________°.
第 6 题图 7. 将连续正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对(m，n)表示从上到下第 m 排，从左到右第 n 个 数，如(3，2)表示正整数 5，(4，3)表示正整数 9，则(20，19)表示的正整数是________．
第 7 题图 8. 观察以下等式： 第 1 个等式：2＝1＋1，
111 第 2 个等式：2＝1＋1，
第 7 题图
第 8 题图
8. 如图，正△ABC 的边长为 2，顶点 B、C 在半径为 2的圆上，顶点 A 在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时 针旋转，当点 A 第一次落在圆上时，则 AC 中点 D 运动的路线长为________(结果保留 π)；若点 A 落在圆 上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕点 C 将
1213214321
7
A. 50
B. 60
C. 62
Байду номын сангаас
D. 71
3. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2，….已知按一定规律排列的一组 数：250，251，252，…，299，2100.若 250＝a，用含 a 的式子表示这组数的和是( )
A. 2a2－2a
第 9 题图
10. 如下表所示，有 A，B 两组数：
第1
第2
个数
个数
第3 个数
第4 …
个数
A组
－6
－5
－2
…
B组
1
4
7
10
…
根据表格所呈现的规律，解决下列问题：
(1)A 组第 4 个数是________；
(2)用含 n 的代数式表示 B 组第 n 个数是______，并简述理由；
第9 个数 58 25
5. Pn 表示多边形对角线的交点个数(指落在多边形内部的交点)，若这些交点都不重合(任意三条对角线不 交于一点)，如图，四边形对角线交点个数 P4＝1，五边形对角线交点个数 P5＝5，则六边形对角线交点个 数 P6＝________；发现 Pn＝n·n－4 1·n－a a·n－b b(其中 a，b 是常数，n≥4)，则 P12＝________．
【提分要点】
第 8 题图
类型三 周期变化规律
1．先观察所给数字或图形，然后再找出循环周期，记为 n； 2. 用 M÷n＝W……q(0≤q＜n)，则第 M 个数字或第 M 次变换后的图形就是一个循环中第 q 个数字或第 q 次 变换后的图形，或存在一定的倍分关系； 3. 根据题意求出第 q 个数字或第 q 次变换后对应图形的相关结论，即可求解． 1. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第 1 个至第 4 个台阶上依次标着－5，－2，1， 9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等． 尝试 (1)求前 4 个台阶上数的和是多少？ (2)求第 5 个台阶上的数 x 是多少？ 应用 求从下到上前 31 个台阶上数的和． 发现 试用含 k(k 为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．
△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转，…，如此旋转下去，当△ABC 完成第 2019 次旋转时，BC 边共回到原来位置________次． 9. 如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按逆时针方向依 次在射线上写出数字 1，2，3，4，5，6，7，…. (1)“17”在射线________上； (2)请写出 OA，OB，OD 三条射线上数字的排列规律； (3)“2019”在哪条射线上？
B. 2a2－2a－2
C. 2a2－a
D. 2a2＋a
4.
已知有理数
a≠1，
我
们
把
1称 1－a
为
a
的差倒数，如：2
的
差
倒
数
是
1＝ 1－2
－
1，
－
1
的差倒数是
1 ＝1.如果 1－（－1） 2
a1＝－2，a2
是
a1
的差倒数，a3
是
a2
的差倒数，a4
是
a3
的差倒数…依次类推，那么
a1＋
a2＋…＋a100 的值是( )
A. －7.5
B. 7.5
C. 5.5
D. －5.5
5. 观察下列一组数：
a1＝13，a2＝35，a3＝69，a4＝1107，a5＝1353，…，
它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an＝________(用含 n 的式子表示)．
6. 如图，在数轴上，A1、P 两点表示的数分别是 1、2，若 A1 与 A2 到点 O 的距离相等，A2 与 A3 到点 P 的 距离相等，A3 与 A4 到点 O 的距离相等，A4 与 A5 到点 P 的距离相等，…，依此规律，则点 A10 表示的数是 ________．
第 2 题图
3. 如图①，以△ABC 的三个顶点和其内部的一点 P，共 4 个点，可将△ABC 分割成 3 个互不重叠的小三角 形；如图②，以△ABC 的三个顶点和其内部不同的两点 P、Q，共 5 个点，可将△ABC 分割成 5 个互不重 叠的小三角形；如图③，以△ABC 的三个顶点和其内部不同的 3 个点 P、Q、M，共 6 个点，可将△ABC 分 割成________个互不重叠的小三角形；…；依此类推，以△ABC 的三个顶点以及其内部的不同的 m 个点， 可将△ABC 分割成 21 个互不重叠的三角形，则 m 的值为________．
326 第 3 个等式：2＝1＋ 1 ，
5 3 15 第 4 个等式：2＝1＋ 1 ，
7 4 28 第 5 个等式：2＝1＋ 1 ，
9 5 45 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 6 个等式：________________________________________________________________________; (2)写出你猜想的第 n 个等式：________(用含 n 的等式表示)，并证明．
第 1 题图
2. 下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转 90°得到，第 2019 个图案中箭头的指 向是( )
A. 上方
B. 右方
C. 下方
第 2 题图 D. 左方
第 3 题图
3. 如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)．将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为( )
第 6 题图 7. 如图，A、B 是直线 MN 上的两点，直线 l1、l2 的初始位置与直线 MN 重合，将 l1 绕点 A 顺时针以每秒 10°的速度旋转，将 l2 绕点 B 逆时针以每秒 5°的速度旋转，且两条直线从重合位置同时开始旋转，设旋转 时间为 n 秒(n 是正整数)．当 n＝1 时，设 l1、l2 的交点为 C1; 当 n＝2 时，设 l1、l2 的交点为 C2；当 n＝3 时，设 l1、l2 的交点为 C3；…；那么当 n＝1 时，l1、l2 相交所得的钝角是________；当 Cn 落在 MN 上方 时，n 的最小值是________．