泛函分析
泛函分析简介
泛函分析简介什么是泛函分析泛函分析是数学的一个分支，主要研究无限维空间的线性算子及其性质。
它源于传统的分析学，特别是微分方程、积分方程和最优化理论等领域的发展。
通过研究空间中的点和函数，以及这些点和函数之间的映射关系，泛函分析提供了一种强大的工具用于解决各种实际问题。
在物理学、工程学、经济学和其他科学领域中，泛函分析有着广泛的应用。
泛函分析的基本概念线性空间线性空间（或称向量空间）是泛函分析的基础。
它由一组元素组成，这些元素可以通过向量加法和标量乘法进行组合。
形式上，若 (V) 是一个集合，满足以下条件，则 (V) 是一个线性空间：对于任意 (u, v V)，则 (u + v V)（封闭性）。
对于任意 (u V) 和标量 (c)，则 (c u V)（封闭性）。
存在零向量 (0 V)，使得对于任意 (u V)，有 (u + 0 = u)。
对于每个向量 (u V)，存在一个对应的负向量 (-u V)，使得 (u + (-u) = 0)。
向量加法满足交换律和结合律。
标量乘法满足分配律以及结合律。
拓扑空间拓扑空间是讨论连续性和极限的重要工具。
在泛函分析中，通常会结合线性空间与拓扑结构。
例如，一个拓扑向量空间需要具备以下性质：每个点都有邻域；任意多个开集的并集仍为开集；有限多个开集的交集仍为开集。
此时，可以引入收敛、限制、开集、闭集等概念，从而更深入地研究函数的性质。
巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间（Banach Space）是一类重要的完备线性空间，其定义为一个带有范数的线性空间，使得它是完备的。
也就是说，在这个空间中，每个柯西序列都收敛于某个元素。
范数是一个度量，用来描述向量之间的“距离”。
希尔伯特空间（Hilbert Space）则是一个完备的内积空间，是巴拿赫空间的一种特殊情况。
内积允许我们定义角度、正交性等概念，对于研究四维空间中的物理现象尤为重要。
主要定理与结果超平面定理与 Hahn-Banach 定理超平面定理指出，在有限维欧几里德空间中，任何非空闭子集至少可以由一个超平面相切。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
数学物理学中的泛函分析及其应用
数学物理学中的泛函分析及其应用泛函分析是数学物理学中的一门重要学科，是研究函数空间及其上的映射的数学分析学科。
它涵盖了数学和物理很多领域中的重要论题，包括微积分，变分法，偏微分方程，量子力学等。
在科学研究和工程应用中，泛函分析发挥着极为重要的作用。
本文将介绍泛函分析及其应用。
一、泛函分析的概念泛函是一个映射，它把一个函数空间中的函数映射到一个标量域上的函数。
泛函分析是对这些映射的研究，它是基于函数空间的理论和方法。
泛函分析的目标是找出函数空间和其上的线性算子的基本性质和规律，研究它们的逼近和收敛性质以及存在性和唯一性等问题。
泛函分析的重要概念包括：线性空间、范数、内积、拓扑、紧算子、自伴算子等。
线性空间是指函数集合中的任意两个函数满足加法和数乘封闭性的集合。
范数是定义在线性空间上的一种实数函数，符合非负性、齐性和三角不等式。
内积是一个函数空间中的二元运算，它满足线性性和正定性。
拓扑是指函数空间中元素间的近似关系，定义了开集和闭集，并定义了连续性、紧性等概念。
紧算子是指将一个无限维线性空间中的元素映射到一个有限维线性空间的算子。
自伴算子是指满足自我共轭性质的线性变换。
二、泛函分析在物理学中的应用泛函分析在物理学中有着广泛的应用。
物理学中的方程和算子一般都具有函数变量，因此把物理问题转换为泛函问题，就可以运用泛函分析方法解决它们。
以下简单介绍几个物理学中泛函分析的应用：1.偏微分方程：泛函分析在偏微分方程中应用广泛，特别是在非线性偏微分方程的研究中。
例如，用变分法解决非线性偏微分方程的问题，就涉及到泛函分析中的极值问题和约束问题。
2.量子力学：量子力学中的波函数就是定义在函数空间上的一个元素，因此泛函分析在量子力学中也有着广泛的应用。
例如，量子力学的本征方程中的算子就是线性空间中的元素，因此可以利用泛函分析中的算子理论来解决这些问题。
3.碟形电机：泛函分析在碟形电机中应用广泛。
作为一种电子器件，碟形电机的设计和制造需要精确的电控理论。
泛函分析
( x) A
xB
反之亦然
( x) 表示以x为中心，以 为半径的小球。
第一章 距离空间
可分性：
定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一 个稠密的可列子集。
第一章 距离空间
问题：
1、写出三维空间的几种距离
2、距离空间中的开集、闭集？
( x(t ), y(t )) [a x(t ) y(t ) dt]
2
b
1/ 2
第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其
i 1
中任意两点
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn )
n
（c), (d)说明，在赋范线性空间中，线性运算对范 数收敛是连续的。
第二章 赋范线性空间
2.3 有限维赋范线性空间
1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关
的元素 e1 , e2 ,, en ，使任意的 x E
都有
x xi ei
i 1
n
则称E为有限维赋范线性空间，称 {e1 , e2 ,, en }
n
( x, y ) [ | xi yi |2 ]1/ 2
1 ( x, y) max | xi yi |
1i n
i 1
第二章 赋范线性空间
例2： C[ a ,b ]
其中可定义范数
|| x || max | x(t ) |
a i b
并由它导出距离
( x, y) max | x(t ) y(t ) |
a i b
第二章 赋范线性空间
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着重要的贡献。
下面是我在学习泛函分析的心得体会。
首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数学学科。
相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。
其中最基本的概念就是线性空间和赋范空间。
线性空间是指满足一定线性运算规则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。
了解这些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函分析的核心思想。
其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。
泛函是将一个向量或者函数映射到一个实数的映射。
通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函数的性质和行为。
在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。
线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上满足一定连续性质的线性泛函。
学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。
此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。
这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。
例如，内积可以用来定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。
学习和掌握这些概念和工具对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。
最后，在学习泛函分析过程中，练习和实践也非常重要。
泛函分析是一个非常抽象和理论性很强的学科，对于我们来说可能有一定的难度。
但是通过练习和实践，我们可以更好地理解和运用所学的知识。
可以通过做一些练习题、阅读一些经典的参考书籍、参加研讨会等方式来提升自己的泛函分析水平。
在实践中我们还可以体会到泛函分析的应用，并且可以与其他学科进行交叉的思考，提高自己的综合能力。
泛函
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α，b]([α，b]上连续函数的全体)，F是实数域，当{?n}一致收敛于? 时，T?n→T?的情况下，将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一，并且有极大任意性。后来在实l2空间上，弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示，即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909～1910年又相继给出C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间（又称向量子空间）上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始（中间经过第一次世界大战的中断），直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同时还有N.维纳）独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法，给出现今常见的证明。1922～1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明，并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间（共轭空间）K（当时称为极空间）。两年后，巴拿赫用同样方法也得到同样结果（后来，他承认哈恩的优先权），并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923～1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩，把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。
什么是泛函分析及其应用
泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无穷维向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
泛函分析中经常用到的基本概念包括范数、内积和度量等。
范数是用来衡量向量的大小的一种数学工具，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积则是定义了向量空间中的两个向量之间的夹角和长度之间的关系，它是一种更加广义的概念，包括了点积、矩阵的迹和函数的积分等。
度量则是一种用来衡量向量空间中的元素之间距离的函数。
泛函分析的核心研究对象是线性空间中的函数。
线性空间是指满足线性结构和空间结构的集合。
在泛函分析中，我们关注的是函数的性质和行为，而不仅仅是函数的数值。
泛函是一种从函数空间到数域的映射，它对应于一个实数或复数。
泛函可以对函数空间中的函数进行排序和比较，并且可以通过泛函的性质和行为来推断函数的性质和行为。
泛函分析的应用非常广泛。
它在工程领域中可以用来解决控制系统、信号处理和图像处理等问题。
例如，在控制系统中，泛函分析可以用来描述系统的稳定性和性能指标，通过对控制器进行优化，实现对系统的最优控制。
在信号处理和图像处理中，泛函分析可以用来对信号进行分析和重构，提取信号中的信息并去除噪音。
在物理学中，泛函分析可以用来描述多体系统和量子力学问题。
例如，泛函分析可以用来研究无限维的希尔伯特空间中的粒子的运动和性质，并且可以通过泛函的极值性质来解决量子力学中的变分问题。
在经济学中，泛函分析可以用来解决经济学模型和经济学问题。
例如，在宏观经济学中，泛函分析可以用来描述经济系统的动态行为和稳定性，通过构建适当的泛函和约束条件，可以对经济系统进行最优化问题的求解。
总之，泛函分析是一门重要的数学分支，它研究的是向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
通过泛函分析的方法和工具，我们可以更好地理解和描述自然界和人类社会中的一系列现象和问题。
数学中的泛函分析原理
数学中的泛函分析原理泛函分析是数学中一个重要的分支，它研究的是函数空间中的向量和算子，并研究它们之间的关系和性质。
在应用数学和理论数学中都有广泛的应用。
本文将介绍泛函分析的基本原理和一些常见的应用。
一、泛函分析概述泛函分析是在无穷维向量空间中研究函数和算子的一门数学学科。
它主要关注函数的空间与函数之间的线性关系和连续性。
泛函分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，并为这些领域提供了强大的工具和理论支持。
二、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中非常重要的概念。
它可以用来描述函数的性质和空间结构。
在泛函分析中，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和L^p空间等。
1. 连续函数空间连续函数空间是指定义在某个区间上的连续函数的集合。
常见的连续函数空间有C[0,1]和C^k[0,1]等。
在连续函数空间中，可以定义范数和内积等结构，从而形成一个向量空间。
2. 可积函数空间可积函数空间是指具有有限或无限积分性质的函数集合。
常见的可积函数空间有L^1[0,1]和L^2[0,1]等。
可积函数空间是泛函分析中非常重要的对象，它与概率论、信号处理和图像处理等领域密切相关。
3. L^p空间L^p空间是泛函分析中非常重要的一类函数空间。
它包括了所有p 次幂可积的函数的集合。
L^p空间具有范数结构，可以用来描述函数的大小和趋势，并且在测度论、偏微分方程和调和分析等领域有重要应用。
三、泛函的定义和性质泛函是定义在函数空间上的映射，它将函数映射到实数或复数。
泛函可以看作是函数的函数，它对函数进行操作并输出一个数值。
泛函的定义和性质在泛函分析中起着关键作用。
1. 线性泛函和非线性泛函线性泛函是指满足线性性质的泛函，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有F(af+bg) = aF(f) + bF(g)。
非线性泛函是不满足线性性质的泛函。
2. 连续性和有界性在泛函分析中，连续性和有界性是泛函的重要性质。
泛函分析简介
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
泛函分析中的定理
泛函分析中的定理泛函分析是数学中重要的一个分支，研究的是无限维空间上的泛函和函数序列的性质及其应用。
在泛函分析中，有很多重要的定理和结果，下面我们来介绍一些。
1. 资格定理（Hahn-Banach Theorem）：资格定理是泛函分析中的基础定理之一、它表明，在实或复的赋范空间中，对于任意一个线性泛函 f，如果它在一个线性子空间 M 上的限制所满足的条件可以表示为一个线性不等式，那么总是存在一个线性泛函 F，它在整个空间上与 f 一致，并且满足给定的限制条件。
资格定理的应用十分广泛，例如可以用来证明一些存在性定理，如存在性定理。
2. 化大定理（Banach-Alaoglu Theorem）：化大定理是泛函分析中的基本定理之一，它描述了拓扑空间上单位球面上的点列（依范数拓扑）的一些性质，并且证明了它在乘积空间中的相对紧致性。
化大定理的一个重要应用是弱收敛性的刻画，即如果一个序列具有其中一种趋向，那么可以通过化大定理证明它在一些拓扑意义上收敛于一些点。
3. 谱定理（Spectral Theorem）：谱定理是泛函分析中的一个重要定理，描述了自伴算子（或称为厄密算子）在希尔伯特空间上的一些性质。
谱定理指出，一个自伴算子的谱分解具有简洁的形式，在一定条件下，可以通过一个单位正交基来展开。
谱定理的一个重要应用是量子力学中的哈密顿算子的谱分解。
4. 开映射定理（Open Mapping Theorem）：开映射定理是泛函分析中一个重要的定理，表明如果一个线性映射将一个开邻域映射成一个非空邻域，那么这个映射就是一个开映射。
开映射定理是泛函分析中非常有用的工具，它可以用来证明闭图像定理，即一个连续线性映射的图像是闭的。
5. 闭图像定理（Closed Graph Theorem）：闭图像定理是泛函分析中一个重要的定理，它表明如果一个连续线性映射的图像是闭的，那么它的图像和定义域之间的关系也是闭的。
闭图像定理是泛函分析中很有用的工具，它可以用来证明一些重要的结果，如开映射定理、逆映射定理等。
泛函分析ppt课件
傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
泛函分析第三讲
A 是列紧集当且仅当 A中函数是一致有界和 等度连续的.
如果存在 M 0，使得 f A和x a,b， 有 f x M，则称函数族 A是一致有界的.
如果 0, 存在 0, x, y a,b，f A， 只要 dx, y , 就有 f x f y ,
对于x x1, x2 ,, xn ，定义
x x1 2 x2 2 xn 2 ，
则 Rn是Banach空间.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
一、赋范线性空间
例2 空间Ca,b.对于xtCa,b，定义
x max xt at b
则 Ca, b是Banach空间.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、紧集与列紧集
定义5 设 X , d 是一个距离空间，A, B X.
0是给定的数, 如果对 A 中的任何点 x，必有 B中
的点 x，使得dx, x ，则称 B是 A的一个 -网.
定义6 设 X , d 是一个距离空间，A X.
如果对任意 0，A中总存在有限的 - 网，
二、紧集与列紧集
定理6 设A 是距离空间 X的紧集，f : A R是连续的，则 (1) f 在 A上有界； (2) f在 A 上可取到最大值和最小值.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
一、赋范线性空间
3. Banach空间的定义 定义3 设 X 为赋范线性空间， d是由范数 诱导的距离，如果X是完备的距离空间， 称 X 为Banach空间.
数学中的泛函分析
数学中的泛函分析泛函分析是数学领域中的一个重要分支，它研究的是函数的空间，以及这些函数之间的性质和关系。
在数学和物理学等领域中，泛函分析被广泛应用于函数的极限、连续性、收敛性以及变分法等问题的研究中。
本文将从泛函分析的基本概念和定理开始，逐步深入探讨其应用领域及重要性。
一、泛函分析的基本概念泛函分析主要研究函数的空间，它将函数看作是向量，通过构建合适的范数和内积，使这些函数构成一个完备的向量空间，称之为函数空间。
泛函分析中的基本概念包括：范数、内积、赋范空间、内积空间以及希尔伯特空间等。
1.1 范数在泛函分析中，范数是衡量向量长度的一种方式，它具有非负性、同一性以及三角不等式等性质。
泛函分析中经常用到的范数有：欧几里得范数、p-范数、无穷范数等。
1.2 内积内积是用于定义向量之间夹角和长度的一种数学工具，它具有对称性、线性性、正定性等性质。
泛函分析中的内积可以用于定义向量的正交性、投影性质以及构造正交基等。
1.3 赋范空间赋范空间是指在向量空间中引入一个范数后所得到的空间。
赋范空间具有向量空间的性质，并且可以通过范数来度量向量之间的距离。
1.4 内积空间内积空间是指在向量空间中引入一个内积后所得到的空间。
内积空间具有赋范空间的性质，并且可以通过内积来度量向量之间的夹角。
1.5 希尔伯特空间希尔伯特空间是一种特殊的内积空间，它是完备的。
在希尔伯特空间中，可以定义距离、收敛性以及正交性等概念。
二、泛函分析的定理及应用泛函分析通过引入范数和内积等工具，对函数空间中的函数进行研究，为解决各种数学问题提供了有效的方法和定理。
以下将介绍几个泛函分析中的重要定理及其应用。
2.1 巴拿赫空间及其应用巴拿赫空间是泛函分析中普遍使用的一种函数空间。
在巴拿赫空间中，可以定义极限、连续性以及收敛性等概念，并且具有良好的完备性和紧性等性质。
巴拿赫空间的重要应用之一是在函数逼近问题中，通过在巴拿赫空间中构造逼近序列，可以获得函数逼近的最优结果。
[数学]泛函分析
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1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A⊆X，A是X的闭子集．若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列．因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x．而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中．因此，{x n}是子空间A中收敛列．所以，子空间(A, ρ)是完备的．(2) 设(X, ρ)是度量空间，B⊆X，B是X的完备子空间．若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X．则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列．由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列．若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y．由极限的唯一性，x∈y．故x∈B．所以B是X中的闭子集．1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．证明：设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y) (∀x, y∈X )的压缩映射．若{x n}是X中收敛于x的点列，则ρ(x n, x)→ 0．而ρ(Tx n, Tx) ≤α·ρ(x n, x)，故有ρ(Tx n, Tx) → 0．因此T连续．1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n∈N+)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立．证明：(1) 设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y) (∀x, y∈X )的压缩映射．∀n∈N+，若S = T n是压缩映射，则∀x, y∈X，有ρ(T n+1x, T n+1y) = ρ(T n(Tx), T n(Ty)) = ρ(S(Tx), S(Ty)) ≤ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y)．所以T n+1也是压缩映射．由数学归纳法原理，T n (n∈N+)都是压缩映射．(2) 逆命题不成立的例子：考虑T : [0, 2]→ [0, 2]，其中T定义如下：当x∈[0, 1]时，T(x) = 0；当x∈(1, 2]时，T(x) = x - 1．显然T不是压缩映射．但∀x∈[0, 2]，T(T(x)) = 0．因此，T2是压缩映射．1.1.6 设M是(P n, ρ)中的有界闭集，映射T : M→M满足：ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y)(∀x, y∈M，x ≠y)．求证T在M中存在唯一的不动点．证明：(反证法) 假若T在M中没有不动点．显然，T在M上是连续的，故函数ρ(x, Tx)在M上连续且恒大于0．因M是(P n, ρ)中的有界闭集，故ρ(x, Tx)在M中某点x0处达到下确界．0 < ρ(x0 , Tx0 ) ≤ρ(Tx0 , T2x0 ) < ρ(x0 , Tx0)，矛盾．所以，T在M中存在不动点．根据1.1.3，该不动点是唯一的．1.1.7 对于积分方程x(t) -λ⎰[0, 1]e t–s x(s) ds = y(t)，其中y(t)∈C[0, 1]为一给定函数，λ为常数．| λ| < 1，求证存在唯一解x(t)∈C[0, 1]．证明：首先积分方程等价于e–t x(t) -λ⎰[0, 1]e–s x(s) ds = e–t y(t)，令z(t) = e–t x(t)，w(t) = e–t w(t)，则方程变为z(t) -λ⎰[0, 1]z(s) ds = w(t)．因此只要证明上面的方程有唯一解z(t)∈C[0, 1]．设T : C[0, 1] →C[0, 1]，(Tz)(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．则∀z1, z2∈C[0, 1]，| (Tz1)(t) - (Tz2)(t) | = | λ| · | ⎰[0, 1] (z1(s) -z2(s)) ds |≤ | λ| ·⎰[0, 1] | z1(s) -z2(s) | ds ≤ | λ| · max t∈[0, 1] | z1(t) -z2(t) |；故ρ(Tz1, Tz2) ≤ | λ| ·ρ(z1, z2)．因此，T是C[0, 1]上的压缩映射．故T在C[0, 1]上有唯一不动点．即存在唯一的z(t)∈C[0, 1]，使得z(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列．证明：必要性是显然的，只证明充分性．设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．对此ε，存在K∈N+，使得∀k≥K都有ρ(x n(k), x) < ε /2．令L = max{K, N}，则ρ(x n(L), x) < ε /2，且n(L) ≥L ≥N．当n≥N时，ρ(x n, x n(L)) < ε /2．故ρ(x n, x) ≤ρ(x n, x n(L)) + ρ(x n(L), x) < ε /2 + ε /2 = ε．所以，x n→x ( n→∞)．因此{x n}是X中的收敛列．1.2.3 设F是只有有限项不为0的实数列全体，在F上引进距离ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，其中x = {ξk }∈F，y = {ηk }∈F．求证(F,ρ)不完备，并指出它的完备化空间．证明：(1) 首先，容易验证(F,ρ)是度量空间．∀n∈N+，令x n = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 0, 0, ...}，则x n∈F．当m > n时，ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)|= max{1/(n + 1), 1/(n + 2), ..., 1/m}= 1/(n + 1) → 0 ( n→∞)．故{x n}为F中的Cauchy列．下面证明{x n}不是F中的收敛列．若不然，设x n →x∈F．记x = ( ξ1, ξ2, ..., ξN, 0, 0, ... )．当n > N时，总有ρ(x n, x) ≥ | 1/(N + 1) – 0 | = 1/(N + 1)，故ρ(x n, x)不收敛于0，这与前面的假设x n →x相矛盾．因此，{x n}不是F中的收敛列．这就说明了(F,ρ)不是完备的．(2) 从前述的{x n}的构造可以看出，我们可以任意选定一个收敛于0的实数列{u k}，令y n = {u1, u2, ..., u n, 0, 0, ...}，则{y n}必为F中的Cauchy列．我们设c0是收敛于0的实数列全体，在c0上引进距离ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk |，其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )∈c0，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )∈c0．首先我们证明(c0,ρ)是度量空间．事实上，我们只需要证明三角不等式．设x = (ξk), y = (ηk ), y = (ζk )∈c0，则ρ(x, y) = sup k ≥ 1 | ξk -ηk | ≤ sup k ≥ 1 (| ξk -ζk | + | ζk -ηk | )≤ sup k ≥ 1 | ξk -ζk | + sup k ≥ 1 | ζk -ηk | = ρ(x, z) + ρ(z, y)．所以，(c0,ρ)是度量空间．显然，(F,ρ)是(c0,ρ)的一个子空间．现在我们证明(c0,ρ)是完备度量空间．设{x n}是(c0,ρ)中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )．∀k∈N+，因为ρ(x n, x m) = sup k ≥ 1 | ξk(n)-ξk(m)| ≥ | ξk(n)-ξk(m)|，故{ξk(n)}n是P中的Cauchy列，故为收敛列．设ξk(n) →ξk ( n→∞)．并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )．下面证明x∈c0．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(x n, x m) < ε/2．特别地，ρ(x n, x N) < ε/2．因此，∀k∈N+，有| ξk(n)-ξk(N)| < ε/2．令n→∞，得| ξk -ξk(N)| ≤ε/2．而x N = (ξ1(N), ξ2(N), ..., ξk(N), ... )是一个收敛于0的数列．故存在K∈N+，使得∀k≥K，| ξk(N)| < ε/2．因此，| ξk | ≤ | ξk -ξk(N)| + | ξk(N)| < ε/2 + ε/2 = ε．即x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )为一个收敛于0的数列，因此，x∈c0．下面证明{x n}是c0中收敛于x的点列．∀ε > 0，存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(x n, x m) < ε．因此∀k∈N+，有| ξk(n)-ξk(m)| < ε．令m→∞，得| ξk(n)-ξk | ≤ε．所以，ρ(x n, x) ≤ε．这样就证明{x n}收敛于x．综上所述，我们可以把(F,ρ)嵌入到完备度量空间(c0,ρ)中．最后，我们只要再证明F是c0的稠密子集即可．事实上，对照(2)的开始部分，对于任意x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )∈c0，令y n = {ξ1, ξ2, ..., ξn, 0, 0, ...}，则{y n}是F中的点列，而且是c0中的Cauchy列．根据c0的完备性的证明，我们知道，{y n}必然收敛于x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )．所以F在(c0,ρ)中稠密．根据教材p11命题1.2.5，(c0,ρ)是(F,ρ)的完备化．1.2.4 求证：[0, 1]上的多项式全体按照距离ρ1( p, q ) = ⎰[0, 1] | p(x) -q(x) | dx ( p, q是多项式)是不完备的，并指出它的完备化空间．证明：记[0, 1]上的多项式全体为P，连续函数全体为C，Lebesgue可积函数全体为L1，则有P⊆C⊆L1．记C上的度量为ρ( f, g ) = max x∈[0, 1] | f(x) -g(x) |．(1) 令f n(x) = arctan( x- 1/2 )，h(x) = (π/2) sign( x- 1/2 )，x∈[0, 1]．则f n∈C，且{ f n}在(L1, ρ1)中收敛于h，因此{ f n}是(L1, ρ1)中的基本列．根据数学分析中的Weierstrass定理，P在(C, ρ)中稠密．故∀n∈N+，存在p n∈P，使得ρ( p n, f n) < 1/n．因此ρ1( p n, f n) = ⎰[0, 1] | p n(x) -f n(x) | dx ≤ρ( p n, f n) < 1/n．所以，ρ1( p n, h) ≤ρ1( p n, f n) + ρ1( f n, h) → 0 ( n→∞)．这说明{ p n}是(L1, ρ1)中的收敛列，从而{ p n}是(L1, ρ1)中的基本列．因此{ p n}也是(P, ρ1)中的基本列．假如{ p n}在(P, ρ1)中收敛于g∈P，则{ p n}在(L1, ρ1)中也收敛于g∈P．故g和h是(L1, ρ1)中的同一点(几乎处处相等)．显然，h不能与连续函数几乎处处相等，故h∉C，因此h∉P．从而g∉P．矛盾．这样我们就找到了(P, ρ1)中的基本列，而它不是(P, ρ1)中的收敛列．所以(P, ρ1)不完备．(2) 根据实分析中的结论，C在(L1, ρ1)中稠密．设ϕ∈L1．则∀ε > 0，存在f∈C，使得ρ1( f, ϕ) < ε/2．而P在(C, ρ)中稠密，故存在p∈P，使得ρ( p, f ) < ε/2．ρ1( p, f) = ⎰[0, 1] | p(x) -f(x) | dx ≤ρ( p, f ) < ε/2．所以，ρ1( p, ϕ) ≤ρ1( p, f ) +ρ1( f, ϕ) < ε．因此P在(L1, ρ1)中稠密．根据教材p11命题1.2.5以及(L1, ρ1)的完备性得知(L1, ρ1)是(P, ρ1)的完备化．1.2.5 在完备度量空间(X, ρ)中给定点列{x n}，如果∀ε > 0，存在基本列{y n}，使得ρ( x n, y n) < ε (n∈N+)．求证{x n}收敛．证明：只要证明{x n}也是基本列即可．事实上，∀ε > 0，存在基本列{y n}，使得ρ( x n, y n) < ε/3 (n∈N+)．存在N∈N+，使得∀m, n≥N，有ρ(y n, y m) < ε/3．此时，ρ( x n, x m) ≤ρ(x n, y n) + ρ(y n, y m) + ρ(y m, x m) < ε．故{x n}是基本列，所以{x n}收敛．1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界．证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→P是连续函数．(1) 若f无上界，则∀n∈N+，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n．因D是紧集，故D是自列紧的．所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)．由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)．但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)，所以f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾．故f有上界．同理，故f有下界．(2) 设M = sup x∈D f(x)，则∀n∈N+，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n．{y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)．因此f ( y0 ) ≥M．而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M．所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界．同理，f能达到它的下确界．1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E= {e k }k≥e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一1，其中个集合可以是有界的但不完全有界的．证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集．则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }．令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1．则∀x∈A，存在某个j使得 0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1．因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R．所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集．(2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ∀k ≠ j )，故E中任意点列都不是Cauchy列．所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)．因此，E不是列紧集．由l 2是完备的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集．但E显然是有界集．1.3.4 设(X, ρ)是度量空间，F1, F2是它的两个紧子集，求证：∃x i ∈F i( i = 1, 2)，使得ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．其中ρ(F1, F2) = inf {ρ(x, y) | x∈F1, y∈F2 }证明：由ρ(F1, F2)的定义，∀n∈N+，∃x i(n)∈F i( i = 1, 2)，使得ρ(x1(n), x2(n)) < ρ(F1, F2) + 1/n．因F1, F2紧，故不妨假设{x1(n)}, {x2(n)}都是收敛列．设它们的极限分别为x1, x2，则ρ(x1, x2) ≤ρ(F1, F2)．因此ρ(F1, F2) = ρ(x1, x2)．1.3.5 设M是C[a, b]中的有界集，求证集合{F(x) =⎰[a, x]f(t) dt | f∈M }是列紧集．证明：设A = {F(x) =⎰[a, x]f(t) dt | f∈M }．由M有界，故存在K > 0，使得∀f∈M，ρ( f, 0) ≤K．先证明A是一致有界的和等度连续的．∀F∈A，存在f∈M，使得F(x) =⎰[a, x]f(t) dt．由于ρ(F, 0) = max x∈[a, b] | F(x) | = max x∈[a, b] | ⎰[a, x]f(t) dt |≤ max x∈[a, b] | f(t) | · (b -a ) = ρ( f, 0) · (b -a ) ≤K (b -a )．故A是一致有界的．∀ε > 0，∀s, t∈[a, b]，当| s-t| < ε/K时，∀F∈A，存在f∈M，使得F(x) =⎰[a, x]f(u) du．| F(s) -F(t) | = | ⎰[s, t]f(u) du | ≤ max u∈[a, b] | f(u) | · | s -t |= ρ( f, 0) · | s -t | ≤K· (ε/K) = ε．故A是等度连续的．由Arzela-Ascoli定理，A是列紧集．1.3.6 设E = {sin nt}n≥ 1，求证：E在C[0, π]中不是列紧的．证明：显然E是一致有界的．根据Arzela-Ascoli定理，我们只要证明E不是等度连续的即可．我们的想法是找一个E中的点列f n，以及[0, π]中的两个点列s n和t n，使得| s n -t n | → 0，但| f n(s n)-f n(t n)|不收敛于0．事实上，这是可以做到的，只要令f n (u) = sin (2n u)，s n = (π/2)(1 + 1/(2n))，t n = (π/2)(1 - 1/(2n))．则s n + t n = π；s n -t n = π/(2n)→ 0 (n→∞)．因此，| f n(s n)-f n(t n)| = 2 | sin (2n s n) - sin (2n t n) |= 2 | sin (n (s n -t n)) cos (n (s n + t n)) |= 2 | sin (π/2) cos (n π) | = 2．所以，E不是等度连续的．进而，E在C[0, π]中不是列紧的．.3.7 求证S空间的子集A是列紧的充要条件是：∀n∈N+，∃C n> 0，使得∀x = (ξ1, ξ2, ..., ξn, ...)∈A，都有| ξn | ≤C n ( n = 1, 2, ...)．证明：(⇐) 设x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )是A中的点列．存在{x k}的子列{x1, k}使得其第1个坐标ξ1(1, k)收敛；存在{x1, k}的子列{x2, k}使得其第2个坐标ξ2(2, k)收敛；如此下去，得到一个{x k}的子列的序列，第( j +1)个子列是第j个子列的子列，且第j个子列的第j个坐标是收敛的．选取对角线构成的点列{x j, j}，则{x j, j}是{x k}的子列，且每个坐标都收敛．根据习题1.2.1的证明可知，S空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛．故{x j, j}是收敛点列．所以，A是列紧的．(⇒) 我们只要证明，∀n∈N+，A中的点的第n个坐标所构成的集合是有界集．若不然，设A中的点的第N个坐标所构成的集合是无界的．则存在A中的点列x k = (ξ1(k), ξ2(k), ..., ξn(k), ...) ( k = 1, 2, ... )，使得| ξN(k) | > k．显然，{ ξN(k) }无收敛子列，故{ x k }也无收敛子列，这与A列紧相矛盾．这样就完成了必要性的证明．1.3.8 设(X, ρ)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X →M满足ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 ) (∀x1, x2∈M, x1≠x2)．求证：f在X中存在唯一的不动点．证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可．设{ x n }是cl(M)中的点列，则存在M中的点列{ y n }使得ρ( x n, y n) < 1/n．因M列紧，故{ y n }有收敛子列{ y n(k)}，设y n(k) →u∈cl(M)．显然{ x n(k)}也是收敛的，并且也收敛于u∈cl(M)．所以cl(M)是自列紧的，因而是紧集．(2) 令g(x) = ρ( x, f (x))，则g是X上的连续函数．事实上，由ρ( f (x1), f (x2)) < ρ( x1, x2 )可知f : X →M是连续的，因而g也连续．由习题1.3.2知存在x0∈cl(M)，使得g(x0) = inf {ρ( x, f (x)) | x∈cl(M) }．(3) 若g(x0) > 0，则ρ( x0, f (x0)) > 0，即x0≠f (x0)．故ρ( x0, f (x0)) = g(x0) ≤g( f (x0)) = ρ( f (x0), f ( f (x0))) < ρ( x0, f (x0))，矛盾．所以，必有g(x0) = 0，即ρ( x0, f (x0)) = 0，因此x0就是f的不动点．1.3.9 设(M, ρ)是一个紧距离空间，又E⊆C(M)，E中的函数一致有界并且满足下列的Hölder 条件：| x(t1) -x(t2) | ≤Cρ(t1, t2)α(∀x∈E，∀t1, t2∈M )，其中0 < α≤ 1，C > 0．求证：E在C(M)中是列紧集．证明：由Hölder条件易知E是等度连续的．又E中的函数一致有界，由Arzela-Ascoli定理知E是C(M)中的列紧集．1.4.2 设c[0, 1]表示(0, 1]上连续且有界的函数x(t)全体．∀x∈c[0, 1]，令|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．求证：(1) || ·||是c[0, 1]空间上的范数．(2) l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，我们只证明三角不等式．|| x || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1}．|| x || + || y || = sup{| x(t) | | 0 < t≤ 1} + sup{| y(t) | | 0 < t≤ 1}≥ sup{| x(t) + y(t) | 0 < t≤ 1} = || x + y ||．所以|| ·||是c[0, 1]空间上的范数．(2) 任意取定(0, 1]中的一个单调递减列{a k }，满足(i) a1 = 1；(ii) lim k→∞a k = 0．显然，在每个[a k + 1, a k]上为线性函数的f∈c[0, 1]是存在的．设X = { f∈c[0, 1] | f在每个[a k + 1, a k]上为线性函数 }．容易验证X是c[0, 1]的子空间．定义ϕ : X →l∞，f #ϕ ( f ) = ( f (a1), f (a2), ...)．则ϕ : X →l∞是线性双射，且|| ϕ ( f ) ||∞= sup k ≥ 1 | f (a k) | = sup0 < t≤ 1 { | f (t ) | } = || f ||．所以，ϕ : X →l∞是等距同构．因此，l∞与c[0, 1]的一个子空间是等距同构的．1.4.3 在C1[a, b]中，令|| f ||1 = (⎰[a, b] ( | f(x) |2 + | f’(x) |2) dx )1/2 (∀f∈C1[a,b])．(1) 求证：|| · ||1是C1[a, b]上的范数．(2) 问(C1[a, b], || · ||1)是否完备？证明：(1) 正定性和齐次性都是明显的，和前面的习题一样，只验证三角不等式．我们先来证明一个比较一般的结果：若线性空间X上的非负实值函数p, q都满足三角不等式：p(x) + p(y) ≥p(x +y)，q(x) + q(y) ≥q(x +y)，∀x, y∈X；则函数h = ( p2 + q2 )1/2也满足三角不等式．事实上，∀x, y∈X，由Minkowski不等式，我们有h(x) + h(y) = ( p(x)2 + q(x)2 )1/2 + ( p(y)2 + q(y)2 )1/2≥ (( p(x)+ p(y))2 + ( q(x) + q(y))2 )1/2 ≥ ( p(x + y)2 + q(x + y)2 )1/2 = h(x + y)．回到本题：若令p( f ) = (⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2，q( f ) = (⎰[a, b] | f’(x) |2dx )1/2，则( p( f ) + p( g ))2 = ((⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2 + (⎰[a, b] | g(x) |2dx )1/2)2= ⎰[a, b] | f(x) |2dx + 2(⎰[a, b] | f(x) |2dx )1/2 · (⎰[a, b] | g(x)|2dx )1/2 + ⎰[a, b] | g(x) |2 dx≥⎰[a, b] | f(x)|2dx + 2 ⎰[a, b] | f(x) | · | g(x)| dx + ⎰[a, b] | g(x)|2dx= ⎰[a, b] ( | f(x) | + | g(x)| )2dx ≥⎰[a, b] ( | f(x) + g(x)| )2dx = ( p( f + g ))2．所以有p( f ) + p( g ) ≥p( f + g )．特别地，p( f’) + p( g’) ≥p( f’+ g’)，即q( f ) + q( g ) ≥q( f + g )．因此，线性空间C1[a, b]上的非负实值函数p, q都满足三角不等式．根据开始证明的结论，|| · ||1也满足三角不等式．所以，|| · ||1是C1[a, b]上的范数．(2) 在C1[- 1, 1]中，令f n(x) = (x2 + 1/n2 )1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．则f’n(x) = 2x (x2 + 1/n2 )-1/2 ( ∀x∈[- 1, 1] )．显然，f n(x)几乎处处收敛于| x |，f’n(x)几乎处处收敛于2sign( x )．因此，f n(x)依测度收敛于| x |，f’n(x)依测度收敛于2sign( x )．故在L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |，f’n(x) → 2sign( x )．因此，它们都是L2[- 1, 1]中的基本列，故⎰[- 1, 1] | f n(x) -f m(x) |2 dx → 0 (m, n→∞)；⎰[- 1, 1] | f’n(x) -f m’(x) |2 dx → 0 (m, n→∞)．故|| f n-f m ||1 = (⎰[- 1, 1] ( | f n(x) -f m(x) |2 + | f’n(x) -f m’(x) |2 ) dx )1/2→ 0 (m, n→∞)．即{ f n }是C1[- 1, 1]中的基本列．下面我们证明{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．若不然，设{ f n }在C1[- 1, 1]中的收敛于f∈C1[- 1, 1]．因|| f n-f ||1 = (⎰[- 1, 1] ( | f n(x) -f(x) |2 + | f’n(x) -f’(x) |2 ) dx )1/2≥ (⎰[- 1, 1] | f n(x) -f(x) |2dx )1/2，故在L2[- 1, 1]中，f n(x) →f．而在前面已说明L2[- 1, 1]中，f n(x) → | x |；由L2[- 1, 1]中极限的唯一性以及f的连续性，知f(x) = | x |．这样就得到f∉C1[- 1, 1]，矛盾．所以，{ f n }不是C1[- 1, 1]中的收敛列．这说明C1[- 1, 1]不是完备的．对一般的C1[a, b]，只要令f n(x) = (x - (a + b )/2)2 + 1/n2 )1/2 ( ∀x∈[a, b] )就可以做同样的讨论，就可以证明C1[a, b]不是完备空间．1.4.4 在C[0, 1]中，对每个f∈C[0, 1]，令|| f ||1 = (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2，|| f ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2．求证：|| · ||1和|| · ||2是C[0, 1]中的两个等价范数．证明：(1) 在习题1.4.3的证明中已经包含了|| · ||1是C[0, 1]中的范数的证明．下面我们证明|| · ||2是C[0, 1]中的范数，我们仍然只要验证三角不等式．|| f ||2 + || g ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 + (⎰[0, 1] ( 1 + x) | g(x) |2dx )1/2 = || (1 + x)1/2f(x) ||1 + || (1 + x)1/2g(x) ||1≥ || (1 + x)1/2f(x) + (1 + x)1/2g(x) ||1= || (1 + x)1/2 ( f(x) + g(x) ) ||1≥ (⎰[0, 1] (1 + x) | f(x) + g(x) |2dx )1/2 = || f + g ||2．所以，|| · ||2也是C[0, 1]中的范数．(2) 我们来证明两个范数的等价性．∀f∈C[0, 1]|| f ||1 = (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 ≤ (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 = || f ||2，|| f ||2 = (⎰[0, 1] ( 1 + x) | f(x) |2dx )1/2 ≤ 2 (⎰[0, 1] | f(x) |2dx )1/2 = 2 || f ||1．因此两个范数等价．1.4.10 求证范数的严格凸性等价于下列条件：|| x + y || = || x || + || y || ( ∀x≠θ, y≠θ) ⇒x = c y ( c > 0)．证明：(⇒) 设范数是严格凸的，若x, y ≠θ满足|| x + y || = || x || + || y ||，事实上，我们总有|| (x/|| x ||) || = || (y/|| y ||) || = 1．因x, y ≠θ，故|| x || + || y || > 0，所以|| x + y || ≠ 0．于是|| x ||/|| x + y || + || y ||/|| x + y || = 1．假若x/|| x || ≠y/|| y ||，由严格凸性，得到|| (|| x ||/|| x + y ||)(x/|| x ||) + (|| y ||/|| x + y ||)(y/|| y ||) || < 1，即|| (( x + y )/|| x + y ||) || < 1，矛盾．因此必然有x/|| x || = y/|| y ||，即x = (|| x ||/|| y ||) y．(⇐) 设∀x, y ≠θ，|| x + y || = || x || + || y ||蕴涵x = c y ( c > 0)．下面证明范数是严格凸的．设x≠y，且|| x || = || y || = 1，又设α, β∈(0, 1)，且α + β= 1．我们知道|| α x + β y || ≤ || α x || + || β y || = α || x || + β|| y || = α + β= 1．假若|| α x + β y || = 1，根据我们的条件，就得到α x = c (β y)，其中c > 0．那么，就有|| α x || = || c (β y) ||，而|| x || = || y || = 1，所以α= c β；故x = y，这就与x≠y相矛盾．所以必然有|| α x + β y || < 1，即范数是严格凸的．1.4.11 设X是线性赋范空间，函数ϕ : X →P1称为凸的，如果不等式ϕ( λ x + (1 -λ) y ) ≤λϕ( x ) + (1 -λ)ϕ( y ) ( ∀ 0 ≤λ≤ 1) 成立．求证凸函数的局部极小值必然是全空间的最小值．证明：设x0是凸函数ϕ的一个局部极小点．如果存在x∈X，使得ϕ( x ) < ϕ( x0)，则∀ t ∈(0, 1)，ϕ( t x + (1 -t ) x0) ≤t ϕ( x ) + (1 -t )ϕ( x0) < t ϕ( x0) + (1 -t )ϕ( x0) = ϕ( x0)．而对x0的任意邻域U，都存在t ∈(0, 1)，使得t x + (1 -t ) x0∈U．这就与x0是局部极小点相矛盾．因此∀x∈X，都有ϕ( x0) ≤ϕ( x )，即x0是ϕ的最小点．1.4.12 设(X, || · ||)是一线性赋范空间，M是X的有限维子空间，{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，给定g∈X，引进函数F : K n →K1．对∀c = (c1, c2, ..., c n)∈K n，规定F(c) = F(c1, c2, ..., c n) = || ∑1 ≤i≤n c i e i-g ||．(1) 求证F是一个凸函数；(2) 若F的最小值点是c = (c1, c2, ..., c n)，求证f = ∑1 ≤i≤n c i e i给出g在M中的最佳逼近元．证明：(1) 设c = (c1, c2, ..., c n), d = (d1, d2, ..., d n)∈K n, λ∈[0, 1]，则F(λ c + ( 1 -λ) d ) = || ∑1 ≤i≤n ( λ c i + ( 1 -λ) d i ) e i-g ||= || λ∑1 ≤i≤n c i e i + ( 1 -λ) ∑1 ≤i≤n d i e i- (λ g+ ( 1 -λ)g )||= || λ(∑1 ≤i≤n c i e i -g) + ( 1 -λ) ( ∑1 ≤i≤n d i e i-g )||≤λ|| ∑1 ≤i≤n c i e i -g || + ( 1 -λ) || ∑1 ≤i≤n d i e i-g ||= λ F(c)+ ( 1 -λ)F(d)，故F是一个凸函数．(2) 因为{e1, e2, ..., e n}是M的一组基，故M中的每个元h都可表示为h = ∑1 ≤i≤n d i e i，其中d = (d1, d2, ..., d n)∈K n．因为F(c) ≤F(d)，故|| f-g || = F(c) ≤F(d) = || h-g ||．那么f就是g在M中的最佳逼近元．1.4.15 设X是B*空间，M是X的有限维真子空间，求证：∃y∈X，|| y|| = 1，使得|| y–x || ≥ 1 ( ∀x ∈M )．证明：取定z∈X \ M，令Y = span{z} + M．记S = { y∈Y | || y || = 1 }．则M是Y的真闭子空间，而S是Y中的单位球面．由Riesz引理，∀n∈N+，存在y n∈S，使得d( y n, M ) ≥ 1 - 1/n．因为Y也是有限维的，故其中的单位球面为自列紧集．存在{y n}的收敛子列．不妨设y n(k) →y∈S．则d( y n(k), M ) ≥ 1 - 1/n(k)，故有d( y, M ) ≥ 1．即|| y–x || ≥ 1 ( ∀x ∈M )．1.4.17 (商空间) 设X是线性赋范空间，X0是X的闭线性子空间，将X中的向量分类，凡是适合x’-x’’∈X0的两个向量x’, x’’归于同一类，称其为等价类，把一个等价类看成一个新的向量，这种向量的全体组成的集合为X/X0表示，并称其为商空间．下列是关于商空间的命题．(1) 设[ y ]∈X/X0，x∈X，求证：x∈[ y ]的充分必要条件是[ y ] = x + X0．证明：设x’, x’’∈X，若它们归于同一类，则记为x’～x’’．我们用[ x ]表示x所在的等价类（大家注意，题目形式已经作了相应的修改）．(⇒) 若x∈[ y ]，则x～y．∀u ∈[ y ]，u～y，故u～x，即u –x∈X0．因此u ∈x + X0．所以[ y ] ⊆x + X0．反过来，∀u ∈x + X0，则u～x，故u～y．因此u ∈[ y ]．所以x + X0 ⊆ [ y ]．所以[ y ] = x + X0．(⇐) 若[ y ] = x + X0，则y –x∈X0，即y～x．从而x∈[ y ]．(2) 在X/X0中定义加法与数乘如下：[ x ] + [ y ] = x + y + X0(∀[ x ], [ y ] ∈X/X0 )λ[ x ] = λ x + X0(∀[ x ]∈X/X0 , ∀λ∈K )其中x和y分别表示属于等价类[ x ]和[ y ]的任一元素．又规定范数|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z || ( ∀[ x ]∈X/X0 )求证：(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．证明：第(1)部分说明了[ x ] = x + X0．容易看出加法与乘法的定义是合理的．进一步可以证明X/X0 构成数域K上的线性空间，且其零元为[ θ] = X0．下面证明|| · ||0是X/X0 上的范数．显然，∀[ x ]∈X/X0，|| [ x ] ||0≥ 0．若[ x ] = [ θ] = X0，则|| [ x ] ||0 = 0．若|| [ x ] ||0 = 0，则inf z∈[ x ] || z || = 0．存在z n∈[ x ]使得|| z n || → 0，即z n→θ (n→∞)．那么，x-z n∈X0，x-z n→x (n→∞)，而X0是闭集，故x∈X0．所以x～θ，即[ x ] = X0．因此|| · ||0有正定性．∀[ x ]∈X/X0，∀λ∈K，|| λ[ x ]||0 = || [ λ x ] ||0 = inf y∈[ x ] || λ y || = inf y∈[ x ] | λ| · || y || = | λ| · inf y∈[ x ] || y || = | λ| · ||[ x ]||0．因此|| · ||0有齐次性．∀[ x ], [ y ]∈X/X0，|| [ x ] + [ y ] ||0 = inf z∈[ x ] + [ y ] || z || = inf u∈[ x ], v∈[ y ] || u + v ||≤ inf u∈[ x ], v∈[ y ] { || u || + || v || } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } ≤ inf u∈[ x ] { inf v∈[ y ] { || u || + || v ||} } = inf u∈[ x ] { || u || + inf v∈[ y ] || v || } = inf u∈[ x ] || u || + inf v∈[ y ] || v || = || [ x ] ||0 + || [ y ] ||0．因此|| · ||0的三角不等式成立．所以，(X/X0, || · ||0)是一个B*空间．(3) 设[ x ]∈X/X0, 求证对∀y∈[ x ]有inf { || y -z || | z∈X0 } = || [ x ] ||0．证明：|| [ x ] ||0 = inf u∈[ x ] || u || = inf u∈[ y ] || u || = inf { || u || | u∈y + X0 }= inf { || y + v || | v∈X0 } = inf { || y -z || | z∈X0 }．(4) 定义映射ϕ : X →X/X0为ϕ (x) = [ x ] = x + X0 (∀x∈X )．求证ϕ是线性连续映射．证明：∀x, y∈X，∀α, β∈K，ϕ( α x + β y ) = [α x + β y ] = [α x ] + [ β y ] = α [ x ] + β[ y ] = αϕ (x) + βϕ (y)．|| ϕ (x) -ϕ (y) ||0 = || [ x ] - [ y ] ||0 = || [ x-y ] ||0 = inf z∈[ x-y ] || z || ≤ || x-y ||．所以，ϕ是线性连续映射．(5) ∀[ x ]∈X/X0，求证∃y∈X，使得ϕ (y) = [ x ]，且|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．证明：因为|| [ x ] ||0 = inf z∈[ x ] || z ||，若|| [ x ] ||0 = 0，则由|| · ||0的正定性，知[ x ] = X0，取y = θ即满足要求．若|| [ x ] ||0≠ 0，则inf z∈[ x ] || z || = || [ x ] ||0 < 2 || [ x ] ||0，存在∃y∈[ x ]，使得|| y || ≤ 2|| [ x ] ||0．此时显然有ϕ (y) = [ x ] = [ y ]．(6) 设(X, || · ||)完备，求证(X/X0, || · ||0)也是完备的．证明：设{ [ x ]n }是X/X0中的基本列．为证明它是收敛列，只需证明它存在收敛子列．由基本列性质，可选出子列{ [ x ]n(k)}使得|| [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 ≤ 1/2k．故∑k ≥ 1 || [ x ]n(k) - [ x ]n(k+1) ||0 收敛．根据(5)，∀k∈N+，∃y k∈[ x ]n(k+1) - [ x ]n(k)，使得|| y k || ≤ 2|| [ x ]n(k+1) - [ x ]n(k) ||0．那么，∑k ≥ 1|| y k ||收敛．由X的完备性，s k = ∑ 1 ≤j ≤k y j是X中的收敛列．设其极限为s．由(5)中ϕ的连续性，在X/X0中，ϕ(s k) →ϕ(s) ( k→∞ )．而ϕ(s k) = ϕ( ∑ 1 ≤j ≤k y j ) = ∑ 1 ≤j ≤k ϕ( y j )= ∑ 1 ≤j ≤k ( [ x ]n(j+1) - [ x ]n(j)) = [ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)．故{[ x ]n(k+1) - [ x ]n(1)}收敛，因而{[ x ]n(k)}是收敛列．因此X/X0中的基本列{ [ x ]n }存在收敛子列{[ x ]n(k)}，所以，{ [ x ]n }是X/X0中的收敛列．因此，(X/X0, || · ||0)是完备的．(7) 设X = C[0, 1]，X0 = { f∈X | f (0) = 0 }，求证：X/X0 ≅K，其中记号“≅”表示等距同构．证明：显然，X0是C[0, 1]中的线性子空间．记X0所确定的等价关系为～，则f～g ⇔ f (0) = g (0)．定义Φ : X/X0 →K，Φ([ f ]) = f (0)．显然定义是合理的．∀f, g∈X，∀α, β∈K，Φ(α[ f ] + β[ g ]) = Φ([αf + β g ]) = (αf + β g )(0)= αf (0)+ β g (0) = αΦ([ f ])+ βΦ([ g ])．因此Φ是线性映射．因Φ(X0) = 0，故Φ是单射．而∀c∈K，若记所对应的常值函数为h c∈C[0, 1]，则Φ( [ h c] ) = c．故Φ是满射．综上所述，Φ : X/X0 →K是线性同构．∀f∈X，|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≥ inf g∈[ f ] { | g (0) | }= inf g∈[ f ] { | f (0) | } = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．另一方面，因为常值函数h f (0)∈[ f ]，故|| [ f ]||0 = inf g∈[ f ] { || g || } ≤ || h f (0) || = | f (0) | = | Φ([ f ]) |．所以，∀f∈X，都有|| [ f ]||0 = | Φ([ f ]) |，因此Φ : X/X0 →K是等距同构．1.5.1 设X是B*空间，E是以θ为内点的真凸子集，P是由E产生的Minkowski泛函，求证：(1) x∈int(E) ⇔P(x) < 1；(2) cl(int(E)) = cl(E)．证明：(1) (⇒) 若x∈int(E)，存在δ > 0，使得Bδ(x) ⊆E．注意到x + x/n→x ( n→∞ )，故存在N ∈N+，使得x + x/N ∈Bδ(x) ⊆E．即x/( N/( 1 + N ) ) ∈E．因此P(x) ≤N/( 1 + N ) < 1．(⇐) 若P(x) < 1．则存在a > 1，使得y = a x∈E．因θ∈int(E)，故存在δ > 0，使得Bδ(θ) ⊆E．令η = δ(a - 1)/a，∀z∈Bη(x)，令w = (a z-y )/(a - 1)，则|| w || = || (a z-y )/(a - 1) || = || a z-y ||/(a - 1)= || a z-a x ||/(a - 1) = a || z-x ||/(a - 1) < aη/(a - 1) = δ．故w∈Bδ(θ) ⊆E．故z = ((a - 1)w + y )/a ∈E，因此，Bη(x) ⊆E．所以x∈int(E)．(2) 因int(E) = E，故有cl(int(E)) ⊆ cl(E)．下面证明相反的包含关系．若x∈cl(E)，则∀ε > 0，存在y∈E，使得|| x -y || < ε/2．因ny/(n + 1) →y ( n →∞ )．故存在N ∈N+，使得|| Ny/(N + 1) -y || < ε/2．令z = Ny/(N + 1)，则z∈E，且P(z) ≤N/(N + 1) < 1，由(1)知z∈int(E)．而|| z -x || ≤ || z -y || + || y -x || < ε/2 + ε/2 = ε．故x∈cl(int(E))，因此cl(E) ⊆ cl(int(E))所以cl(int(E)) = cl(E)．1.5.2 求证在B空间中，列紧集的凸包是列紧集．证明：设A是B空间X中的列紧集，∀ε > 0，存在A的有限ε /3网B．设B = {b1, b2, ..., b n}，M = max j{ || b j || }，取δ > 0，使得n δ M < ε /3．设[0, 1]分划D为0 = t0 < t1 < t2 < ... < t m = 1，使得max 1 ≤j ≤m {| t j–t j–1|} < δ．设∀x∈co(A)，设x= λ1 a1 + λ2 a2+ ... + λ k a k，其中a j∈A，λ j > 0，∑ j λ j = 1．对每个j ≤k，存在b i( j )∈B使得|| a j-b i( j ) || < ε /3；令y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)，则|| x - y || = || λ1 (a1 -b i(1)) + λ2 (a2 -b i(2))+ ... + λ k (a k-b i(k))||，≤λ1· || a1 -b i(1) || + λ2 · || a2 -b i(2) || + ... + λ k· || a k-b i(k) ||≤ ( λ1 + λ2 + ... + λ k ) · (ε /2) = ε /3．将y= λ1 b i(1) + λ2 b i(2)+ ... + λ k b i(k)中的那些含有相同b j的项合并起来，于是，y可表示为y= μ1 b1 + μ2 b2+ ... + μ n b n，其中μj ≥ 0，且∑ j μj = 1．对每个l ≤n，存在t s( l )∈D，使得|| μl-t s( l ) || < δ；令z= t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n，则|| y - z || = || (μ1 -t s(1))b1 + (μ2 -t s(2))b2+ ... + (μn -t s(n))b n ||≤∑ l | μl-t s( l ) | · max j{ || b j || } ≤n δ M < ε /3；令C = {t s(1) b1 + t s(2) b2+ ... + t s(n) b n | t s(i)∈D，1 ≤i≤n}，则C是有限集，且C是co(A)的有限ε网．因空间是完备的，故co(A)是列紧集．1.5.3 设C是B*空间X中的一个紧凸集，映射T : C →C连续，求证T在C上有一个不动点．证明：因为C是紧集，所以C是闭集．因为C是紧集，故C的任意子集都列紧．而T(C) ⊆C，故T(C)列紧．于是，由Schauder不动点定理，T在C上有一个不动点．[Schauder定理：B*空间中闭凸集C上使T(C)列紧的连续自映射T必有不动点]1.5.4 设C是B空间X中的一个有界闭凸集，映射T i : C→X (i = 1, 2)适合(1) ∀x, y∈C ⇒T1x + T2y∈C；(2) T1是一个压缩映射，T2是一个紧映射．求证：T1 + T2在C上至少有一个不动点．证明：[邸双亮老师解] 设压缩映射T1的压缩系数为α∈(0, 1)．∀y∈C，映射K y : C→C，x#T1x + T2y是压缩映射，因此K y有唯一不动点u y∈C (即u y满足u y = T1 u y + T2 y)．故可定义映射U : C→C，y #u y；考察映射I–T1 : C→X，x#x -T1x，则∀x, y∈C，||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || = ||( x -y) – (T1 x -T1y) ||≥ || x -y || – || T1 x -T1y || ≥ || x -y || –α|| x -y || = (1 –α) || x -y ||；故I–T1为单射．因此存在逆映射( I–T1 )–1 : (I–T1)(C) →C．而不等式||( I–T1 ) x - ( I–T1 )y || ≥ (1 –α) || x -y ||表明，( I–T1 )–1还是连续的．因∀y∈C，U(y)= u y ∈C满足U(y) = T1(U(y)) + T2 y，即( I–T1 )U(y) = T2 y；故U(y) = ( I–T1 )–1 T2 y，即U = ( I–T1 )–1 ◦T2．因T2紧且( I–T1 )–1连续，故U = ( I–T1 )–1 ◦T2是紧映射．由Schauder不动点定理，U有不动点．即存在u∈C，使得( I–T1 )–1 T2 u = u；即T2 u = ( I–T1 )u；也就是T1u + T2u = u．1.6.4 设M, N是内积空间中的两个子集，求证：M⊆N ⇒N⊥⊆M⊥．证明：若x∈N⊥，则∀y∈N，(x, y) = 0．而M⊆N，故∀y∈M，也有(x, y) = 0．因此x∈M⊥．所以，N⊥⊆M⊥．1.6.13 设X是内积空间，∀x0 ∈X，∀r > 0，令C = { x ∈X | || x - x0 || ≤r }．(1) 求证：C是X中的闭凸集；(2) ∀x∈X，令y = x0 + r (x - x0)/|| x - x0 || (当x ∉C )；y = x (当x ∈C )．求证：y是x在C中的最佳逼近元．证明：(1) 因范数是连续函数，故C = { x ∈X | || x - x0 || ≤r }是闭集．∀x, y∈C，因|| x - x0 || ≤r，|| x - x0 || ≤r }，故∀λ∈[0, 1]，|| (λ x + (1-λ) y ) - x0 || = || λ( x-x0 ) + (1-λ) (y - x0)||≤ || λ( x-x0 ) + (1-λ) (y - x0)|| ≤λ|| x-x0 || + (1-λ) || y - x0 ||≤λ r + (1-λ) r = r．所以，C是X中的闭凸集．(2) 当x ∈C时，y = x．显然y是x在C中的最佳逼近元．当x ∈C时，y = x0 + r (x - x0)/|| x - x0 ||．∀z∈C，|| x-y || = || ( x-x0 -r (x - x0)/|| x - x0 ||) ||= || (1 -r/|| x - x0 ||) (x - x0) || = || x - x0 || -r．≤ || x - x0 || - || z - x0 || ≤ || x - z||．因此，y是x在C中的最佳逼近元．1.在P1中令ρ1(x, y) = (x -y)2，ρ2(x, y) = | x -y |1/2，，问ρ1, ρ2是否为P1上的距离？[解] 显然ρ1, ρ2满足距离空间定义中的非负性和对称性．但ρ1不满足三角不等式：取点x = -1, y= 0, z = 1，则ρ1(x, z) = 4 > 2 = ρ1(x, y) + ρ1(y, z)，所以ρ1不是P1上的距离。
研究生泛函分析总结
研究生泛函分析总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和函数空间的理论。
它的应用涉及到许多领域，如量子力学、信号处理、图像处理等。
在研究生阶段，我们对泛函分析进行了深入学习和研究，下面是我对泛函分析的总结：一、泛函的概念和基本理论：1.泛函的定义：泛函是定义在一个函数空间上的函数，它将函数映射到实数集上。
2.泛函的性质：线性、有界、正则。
3.泛函的例子：函数的积分、导数、极大极小值等都可以视作泛函。
4.函数空间的定义：函数空间是一组满足一定性质的函数的集合。
5.多个函数空间的关系：包含关系、并集、交集等。
二、线性算子和函数空间：1.线性算子的定义：线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的线性变换。
2.线性算子的性质：线性、有界、正则。
3.压缩映射定理：压缩映射在完备度量空间上具有不动点，且不动点唯一4.单正则线性算子：定义、性质、例子。
三、Hilbert空间：1. Hilbert空间的定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间。
2.内积的定义和性质：正定性、对称性、线性性等。
3. Hilbert空间的例子：L2空间、离散函数空间等。
4.切比雪夫不等式：内积的有界性和L2空间中的函数收敛性。
5. 基映射和完备性：基映射是将元素展开为基函数的系数，Hilbert 空间的完备性意味着可以用无限维的元素表示。
四、广义函数和分布理论：1.广义函数的定义：广义函数是泛函的推广，它是一种对一般函数进行推广的概念。
2.分布的性质：线性、有界、正则。
3. 分布的例子：Dirac函数、Heaviside函数等。
4.分布的导数和积分：广义函数的导数和积分的定义和性质。
五、Sobolev空间：1. Sobolev空间的定义：Sobolev空间是一组定义在Lp空间中，具有弱导数的函数的集合。
2. Sobolev空间的性质：线性、有界、正则。
3. Sobolev空间的例子：H1空间、H2空间等。
数学的泛函分析应用
数学的泛函分析应用泛函分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数空间中的函数与线性算子的性质。
泛函分析的应用非常广泛，涵盖了许多不同领域的问题。
本文将就数学的泛函分析应用进行论述，希望能够给读者一个全面的了解。
一、泛函分析在物理学中的应用泛函分析在物理学中起着重要的作用。
例如，波动方程、热传导方程等偏微分方程的解可以通过泛函分析的方法来得到。
如果我们考虑一个无限维的函数空间，其中的函数满足一定的约束条件，我们可以将波动方程、热传导方程等转化为在这个函数空间中的极值问题。
通过适当的变分方法，我们可以得到偏微分方程的解，从而解决物理学中的各种实际问题。
二、泛函分析在工程学中的应用泛函分析在工程学中也有广泛的应用。
例如，在控制论中，我们经常需要设计一种控制系统，使得系统的输出能够满足一定的要求。
通过将控制系统建模为一个函数空间中的算子，我们可以利用泛函分析的方法来设计出满足控制要求的合适控制器。
此外，在信号处理、图像处理等领域，泛函分析也被广泛应用于算法的设计和性能的分析。
三、泛函分析在经济学中的应用在经济学中，泛函分析也有重要的应用。
例如，在优化理论中，我们经常需要求解一个最优化问题。
通过利用泛函分析的方法，我们可以将最优化问题转化为一个函数空间中的优化问题，从而采用泛函分析的技术来求解。
此外，在经济学中的均衡理论、边际分析等方面，泛函分析也发挥着重要的作用。
四、泛函分析在计算机科学中的应用在计算机科学中，泛函分析也有广泛的应用。
例如，在机器学习、模式识别等领域，泛函分析可以用于设计优化算法、分析算法的收敛性和稳定性。
此外，在计算机图形学、计算机视觉等方面，泛函分析也被广泛应用于模型的建立和算法的设计。
综上所述，泛函分析作为数学的一个重要分支，在各个领域中都发挥着重要的作用。
无论是物理学、工程学、经济学还是计算机科学，泛函分析都有着广泛的应用。
随着科学技术的不断发展和进步，泛函分析在更多领域中的应用也将不断扩展和深化。
泛函分析知识点范文
泛函分析知识点范文泛函分析是数学中的一门学科，研究向量空间上的函数和函数空间的性质，涉及到实数或复数域上的向量空间。
泛函分析包括线性代数、实变函数分析和拓扑学等多个学科的内容，因此具有广泛的应用领域，如物理、工程、经济等。
泛函分析的核心内容包括线性空间、拓扑空间和连续映射等概念、线性算子和泛函的基本性质以及泛函分析中的基本定理等。
1.线性空间：泛函分析的基础是线性空间，也就是向量空间。
线性空间满足线性组合和分配律等性质，例如实数域或复数域上的向量空间。
线性空间中的向量可以是函数、矩阵等不同的对象。
2.拓扑空间：泛函分析中的向量空间往往是赋予了拓扑结构的空间，即拓扑向量空间。
拓扑空间是一种具有连续性质的空间，它引入了开集、闭集和收敛性等概念。
拓扑空间的拓扑结构可以通过开集、闭集、邻域、基等方式来定义。
3.连续映射：泛函分析中的重要概念是映射的连续性。
连续映射是保持拓扑结构的映射，即对于拓扑空间中的开集，其原像仍然是开集。
连续映射可以用来描述泛函和线性算子的性质。
4.线性算子和泛函：线性算子是线性空间之间的映射，它可以是有界算子或无界算子。
线性算子的基本性质包括线性性、有界性、闭图像性等。
泛函是线性空间到数域的映射，它可以看作是线性算子的特殊情况。
泛函的基本性质包括线性性、有界性、连续性等。
5. Hahn-Banach定理：Hahn-Banach定理是泛函分析中的基本定理，它是关于泛函延拓的定理。
该定理说明了任意线性子空间上的有界泛函可以延拓到整个空间上，并且保持原有泛函的范数不变。
6.可分性：可分性是拓扑空间的一个重要性质，它指的是拓扑空间中存在可数稠密子集。
可分性保证了拓扑空间中存在足够多的元素，使得在拓扑空间上可以进行良定义的运算。
7.反射空间：反射空间是泛函分析中的一类特殊线性空间，它是线性空间和拓扑空间的交叉概念。
反射空间具有良好的性质，例如有界闭集外包性、扩张定理等。
8.紧算子和迹类算子：紧算子是对有界算子的一种推广，它在泛函分析中具有重要的地位。
数学中的泛函分析与变分法
数学中的泛函分析与变分法泛函分析和变分法是数学中重要的分支领域，它们在多个学科领域中有广泛的应用，尤其在物理学、工程学和经济学中。
本文将介绍泛函分析和变分法的基本概念、主要应用以及其在数学研究中的重要性。
一、泛函分析的基本概念泛函分析是研究函数空间及其上的泛函的数学分支。
在泛函分析中，函数被视为向量，函数空间被视为向量空间。
泛函是将函数映射到实数域的运算。
泛函分析的基本概念包括：1. 函数空间：函数空间是一组函数的集合，常用的函数空间有无限可微函数空间、连续函数空间和Lebesgue可积函数空间等。
2. 泛函：泛函是将函数映射到实数的映射，常见的泛函有函数的积分、导数和极限等。
3. 内积空间：内积空间是指具有内积运算的向量空间，它能够定义向量之间的夹角和长度。
4. 范数：范数是向量空间上的度量，它能够衡量向量的大小。
二、泛函分析的主要应用泛函分析在许多学科领域中有广泛的应用，以下是其中的几个主要应用：1. 物理学：泛函分析在量子力学中的应用非常重要，可以描述量子力学的态矢量和算符。
它还在经典力学中的变分原理和哈密顿力学中起到关键作用。
2. 工程学：泛函分析在工程学中的应用包括信号处理、图像处理、控制论和优化问题等。
例如，优化问题中的最优控制和最优化方法都是基于泛函分析的算法。
3. 经济学：泛函分析在经济学中的应用主要集中在最优化理论和均衡分析等方面。
它可以通过建立合适的目标函数和约束条件，来研究经济系统中的最优决策和均衡状态。
4. 数学研究：泛函分析在数学研究中非常重要，它为其他分支领域提供了理论支撑。
例如，在偏微分方程的研究中，泛函分析提供了强大的工具和方法。
三、变分法的基本原理变分法是一种用于求解泛函极值的数学方法，它是泛函分析中的重要内容。
通过变分法，可以求解函数的极值问题，对于约束条件下的极值问题也同样适用。
变分法的基本原理包括：1. 变分问题的建立：首先建立一个泛函，然后将其转化为一个求解极值问题。
91国优教材：泛函分析讲义
91国优教材：泛函分析讲义泛函分析讲义一、泛函分析的基本概念1、定义泛函分析又称为泛函相似性。
它是一种数学的技术，可以在极端情况下精准地求解和分析复杂的函数关系。
2、概念向量空间，空间中所有向量的集合；泛函，一个函数的集合，可以表述成 f: 某特定的n 向量变量集合→某特定的m 向量变量值集合，其中 n,m>0；泛函分析，对于给定的一个泛函 f 和泛函中多个变量空间 Xi (i=1,2,3,..m)，求解 f 中部分变量取特定值下另外部分变量的取值范围。
3、性质（1）泛函分析属于泛函理论的应用，它可以求解复杂的函数关系。
（2）泛函分析可以帮助我们对于复杂系统中的变量进行有针对性的分析。
（3）泛函分析可以有效地提高系统的分析效率和精确度。
二、泛函分析法的特点1、函数可以没有限制地拓展泛函分析法不仅可以求解多元函数，还可以求解多项式函数，甚至是非常大的函数。
当有不同复杂度函数相互连接时，也可以采用泛函分析方法。
2、精确度较高泛函分析的结果能接近实际的变量取值情况。
3、适用范围广泛泛函分析可以应用到许多不同领域，比如机械、电子、建筑等等。
1、应用于元件分析泛函分析可以用于分析电路元件及其特性参数，以便精确地计算出所需要的结果。
2、应用于系统模拟泛函分析可以用来模拟系统的特性参数，预测系统性能，以优化系统的整体结构和设计。
3、用于参数估算泛函分析可以用于分析复杂的系统结构，在给定的参数的情况下，估算出系统的性能状态。
4、用于控制设计泛函分析可以帮助设计及优化某一系统的控制算法，便于提高系统的应用性能。
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泛函分析论文（数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036）摘要：本文简单介绍泛函分析方法的基本理论，以及其在力学和工程的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。
关键字：泛函分析1.引言泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题，可看作无限维的分析学。
2．泛函分析概述2.1泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是由于欧几里得第五公社的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
这种相似在积分方程论中表现的更突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，都存在着类似的地方。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
2.2泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
N维空间可以用来描述具体有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。
近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。
它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
2.3 泛函分析的主要定理1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。
2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果是对偶空间的非平凡性3.泛函观点下的近代结构理论众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。
经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。
Oliveira[6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures）”。
该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。
固体响应的一般模型举例1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e，σ）称为结构场。
若还满足称之为既协调又平衡的场称为精确场。
记全体结构场的集为X，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下泛数X称为Banach空间。
对于任给的系统，X中与之的所有结构场构成X的子集。
X的全体子集类记为。
通常，假定等协调和等平衡子集之交仅包含一个元。
于是，可建立X的元与笛卡尔积1N的元之间的一一对应，X=x(I,E)。
称为|外部作用响应|空间。
由功原理得到的总能原理表明：精确解使上表达到驻值。
临近两个结构场X和X+h的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d(X+h,X)=1/2，因为此时满足2. 把结构场空间X中满足的子集C称为X的约束子集。
在X 上有连续泛函类，其中泛函在每个约束子集C上有极小点s。
对给定的，各种约束子集C的这种s之全体构成X的最小子集M。
若两个结构场属同一子集，称它们是的。
通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。
4.应用中的泛函分析法4.1直交投影法该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。
Minihin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于Ritz法。
此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分算子）应用。
Maurin分析了微分方程[^|c(x)]u=0的Dirichlet问题。
他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。
以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。
Bessel不等式中的等号，对应于f的等于它在生成空间中的直交投影的情形。
Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。
Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。
4.2变分法Mikhlin较早地用泛函分析为工具研究直接变分法。
以后，Kato，Noble等的论文中在估算各类边界条件下的弹性板振动频率及其界限时，甚至在更一般背景下研究算子*LL（*L是L的伴随）的理论。
这类算子在许多数理方程中出现，例如调和方程，双调和方程，Sturm-Liouville方程，线弹性方程以及某些Fredholm型积分方程。
Oden和Raddy进一步推广补余变分原理；Sandhu和Pister给出广义Mikhlin 变分问题，对于连续统力学中出现的一类线性耦合场问题建立扩充的变分问题。
以上诸研究中，泛函变分为零蕴涵Fréchet导数为零。
Tonti指出，与泛函变分问题相关的微分方程中的算子L不必对称。
若L非对称，可以另取下述双线性型卷积为内积（Gurtin）思想。
Raddy利用此双线性卷积及Gateau导数构造粘弹性动态理论的变分原理。
该方法可用于流体弹性、在电学、热弹性和其它领域中的静态和动态弹性问题。
在初值问题方面，Reiss和Hang考察了极值原理，用抽象算子记号构造了相当一般的最小原理，把一大类线性初值和混合问题包括在内。
其应用包括振动、波传导、热传导，电磁体和粘弹体。
Magri推广了Tonti的工作。
他证明：对每个线性算子，有无限多个使该算子对称的双线性型，从而有可能做出相应的变分公式。
他已就扩散问题对此作了解释。
Collins曾对自共轭算子提出构造补余极值原理的一般过程。
Telega把这种思想推广到塑性边值问题。
参考文献[1]魏国强，数学专题讲选[M]. 高等教育出版社出版书籍第二版，北京师范大学出版社[2]程其襄,张奠宙等，实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。
先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。
后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。
受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。
今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。
若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。