第八节二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
例 3 求微分方程y4y8y 0的通解 解 微分方程的特征方程为
r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)
通解形式 下页
练 习 巩 固
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2 有一对共轭复根 r1, 2i
例2 求方程y2yy0的通解
解
y C1er1 x C2er2 x rx y C1 C2 x e
yex(C1cosxC2sinx)
微分方程的特征方程为
r22r10 即(r1)20 特征方程有两个相等的实根r1r21 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex
1
2
1 x 1 (arctan x) , 2 1 x （15）
,
1 (arc cot x) . 2 （16） 1 x
1 a 0且a 1 xlna 1 , （14） (arccosx) 2 1 x
二阶线性微分方程解的结构定理
• 如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性 无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的 通解
思考
思考题：通解为 y C1e x C2e2 x 的二阶线性常系数微分方程是
r1 x
r1 x
y ( C1 C 2 x ) e
(3) 当
p 4 q 0 时, 方程有一对共轭复根
2
这时原方程有两个复数解:
( i ) x
x
e (cos x i sin x ) y1 e ( i ) x x y2 e e (cos x i sin x )
二阶齐次常系数线性微分方程
二阶齐次常系数线性微分方程
二阶齐次常系数线性微分方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系
统中的动力学过程。
它的一般形式为：
$$ay''+by'+cy=0$$
其中a，b，c是常数，y是未知函数，y'和y''分别表示y的一阶和二阶导数。
二阶齐次常系数线性微分方程的解可以用欧拉法求得，即：
$$y=e^{-\frac{b}{2a}x}(C_1\cos\frac{\sqrt{b^2-
4ac}}{2a}x+C_2\sin\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x)$$
其中C1和C2是任意常数。
二阶齐次常系数线性微分方程在物理学中有着广泛的应用，例如，它可以用来
描述振动系统中的动力学过程，如弹簧-质量系统，摆系统等。
它还可以用来描述
电路中的电流和电压的变化，以及电磁学中的磁场和电场的变化。
此外，二阶齐次常系数线性微分方程还可以用来描述热传导过程，如汽车发动
机冷却系统中的温度变化，以及水力学中的流体流动过程。
总之，二阶齐次常系数线性微分方程是一种重要的微分方程，它在物理学、电
路学、电磁学、热传导和水力学等领域都有着广泛的应用。
二阶常系数微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程
由上面分析可知，要求二阶常系数齐次线性微分方程的通解，关 键是寻找它的两个线性无关的特解.为此，首先找一个函数y，使 y″+py′+qy=0(p,q为常数).而指数函数erx(r为常数)就具备这种性质， 因为erx的一阶、二阶导数都是erx的常数倍，也就是说，只要适当选取 r，就可以使erx满足方程y″+py′+qy=0.于是，设y=erx (r为待定常数) 为方程y″+py′+qy=0的特解，将y=erx,y′=rerx,y″=r2erx代入方程中得 erx(r2+pr+q)=0.
一、二阶常系数齐次线性微分方程
定理6 如果y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，而Y是其对应齐 次方程的通解，则y=Y+y*是非齐次方程(12-20)的通解.
证 因y*是非齐次方程(12-20)的一个特解，所以 y*″+py*′+qy*=f(x).又因Y是其对应齐次方程的通解，所以 Y″+pY′+qY=0.于是，对y=y*+Y有
y″+py′+qy=(Y+y*)″+p(Y+y*)′+q(Y+y*) =Y″+pY′+qY+y*″+py*′+qy* =0+f(x)=f(x) 所以，y=Y+y是非齐次方程(12-20)的解.又因为Y中含有两个任意常数， 从而，y=Y+y中也含有两个任意常数，所以y=Y+y是非齐次方程(1220)的通解.
定理5
如果y1与y2是齐次方程y″+py′+qy=0的两个特解，而且y1/y2不等 于常数，则y=C1y1+C2y2是齐次方程的通解，其中C1,C2为任意常数.
二阶线性常系数齐次微分方程的解
有两个不相等的实根 r1、r2 有两个相等的实根 r1r2
有一对共轭复根 r1, 2i
y C1er1x C2er2x y C1er1x C2xer1x yex(C1cosxC2sinx)
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解
二阶常系数线性齐次微分方程
因为 erx 0 ，因此r应满足 r2 pr q 0
即当r是代数方程 r2 pr q 0 的根时，y erx 就是齐 次方程y″+py ′+qy=0的解。因此，我们称方程 r2 pr q 0 是方程y″+py ′+qy=0的特征方程，特征方程的根称为特征根.
由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成 比例的两个特解y1，y2。根据方程的特点，可以看出方程中 的y, y′, y″ 应具有相同的形式，而指数函数正是具有这种特 点的函数。 因此，设 y erx （r为待定常数）是方程的解。 为此，求出 y erx , y' rerx , y'' r 2erx 并代入方程得
高等数学
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多，特 别是在电学、力学中遇到的机会更多。下面看一个实际问 题。
引例 质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点， 已知作用力与质点到中心点的距离成正比（比例系数为4）； 外界阻力与运动速度成正比（比例系数为3）．运动开始时， 质点距中心点1厘米，速度为0．求质点的运动规律．
微分方程y″+py′+qy =0通解 y C1er1x C2er2x
y C1 C2 x erx y ex C1 cos x C2 sin x
综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步骤如下: (1)写出微分方程的特征方程r2 +pr+q=0; (2)求出特征根r1,r2; (3)按表所示写出微分方程的通解;
解（2） 对应的特征方程为
特征根为
r2 2r 1 0
所以通解为
r1 r2 1 y (C1 C2 x)ex
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性 微分方程
一、定义 二、线性微分方程的解的结构 三、二阶常系数齐次线性方程的解法 四、n阶常系数齐次线性方程解法 阶常系数齐次线性方程解法 五、小结
一、定义
y′′ + py′ + qy = 0
二阶常系数齐次线性方程
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
1
′ ′ 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2 ，y2′ 代入原方程并化简，
u′′ + ( 2r1 + p )u′ + ( r + pr1 + q )u = 0,
2 1
知 u′′ = 0,
得齐次方程的通解为
则 y2 = xe r x , 取 u( x) = x, rx rx 1 y = C1e + C2 xe 1
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
r 2 + pr + q = 0
通解的表达式
≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r
1
y = C1e + C 2 e y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1
=(C1 + C2 x)er1x;
有两个不相等的实根 (∆ > 0)
r1 = − p+ p 2 − 4q , 2 r2 = − p− p 2 − 4q , 2
两个线性无关的特解
y1 = e ,
r1 x
y2 = e ,
r2 x
二阶常系数齐次线性微分方程
微积分Calculus二阶常系数齐次线性微分方程()(1)11()()()()n n n n y P x y P x y P x y f x −−'++++=当均为常数时，称为阶常系数线性微分方程，否则，称为变系数微分方程。
n ()i p x 一n 阶常系数线性微分方程n 阶线性微分方程本节只研究二阶常系数线性微分方程：时，二阶常系数线性齐次微分方程()0f x =时，二阶常系数线性非齐次微分方程()0f x ≠形如的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中为常数.'''09-24y py qy ++=（）p q 、1二阶常系数齐次线性微分方程定理一如果函数都是齐次方程（9-24）的解，则也是方程（9-24）的解，其中为任意常数。
)((2211x x y c y c +）c c 21、y 1(x)和y 2(x)定义一设两个函数在区间内有定义1）若常数，即与不成比例，则称函数在内线性无关.（2）若（常数），即与成比例，则称函数在内线性相关。
定理二若函数是齐次方程（9-24）的两个线性无关的解，则其通解为其中为任意常数。
特征方程法假设方程有形如的解，则代入方程后得特征根因为，故有特征方程2二阶常系数齐次线性微分方程解法二阶常系数齐次线性方程特征方程为1）特征方程有两个不等的实根，则是方程的两个线性无关的解，故齐次方程的通解为2）特征方程有两相等的实根，则一特解为，设另一特解为得齐次方程的通解为3）特征方程有一对共轭复根，y1=e(α+iβ)x,y2=e(α−iβ)x重新组合y1=12(y1+y2)=eαx cosβxy 2=12i(y1−y2)=eαx sinβx得齐次方程的通解为二阶常系数齐次线性方程的特征方程，特征根特征根通解形式实根实重根共轭复根特征方程为求方程的通解。
解解得特征根故所求通解为二相关练习例一特征方程为求方程的通解。
解解得故所求通解为例二特征方程为求解初值问题解特征根为通解为将条件代入得故所求特解为例三。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C eC xe λλ=+； ~3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ (1)1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
微分方程
求出．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ．
这是因为，函数 y1= e r1 x 、y2= e r2 x 是方程的解，
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
y = C1 e r1x + C2 e r2 x ． y=C1 e r1x + C2x e r1 x
y=eαx (C1cos β x+ C2sin β x)．
这是因为y=是方程的解， y= eαx(cos β x+ i sin β x)， 可以验证，y1=eαxcos β x、y2=eαxsin β x是方程的线性无关解．
特征方程的根与通解的关系： 特征方程r2+pr+q=0的两个根r1、r2 微分方程y′′+py′+qy=0的通解 两个不相等的实根r1、r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1, 2=α ± iβ，
第7章5-8节二阶微分方程
故 y Y ( x) y * ( x) 是非齐次方程的解, 又Y 中含有
两个独立任意常数, 因而 ② 也是通解 . 证毕
例如, 方程 对应齐次方程
有特解
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
定理 4.
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f k ( x) (k 1, 2 ,, n )
1、 型的微分方程
对此类方程只需通过连续两次积分就可得到通解．
" 例1 求方程 y cos x 的通解． " y cos x ，所以 解 因为
y ' cos xdx sin x C1
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2
例2.
2
化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
q q K
例1
例2 方程的共性 — 可归结为同一形式:
y p( x) y q( x) y f ( x) , 为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
y
( n)
a1 ( x) y
( n 1)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
重点与难点
理解线性方程解的结构
一、二阶线性微分方程举例
例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动, 阻力的大小与运动速度
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解:
代入方程得
(1 x 2 ) p 2x p 分离变量
第八节二阶常系数齐次线性微分方程
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。
教学内容：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。
记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。
20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。
（1）当12r r ≠即240p q ->时，1212r xr xy C e C e =+为其通解。
（2）当12r r r ==即240p q -=时，（3）只有一个解rxy Ce =。
（3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i xy e αβ±=是解。
利用欧拉公式可得实解，故通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。
求二阶常系数齐次线性微分方程'''0y py qy ++= （2）的通解的步骤如下：1． 写出微分方程（2）的特征方程20r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。
解 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x x y C e C e -=+例2 求方程2220d s dss dt dt++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。
二阶常系数线性微分方程
下面考察二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构
y ay by f ( x)
(9 30)
y ay by 0
(9 25)
定理9.2 如果 y( x) 是方程 ( 9 30) 的一个特解, Y 是
方程 ( 9 30) 对应齐次方程( 9 25) 的通解, 则方程
形如
y ay by 0
(9 25)
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中a , b 为已知常数.
定义9.4 设 y1( x), y2( x)为定义在 (a,b)内的两个函 数. 如果存在非零常数k , 使得 y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性相关, 如果对于任意常数k , y1( x) ky2( x), 则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
故方程的通解为
将 y ex 求导, 得
y ex , y 2ex ,
把 y, y, y 代入齐次线性微分方程中,
(2 a b)ex 0
由于 ex 0,
所以
2 a b 0
(9 27)
只要 是上方程的根，y ex 就是微分方程的解.
方程 2 a b 0 称为齐次线性微分方程的特征方程.
(9 30) 的通解为
y(x) Y y(x)
(9 31)
y ay by 0的通解
y ay by f ( x)的一个特解
归纳
对线性方程组Ax = b，它的通解：
x k11 k22 knr nr
齐次方程通解
非齐次方程特解
对一阶线性微分方程y P( x) y Q( x)，它的通解：
特征方程的根为
1,2 a
高等数学第7章(第8节)
y C 1 e x C 2 e x x e x
x e
k x
i x i x
第四步 分析 y 的特点
y y1 y1 k x
x e
因
~ Rm cos x Rm sin x
y1 y1
y
y1 y1
y1 y1
y*
~ 所以 y 本质上为实函数 , 因此 Rm , Rm 均为 m 次实
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
y 3 y 2 y 1 例3. 求解初值问题 y (0) y (0) y (0) 0
解: 本题 0 , 特征方程为
y* e x [ Q ( x) Q ( x) ] y* e x [ 2 Q ( x) 2 Q ( x) Q ( x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根, 则取 x e为[ m 次待定系数多项式 ( x) (2 p q ) Q ( x) ] Q ( x) ( 2 p ) Q Q (x) 从而得到特解
x
i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为
y* x e
k x
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
y p y q y Pm ( x) e( i ) x
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明
二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明来源：文都教育在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。
一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C eC e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112xx y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+；证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++=212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=，令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dxλλλ'-=⇒=⇒=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----⎰⎰=+=+⎰⎰ …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为21212()121212[]x x x x c y e e C C e C e λλλλλλλ-=+=+-，其中1112c C λλ=-，12C C 和为任意常数。
8.5二阶常系数线性微分方程
= er1x (2r1 + p) + xer1x (r12 + pr1 + q) = 0 , 即 xe r1x 是方程的解; xer1x = x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er1x
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 有两个相等的实根: r1=r2 有一对共轭复根: r1, 2=α±iβ 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x y = C1er1x + C2 xer1x y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)
− p±
p 2 − 4q , 2
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特征方程的根与通解的关系 方程r2+pr+q=0的根的情况 有两个不相等的实根: r1、r2 方程y′′+py′+qy=0的通解 y = C1er1 x + C2er2 x
简要证明: 这是因为 函数 e r1x 和 er2 x 都是方程的解; er1x = e(r1 −r2 ) x 不是常数, 即 e r1x 与 er2 x 线性无关. er2 x
y = e− x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
由初始条件 y ( 0 ) = 1 , 得C1 = 1
y ′ = (e − x cos 2 x )′ + C 2 (e − x sin 2 x )′
= − e − x (cos 2 x + 2 sin 2 x ) + C 2 e − x ( − sin 2 x + 2 cos 2 x )
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第八节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种
情况，通解的三种不同形式。
教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。
教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。
教学内容：
若 22()()0d y dy
P x Q x y dx dx
++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。
记： '''0y py qy ++= （2）
将rx
y e =代入（2）中有2
()0rx
r pr q e ++=，称2
0r pr q ++=为（2）的特征方程。
2
0r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。
（1）当12r r ≠即2
40p q ->时，1212r x
r x
y C e C e =+为其通解。
（2）当12r r r ==即2
40p q -=时，（3）只有一个解rx
y Ce =。
（3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x
y e αβ±=是解。
利用欧拉公式可得实解，故通解为
12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。
求二阶常系数齐次线性微分方程
'''0y py qy ++= （2）
的通解的步骤如下：
1． 写出微分方程（2）的特征方程
2
0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：
例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
2230r r --=
其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为
312x x y C e C e -=+
例2 求方程222
0d s ds
s dt dt
++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。
解 所给方程的特征方程为
2210r r ++=
其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为
()12t s C C t e -=+
将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而
()24t s C t e -=+
将上式对t 求导，得
()224t s C C t e -'=--
再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。
于是所求特解为
()42t s t e -=+
例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。
解 所给微分方程的特征方程为
2250r r -+=
其根1,212r i =±为一对共轭复根，因此所求通解为
()12cos2sin 2x y e C x C x =+
例4 在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力f 的作用，且在初瞬0t =时的位置为0x x =，初始速度为
00|t dx
v dt
==。
求反映物体运动规律的函数()x x t =。
解 由于不计阻力R ，即假设0dx
dt
μ-=，所以第八节中的方程（1）成为
22
20d x k x dt
+= （4） 方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。
反映物体运动规律的函数()x x t =是满足微分方程（4）及初始条件
0000|,
|t t dx
x x v dt
====的特解。
方程（4）的特征方程为2
2
0r k +=，其根r ik =±是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为
12cos sin x C kt C kt =+。
应用初始条件，定出0
102,v C x C k
==。
因此，所求的特解为 00cos sin v
x x kt kt k
=+。
（5） 为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令
0sin ,
cos ,(02)v x A A k
ϕϕϕπ==≤< 于是（5）式成为
sin()x A kt ϕ=+，
（6）
其中 00
tan kx
A v ϕ==。
函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定000,0x v >>）。
函数（6）所反映的运动就是简谐振动。
这个振动的振幅为A ，初相为ϕ，周期为2T k
π
=
，
角频率为k ，由于k =
（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在
本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。
因此，k 又叫做系统的固有频率。
固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。
例5 由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力f 和阻力R 的作用，且在初瞬0t =时的位置
0x x =，初始速度
0dx
v dt
=，求反映物体运动规律的函数()x x t = 解 222
0000
d d 20d d d ,d t t x x
n k x t
t x x x v t ==⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩
小阻尼情形 n < k
12(cos sin )nt x e C t C t ωω-=
+(ω=
令 00
0sin ,cos (02)v nx x A ϕϕϕπω
+==≤<
则sin()nt
x Ae
t ωϕ-=+
其中A ω==运动周期2;T π
ω
=
振幅: nt Ae -衰减很快随时间 t 的增大物体趋于平衡位置
大阻尼情况n > k
1212r t r t
x C e C e =
+1,2r n =-其中()22n n k =--
无振荡现象，对任何初始条件lim ()0.t x t →+∞
=即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 临界阻尼情况n = k
12()nt x C C t e -=+
任意常数由初始条件定, 12,C C 无论取何值都有
()x t 最多只与 t 轴交于一点，无振荡现象 ，12lim ()lim()0.nt t t x t C C t e -→+∞
→+∞
=+=
即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 可扩展到n 阶常系数微分方程()
(1)110()n n n n k y
p y p y p y p --'++++=均为常数
特征方程: 1
110n n n n r a r a r a --++
++=
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
112()k r x k C C x C x e -++
+
若特征方程含 k 重复根,r i αβ=±则其通解中必含对应项
111212[()cos ()sin ]x k k k k e C C x C x x D D x D x x αββ--++++++++
若特征方程单实根r 则其通解中必含对应项rx Ce
若特征方程一对单复根1,2r i αβ=±则其通解中必含对应项12(cos sin )x
e C x C x αββ+
例6 解方程052)
4(=''+'''-y y y
通解为 1234(cos 2sin 2)x
y C C x e C x C x =+++
例7 4
44
d 0(0).d w w x ββ+=>解方程
解: 特征方程44r β+= 22222
()20r r ββ+-=
即2222
()()0r r r r ββ++=
其根为
1,23,4),)r i r i =±=±
方程通解
1234()()w C x C x e
C x C =+++
小结与思考：
本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当
特征根形式不同时，通解具有不同形式。
用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程
0=+'+''qy y p y 的通解的方法和步骤为：
①写出微分方程的特征方程02=++q pr r ；
②求出特征方程的根，即特征根1r 和2r ；
③根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解，即当042
>-=∆q p 时，微分方程
的通解x
r x
r e
C e C Y 21
21+=；当042=-=∆q p 时，微分方程的通解x
r x r xe C e C Y 1
121+=；
当
042
<-=∆q p 时，将特征根1r 和2r 记为i βα±，微分方程的通解x e C x e C Y x x ββααsin cos 21+=
作业：
作业见作业本。