第二节 分式线性变换(映射)

第二节 分式线性变换（映射）

本节以及下一节，我们将介绍保形变换中两类基本的保形变换---分式线性变换和某些初等解析函数构成的保形变换---及其简单的应用．

一、分式线性变换及其分解 （一）分式线性变换

形如：az b

w cz d

+=+（其中0a b ad bc c d =-≠）的变换称为分式线性变换，简记为L()w z =．

注：10 分式线性变换中，系数满足的条件不可少，否则，

0a b ad bc c d

=-=，即

a b

k c d

= ，必将导致L()z k ≡为常数，显然它不可能构成保形变换．

20 为研究的方便，在扩充平面上，我们对分式线性变换L()w z =补充定义如下：

（·）当0c ≠时，补充定义L()d c

-=∞，L()a c

∞=； （··）当0c =时，补充定义L()∞=∞．

则分式线性变换就成为整个扩充平面上线性变换．

30 补充定义后，分式线性变换成为整个扩充z 平面与整个扩充w 平面之间的一一变换，即它在整个扩充z 平面上是单叶的，换言之，它将扩充z 平面单叶地变成扩充w 平面．

事实上，在扩充平面上，分式线性变换L()az b

w z cz d

+==+具有单值的逆变换dw b

z cw a

-+=

-．

40 根据保域性定理（定理1）的推广，分式线性变换L()w z =在扩充平面上具有保域性．

50 易知，分式线性变换与分式线性变换的复合仍为分式线性变换．

（二）分式线性变换的分解（分式线性变换的四种基本形式）

分式线性变换L()w z =总可以分解成下面四种简单变换的复合： （Ⅰ）i w e z θ= ------------------ 称为旋转变换； （Ⅱ）w r z =⋅ ------------------ 称为伸缩变换； （Ⅲ）w z h =+ ------------------ 称为平移变换； （Ⅳ）1w z

= ------------------ 称为反演变换． 事实上，当0c =时，分式线性变换变为a b w z d

d

=+， 记i a re d

θ=，它又变为

()i b

w r e z d

θ=+

， 显然，它是由下面三个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的变换

i e z θξ=，r ηξ= 和 b

w d

η=+

， 复合而成．

当0c ≠时，分式线性变换可变形为

2

1()1()1

az b c az b a cz d bc ad a bc ad w d cz d c cz d c cz d c c z c

++++--=

=⋅=⋅=+⋅

++++， 记 2i bc ad

re c

θ-=，它还可变形为

2

11()i a bc ad a w r e d d c c c z z c c

θ-=+⋅=+⋅++．

显然，它是由下面五个形如（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）的变换

d z c ξ=+

，1ηξ=，i e θςη=，r ζς=和a

w c

ζ=+，

复合而成．

上面的四种变换中（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）可合并成形如w kz h =+（0k ≠）的分式线性变换，称为整线性变换．

为了弄清楚分式线性变换的几何性质，下面，我们分别考察上述四种简单变换的几何意义．

对于变换（Ⅰ）：它是将平面上的点z 绕原点按逆时针或顺时针（视θ的正负而定）旋转θ角；

对于变换（Ⅱ）：它是将平面上的点z 沿z 的方向扩大或缩小（视

r 大于1还是小于1而定）r 倍；

对于变换（Ⅲ）：它是将平面上的点z 平移一个向量h ；

图7.7（线性变换的示意图）

可见，上述三种变换的一个共同特点是保持平面上图形的形状不变，图形的方向也不变，因此，这三种变换都是保持平面图形方向不变的相似变换，另外，由于相似变换的复合仍是相似变换，所以整线性变换w kz h =+（0k ≠）也是保持平面图形方向不变的相似变换．

对于变换（Ⅳ）：它可以分解成下面两个更简单的变换的复合，1

ω= ------ 称为关于单位圆周的对称变换，其中z和ω称为关z

于单位圆周的点；

= ------ 称为关于实轴的对称变换，其中ω和w称为关于实wω

轴的对称点．

可见，反演变换（Ⅳ）是通过两个对称变换的复合而成，此时原象点z和象点w之间的关系可通过图7.8所示的几何方法来实现．

图7.8（反演变换的示意图）

关于单位圆周1

z=的对称点的补注：

10 补充关于单位圆周1

z=对称点的定义：若点z和ω都在从圆心

z=的两侧（即一点在圆周z=出发的同一条射线上，分属于圆周1

z=的内部，另一点在圆周1

z=的外部），并且它们到圆心的距离的1

乘积等于1（即1

z=对称，点z

zω

⋅=），则称点z和ω关于单位圆周1

和ω也称为关于单位圆周1

z=的对称点．

20 设点z和ω关于单位圆周1

z=对称，由于它们都在从圆心0

z=出发的同一条射线上，且1

zω

⋅=，从而它们的幅角相等，记i

=，

z reθ

于是

1111i i i i e e e z r re z θθθθωω-=⋅=

⋅=⋅==， 即1

z

ω=--------对称点的计算公式． 30 规定：圆心0z =和∞是关于单位圆周1z =的对称点． 40 关于单位圆周1z =的对称点的几何作法：（如图7.8）先过点z 作射线oz 的垂线与圆周交于一点A ，再过点A 作圆周1z =的切线与射线oz 交于一点ω，则ω就是点z 关于单位圆周1z =的对称点． 例 1 证明：除恒等变换外，一切分式线性变换在扩充平面上恒有两个相异的或一个二重的不动点（即将自己变成自己的点称为不动点）． 证明 设分式线性变换为 az b

w cz d

+=+，其中0ad bc -≠．由不动点的含义，其不动点必满足方程 az b

z cz d

+=

+，即2()0cz d a z b +--= ------------------(*) 如果方程（*）的系数全为零，则az b

w z cz d

+==+为恒等变换，与题

设矛盾，故方程（*）的系数必不全为零．

下面分两种情况证明：

（1）若0c ≠，则方程（*）有两根 1,2

z =

2()4a d bc ∆=-+

当0∆≠时，方程（*）有两个相异的根，即az b

w cz d

+=+有两个相异的不动点1z 和2z ；

当0∆=时，方程（*）有两个相等的根，即az b

w cz d

+=+有一个二重的不动点2a d

z c

-=

． （2）若0c ≠，则方程（*）变为 ()0d a z b --=，此时az b

w cz d

+=+变为a b w z d

d

=+．