第4课时 二次根式
2020河南中考数学考点突破(课件+训练)：4二次根式
B. 2 2 =2 2 33
D. 1 = 3 - 2 3 2
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3.如果ab>0,a+b<0,那么下列各式:① a = a ,② a · b =1,③ ab ÷ a =-b.其中正
b b ba
b
确的是 ( B )
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
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一、选择题
1.(2019山东济宁)下列计算正确的是 ( D )
A. (-3)2 =-3 B. 3 -5= 3 5
C. 36 =±6
D.- 0.36 =-0.6
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2.(2019山东聊城)下列各式不成立的是 ( C )
A. 18- 8 = 7 2 93
C. 8 18 = 4 + 9 =5 2
A. 5-1<0.5 2
B.若ab=0,则a=b=0
C. a = a bb
D.若a>0,则3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
解析 5-1≈0.6>0.5,故选项A错误;若ab=0,则a=0或b=0,故选项B错误;选项C应 2
加上a≥0,b>0,故选项C错误.故选D.
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超级总结 方法技巧 二次根式的估值一般有两种方法. 方法一:无限逼近法——①先对根式平方, 找出与平方后所得数字相邻的两个能 开得尽方的整数;②对找出的两个整数开方即可确定这个整式在哪两个整数之间; 方法二:借助无理数的近似值确定.如 2 ≈1.414, 3≈1.732, 5≈2.236等.
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1-2 (2019郑州外国语中学模拟)若使二次根式 1 有意义,则字母x必须满足 2x 1
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第4课时：数的开方及二次根式
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
先化简分式后，再将相应的 x 的值代入，最后 根据二次根式的运算法则求得结果．
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
x－3 x －6x＋9 解：原式＝ ÷ x x x－ 3 x 1 ＝ · . 2＝ x （x － 3 ） x－ 3 1 2014 当 x＝ 2014＋3 时，原式＝ ＝ . 2014 2014
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
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探究一 二次根式的估算
3 例 1 [2012·杭州 ] 已知 m ＝ ( － )×(－ 2 21) ，则有 3 ( A )
A． 5 ＜m ＜ 6 C．－5＜m＜－4
B ． 4＜ m ＜5 D．－6＜m＜－5
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·江干模拟] 下列各式中，错误 的是 ．．
( D )
A．(－ 3)2＝3 B．－ 32＝－3 C．( 3)2＝3 D. （－3）2＝－3
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第4课时┃ 数的开方及二次根式
【归纳总结】 二次 式子 a(a≥0)，即非负数 a 的算术平方根 二次 根式 根式 最简二 ①被开方数中的因数是整数，因式是整式； 相关 次根式 ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式 概念 二次 a 根式 ①( a)2＝____(a≥0)； a ② a2＝|a|＝ －a 的性 a· b 质 ③ ab＝________(a≥0，b≥0)； a a b ④ ＝________(a≥0， b>0) b
第七节 二次根式 第4课时 导学案
子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日年 级科 目课 题主 备 人备 课 方 式负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第七节 二次根式 第4课时 乔智一、【学习目标】1．理解分母有理化的概念。
2．掌握二次根式的混合运算顺序。
二、【学习过程】 （一）、学习准备1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含________________，我们说这两个代数式互为有理化因式。
2、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。
3、二次根式的乘、除法则（1）);0,0(__________≥≥=b a ab（2）)0,0(__________>≥=b a ba。
4、阅读教材：第七节《二次根式》（四） （二）、教材精读 5、分母有理化的概念 例1计算：（1）；31 （2）52。
归纳：分母有理化：把 中的根号化去叫做分母有理化。
实践练习：把下面各式分母有理化：（1）；33（2）522。
解：（1）)(()______;3333==⨯⨯=（）（）6、分母有理化的依据 例2 将351-分母有理化。
解：()()()()==⨯-⨯=-)35(1351 归纳：分母有理化的依据是分式的基本性质。
实践练习：化简：（1）；222+ （2）231-。
7、有理化因式 例3化简（1）；121+ （2）32236-。
归纳：常见的有理化因式有a 与________，b a +与____________，d c b a +与___________。
实践练习：计算（1）01)22()32(----； （2）253+。
（三）、教材拓展 8、例4计算（1）132121++-； （2）0)13(8121-+-+。
归纳：分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。
第4课时 二次根式混合运算
(3)(3－ 7 )(3＋ 7 )＋ 2(2－ 2 )＋(2－ 3)2018 (2＋ 3 )2017
原式＝9－7＋22－2＋(2－
3) (2＋
3 )(2－
2017
3 )
＝2 2＋2－ 3
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题型 1 乘法公式在二次根式求值中的应用
11．已知 a＝
1 ，b＝ 5－2
1 ，求 5＋2
a2＋b2＋7 的值．
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8．(中考•滨州)下列计算：
2
2① 2 ＝2 ；② －22 Nhomakorabea2 ；③ －2 3 ＝12 ；
④ 2＋ 3 2－ 3 ＝－1，其中结果正确的个
数为( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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9．(中考•泸州)已知三角形的三边长分别为a，b，c，求 其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古 希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)给出求其
解：(1)
1 ＝ n＋1－ n (n为自然数，且n≥1)．
n＋1＋ n
(2)原式＝ 2－1 ＋ 3－ 2 ＋＋ 2018－ 2017
＝ 2018－1.
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第二章 实数
2.7 二次根式 第4课时 二次根式混合运算
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知识点 1 二次根式的混合运算
1．二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相同，先算 ___乘__方___，再算___乘__除___，最后算___加__减___；有括 号的先算____括__号__内__的______，再算__括__号__外__的__．整 式的运算律及相关运算法则在二次根式的运算中同 样适用．
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：第4课时 数的开方及二次根式
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第4课时┃数的开方及二次根式
（a＋b） （a－b） 2ab－b2 －a 2 解：原式＝ ÷ a a （a＋b） （a－b） －（a－b）2 ＝ ÷ a a （a＋b） （a－b） a ＝ × a －（a－b）2 a＋b . ＝－ a－b 当 a＝1＋ 2，b＝1－ 2时， 1＋ 2＋1－ 2 2 2 原式＝－ ＝－ ＝－ . 2 1＋ 2－1＋ 2 2 2
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第4课时┃数的开方及二次根式
例4 [2013· 德州]先化简，再求值：
a－2 a－1 a－4 ( 2 － )÷ ，其中 a＝ 2－1. a ＋2a a2＋4a＋4 a＋2 a－2 － a－1 a－4 解：原式＝ 2÷ a（a＋2） （a＋2） a＋2
a－4 a＋2 ＝ × a（a＋2）2 a－4 1 ＝ . a（a＋2） 当a＝ 2－1时， 1 1 原式＝ ＝ ＝1. （ 2－1）（ 2－1＋2） （ 2－1）（ 2＋1）
第4课时
数的开方及二次根式
第4课时┃数的开方方根、算术平方根与立方根
平方根
平方 一个数x的______等于a，那么x叫做a的平方根， 记作±
数 的 开
a
平方 算术平 一个正数x的________等于a，则x叫做a的算术平
方根
方根，记作 a .0的算术平方根是0
方
立方 立方根 一个数x的________等于a，那么x叫做a的立方根
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第4课时┃数的开方及二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二 a≥0 定义 形如 a (________)的式子叫做二次根式 次 根 式 防错提醒 a 中的a可以是数或式，但a一定要大于或等于0
第4课时 二次根式
第4课时 二次根式【课标要求】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)。
【知识要点】1.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含 ；⑵被开方数中不含 ； ⑶分母中不含 。
2.同类二次根式：二次根式化成 后，若被开方数 ，则这几个二次根式就是同类二次根式。
3.二次根式的性质： （1）a a =2（0≥a ）， ()a a =2（0≥a ）（2）（3）ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）；（4）()0,0>≥=b a ba ba4.二次根式的运算：【典型例题】【例1】（07，福州）当x ___________时，二次根式【例2】（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.【例3】（06合并的二次根式为（ ） A.【例4】（08，广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：【例5】计算÷a （a ＞0）==a a 2 a -（a ＜0）0 （a =0）；【课堂检测】▲1.（07，上海）计算：2=_________ _．▲2.化简：（1= ．（2）3＋（5－3）＝________ _.▲3.（08，黄冈）化简=__ ____。
▲4．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）A.▲5. 若无理数a 满足不等式14<<a ，请写出两个符合条件的无理数__________ ___. ▲6.）A.1-▲7.（08，重庆）计算28-的结果是（ ）A.6B.6C.2D.2 ▲8．（08，聊城）下列计算正确的是（ ） A．=B．=C．3=D3=-▲9.函数1y x =-的自变量x 的取值范围为 。
▲10.(08，益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在A. 4cm~5cm 之间B. 5cm~6cm 之间C. 6cm~7cm 之间D. 7cm~8cm 之间▲11.（08，芜湖）估计算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间 ▲12.（08，大连）若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为 ( )A.a 2B.b 2C.b a +D.b a - ▲13.若2-a ＋3-b ＝0，则=-b a 2 。
21.1二次根式(共4课时)
21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。
四川省攀枝花市仁和区布德中小学中考数学 第4课 二次根式复习学案(无答案)
姓名：班级：第4课二次根式一、知识点1：二次根式的概念及条件：a⇔≥2：二次根式的性质) a b-------；,)a b--------=；2()a a---=；()()a aa a----------⎧=⎨-⎩3：二次根式的化简（1）最简二次根式满足条件：（2）根式的化简结果要化成最简二次根式二、基础练习:（1）16的平方根是_______，－27的立方根是________，36的算术平方根是_________. （2）化简：24＝________，2)2(-＝_______，312＝________，321-＝________. （3）A、24B、12C、23D、18（4x的取值范围是__________．（5）已知n-12是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3（6）下列根式中属最简二次根式的是（）（73a=-，则a与3的大小关系是( )A．3a< 8．3a≤ C．3a> D．3a≥（8）方程0|84|=--+-myxx，当0>y时，m的取值范围是（9）计算：=+-3)23(2。
（10）已知a） A ．a B ．a - C ．1- D ．0（11）已知mn ﹤0,化简-----=（12）已知4423+-=+x x x x ，求x 的范围是三.例题精讲： 例1.计算：⎛÷ ⎝例2、（2010 四川绵阳）要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 例3.计算：先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x x x x ，其中34 +-=x . 例4.计算：化简：012009|3.14π| 3.1412cos 451)(1)2-⎛⎫-+÷+-++- ⎪ ⎪⎝⎭°四、随堂演练:1、（2010 福建德化）下列计算正确的是（ ）A 、20=102B 、632=⋅ C 、224=- D3=- 2、下列运算错误的是( )= B==2(2=3、（2010湖北襄樊）下列说法错误的是（ ）A2BC是有理数 D．2是分数 4、（2011山东威海3分）在实数0、2-中，最小的是（ ）5、（2011山东临沂3分）计算221－631＋8的结果是（ ） A ．32－23 B ．5－2C ．5－3D ．226、（2011上海4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．． 7、下列式子中最简二次根式的个数有（ ） ⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸2)31(- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个8、（2010安徽芜湖）要使式子a ＋2a有意义，a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0 B ．a ＞－2且a ≠0 C ．a ＞－2或a ≠0 D ．a ≥－2且a ≠09、（2010广东广州3分）若a ＜11＝（ ）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a10、（2010年山西）估算231-的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间11、（2010江苏南京）如图，下列各数中，数轴上点A 表示的可能是（ ）A.4的算术平方根B.4的立方根 C.8的算术平方根 D.8的立方根12、（2011山东菏泽，4，3分）实数a在数轴上的位置如图所示，化简后为（ ）A ． 7B ． －7C ． 2a －15D ． 无法确定132()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．314、(2011江苏南京)计算1)(2=_______________．计算的结果是 ．15、（2011内蒙古乌兰察布4分）()0201112=-++y x 则yx = 三、解答题1、（2011四川绵阳）计算：（12）-2 - |22-3 | +382、计算：0(3)1-． 3、计算：0023)20094(45sin 2)52()21(π-++-+--4、（2010浙江绍兴）先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a5、 先化简，再求值：1112221222-++++÷--x x x x x x ，其中12+=x6、（2010四川攀枝花）先化简，再求值：（6分）（x —1+x x ）÷（1+112-x ），其中x =3—1。
第4课时 二次根式
二次根式的混合运算
(2013· 泰安 )化简： 3( 2－ 3)－ 24－ | 6－ 3|＝－6. 【思路点拨】根据二次根式的乘法运算法则以及 绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即 可．
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(2013· 宿迁 ) 计算 2( 2 － 3) ＋ 6 的 值是 2.
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9的平方根是 ± 3 . － 27 的立方根是－ 3 .
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考点二
二次根式的性质
x (2013· 广州 )若代数式 有意义，则实数 x x－1 的取值范围是( A． x≠ 1 C． x＞ 0 D ) B ． x≥ 0 D． x≥ 0 且 x≠ 1
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(2013· 泰州)下列计算正确的是 ( C ) A． 4 3－ 3 3＝ 1 C． 2 1 ＝ 2 2 B. 2＋ 3＝ 5
D． 3＋ 2 2＝ 5 2
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考点四
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11．计算 10 A. 5＋ 2
1 ＋5 2 B. D.
1 － 32的结果是 ( 5 5 5－ 2 3 的值是 ( 6 3 C. 3 B )
中考数学一轮教材梳理复习课件：第4课二次根式
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最简二次根式3】(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的 是( B )
1 A. 2
B． 2
C. 4
D． 12
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10.(2020·上海)下列二次根式中，与 3 是同类二 次根式的是( C )
A． 6
B． 9
C． 12
D． 18
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5.(2020·济宁)下列各式是最简二次根式 的是( A )
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
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5.二次根式的性质与运算
(1)双重非负性： a ≥0 且 a≥0；
(2)( a )2＝a(a≥0)， a2 ＝|a| (a 取全体实数)；
(3) ab ＝ a · b (a≥0，b≥0)；
(4)
a b
＝
a b
(a≥0，b>0).
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6. (1)计算：
52 ＝___5___；( 5 )2＝___5___；
（－5）2 ＝__5____．
(2)计算：
1 2
×
8 ＝___2____．
(3)计算： 63 ÷ 7 ＝____3____．
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考点精炼
二次根式有意义的条件(7 年 6 考)
【例 1】(2020·武汉)式子 x－2 在实数范围内有
意义，则 x 的取值范围是( D )
A．x≥0
B．x≤2
C．x≥－2
D．x≥2
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7.(2020·常德)若代数式
2 在实数范围内有 2x－6
意义，则 x 的取值范围是___x_＞_3___．
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：4二次根式
式子中含有分式，分母不等于零；有二次根式，被开方数 大于或等于零．所以应把这两个条件结合起来考虑．由题意知：
2x＋1≥0， 1 解得x≥－ ，且x≠1.故选A. 2 x－1≠0，
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解析
第4讲┃二次根式
求自变量的取值范围通常可以转化为解不等式(组) 的问题：
间，先把 7 平方，因为4＜7＜9，所以2 ＜ 7＜3
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第4讲┃二次根式
赣 考 探 究
探究一 求未知数的取值范围
例1 是( A ) 1 A．x≥－ ，且x≠1 2 1 C．x≥－ 2 B．x≠1 1 D．x>－ ，且x≠1 2 [2013· 娄底] 使式子 2x＋1 有意义的x的取值范围 x－1
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第4讲┃二次根式
变式题 [2013· 凉山州] 若实数x、y满足|x－4|＋ y－8 ＝0，则以x、 y的值为边长的等腰三角形的周长为________ 20 ．
所给代数式的形式
整式 一切实数 使分母不为零的一切实数，注意不能随意 约分，同时注意“或”和“且”的含义
自变量的取值范围
分式 偶次根式
被开方数应满足大于或等于0的条件
零次幂或负整数指数 底数不为零 幂
复合形式
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列不等式组，兼顾所有式子同时有意义
考点聚焦 赣考探究
第4讲┃二次根式
探究二 二次根式的性质
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第4讲┃二次根式
考点2 二次根式的有关概念及性质
1．下列二次根式中，最简二次根式是( C ) 1 A. B. 0.5 5 C. 5 D. 50 2．对任意实数a，则下列等式一定成立的是( D ) A. a＝a B. a2＝－a C. a2＝± a 3．若
人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》
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第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
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考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
3－
2）＝
3
－ 2.
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第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
(完整版)2017年数的开方及二次根式
二次根式 的乘法
a· b＝ ab(a___≥_0____，b___≥_0____)
二次根式 的除法
b＝ a
ba(a___>_0____，b___≥_0____)
第4课时┃数的开方及二次根式
考点5 把分母中的根号化去
常用形式 及方法
(1)
1＝ a
1· a·
a＝ a
aa；(2)
1＝ a＋b
a＋b a＋b
考点6 二次根式的估值
1.先对二次根式平方2.找出平方后所得数字相邻的两方开得 尽方的整数3.对以上两个整数开方4.确定这个二次根式的 值在这两个整数之间
归类探究
探究一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
例1 (1)[2013·资阳] 16的平方根是( B )
第4课时┃数的开方及二次根式
探究二 二次根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
例2 围是(
[2012·广州]若代数式 D)
x x－1
有意义，则
D．x≥0且x≠1
第4课时┃数的开方及二次根式
解 析 由题意得x≥0且x－1≠0，解得x≥0且x≠1， 故选D. 方法点析
解析
第4课时┃数的开方及二次根式
(1)若4是腰长，则三角形的三边长为4，4，8，不能 组成三角形；
(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4，8，8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20. 方法点析
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
方
立方根 一个数x的___立__方___等于a，那么x叫做a的立方根
2015年河北中考数学总复习课件(第4课时_二次根式)
图 4－1
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第4课时┃ 二次根式
探究二 二次根式的化简与计算
命题角度： 1．将一般二次根式化成最简二次根式； 2．二次根式的加、减、乘、除运算．
例 3 [2013· 上海 ] 下列式子中，属于最简二次根式的是( B ) 1 A. 9 B. 7 C. 20 D. 3
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( B )
解 析 由最简二次根式的定义可知最简二次根式必须 同时满足以下两个条件： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
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第4课时┃ 二次根式
3．下列各式运算正确的是 A. 2＋ 2 3＝3 5 B. 8＝ 4 2 C. 27÷ 3＝3 D. 25＝ ± 5
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第4课时┃ 二次根式
例 5 计算：(1)[2014· 宜宾] |－2|－(－ 2)
0
1 － 1 ＋ ； 3
解：原式＝2－1＋3＝4.
1 － 1 (2) ＋(1＋ 5
3)(1－ 3)－ 12；
3＝3－2
2016
解：原式＝5－2－2
2015
3.
3 0 (3)(2－ 3) ·(2＋ 3) － ( － 2) . 2 3 2015 解：原式＝[(2－ 3)(2＋ 3)] · (2＋ 3)－2× －1 2 ＝ 2＋ 3－ 3－ 1＝1.
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第4课时┃ 二次根式
在判断最简二次根式的过程中要注意： ( 1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就 不是最简二次根式； (2)对于二次根式的被开方数中的每一个因式 (或因数)， 如 果幂的指数大于或等于 2，那么也不是最简二次根式．
第4课时：《二次根式》(1)——二次根式及二次根式的乘除运算
第1课时《二次根式》（1）——二次根式及二次根式的乘除运算【知识点拨】 1、二次根式：（1）概念：形如______的式子叫做二次根式。
（2）被开方数可以是数，也可以是式子，但必须为____________。
[例题1] 1、函数13--=x xy 中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】3≤x 且1≠x2、下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A.x -2 B. 2+x C. 2-x D.21-x 【答案】C2、）（0≥a a 是一个________数。
[例题2]1、若20a -=，则2a b -= ． 【答案】12、已知x 、y 为实数，且1y =，求x y +的值．【答案】解：由题意得，20090x -≥，且20090x -≥．∴2009x =， ∴1y =． ∴2010x y +=．3、二次根式的性质：（1）=2)(a ___________（________）； （2）⎩⎨⎧<≥=)0______()0______(2a a a[例题3]1、有一道练习题是：对于式子2a 后求值.其中a =小明的解法如下：2a 2a -2(2)a a --＝2a +2.小明的解法对吗？如果不对，请改正.【答案】解：小明的解法对不对.改正如下：由题意得，2a =(2)2a a =--=-+．∴2a 2a 2(2)a a --+＝32a -＝2．4、二次根式的乘法：（1）法则：=⋅b a ______（00≥≥b a ，），即两个二次根式相乘，把被开方数______，根指数_______。
（2）应用：=ab _______⋅（00≥≥b a ，）→二次根式的化简。
5、二次根式的除法： （1）法则：=ba _________（00>≥b a ，），即两个二次根式相除，把被开方数________，根指数______。
（2）应用：=ba________（00>≥b a ，）→二次根式的化简。
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答案:(1)B (2)C
9
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
变式训练若最简二次根式������+������ 3a与 a + 2b是同类二次根式,则
ab=
.
答案:1
11
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
命题点5
规律方法探究
13
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
命题点5 二次根式的非负性
【例 5】 (1)已知实数 x,y 满足 ������-1+|y+3|=0,则 x+y 的值为
()
A.-2
B.2
C.4
D.-4
(2)若实数 m,n 满足 ������-2+(n-2 017)2=0,则 m-1+n0=
B.- -������
C.- ������
D. ������
解析:要使 a - 1������有意义,则-1������>0,即 a<0.
所以 a
- 1������=a
-
������ ������2
=
������ -������
-������ =-
-������.
答案:B
7
命题点1
命题点2
命题点3
)
A.x≥-12,且 x≠1 B.x≠1
C.x≥-12
D.x>-12,且 x≠1
答案:A
2.下列式子中,属于最简二次根式的是( )
A. 9
B. 7
C. 20
D.
1 3
答案:B
4
考点梳理 自主测试
考试目标锁定
规律方法探究
3.下列根式中,不能与 3合并的是( )
A.
1 3
C.
2 3
B.
1 3
D. 12
2. ������2=|a|= -������,������ < 0.
3. ������������ = ������ · ������(a≥0,b≥0).
4.
������ ������
=
������������(a≥0,b>0).
2
考试目标锁定
规律方法探究
考点梳理 自主测试
考点三 最简二次根式、同类二次根式
(1)二次根式的乘法: ������ · ������ = ������������(a≥0,b≥0).
(2)二次根式的除法:
������ ������
=
������������(a≥0,b>0).
3
考点梳理 自主测试
考试目标锁定
规律方法探究
1.若分式 2���������-���1+1有意义,则 x 的取值范围是(
命题点4
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
8
考试目标锁定
规律方法探究
命题点1 命题点2 命题点3 命题点4 命题点5
命题点 3 最简二次根式、同类二次根式
【例 3】 (1)下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. 2������2
B. ������2 + 1
C. 4������
D.
1 ������
(2)在下列二次根式中,与 ������是同类二次根式的是( )
.
解析: (1)根据二次根式与绝对值的非负性列式求出 x 和 y 的值,
然后代入代数式计算,根据题意,得 x-1=0,y+3=0,解得 x=1,y=-3,所
以 x+y=-2.
(2)∵ ������-2≥0,(n-2 018)2≥0, ������-2+(n-2 018)2=0,
∴ ������-2=0,(n-2 018)2=0,解得 m=2,n=2 018. ∴m-1+n0=2-1+2 0180=12+1=32.
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
命题点 4 二次根式的运算
【例 4】 计算: 18 −
9 2
−
3+ 3
6 +(
3-2)0+
(1-
2)2.
解:原式=3 2 − 322-(1+ 2)+1+( 2-1) =3 2 − 322-1- 2+1+ 2-1=322-1.
12
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
答案:(1)A (2)32
14
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
15
答案:C
4.(2019 内蒙古包头模拟)计算:12
20
−
5 4
15=
.
答案:3 4 5
5
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
考试目标锁定
命题点5
规律方法探究
命题点 1 二次根式有意义的条件
【例 1】 若使 ������+1有意义,则 x 的取值范围是
.
2-������
解析:x+1 与 2-x 都是二次根式的被开方数,都要大于或等于零.
第4课时 二次根式
考点梳理 自主测试
考试目标锁定
规律方法探究
考点一 二次根式
1.概念:形如 ������(������ ≥ 0)的式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件:要使二次根式 ������有意义,则 a≥0.
考点二 二次根式的性质
1.( ������)2=a(a≥0). ������,������ ≥ 0,
A. 3 2a
B. 3a2
C. a3
D. a4
解析:(1)A选项中的被开方数中含开得尽方的因式,C选项中的被
开方数中含开得尽方的因数,D选项中的被开方数中含有分母,故B
选项正确;
(2)将各选项中能化简的二次根式分别化简后,可得出 3a2 =
3a, a3=a a, a4=a2,结合同类二次根式的概念,可得出 a3与 a是 同类二次根式.
1.最简二次根式的概念:我们把满足被开方数不含分母,被开方数 中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.
2.同类二次根式的概念:几个二次根式化成最简二次根式以后,如 果被开方数相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
考点四 二次根式的运算
1.二次根式的加减法 合并同类二次根式:在二次根式的加减运算中,把几个二次根式 化为最简二次根式后,若有同类二次根式,则可把同类二次根式合 并成一个二次根式. 2.二次根式的乘除法
由于
2-x 不能为零,可得不等式组
������ + 2-������
1 >
≥0,0,解得:-1≤x<2.
答案:-1≤x<2
6
命题点1
命题点2
命题点3
命题点4
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命题点5
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命题点 2 二次根式的性质
【例 2】 把二次根式 a - 1������化简后,结果正确的是 ( )
A. -������