高中数学 讲义
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高中函数部分附高中必修一到四
点
直线,切线
直线与方程
标准圆,圆与圆
圆与方程,曲线与方程 xy=+ k, - k 一次函数函数二次函数
对称轴
求根
不等式,方程组
三角函数,二倍角
、
曲线与方程
在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。
求曲线的方程
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度
洋,北冰洋}
◆用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
◆集合的表示方法:列举法与描述法。
◆注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c ……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集
合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图:
4、集合的分类:
(1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x 2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
注意:B A ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆
/B 或B ⊇/A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A ⊆A
②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)
③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C ④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n-1个真子集 二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律:
1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称
2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称
3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○
1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○
2 =N
M
a log M a log -N a log ; ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式
a
b
b c c a log log log =
(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 幂函数y=x^a(a 属于R)
1、幂函数定义:一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,
幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;
(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。
2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。
即:方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点. 3、函数零点的求法:
○
1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点:
二次函数)0(2≠++=a c bx ax y . (1)△>0,方程02=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程02=++c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△<0,方程02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 三、平面向量
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量.
单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算
AB +BC =AC ,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O 出发的两个向量OA 、OB ,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ,则以O 为起点的对角线OC 就是向量OA 、OB 的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a ,有:0+a =a +0=a 。 |a +b|≤|a|+|b|。