第七章 非线性控制系统
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自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
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23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。 它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。
2020年11月17日
EXIT
第7章第16页
4．可以用频率特性的概念来研究和分析线性系统的固 有特性。不能用频率特性、传递函数等线性系统常用的 方法来研究非线性系统。
2020年11月17日
EXIT
第7章第15页
7.1.4 非线性系统的分析和设计方法
1. 相平面法 相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法
既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只 限于一阶和二阶系统。 2. 描述函数法
齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性等均属于 这类特性。
当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位 上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少，动态特性变坏。
间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。
2020年11月17日
EXIT
第7章第9页
4.继电器特性
0 y(t) b0sgn e(t)
在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号
作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间 的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至 可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。
2020年11月17日
EXIT
第7章第7页
2.死区（不灵敏区）特性
y (t )
0
k
e(t)
a sgn
e(t)
e(t) a e(t) a
2. 线性系统的稳定性与输入响应的性质只由系统本身的 结构及参量决定，而与系统的初始状态无关。而非线性 系统的稳定性及零输入响应的性质不仅取决于系统本身 的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
自动控制原理课件 第七章 非线性系统
2
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
从（2）式看出：线性化以后的系
统其特性与线性系统的特性一样，
可是（1）式表示的非线性系统的
将上式写成二个一阶方程组：
x1 (t ) x2 (t )
平衡点为：
x2 (t ) x1 (t ) 2 1 x12 (t ) x2 (t )
（1） 特性为：
当参量
x2 0, x1 0
一、相平面、相轨迹和平衡点 x f ( x , x)
将二阶系统常微分方程写成两个一阶微分方程表示如下：
..
.
x1 (t ) f1 t , x1 (t ), x2 (t ) x2 (t ) f 2 t , x1 (t ), x2 (t )
1、相平面：以横坐标表示X，以纵坐标 x 构成一个直角坐标 系，则该
则：
2 x2 n x1 2n x2
dx1 x2 2 dx2 n x1 2n x2
从二阶线性系统的特征方程中解出
1 , 2 n n 2 1
（1）当 0时
方程为：
1，2为虚根
x1 x2
2 x2 n x1
dx1 x2 2 dx2 n x1 x (
2 1
n
x2
)2 R 2
表示系统的相轨迹是一族同心的椭圆
当不同的
，我们得到不同的相轨迹如下图：
根与相轨迹
j λ 2 λ1 0 j 0 λ λ 1 2
稳定节点
j
不稳定节点
j 0
0
稳定焦点
j 0
不稳定焦点
j λ1 0 λ2
中心
鞍点
三、二阶非线性系统的特征
解析法：
（1）
自动控制原理课件 第7章 非线性控制系统
伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏 区等都属于死区非线性特性。
由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是 测量元件的不灵敏区影响最为突出。
2020年11月17日
EXIT
第7章第8页
3. 间隙特性
k e(t)
y(t)
k
e(t
)
b sgn e(t)
e(t) 0 e(t) 0 e(t) 0
2020年11月17日
EXIT
第7章第11页
5.变放大系数特性
y
(t
)
k1e(t
)
k2e(t )
e(t) a e(t) a
变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的 放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较 小的放大系数，使系统响应既缓且稳。
具有这种特性的系统，其动态品质较好。
2020年11月17日
fv
dy t
dt
k
y
y t
F
式中：fv——粘性摩擦系数
k(y)——弹性系数，是 y(t)的函数
2020年11月17日
EXIT
第7章第4页
描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性 微分方程
d
ny dt
t
n
h
t,
y
t
,
dy t
dt
,
,
d
n1
dt
y
n1
t
,
u
t
式中，u(t)为输入函数， y(t)为输出函数
描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统 阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系 统稳定性和自激振荡的信息。 3. 波波夫法
第七章 非线性控制系统的分析
2 2
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
6
(7.3)
式中：
N 为非线性环节的描述函数； 描述函数 A 为正弦输入信号的幅值； y1 为输出信号基波分量的幅值；
ϕ1 为输出信号基波分量的相移角。
7.1.1 描述函数
若非线性环节中不含储能元件 N = N( A ) 若非线性环节中含有储能元件 N = N( A,ω )
7
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
14
为与输入振幅A有关的复函数，输出的基波分量的相角 滞后于输入信号的相角。
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, b=0, 为理想继电型特性的描述函数： 理想继电型特性
N ( A) = 4M πA
15
(7.6)
7.1.2 典型非线性特性的描述函数
(7.5)式中, m = 1, 为具有死区的三位置继电型特性
−1 N (A -− N -1(A )) 稳定区域
24
G ( jω )
d
G ( jω )
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
(若非线性系统的线性部分G(s) 是非最小相位系 统，则系统闭环稳定的条件为N = -P. ) 自持振荡可用一个正弦振荡来近似，振荡的 频率和振幅，分别由交点处的 G(jω) 曲线上的 ω 值和 “-N-1(A)” 曲线上的 A 值来确定。 正弦振荡存在表明非线性系统存在周期解， 可用Nyquist判据分析其稳定性。只有稳定的正弦 振荡才能近似表示非线性系统实际存在的自持振 荡：稳定的自持振荡(极限环)可通过试验观察到， 而不稳定的自持振荡却观察不到。
22
7.2 非线性控制系统的描述函数分析
推广的Nyquist判据： 判据
23
设非线性系统的线性部分 G(s) 是最小相位的，于是，闭 环系统稳定的条件为 N = 0。 当 s 在 s平面上顺时针方向沿D型围线变化一周时: 2) 若 G(jω) 曲线包围 “-N-1(A)” 曲线 (图b所示) 则非线性系统是不稳定的 不稳定
第七章非线性控制系统分析习题答案.
解： y(t) = A3 sin3 ωt
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)
第7章 非线性控制系统分析(《自动控制原理》课件)
•
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
• • •
••
•
得等倾线方程为: 令 d x/ dx = α , 得等倾线方程为 x = − x /(1 + α ) (15 ) • 若令 α = 1, x = − x / 2 , 则等倾线如下图所示 如 α = − 2 则等倾线如下图所示. • • x 则 x = x 等倾线如图中蓝线 等倾线如图中蓝线. α =1 依此类推, 依此类推 取不同的α 值, 由 x 式(15)画出足够密的一簇等倾 画出足够密的一簇等倾 0 线, 然后按各条等倾线所表示 的相轨迹在该条等倾线上的斜率将各点连 成一条光滑的曲线, 如左上图所示. 成一条光滑的曲线 如左上图所示 α = −2
•
•
设下图为式(1)在初始条件 设下图为式 在初始条件 x = x0 , x = x0 情况下的 x (t ) 与 x (t ) 的关系曲线. 平面上的点随时间的增大, 的关系曲线 当 t ∈ [ 0, ∞ ) 时, 平面上的点随时间的增大 • • 将沿曲线移动 当初始条件确定后 x A( x0 , x0 ) 将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 曲线也确定 则曲线上任何一点的 • x 坐标也确定 当 x, x 的值确定后 由 的值确定后, 坐标也确定. 0 式(1)可知 x = f ( x , x ) 的值也唯一确 可知 从而系统的整个运动状态也完全确定. 定, 从而系统的整个运动状态也完全确定 整条曲线就清楚地描述了系统在某一初始条件下的运动 性质. 上图中的平面叫相平面, 性质 上图中的平面叫相平面 曲线叫系统在某一初始 条件下的相轨迹. 由于系统的初始条件可有无穷多个, 条件下的相轨迹 由于系统的初始条件可有无穷多个 因此相应的相轨迹也有无穷多条, 因此相应的相轨迹也有无穷多条 这无穷多条相轨迹构 成的相轨迹簇叫相平面图. 成的相轨迹簇叫相平面图 因为
第七章非线性控制系统
自动控制理论
第七章
第七章 非线性控制系统
第一节 非线性系统的基本概念
第二节 非线性特性的一种线性近似表示--描述函数 第三节 典型非线性特性的描述函数 第四节 分析非线性系统的谐波平衡分析法 第五节 非线性系统性能改进及非线性应用 小结
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自动控制理论
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第七章
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0Байду номын сангаас
Yn An2 Bn2
n
arctan
An Bn
对于奇对称函数
A0 0
k 2 )[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
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非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当
输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
死区特性对系统性能的影响： 各系测类统量液的变压库送阀伦装的摩置正擦的重；不叠灵量敏； 区；（了定1）位增精大度了。系统的稳态误差，降低 调节器和执行机构的死区； （2）减小了系统的开环增益，提高
第七章
第七章 非线性控制系统
第一节 非线性系统的基本概念
第二节 非线性特性的一种线性近似表示--描述函数 第三节 典型非线性特性的描述函数 第四节 分析非线性系统的谐波平衡分析法 第五节 非线性系统性能改进及非线性应用 小结
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第七章
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0Байду номын сангаас
Yn An2 Bn2
n
arctan
An Bn
对于奇对称函数
A0 0
k 2 )[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
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非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当
输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
死区特性对系统性能的影响： 各系测类统量液的变压库送阀伦装的摩置正擦的重；不叠灵量敏； 区；（了定1）位增精大度了。系统的稳态误差，降低 调节器和执行机构的死区； （2）减小了系统的开环增益，提高
第7章非线性控制系统分析自动控制原理-课件
当用后一种关系曲线时,是
把曲线画在
xx
的直角坐标平面上,
而 t作为参变量
在
x
x
平面上并不出现.
设下图为式(1)在初始条件
xx0,xx0情况下的
x
(
t
)
与
x
(
t
)
的关系曲线. 当 t[0,)时, 平面上的点随时间的增大,
x
A(x0,
x0
)
将沿曲线移动. 当初始条件确定后, 曲线也确定, 则曲线上任何一点的
7-3相平面法
1. 相平面法的基本概念
所谓相平面法, 是一种二阶微分方程的图解法. 此
法即可用于线性二阶系统, 也可用于线性部分是二阶的
非线性系统.
设一二阶系统可用下面常微分方程描述:
xf(x,x) (1)
上面微分方程的解可用 x(t )对t的关系曲线表示, 也可用
x
(
t
)
与
x
(t
)
的关系曲线表示,
但对于一个微分方程, 当初始条件不同时, 其有一簇相
轨迹, 而这一簇相轨迹上各斜率相同的点连起来就可得
一条曲线, 这条曲线叫等倾线. 从数学角度分析, 有:
令 dx/dx为某一常数, 则 f(x,x)/x是关于x , x
的方程. 当各不相同的相轨迹通过上面方程所表示的曲
线时, 各条相轨迹与这一曲线的交点处的斜率均等于
x2
dx/
x
t1
x1
t
t2
t1
x2
dx/
非线性控制系统分析
第一张
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结束授课
非线性系统响应还有其他与线性 系统不同的现象,无法用线性系统的 理论来解释。在一些情况下,引入某 些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智 能控制都属于非线性控制范畴。
应当明确指出的是：非线性系统 分析中不能使用叠加原理,也不能使用 线性系统分析中传递函数、频率特性 数学模型。
上一张 下一张 最后一张
结束授课
三、自持振荡
线性二阶系统只在阻尼比=0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程, 这时系统处于临界稳定状态。
实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么 发散至无穷大,要么衰减至零。
而非线性系统在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期 性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或 自振荡,如下图所示。
但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非 线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。
第一节 非线性系统的基本概念
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节, 则此系统即为非线性系统。
如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能用线性微分方程（一 般只能用非线性微分方程来描述,具有非线性数学模型）来描述,则称为非 线性系统，或称为本质非线性系统。这样的系统有以下特点：
如果自振荡的幅值在允许范围内, 按照李雅普诺夫关于稳定性的定义,系 统是稳定的。
自振荡是人们特别感兴趣的一个问 题,对它的研究有很大的实际意义。在 多数情况下,正常工作时不希望有振荡 存在,必须设法消除它。但在某些情况 下,特意引入自振荡,使系统有良好的稳 态、暂态性能。
第一张
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自动控制原理(第三版)第7章非线性控制系统(1)
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4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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5）混沌
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自动控制原理
非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
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自动控制原理
3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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自动控制原理
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。
自动控制原理
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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5）混沌
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非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
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3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。
第七章非线性控制系统.
x (t)
两个平衡状态：x=0和x=1，
x=0这个平衡状态是稳定的，因 1
为它对x0<1的扰动具有恢复原
状态的能力；而x=1这个平衡状 0
t
态是不稳定的，稍加扰动不是收
敛到零，就是发散到无穷，不可
能再回到这个平衡状态。
图7-3
由此可见，非线性系统可能存在多个平衡状态，其中某些 平衡状态是稳定的，另一些平衡状态是不稳定的。初始条 件不同，系统的运动可能趋于不同的平衡状态，运动的稳 定性就不同。所以说，非线性系统的稳定性不仅与系统的 结构和参数有关，而且与运动的初始条件、输入信号有直 接关系。
从非线性环节的输入与输出之间存在的函数关系划分，非线 性特性可分为单值函数与多值函数两类。例如死区特性、饱 和特性及理想继电特性属于输入与输出间为单值函数关系的 非线性特性。间隙特性和一般继电特性则属于输入与输出之 间为多值函数关系的非线性特性。
下面从物理概念上对包含这些非线性特性的系统进行一些 分析，有时为了说明问题，仍运用线性系统的某些概念和 方法。虽然分析不够严谨，但便于了解，而且所得出的一 些概念和结论对于从事实际系统的调试工作是具有参考价 值的。
2：时间响应 线性系统时间 响应的一些基本特征（如振 荡性和收敛性）与输入信号
y (t) 线性系统 非线性系统
的大小及初始条件无关。图 R 2 7-4中的虚线表明，对于线性
系统，阶跃输入信号的大小 R 1 只影响响应的幅值，而不会
改变响应曲线的形状。非线
性系统的时间响应与输入信 0
t
号的大小和初始条件有关。
有些非线性系统在没有外界周期变化信号的作用下，系统中就 能产生具有固定振幅和频率的稳定周期运动。如振荡发散的线 性系统中引入饱和特性时就会产生等幅振荡，这种固定振幅和 频率的稳定周期运动称为自持振荡，其振幅和频率由系统本身 的特性所决定。自持振荡具有一定的稳定性，当受到某种扰动 之后，只要扰动的振幅在一定的范围之内，这种振荡状态仍能 恢复。在多数情况下，不希望系统有自持振荡。长时间大幅度 的振荡会造成机械磨损、能量消耗，并带来控制误差。但是有 时又故意引入高频小幅度的颤振，来克服间隙、摩擦等非线性 因素给系统带来的不利影响。因此必须对自持振荡产生的条件、 自持振荡振幅和频率的确定，以及自持振荡的抑制等问题进行 研究。所以说自持振荡是非线性系统一个十分重要的特征，也 是研究非线性系统的一个重要内容。
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50
50rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
Re G ( j )
0.3K 4.5 0.3K c 1 4.5 2
K c 7.5
系统临界稳定
（2）计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
1 G ( j ) N ( A)
Im
1 1 N ( A) 2
1 N ( A)
Re
非线性系统稳定
A
0
G( j)
Im
（2） G ( j )的轨迹包围
1 N ( A)
G( j)
A
Re
0
1 N ( A)
22
非线性系统不稳定
1 G 相交,交点处的0和A0对应一等幅振荡. （3） ( j )的轨迹与 N ( A)
问题
x(t )
c(t )
C ( j ) N ( A)G ( j ) R( j ) 1 N ( A)G ( j )
特征方程为
或
N ( A)
G(s)
1 N ( A)G( j) 0
G ( j ) 1 N ( A)
负倒描述函数
1 N ( X ) 有交点，此时非线性系
※如果满足上式，表示 G( j)与
（1）试确定系统稳定时线性部分增益K的临界值Kc。 （2）试计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
r 0
e
1
x
1
-
G(s)
c
26
解：（1）饱和非线性特性的描述函数为
2k 1 a a a 2 N ( A) 1 ( ) sin A A A
其负倒描述函数为
( A a)
③系统中的线性部分具有较好的低通滤波特性。
设
2
e(t ) A sin t ，则
An Bn
1
1
x(t ) cos nt d (t )
0
2
x(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
x(t ) sin nt d (t )
该等幅振荡是自持振荡？
Im
0 , A0
Re
1 N ( A)
0
A
G( j)
23
2、非线性系统自持振荡的确定
（1）交点 a
外界干扰 外界干扰
Im
A↑ A↓
A
Re
b
0
该交点不产生自持 振荡
0 A
a
1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G( j)
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
x1 (t ) A1 cos t B1 sin t X1 sin(t 1 )
谐波线性化
A1 B1 X1
1
2
1
x(t ) cos t d (t )
0
2
x(t ) sin t d (t )
0
A12 B12
1
1 tg
A1 B1
14
e(t ) A sin t
17
5、组合非线性特性的描述函数 ⑴非线性特性的并联
e(t )
N1 ( A)
e(t )
x(t )
N ( A)
x(t )
N 2 ( A)
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
⑵非线性特性的串联
e(t )
x(t )
N1 ( A)
N 2 ( A)
e(t )
N ( A)
x(t )
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A
Im
Re
b
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
稳定 区域
1 N ( A)
不稳定 区域
0
a
G( j)
沿着A增加的方向，由
不稳定区域 稳定区域 稳定区域 不稳定区域 稳定交点 不稳定交点 产生自持振荡 不产生自持振荡
25
, A
3、典型非线性系统描述函数分析
例1.设含饱和特性的非线性系统如图所示，其中饱和非线性特性的参数
K a 1, k 2; 线性部分传递函数为G( s) s(0.1s 1)(0.2 s 1)
1 N ( A)
1 a a a 2 2k sin 1 ( ) A A A
27
1 N ( A)
1 1 1 1 2 4 sin 1 ( ) A A A
1 1 N ( A) 2
Im
Re
在上式中，
A 1
×
参见P194 死区+饱和
18
三、非线性系统的描述函数分析
非线性系统结构图的化简
r 0
-
y e G (s) x N ( A)
1
G2 ( s )
c
x
N ( A)
G(s)
y
G( s) G1 ( s)G2 ( s)
19
1、非线性系统的稳定性分析
经谐波线性化后系统的 闭环频率特性为
r (t )
e(t )
0
1 1 当 A a 1 时, N ( A) 2 1 当 A 时, N ( A)
线性部分传递函数为
G( j)
G(s)
K s (0.1s 1)(0.2s 1) K j (0.1 j 1)(0.2 j 1)
G ( j )
28
令
Im G ( j ) 0
第七章 非线性控制系统
1
引言：
前面研究的线性系统满足叠加性 和齐次性； 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性 虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理； 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称 为本质非线性。
和输出 b 3 ，死区 a 1 。线性部分传递函数为
G(s)
2 s(0.5s 1)( s 1)
（1）试分析系统的稳定性； （2）若使系统不产生自持振荡，继电器的参数 a, b 应怎样调整。
r 0
e
1
3 3
1
x
G(s)
c
-
30
解：（1）具有死区的继电器特性的描述函数为
4b a 2 N ( A) 1 ( ) A A
k
K
a
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e(t ) a k e(t ) a
e(t ) >a e(t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
5
3、间隙特性
k e(t ) a x(t ) 0 x(t ) 0
0
A0 X n sin(nt n )
n 1
X n An 2 Bn 2
n tg
1
An Bn
x(e) x(e)
A0 0
13
★ 由于x(t)的高次谐波幅值小于基波幅
值，且系统的线性部分 G ( s ) 具有低通滤 波性质，可以假设只有基波分量起作用， 而将高次谐波忽略不计。 基波分量为
3、间隙特性的描述函数
N ( A) B1 A j 1 A A ( A a)
k 2a 2a a a 4ka a 1 sin (1 ) 2(1 ) (1 ) j ( 1) 2 A A A A A A
4、理想继电器特性的描述函数
4b N ( A) A
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
K 15
G( j)
29
50 A 2.5
例2.设非线性系统如图所示，其中非线性特性为具有死区的继电器，饱
x(t ) 0
x
b
x
k e(t ) a
b signe(t)
a
0
k
a
b
e
特点
常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可 使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。
c n
6
主动齿轮 从动齿轮
4、继电器特性
x(t ) x(t )
b
0
e(t )
b
a
0
a
b
e(t )
b
(a)
x(t )
(b)
x(t )
b
b
0
a
a
a
ma 0
e(t )
ma
b
a
e(t )
b
(c )
(d )
7
二、非线性系统的特点
1、非线性系统的稳定性 不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统
的初始条件和外加输入信号无关。 线性系统的稳定性只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始条 件和外加输入信号无关。
★ 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线
50rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
Re G ( j )
0.3K 4.5 0.3K c 1 4.5 2
K c 7.5
系统临界稳定
（2）计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
1 G ( j ) N ( A)
Im
1 1 N ( A) 2
1 N ( A)
Re
非线性系统稳定
A
0
G( j)
Im
（2） G ( j )的轨迹包围
1 N ( A)
G( j)
A
Re
0
1 N ( A)
22
非线性系统不稳定
1 G 相交,交点处的0和A0对应一等幅振荡. （3） ( j )的轨迹与 N ( A)
问题
x(t )
c(t )
C ( j ) N ( A)G ( j ) R( j ) 1 N ( A)G ( j )
特征方程为
或
N ( A)
G(s)
1 N ( A)G( j) 0
G ( j ) 1 N ( A)
负倒描述函数
1 N ( X ) 有交点，此时非线性系
※如果满足上式，表示 G( j)与
（1）试确定系统稳定时线性部分增益K的临界值Kc。 （2）试计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
r 0
e
1
x
1
-
G(s)
c
26
解：（1）饱和非线性特性的描述函数为
2k 1 a a a 2 N ( A) 1 ( ) sin A A A
其负倒描述函数为
( A a)
③系统中的线性部分具有较好的低通滤波特性。
设
2
e(t ) A sin t ，则
An Bn
1
1
x(t ) cos nt d (t )
0
2
x(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
x(t ) sin nt d (t )
该等幅振荡是自持振荡？
Im
0 , A0
Re
1 N ( A)
0
A
G( j)
23
2、非线性系统自持振荡的确定
（1）交点 a
外界干扰 外界干扰
Im
A↑ A↓
A
Re
b
0
该交点不产生自持 振荡
0 A
a
1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G( j)
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
x1 (t ) A1 cos t B1 sin t X1 sin(t 1 )
谐波线性化
A1 B1 X1
1
2
1
x(t ) cos t d (t )
0
2
x(t ) sin t d (t )
0
A12 B12
1
1 tg
A1 B1
14
e(t ) A sin t
17
5、组合非线性特性的描述函数 ⑴非线性特性的并联
e(t )
N1 ( A)
e(t )
x(t )
N ( A)
x(t )
N 2 ( A)
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
⑵非线性特性的串联
e(t )
x(t )
N1 ( A)
N 2 ( A)
e(t )
N ( A)
x(t )
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A
Im
Re
b
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
稳定 区域
1 N ( A)
不稳定 区域
0
a
G( j)
沿着A增加的方向，由
不稳定区域 稳定区域 稳定区域 不稳定区域 稳定交点 不稳定交点 产生自持振荡 不产生自持振荡
25
, A
3、典型非线性系统描述函数分析
例1.设含饱和特性的非线性系统如图所示，其中饱和非线性特性的参数
K a 1, k 2; 线性部分传递函数为G( s) s(0.1s 1)(0.2 s 1)
1 N ( A)
1 a a a 2 2k sin 1 ( ) A A A
27
1 N ( A)
1 1 1 1 2 4 sin 1 ( ) A A A
1 1 N ( A) 2
Im
Re
在上式中，
A 1
×
参见P194 死区+饱和
18
三、非线性系统的描述函数分析
非线性系统结构图的化简
r 0
-
y e G (s) x N ( A)
1
G2 ( s )
c
x
N ( A)
G(s)
y
G( s) G1 ( s)G2 ( s)
19
1、非线性系统的稳定性分析
经谐波线性化后系统的 闭环频率特性为
r (t )
e(t )
0
1 1 当 A a 1 时, N ( A) 2 1 当 A 时, N ( A)
线性部分传递函数为
G( j)
G(s)
K s (0.1s 1)(0.2s 1) K j (0.1 j 1)(0.2 j 1)
G ( j )
28
令
Im G ( j ) 0
第七章 非线性控制系统
1
引言：
前面研究的线性系统满足叠加性 和齐次性； 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性 虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理； 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称 为本质非线性。
和输出 b 3 ，死区 a 1 。线性部分传递函数为
G(s)
2 s(0.5s 1)( s 1)
（1）试分析系统的稳定性； （2）若使系统不产生自持振荡，继电器的参数 a, b 应怎样调整。
r 0
e
1
3 3
1
x
G(s)
c
-
30
解：（1）具有死区的继电器特性的描述函数为
4b a 2 N ( A) 1 ( ) A A
k
K
a
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e(t ) a k e(t ) a
e(t ) >a e(t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
5
3、间隙特性
k e(t ) a x(t ) 0 x(t ) 0
0
A0 X n sin(nt n )
n 1
X n An 2 Bn 2
n tg
1
An Bn
x(e) x(e)
A0 0
13
★ 由于x(t)的高次谐波幅值小于基波幅
值，且系统的线性部分 G ( s ) 具有低通滤 波性质，可以假设只有基波分量起作用， 而将高次谐波忽略不计。 基波分量为
3、间隙特性的描述函数
N ( A) B1 A j 1 A A ( A a)
k 2a 2a a a 4ka a 1 sin (1 ) 2(1 ) (1 ) j ( 1) 2 A A A A A A
4、理想继电器特性的描述函数
4b N ( A) A
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
K 15
G( j)
29
50 A 2.5
例2.设非线性系统如图所示，其中非线性特性为具有死区的继电器，饱
x(t ) 0
x
b
x
k e(t ) a
b signe(t)
a
0
k
a
b
e
特点
常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可 使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。
c n
6
主动齿轮 从动齿轮
4、继电器特性
x(t ) x(t )
b
0
e(t )
b
a
0
a
b
e(t )
b
(a)
x(t )
(b)
x(t )
b
b
0
a
a
a
ma 0
e(t )
ma
b
a
e(t )
b
(c )
(d )
7
二、非线性系统的特点
1、非线性系统的稳定性 不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统
的初始条件和外加输入信号无关。 线性系统的稳定性只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始条 件和外加输入信号无关。
★ 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线