第八节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种

情况，通解的三种不同形式。

教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容：

若 22()()0d y dy

P x Q x y dx dx

++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。

记： '''0y py qy ++= （2）

将rx

y e =代入（2）中有2

()0rx

r pr q e ++=，称2

0r pr q ++=为（2）的特征方程。

2

0r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。

（1）当12r r ≠即2

40p q ->时，1212r x

r x

y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即2

40p q -=时，（3）只有一个解rx

y Ce =。

（3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x

y e αβ±=是解。

利用欧拉公式可得实解，故通解为

12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。

求二阶常系数齐次线性微分方程

'''0y py qy ++= （2）

的通解的步骤如下：

1． 写出微分方程（2）的特征方程

2

0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。

3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：

例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

2230r r --=

其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为

312x x y C e C e -=+

例2 求方程222

0d s ds

s dt dt

++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为

2210r r ++=

其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为

()12t s C C t e -=+

将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而

()24t s C t e -=+

将上式对t 求导，得

()224t s C C t e -'=--

再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为

()42t s t e -=+

例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

2250r r -+=

其根1,212r i =±为一对共轭复根，因此所求通解为

()12cos2sin 2x y e C x C x =+

例4 在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力f 的作用，且在初瞬0t =时的位置为0x x =，初始速度为

00|t dx

v dt

==。求反映物体运动规律的函数()x x t =。 解 由于不计阻力R ，即假设0dx

dt

μ-=，所以第八节中的方程（1）成为

22

20d x k x dt

+= （4） 方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。

反映物体运动规律的函数()x x t =是满足微分方程（4）及初始条件

0000|,

|t t dx

x x v dt

====的特解。 方程（4）的特征方程为2

2

0r k +=，其根r ik =±是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为

12cos sin x C kt C kt =+。

应用初始条件，定出0

102,v C x C k

==

。因此，所求的特解为 00cos sin v

x x kt kt k

=+。

（5） 为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令

0sin ,

cos ,(02)v x A A k

ϕϕϕπ==≤< 于是（5）式成为

sin()x A kt ϕ=+，

（6）

其中 00

tan kx

A v ϕ==。

函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定000,0x v >>）。

函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A ，初相为ϕ，周期为2T k

π

=

，

角频率为k ，由于k =

（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在

本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，k 又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。

例5 由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力f 和阻力R 的作用，且在初瞬0t =时的位置

0x x =，初始速度

0dx

v dt

=，求反映物体运动规律的函数()x x t = 解 222

0000

d d 20d d d ,d t t x x

n k x t

t x x x v t ==⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩

小阻尼情形 n < k

12(cos sin )nt x e C t C t ωω-=

+(ω=

令 00

0sin ,cos (02)v nx x A ϕϕϕπω

+==≤<

则sin()nt

x Ae

t ωϕ-=+

其中A ω==运动周期2;T π

ω

=

振幅: nt Ae -衰减很快随时间 t 的增大物体趋于平衡位置

大阻尼情况n > k

1212r t r t

x C e C e =

+1,2r n =-其中()22n n k =--

无振荡现象，对任何初始条件lim ()0.t x t →+∞

=即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 临界阻尼情况n = k

12()nt x C C t e -=+

任意常数由初始条件定, 12,C C 无论取何值都有

()x t 最多只与 t 轴交于一点，无振荡现象 ，12lim ()lim()0.nt t t x t C C t e -→+∞

→+∞

=+=

即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 可扩展到n 阶常系数微分方程()

(1)110()n n n n k y

p y p y p y p --'++++=均为常数

特征方程: 1

110n n n n r a r a r a --++

++=

若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项

112()k r x k C C x C x e -++

+

若特征方程含 k 重复根,r i αβ=±则其通解中必含对应项