泛函分析

泛函分析论文

（数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036）摘要：本文简单介绍泛函分析方法的基本理论，以及其在力学和工程的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。

关键字：泛函分析

1.引言

泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支

学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题，可看作无限维的分析学。

2．泛函分析概述

2.1泛函分析的产生

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是由于欧几里得第五公社的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。这种相似在积分方程论中表现的更突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，都存在着类似的地方。

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把

多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。

这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。

在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。

2.2泛函分析的特点和内容

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。N维空间可以用来描述具体有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基

本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。

2.3 泛函分析的主要定理

1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。

2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规

算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。

3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性

3.泛函观点下的近代结构理论

众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。Oliveira[6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures）”。该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。

固体响应的一般模型举例

1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e，σ）称为结构场。若还满足

称之为既协调又平衡的场称为精确场。记全体结构场的集为X，按

应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下泛数

X称为Banach空间。对于任给的系统，X中与之的所有结构场构成X的子集。X的全体子集类记为。通常，假定等协调和等

平衡子集之交仅包含一个元。于是，可建立X的元与笛卡尔积1N的元之间的一一对应，X=x(I,E)。称为|外部作用响应|空间。由功原理得到的总能原理表明：精确解使上表达到驻值。临近两个结构场X和X+h

的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d(X+h,X)=1/2，因为此时满足

2. 把结构场空间X中满足的子集C称为X的约束子集。在X 上有连续泛函类，其中泛函在每个约束子集C上有极小点s。对给定的，各种约束子集C的这种s之全体构成X的最小子集M。若两个结构场属同一

子集，称它们是的。通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。

4.应用中的泛函分析法

4.1直交投影法

该方法把调和方程或泊松方程Dirichlet问题的解空间表达成两个直交子空间之和：调和函数类和边界上为零的函数类。Minihin在讨论方截面杆的Saint-Venant扭转问题时，用本方法详细给出方形域中泊松方程Dirichlet问题之解，并证明所算得的最大剪应力之精度胜于Ritz法。此外还给出一般三维域中同一问题的解以及本方法对一般方程Au=0（其中A是下有界、正线性椭圆微分算子）应用。Maurin分析了微分方程[^|c(x)]u=0的Dirichlet问题。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之间的密切关系。以后Rafalski把之用于瞬态热传导、瞬态热弹性和线性粘弹性，证实了Maurin所发现的两种方法的关系。

Bessel不等式中的等号，对应于f的等于它在生成空间中的直

交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之应用于平面有势问题，以及更一般的各项异性板的变形方程。Nowinski和Cho给出由电流加热的长杆热弹问题的解。

4.2变分法

Mikhlin较早地用泛函分析为工具研究直接变分法。以后，Kato，Noble等的论文中在估算各类边界条件下的弹性板振动频率及其界限时，甚至在更一般背景下研究算子*LL（*L是L的伴随）的理论。这类算子在许多数理方程中出现，例如调和方程，双调和方程，Sturm-Liouville方程，线弹性方程以及某些Fredholm型积分方程。

Oden和Raddy进一步推广补余变分原理；Sandhu和Pister给出广义Mikhlin 变分问题，对于连续统力学中出现的一类线性耦合场问题建立扩充的变分问题。以上诸研究中，泛函变分为零蕴涵Fréchet导数为零。 Tonti指出，与泛函变分问题相关的微分方程中的算子L不必对称。若L非对称，可以另取下述双线性型卷积为内积（Gurtin）思想。