第七章 非线性控制系统

(a)
x(t )
(b)
x(t )
b
b
0
a
a
a
ma 0
e(t )
ma
b
a
e(t )
b
(c )
(d )
7
二、非线性系统的特点
1、非线性系统的稳定性 不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统
的初始条件和外加输入信号无关。 线性系统的稳定性只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始条 件和外加输入信号无关。
A
N ( A, )
为什么？
15
二、典型非线性特性的描述函数 x 1、饱和特性的描述函数
x(t )
kA sin t 0 t a1
x
a
A
a
k
0
e e
0 a1
a1
t
ka
a1 t a1
a1
a1
0
kA sin t
-a1 t
1
式中
x(t )
c(t )
C ( j ) N ( A)G ( j ) R( j ) 1 N ( A)G ( j )
特征方程为
或
N ( A)
G(s)
1 N ( A)G( j) 0
G ( j ) 1 N ( A)
负倒描述函数
1 N ( X ) 有交点，此时非线性系
※如果满足上式，表示 G( j)与
×
参见P194 死区+饱和
18
三、非线性系统的描述函数分析
非线性系统结构图的化简
r 0
-
y e G (s) x N ( A)
1
G2 ( s )
c
x
N ( A)
G(s)
y
G( s) G1 ( s)G2 ( s)
19
1、非线性系统的稳定性分析
经谐波线性化后系统的 闭环频率特性为
r (t )
e(t )
该等幅振荡是自持振荡？

Im
0 , A0
Re
1 N ( A)
0
A
G( j)
23
2、非线性系统自持振荡的确定
（1）交点 a
外界干扰 外界干扰
Im
A↑ A↓
A
Re
b
0
该交点不产生自持 振荡
0 A
a

1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G( j)
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
0
1 1 当 A a 1 时, N ( A) 2 1 当 A 时, N ( A)
线性部分传递函数为
G( j)
G(s)
K s (0.1s 1)(0.2s 1) K j (0.1 j 1)(0.2 j 1)
G ( j )
28
令
Im G ( j ) 0
9
三、非线性系统的分析方法和研究内容
数值解法 描述函数法 分析方法 相平面法
√
√
李雅普诺夫直接法 波波夫法
对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；
（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振 荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
10
7.2 描述函数法
11
一、描述函数的基本概念
★ 描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线
性化方法，忽略非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量 表示其输出。 描述函数法要求系统满足下列条件：
①系统结构图可化为下列典型形式
r 0
e
N ( A)
N ( A)
x
G(s)
c
非线性环节特性，
G(s)
线性环节特性
12
②非线性环节的输入输出特性是奇对称的，即 x(e) x(e)
x1 (t ) A1 cos t B1 sin t X1 sin(t 1 )
谐波线性化
A1 B1 X1
1
2

1
x(t ) cos t d (t )
0
2

x(t ) sin t d (t )
0
A12 B12
1
1 tg
A1 B1
14
e(t ) A sin t
1 N ( A)
1 a a a 2 2k sin 1 ( ) A A A
27
1 N ( A)
1 1 1 1 2 4 sin 1 ( ) A A A
1 1 N ( A) 2
Im
Re
在上式中，
A 1
第七章 非线性控制系统
1
引言：
前面研究的线性系统满足叠加性 和齐次性； 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性特性 虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理； 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线性称 为本质非线性。
③系统中的线性部分具有较好的低通滤波特性。
设
2
e(t ) A sinΒιβλιοθήκη Baidut ，则

An Bn
1

1
x(t ) cos nt d (t )
0
2
x(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1

x(t ) sin nt d (t )
x1 (t ) A1 cos t B1 sin t X 1 sin(t 1 )
定义
描述函数为非线性特性输出的一次基波分量与输入正 弦量的复数比 。即 X 1 j1 N ( A) e A
注意
① 非线性元件含有储能元件时，描述函数记作 ②非线性特性为单值奇函数时， N ( A) B1
17
5、组合非线性特性的描述函数 ⑴非线性特性的并联
e(t )
N1 ( A)
e(t )
x(t )
N ( A)
x(t )
N 2 ( A)
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
⑵非线性特性的串联
e(t )
x(t )
N1 ( A)
N 2 ( A)
e(t )
N ( A)
x(t )
N ( A) N1 ( A) N 2 ( A)
50
50rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
Re G ( j )
0.3K 4.5 0.3K c 1 4.5 2
K c 7.5
系统临界稳定
（2）计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
1 G ( j ) N ( A)
Im
1 1 N ( A) 2
a
2b


6
0.523
31
线性部分传递函数为
Im
1 A 2 A 2
2 G(s) s(0.5s 1)( s 1) G( j ) 2 j (0.5 j 1)( j 1)
和输出 b 3 ，死区 a 1 。线性部分传递函数为
G(s)
2 s(0.5s 1)( s 1)
（1）试分析系统的稳定性； （2）若使系统不产生自持振荡，继电器的参数 a, b 应怎样调整。
r 0
e
1
3 3
1
x
G(s)
c
-
30
解：（1）具有死区的继电器特性的描述函数为
4b a 2 N ( A) 1 ( ) A A
a1 sin
a A
t
x(t )是单值奇函数
A0 0, A1 0 B1
( A a)
1
2

x(t ) sin t d (t ) ?
0
2k 1 a a a 2 N ( A) 1 ( ) sin A A A
16
2、死区特性的描述函数
2k a a 2 1 a N ( A) 1 ( ) sin 2 A A A ( A a)
3、间隙特性的描述函数
N ( A) B1 A j 1 A A ( A a)
k 2a 2a a a 4ka a 1 sin (1 ) 2(1 ) (1 ) j ( 1) 2 A A A A A A
4、理想继电器特性的描述函数
4b N ( A) A
（1）试确定系统稳定时线性部分增益K的临界值Kc。 （2）试计算K=15时，系统自持振荡的振幅和频率。
r 0
e
1
x
1
-
G(s)
c
26
解：（1）饱和非线性特性的描述函数为
2k 1 a a a 2 N ( A) 1 ( ) sin A A A
其负倒描述函数为
( A a)
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A
Im
Re
b
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)

稳定 区域
1 N ( A)
不稳定 区域
0
a
G( j)
沿着A增加的方向，由
0
A0 X n sin(nt n )
n 1
X n An 2 Bn 2
n tg
1
An Bn
x(e) x(e)
A0 0
13
★ 由于x(t)的高次谐波幅值小于基波幅
值，且系统的线性部分 G ( s ) 具有低通滤 波性质，可以假设只有基波分量起作用， 而将高次谐波忽略不计。 基波分量为
不稳定区域 稳定区域 稳定区域 不稳定区域 稳定交点 不稳定交点 产生自持振荡 不产生自持振荡
25
, A
3、典型非线性系统描述函数分析
例1.设含饱和特性的非线性系统如图所示，其中饱和非线性特性的参数
K a 1, k 2; 线性部分传递函数为G( s) s(0.1s 1)(0.2 s 1)
定义：如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线
性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
2
7.1 概述
3
一、典型非线性特性
x
a
k
0
1、饱和特性
ke(t ) e(t ) a
x
a
e
ka ka
e(t ) >a e(t ) a
其中：(t ) 输入,x 输出 e
特点
常见于放大器中，在大信 号作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
k
K
a
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e(t ) a k e(t ) a
e(t ) >a e(t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
5
3、间隙特性
k e(t ) a x(t ) 0 x(t ) 0
1 Re G ( j ) Re N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
K 15
G( j)
29
50 A 2.5
例2.设非线性系统如图所示，其中非线性特性为具有死区的继电器，饱
x(t ) 0


x
b
x
k e(t ) a
b signe(t)

a
0
k
a
b
e
特点
常见于齿轮传动机构、铁磁元件的磁滞现象。可 使系统的稳态误差增大，也使系统的动态特性变差。
c n
6
主动齿轮 从动齿轮
4、继电器特性
x(t ) x(t )
b
0
e(t )
b
a
0
a
b
e(t )
b
统将出现等幅振荡，这相当于线性系统的极坐标图在复平面中穿 过（－1，j 0）点。
20
分析思路
将非线性的负倒描述函数特性和线性部分的极坐标图 绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性 系统的稳定性。设G(S)是最小相位环节。
21
1 （1）G ( j )的轨迹不包围 N ( A)
Im
( A a)
Im
1 N ( A)
当a 1, b 3 时,负倒描述函数为
1 A 2 A 2
1 N ( A)
在上式中，
A 1 2 4 3 1 ( ) A
Re


6
0
1 N ( A) 1 当 A 时, N ( A) 当 A 1 时, 1 的极值发生在A 2处, 其值为: N ( A)
2、非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也
可能会发生自持振荡 。 线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
8
3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统的
输出将不再是同频率的正弦信号，而是包含有各种谐波分量的非正弦周期 函数。
4、非线性系统不能使用叠加原理
1 N ( A)
Re
非线性系统稳定
A
0

G( j)
Im
（2） G ( j )的轨迹包围
1 N ( A)
G( j)
A
Re
0
1 N ( A)
22
非线性系统不稳定
1 G 相交,交点处的0和A0对应一等幅振荡. （3） ( j )的轨迹与 N ( A)
问题