4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
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①
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
注：①以上两个条件缺一不可。 ②只能判定有解，不能判定无解。
③不能判定有几个解，但若图像
在区间上单调则方程在这个区间上只有一解。
方 程 f ( x ) g ( x ) 0的 实 根 的 个 数 函 数 F ( x ) f ( x ) g ( x )的 零 点 的 个 数 y f ( x ) 与 y g ( x )的 图 像 交 点 的 个 数
画画函数的图像，数形结合最形象， 要把图像来画好，性质变换要记牢.
作业：红对勾 《函数与方程》
-1Biblioteka 0 -112
3
x
函 数 f ( x ) x 2 x 1在 闭 区 间
2
-2 x=1
[1,3]上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (1) 2 0， f (3) 2 0, 则 在 区 间 （ 1， 3） 内 有 零 点 .
小结：函数图像从x轴上方到下方或从x 轴下方到上方都会穿过 x 轴，则对应方 程一定有解。 可利用函数值判定方程根的存在。
零 点 存 在 性 定 理
若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连 续; （2）f(a)f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即 方程f(x)=0在(a,b)上有解.
注：①以上两个条件缺一不可。
②只能判定有解，不能判定无解。 ③不能判定有几个解，但若图像在区间上单调 则方程在这个区间上只有一解。
引例 判断下列方程是否存在实数根
(1) 2 x 1 0 (2) x 2 x 1 0
2
直接求解
直接求解
(3)3 x 0
x 2
不能直接求解，怎么办？ 实际上绝大部分方程没有求解 公式，这一节我们就讨论如何利用 方程与函数的关系求方程的实数解.
• 零点：函数图像y = f(x)与x轴的交点的 横坐标称为是这个函数的零点. 函数y = f(x)的零点 即 方程f(x)=0的解 方程的解f(x)=0的个数函数y = f(x)的零点个数
116页练习
例 2 方 程 3 x 0是 否 有 实 根 ？
x 2
为 什 么 ?有 几 个 实 根 ？ 变 式 ： 方 程 2 x 0是 否 有 实 根 ？
x 2
为 什 么 ?有 几 个 实 根 ？
例3 判 定 方 程 lg x 2 0是 否
有实数根，有几个实数根？
变 式 ： 方 程 lg x a 0 有 且 只 有 2 个 实 数 根 ， 求 a的 取 值 范 围 .
观察函数
y 2 1
f ( x ) x 2 x 1 ( x 1) 2 的图像:
2 2
函 数 f ( x ) x 2 x 1在 闭 区 间
2
[-1,1]上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f ( 1) 2 0, f (1) 2 0， 则 在 区 间 （ -1， 1） 内 有 零 点 .
分析：利用上述结论。 解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0 f(3)=33+2×3+1=34>0 又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在 [-2,3]上连续， 所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解.
其实，我们在高中阶段所研究的大 部分函数的图像都是连续的曲线.
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
注：①以上两个条件缺一不可。 ②只能判定有解，不能判定无解。
③不能判定有几个解，但若图像
在区间上单调则方程在这个区间上只有一解。
方 程 f ( x ) g ( x ) 0的 实 根 的 个 数 函 数 F ( x ) f ( x ) g ( x )的 零 点 的 个 数 y f ( x ) 与 y g ( x )的 图 像 交 点 的 个 数
画画函数的图像，数形结合最形象， 要把图像来画好，性质变换要记牢.
作业：红对勾 《函数与方程》
-1Biblioteka 0 -112
3
x
函 数 f ( x ) x 2 x 1在 闭 区 间
2
-2 x=1
[1,3]上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (1) 2 0， f (3) 2 0, 则 在 区 间 （ 1， 3） 内 有 零 点 .
小结：函数图像从x轴上方到下方或从x 轴下方到上方都会穿过 x 轴，则对应方 程一定有解。 可利用函数值判定方程根的存在。
零 点 存 在 性 定 理
若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连 续; （2）f(a)f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即 方程f(x)=0在(a,b)上有解.
注：①以上两个条件缺一不可。
②只能判定有解，不能判定无解。 ③不能判定有几个解，但若图像在区间上单调 则方程在这个区间上只有一解。
引例 判断下列方程是否存在实数根
(1) 2 x 1 0 (2) x 2 x 1 0
2
直接求解
直接求解
(3)3 x 0
x 2
不能直接求解，怎么办？ 实际上绝大部分方程没有求解 公式，这一节我们就讨论如何利用 方程与函数的关系求方程的实数解.
• 零点：函数图像y = f(x)与x轴的交点的 横坐标称为是这个函数的零点. 函数y = f(x)的零点 即 方程f(x)=0的解 方程的解f(x)=0的个数函数y = f(x)的零点个数
116页练习
例 2 方 程 3 x 0是 否 有 实 根 ？
x 2
为 什 么 ?有 几 个 实 根 ？ 变 式 ： 方 程 2 x 0是 否 有 实 根 ？
x 2
为 什 么 ?有 几 个 实 根 ？
例3 判 定 方 程 lg x 2 0是 否
有实数根，有几个实数根？
变 式 ： 方 程 lg x a 0 有 且 只 有 2 个 实 数 根 ， 求 a的 取 值 范 围 .
观察函数
y 2 1
f ( x ) x 2 x 1 ( x 1) 2 的图像:
2 2
函 数 f ( x ) x 2 x 1在 闭 区 间
2
[-1,1]上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f ( 1) 2 0, f (1) 2 0， 则 在 区 间 （ -1， 1） 内 有 零 点 .
分析：利用上述结论。 解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0 f(3)=33+2×3+1=34>0 又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在 [-2,3]上连续， 所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解.
其实，我们在高中阶段所研究的大 部分函数的图像都是连续的曲线.