16.1二次根式导学案(最新整理)
八年级数学下二次根式导学案.doc
16． 1 《二次根式 (1) 》学案班级 :姓名：小组：学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习(1) 16 的平方根是；(2) 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米 ) 满足关系式h 5t 2。
如果用含h的式子表示t，则t= ；(3) 圆的面积为 S，则圆的半径是；(4) 正方形的面积为 b 3 ，则边长为。
思考： 16 ，h ，s, b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.5定义 : 一般地我们把形如 a （a 0 ）叫做二次根式， a 叫做_____________。
读作。
二、应用举例例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、3 3 、1、 x（x>0）、x0、42、- 2 、 1 、 x y （x≥0，y?≥0）．x y解：二次根式有：；不是二次根式的有：。
例 2．当x是多少时，3x 1 在实数范围内有意义？解：由得：。
当时，3x 1 在实数范围内有意义．注意： 1、形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“ a （a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例 3．当x是多少时，2x 3 在实数范围内有意义？例 4若 a 1 +b 1 =0，求a2004+b2004的值．(答案:2) 5四、巩固练习教材练习．五、课堂检测（ 1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式，那些不是二次根式？-7 3 7x x4168 1x（ 2）、填空题1．形如 ________的式子叫做二次根式．2．面积为 5 的正方形的边长为________．（ 3）、综合提高题1．二次根式 a 1 中，字母a的取值范围是（）A、 a＜lB、a≤1C、a≥1D、a＞1 2．已知x 3 0 则x的值为A 、 x>-3 B、x<-3C、x=-3 D、x的值不能确定六、课后记16． 1 《二次根式 (2) 》学案班别 :姓名：小组：学习内容：1． a （a≥0）是一个非负数；2．（ a ）2=a（a≥0）．学习目标：1、理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程一、自主学习（一）复习引入1．叫二次根式？2．当 a≥ 0 时， a 叫。
八年级数学下册16二次根式161二次根式1导学案新人教版
16．1 《二次根式(1)》学习内容：二次根式的概念及其运用学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．（46 .）（二）学生学习课本知识（三）、探索新知1、知识：如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如•的式子叫做二次根式，“”称为．例如：形如、、是二次根式。
形如、、不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．解：二次根式有：；不是二次根式的有：。
例2．当x是多少时，31x-在实数范围内有意义？解：由得：。
当时，31x-在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a（a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测（1）、简答题 1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ 737x 41681x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 23x -+3x -2x -．3.2(5)x --x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.已知a 、b 5a -102a -=b+4，求a 、b 的值．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知小强家、体育馆、文具店在同一直线上如图中的图象反映的过程是：小强从家跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步回家．下列信息中正确的是（ ）A ．小强在体育馆花了20分钟锻炼B ．小强从家跑步去体育场的速度是10km/hC ．体育馆与文具店的距离是3kmD ．小强从文具店散步回家用了90分钟2．为弘扬传统文化，某校初二年级举办传统文化进校园朗诵大赛，小明同学根据比赛中九位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.2 9.39.1 0.3A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差3．下列等式不一定成立的是（ ） A ．2(5)5-= B ．ab a b =C ．2(3)3ππ-=-D ．82233= 4．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ） A ．1，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．2，2，35．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．B ．C ．D ．6．下列各组数为勾股数的是（ ） A ．1,12B ．4,5,6C ．8,9,10D ．5,12,137．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则DE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．108．已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣4=0的一个根为m，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．任意实数9．将方程2+=化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）．x x4581A．2x x-+=D．2x x--=4581045810+-= C．245810x xx x++= B．24581010．若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0二、填空题11．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y ＝x+2和x轴上，则点∁n的横坐标是_____．（用含n的代数式表示）12．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________．13．甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是______(填“甲”或“乙”)14．如图，三个正方形中，其中两个正方形的面积分别是100，36，则字母A所代表的正方形的边长是_____．15．若分式67x--的值为正数，则x的取值范围_____．16．如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC 的周长是__．17．已知x=4是一元二次方程x2-3x+c=0的一个根，则另一个根为______．三、解答题18．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在江汉堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分 3.8元/棵超过2000棵的部分 3.6元/棵设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元）、y乙（元）．（1）该村需要购买1500棵白杨树苗，若都在甲林场购买所需费用为元，若都在乙林场购买所需费用为元；（2）分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？19．（6分）如图，已知AD=BC，AC=BD．（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．20．（6分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”就是说：一个数被2除余2，被5除余2，被7除余2，求这个数．《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被2除余2，同时能被5，7都整除的数，最小为1．再求被5除余2．同时能被2，7都整除的数，最小为62．最后求被7除余2，同时能被2，5都整除的数，最小为20．于是数1+62+20＝222．就是一个所求的数．那么它减去或加上2，5，7的最小公倍数105的倍数，比如222﹣105＝128，222+105＝288…也是符合要求的数，所以符合要求的数有无限个，最小的是22．我们定义，一个自然数，若满足被2除余1，被2除余2，被5除余2，则称这个数是“魅力数”．（1）判断42是否是“魅力数”？请说明理由；（2）求出不大于100的所有的“魅力数”．21．（6分）问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数；（2）如表是y与x的几组对应值x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m …①m等于多少；②若A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，则n等于多少；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；根据函数图象可得：该函数的最小值为多少；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积等于多少；（4）已知直线y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象交于C，D两点，当y1≥y时，试确定x的取值范围．22．（8分）计算：①|3-2|+|3-2|-|2-1| ②38+2(2)--14+（-1）1． 23．（8分）如图，平面直角坐标系中，一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()3C m ，． （1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOCBOCSS-的值；（3）一次函数1y kx ＝+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．24．（10分）如图①，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图②为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图象．(1)填空：甲、丙两地距离_______千米；(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．25．（10分）如图，分别以ABC的边向外作正方形ABFG和ACDE，连接EG，若O为EG的中点，求证：（1）12AO BC=；（2）AO BC⊥．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．B【解析】【分析】根据图象信息即可解决问题．【详解】解：A．小强在体育馆花了603030-=分钟锻炼，错误；B．小强从家跑步去体育场的速度是510/0.5km h=，正确；C．体育馆与文具店的距高是532km-=，错误；D．小强从文具店散步回家用了20013070-=分钟，错误；故选：B．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【详解】如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数．故选A．点睛：本题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．3．B【解析】【分析】直接利用二次根式的性质分别化简的得出答案．【详解】A．（2=5，正确，不合题意；B=a≥0，b≥0），故此选项错误，符合题意；C=π﹣3，正确，不合题意；D=故选B．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．D【解析】分析：欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．详解：A、12+）2=3=2，故是直角三角形，故错误；B、42+32=25=52，故是直角三角形，故错误；C、52+122=169=132，故是直角三角形，故错误；D、22+22=8≠32，故不是直角三角形，故正确．故选D．点睛：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．B【解析】【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．据此即可判断．【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；B、只有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，选项符合题意；C、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项不符合题意；D、整理后得，最高次数为1，不是二次方程，选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．D【解析】分析：根据勾股数组的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数，逐项分析即可.详解：A. 2不是正整数，故1,12不是勾股数；B. ∵42+52≠62，故4,5,6不是勾股数；C. ∵82+92≠102，故8,9,10不是勾股数；D. ∵52+122=132，故5,12,13是勾股数；故选D.点睛：本题考查了勾股数的识别，解答本题的关键是熟练掌握勾股数的定义.7．A【解析】【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【详解】解：∵AB=AC=10，AD 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，∵E 为AC 的中点，1110522∴==⨯=DE AC ， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．8．C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把x m =代入方程22x mx 40--=得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】把x=m 代入方程2x 2﹣mx ﹣4=0得2m 2﹣m 2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 9．B【解析】【分析】通过移项把方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式．【详解】方程4x 2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x 2+5x-81=1．故选B ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=1（a≠1）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．10．B【解析】解：根据题意：当x =﹣1时，方程左边=a ﹣b +c ，而a +c =b ，即a ﹣b +c =0，所以当x =﹣1时，方程ax 2+bx +c =0成立．故x =﹣1是方程的一个根．故选B ．二、填空题11．122n +-【解析】【分析】观察图像，由直线y ＝x+2和正方形的关系，即可得出规律，推导出C n 的横坐标.【详解】解：根据题意，由图像可知，1(0,2)A ，正方形A 1B 1C 1O 、 A 2B 2C 2C 112C =，直线y ＝x+2的斜率为1，则26C =以此类推，314C =，122n n C +=-【点睛】此题主要考查一次函数图像的性质和正方形的关系，推导得出关系式.12．150【解析】【分析】根据题意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB 和∠DEC ，进而利用∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC 即可求出∠AED 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形，∴AB=BC=BE,EC=BC=DC, ∠ABE=∠DCE =90°-60°=30°，∴∠AEB=∠EAB=（180°-30°）÷2=75°，∴∠DEC=∠EDC=（180°-30°）÷2=75°，∴∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC =360°-75°-75°-60°=150°．故答案为：150°．【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰、等边三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键．13．甲【解析】由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小，则S2甲<S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲．故答案为甲．14．1【解析】【分析】根据正方形的性质可得出面积为100、36的正方形的边长，再利用勾股定理即可求出字母A 所代表的正方形的边长，此题得解．【详解】面积是100的正方形的边长为10，面积是36的正方形的边长为6，∴字母A 所代表的正方形的边长=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理以及正方形的性质，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键．15．x>1【解析】试题解析：由题意得：67x--＞0， ∵-6＜0，∴1-x ＜0，∴x ＞1．16．1【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线求得AB=2DM ，AC=2DN ，结合三角形的周长公式解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，M 、N 分别是AB 、AC 边的中点，∴AB=2DM=10，AC=2DN=6，又BC=9，∴△ABC 的周长是：AB+AC+BC=10+6+9=1．故答案是：1．【点睛】本题考查三角形的中线性质,尤其是:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．17．-1【解析】【分析】另一个根为t ，根据根与系数的关系得到4+t=3，然后解一次方程即可．【详解】设另一个根为t ，根据题意得4+t=3，解得t=-1，即另一个根为-1．故答案为-1．【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于掌握若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=−12b c x x a a=， ． 三、解答题18．（1）5900，6000；（2）见解析；（3）当0≤x≤1000或x=3000时，两家林场购买一样，当1000＜x ＜3000时，到甲林场购买合算；当x ＞3000时，到乙林场购买合算．【解析】试题分析: （1）由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用；（2）根据分段函数的表示法，甲林场分01000x ≤≤或1000x >两种情况 .乙林场分02000x ≤≤或2000x >两种情况.由由单价×数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式；（3）分类讨论，当01000x ≤≤，10002000x <≤时，2000x >时，表示出y 甲、y 乙的关系式，就可以求出结论．试题解析：（1）由题意，得．y 甲=4×1000+3.8（1500﹣1000）=5900元，y 乙=4×1500=6000元；故答案为5900，6000；（2）当01000x ≤≤时，y 甲4,x =1000x >时．y 甲()4000 3.81000 3.8200.x x =+-=+∴y 甲()()4010003.82001000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).当02000x ≤≤时，y 乙4,x =当2000x >时，y 乙()8000 3.62000 3.6800.x x =+-=+∴y 乙()()4020003.82002000.x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(x 取整数).（3）由题意，得当01000x ≤≤时，两家林场单价一样，∴到两家林场购买所需要的费用一样．当10002000x <≤时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，∴当10002000x <≤时，到甲林场优惠；当2000x >时，y 甲 3.8200.x =+y 乙 3.6800.x =+当y 甲=y 乙时3.8200 3.6800x x +=+，解得：3000x =．∴当3000x =时，到两家林场购买的费用一样；当y 甲<y 乙时，3.8200 3.6800x x +<+，3000x <．20003000x ∴<<时，到甲林场购买合算；当y 甲>y 乙时，3.8200 3.6800x x +>+，解得：3000x >．∴当3000x >时，到乙林场购买合算．综上所述，当01000x ≤≤或3000x =时，两家林场购买一样，当10003000x <<时，到甲林场购买合算；x 时，到乙林场购买合算．当300019．（1）详见解析；（2）OA=OB，理由详见解析.【解析】试题分析：（1）根据SSS定理推出全等即可；（2）根据全等得出∠OAB=∠OBA，根据等角对等边即可得出OA=OB．试题解析：（1）证明：∵在△ADB和△BCA中，AD=BC,AB=BA,BD=AC，∴△ADB≌△BCA（SSS）；（2）解：OA=OB，理由是：∵△ADB≌△BCA，∴∠ABD=∠BAC，∴OA=OB．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定20．（1）49不是“魅力数”，理由详见解析；（9）99、59、89．【解析】【分析】（1）验证49是否满足“被9除余1，被9除余9，被5除余9”这三个条件，若全部满足，则为“魅力数”，若不全满足，则不是“魅力数”；（9）根据样例，先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．于是数8+90+11＝59，再用它减去或加上9，9，5的最小公倍数90的倍数得结果．【详解】解：（1）49不是“魅力数”．理由如下：∵49＝14×9+1，∴49被9除余1，不余9，∴根据“魅力数”的定义知，49不是“魅力数”；（9）先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．∴数8+90+11＝59是“魅力数”，∵9、9、5的最小公倍数为90，∴59﹣90＝99也是“魅力数”，59+90＝89也是“魅力数”，故不大于100的所有的“魅力数”有99、59、89三个数．【点睛】本题考查了数学文化问题，读懂题意，明确定义是解题的关键．21．（2）①m＝1；②﹣2020；（1）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．【解析】【分析】（2）①把x＝1代入y＝|x|﹣2，即可求出m；②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，即可求出n；（1）画出该函数的图象即可求解；（4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象，根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围．【详解】（2）①把x＝1代入y＝|x|﹣2，得m＝1；②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，得2018＝|x|﹣2，解得x＝﹣2020或2020，∵A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，∴n＝﹣2020；（1）该函数的图象如图，由图可得，该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是12×4×2＝4；（4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝12x﹣12与函数y＝|x|﹣2的图象，由图形可知，当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．故答案为：（2）①m＝1；②﹣2020；（1）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤1．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征．正确画出函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．22．①32；②4.5.【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.（2）本题涉及三次根式、二次根式化简、平方3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．根据实数运算法则即可得到结果.【详解】3-2323232+12382(2)-14（-1）1=2+2-0.5+1=4.5.【点睛】（1）本题考查了实数运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.（2）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握三次根式、二次根式、平方等考点的运算．23．（1）m=2；2l 的解析式为：32y x =；（2）8；（3）k 的值为12-或32或1 【解析】【分析】（1）将点C 坐标代入142y x =-+即可求出m 的值，利用待定系数法即可求出l 2的解析式； （2）根据一次函数142y x =-+，可求出A （8,0），B （0,4），结合点C 的坐标，利用三角形面积的计算公式即可求出AOC BOC S S -的值；（3）若1l ，2l ，3l 不能围成三角形，则有三种情况，①当l 1∥l 3时；②当l 2∥l 3时；③当l 3过点C 时，根据得出k 的值即可．【详解】解：（1）将点()3C m ，代入142y x =-+得1342m =-+，解得m=2， ∴C （2,3）设l 2的解析式为y=nx ，将点C 代入得：3=2n ， ∴32n =， ∴2l 的解析式为：32y x =； （2）如图，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，作CF ⊥x 轴于点F ，∵C （2,3）∴CE=2，CF=3，∵一次函数142y x =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点， ∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=8，∴A （8,0），B （0,4），∴OA=8，OB=4， ∴1111834282222AOC BOC OA CF OB CE S S =⋅-⋅=⨯-⨯-⨯⨯=（3）①当l 1∥l 3时，1l ，2l ，3l 不能围成三角形，此时k=12-； ②当l 2∥l 3时，1l ，2l ，3l 不能围成三角形，此时k=32； ③当l 3过点C 时，将点C 代入1y kx ＝+中得：321k =+，解得k=1，综上所述，k 的值为12-或32或1． 【点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．24． (1) 1353；（2）y ＝-300900(03)300900(3 3.5)x x x x +≤≤⎧⎨-≤⎩. 【解析】【分析】（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：2+153=1353（千米）；（2）分两种情况：当3≤x≤1时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，把（3，2），（1，3）代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列出的速度为133（千米/小时），从而确定点A 的坐标为（1．5，153），当1＜x≤1．5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=k 1x+b 1，把（1，3），（1．5，153）代入得到方程组，即可解答．【详解】解：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：2+153=1353（千米），故答案为2．（2）当3≤x≤1时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，把（3，2），（1，3）代入得：90030b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k 300b 900=-⎧⎨=⎩， ∴y=﹣133x+2，高速列出的速度为：2÷1=133（千米/小时），153÷133=3．5（小时），1+3．5=1．5（小时） 如图2，点A 的坐标为（1．5，153）当1＜x≤1．5时，设高速列车离乙地的路程y 与行驶时间x 之间的函数关系式为：y=k 1x+b 1，把（1，3），（1．5，153）代入得：1111303.5150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：11300900k b =⎧⎨=-⎩，∴y=133x ﹣2， ∴300900(03)300900(3 3.5)x x y x x -+⎧=⎨-<⎩．考点：一次函数的应用．25．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．根据全等三角形的性质得到AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC ，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠EAO=∠ACB ，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．∵O 为EG 的中点， ∴OG=OE ，在△AOE与△MOG中，AO OMAOE MOGOE OG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE≌△MOG（SAS），∴AE=MG，∠MGO=∠AEO，∴∠MGA+∠GAE=180°，∵四边形ABFG和四边形ACDE是正方形，∴AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠CAE=90°，∴AC=GM，∠GAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AGM，在△AGM与△ABC中，AG ABAGM BACGM AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGM≌△ABC（SAS），∴AM=BC，∵AM=2AO，∴12AO BC=；（2）由（1）知，△AOE≌△MOG，△AGM≌△ABC，∴∠M=∠EAO，∠M=∠ACB，∴∠EAO=∠ACB，∵∠CAE=90°，∴∠OAE=∠CAH=90°，∴∠ACB+∠CAH=90°，∴∠AHC=90°，∴AH⊥BC．即AO BC⊥.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在0∽35（微克/立方米）的空气质量等级为优．将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表，这组PM2.5数据的中位数是（ ） 天数 3 1 1 1 1 PM2.51820212930A ．21微克/立方米B ．20微克/立方米C ．19微克/立方米D ．18微克/立方米2．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是( ) A ．x 2−1 B ．x 2−2x+1 C ．x(x−2)+(x−2) D ．x 2+2x+13．在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，若3AB =，且点E 与点B 不重合，则AE 的长可以是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．在平面直角坐标系xOy 中，函数23y x =--的图象经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( )A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C6．如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α，得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为（ ）A ．90°﹣αB ．αC ．180°﹣αD ．2α7．一个正多边形的每一个外角的度数都是60°，则这个多边形的边数是：（ ）A ．8B ．7C ．6D ．58．河堤横断面如图所示，斜坡AB 的坡度=1：3，BC=5米，则AC 的长是（ ）米．A ．53B ．5C ．15D ．1039．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD =1500m ，小敏行走的路线为B →A →G →E ，小聪行走的路线为B →A →D →E →F ，若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为（ ）m ．A ．3100B ．4600C ．3000D ．360010．已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，那么m 的取值范围为（ ） A ．m ＞－6且m≠2 B ．m ＜6C ．m ＞－6且m≠－4D ．m ＜6且m≠－2二、填空题11．抛物线2y ax bx c =++与x 轴的公共点是()()4,0,6,0-，则这条抛物线的对称轴是__________． 12．如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为CD 的中点，BD=6，则△DOE 的周长为 _________ ．13．如图，在▱ABCD 中，BD 为对角线，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，连接 EF ．若EF=3，则CD 的长为_____________．14．表①给出了直线l 1上部分（x ，y ）坐标值，表②给出了直线l 2上部分点（x ，y ）坐标值，那么直线l 1和直线l 2的交点坐标为_______.15．因式分解：x 2﹣9y 2= ． 16．已知2334b a b =-，则a b=________ 17．在平面直角坐标系中，直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点123A A A 、、、 …在直线l 上，点123C C C 、、、 …在y 轴正半轴上，则点n B 的横坐标是__________________。
最新人教版八年级数学下册二次根式全章导学案
三、学习过程
（一）复习回顾：
（1）4 的算术平方根为 2，用式子表示为 =_4_________ ；正数 a 的算术平方根为 _______ ，
0 的算术平方根为 _______；式子 a 0(a 0) 的意义是
。
（二）自主学习 (1)6 的算术平方根是 (2) 一个物体从高处自由落下，
； 落到地面的时间是
.
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16.1 二次根式 (2)
一、学习目标
1. 掌握二次根式的基本性质：
a2 a
2. 能利用上述性质对二次根式进行化简 . 二、学习重点 . 难点
重点：二次根式的性质 a 2 a ．
难点：综合运用性质 a 2 a 进行化简和计算。
三、学习过程 （一）复习引入：
（ 1）什么是二次根式，它有哪些性质？
A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 2 3
4. 二次根式 a 1 中，字母 a 的取值范围是（ ） A. a＜ l B. a≤ 1 C. a≥ 1 D. a＞1 2. 已知 x 3 0 则 x 的值为 A. x>-3 B. x<-3 C. x=-3 D. x 的值不能确定
（五）小结反思：
（六）小结反思：
.
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一、学习目标
16.2 二次根式的乘除法
16.2.1 二次根式的乘法
理解 a · b ＝ ab （ a ≥ 0， b≥ 0）， ab = a · b （ a≥ 0， b≥ 0），并利用它
们进行计算和化简 二、学习重点 . 难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习引入
16.1《二次根式》导学案2
第2课时1.探究二次根式的性质,能正确区分()2=a(a≥0)与=a(a≥0),并利用它们进行二次根式的化简和运算.2.重点:()2=a(a≥0),=a(a≥0)及其运用.问题探究一二次根式的非负性阅读教材第一个“探究”以上的内容, 回答:当a ≥0时,表示a的算术平方根,正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0, 负数没有平方根.由此可以看出,是一个非负数.【归纳总结】二次根式的非负性主要表现在哪些方面?一是被开方数a≥0,二是≥0.【预习自测】若+(m-3)2=0,则m= 3 ,n=-1 .问题探究二求二次根式的平方的运算阅读教材中的第一个“探究”至“例2”,完成下列问题.(1)()2= 3 , ()2=0.1 , ()2=.(2)(-)2= 5 , (-2)2=(-2 )2×()2= 4 × 3 =12 .【归纳总结】(1)因为(a≥0)是 a 的算术平方根,因此()2= a (a≥0).(2)根据运算性质(ab)2=a2b2可得(a)2=a2b (b≥0).【预习自测】填空:(-2)2= 20,(4)2= 48,(-)2= .问题探究三的化简1.完成本节教材中的第二个“探究”中的填空,思考:当a>0时,等于多少?当a=0时,等于多少?2,0.1,,0;a,0.2.= 4,= ,由此可以看出,当a<0时,= -a.【归纳总结】= |a|=或=|a| =【预习自测】化简: = 3 ;= 2 ; -=-3 .知识梳理代数式阅读教材“例3”下面的一段内容,完成下面的问题.用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子,称为代数式.互动探究1:已知|a-2|与互为相反数,求a2-b的值.解:由题意,得|a-2|+=0,∴|a-2|=0,=0,∴a=2,b=3,∴a2-b=22-3=1.【方法归纳交流】几个非负数的和为0,说明它们都为0.互动探究2:已知y=++2,求的值.解:若使原式有意义,则必须满足-x≥0,且x-≥0,∴x=,∴y=2,∴==4.互动探究3:计算:(1)()2;(2)(-)2;(3);(4).解:(1)7;(2)0.2;(3)0.6;(4).互动探究4:已知x<2,化简+|4-x|= 6-2x.[变式训练]实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简--= -2b.互动探究5:对于题目“化简求值:+,其中a=”,甲、乙两人的解答不同.甲的解答是:+=+=+-a=-a=;乙的解答是:+=+=+a-=a=.谁的解答是错误的?为什么?解:乙的解答是错误的.因为当a=时,a-=-5=-4<0,所以≠a-,故乙的解答是错误的.[变式训练1]若x<y<0,则化简+的结果是-2x .[变式训练2]若=3-a,则a与3的大小关系是a≤3 .见《导学测评》P2。
新人教版八年级数学二次根式导学案
第十六章 二次根式 16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1（a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习（一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：面积为3的正方形的边长为_____ ,面积为S 的正方形的边长为___________．．问题2：一个长方形的围栏,长是宽的2 倍,面积为130㎡,则它的宽为_________．问题3; 一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t （单位:S ）与开始下落时离地面的高度h(单位;m)满足关系式h=5t 2..如果用含有h的式子表示t,那么t 为 . （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知1、知识： 像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，、x>0）、、（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，在实数范围内有意义．1x1x y+（3）注意：1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2（a≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x+在实数范围内有意义？ 例4(1)已知+5，求的值．(答案:2) (2)，求a 2004+b 2004的值．(答案:)三、巩固练习教材练习．四、课堂检测（1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2=_______． 3.x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数4.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．11x +xy251x16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1（a ≥0）是一个非负数；2）2=a（a ≥0）．学习目标：1（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2（a ≥0）是一个非负数，用具）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a<0有意义吗？ （二）学生学习课本知识（三）、探究新知1（a ≥0）是一个数。
二次根式全章导学案
§16.1.1《二次根式》导学案【学习目标】1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）这些知识你还记得吗（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
）1、如果对于任意数x ,有x 2= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。
2、如果对于一个正数x ,有x 2= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。
3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟）完成P2—思考中的内容，阅读例1以上的内容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式23，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。
4）下列各式一定是二次根式的是（ ）A 、12+xB 、12-xC 、1--xD 、x总结：二次根式应满足的条件： 。
2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟）自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义①43-x ③x--212）（1有意义，则a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
B.负数C.非负数D.非正数总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1（新版）新人教版1、知道二次根式的概念。
2、知道二次根号下被开方数是非负数，并会加以应用。
【定向导学互动展示当堂反馈】课堂元素自学合学展学学法指导（内容学法成果。
时间）互动策略（内容形式时间）展示方案（内容方式时间）概念认知例题导析（学习内容）认真自研教材P2-3完成下列自研探究：旧知链接 :1、a的算是平方根的定义2、填空：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为s的正方形的边长为。
（2）等腰直角三角形的面积为7平方厘米，则它的腰长为。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间t(s)与开始下落的高度h(m)满足关系式h=1/2gt2，用含h和g的关系式表示t为。
3、我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号。
4、判断题：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y ≥0）、5、例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由得：。
当时，在实数范围内有意义、小对子交流分享准备询问对子的问题：。
；互助组：4人冲刺挑战旧知链接2共同体：8人在学科组长的带领下：•做好展示任务分工，完成版面设计，做好展示前的预演。
展示方案提示：展示单元一：二次根式判定，运用。
应用探究例1：判定下列代数式中哪些一定是二次根式:，，，，，(x≦0)，，例2：已知：再实数范围内有意义，求X的取植范围。
（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？(3)当 X是怎样的实数时有意义，（）2 呢？展示方案二利用“（a≥0）”解决具体问题3要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
应用探究例3：已知y=++5，求的值、梳理小结查学课本3页练习1，2第2页思考题评学（回家25分钟）日清三层级能力提升达标题自评：师评：基础题：1、当x 时，在实数范围内有意义。
2、计算：。
3、已知a=，则代数式的值是。
4、若+=0，求a2004+b2004的值。
16.1二次根式导学案
第十六章 二次根式16．1 二次根式（1）（第一课时）教学目的：1、了解二次根式的概念，并根据二次根式的概念判断；2、求代数式有意义时，字母的取值范围。
重点：二次根式有意义的条件。
难点：二次根式有意义的条件。
教学过程：一、复习，小组合作探讨。
1、（1）如果 ，那么 ；（2）如果 ，那么 ；（3）如果，那么 2、什么叫做一个数的平方根如何表示什么是一个数的算术平方根如何表示 3、平方根具有哪些性质一个正数有____个平方根，并且________________________； 0的平方根是____；负数_________平方根。
4、（1）16的平方根是什么 算术平方根是什么 （2）0的平方根是什么算术平方根是什么 （3）－7有没有平方根有没有算术平方根5、思考 分别表示什么含义二、预习导学 1、自主预习新课P2。
2、思考：请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识。
3、导入新课，完成思考：42=x =x 32=x =x )0(2≥=a a x =x a a -a±a（1）面积为3的正方形的边长为 ，面积为S 的正方形的边长为 （2）一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130，则它的宽是 m 。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ），与开始落下时离地面的高度h （单位：m ），满足关系式 。
如果用含有h 的式子表示t ，则t 为 三、小组合作探究1、式子 它们有什么共同特点2、二次根式的定义：3、二次根式有什么特点例题1、说一说，下列各式是二次根式吗4、跟踪训练：判断，下列各式中那些是二次根式5、思考：二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件例题2、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义总结：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：四、拓展训练1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义 25t h =6535h 325(7) , a(6) ，x y (5)m -(4) ,12 (3) 6, (2) ,32 (1)1+-,10+a ,5-.8332)3(1)2(x x +42)1(+x xx +-21)2(32)1(+x2、已知二次根式 有意义,那A(a, )在第 象限。
16.1 二次根式导学案
16.1 二次根式导学案(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x2、计算 ：(1) 2)4( (2) 2)5.0( （3） （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
（三）合作探究2)3(________)(2=a 41、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x③2、（1有意义，则a 的值为___________．（2在实数范围内有意义，则x为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）拓展延伸 1、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.(3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案（新
版）新人教版
16、1二次根式学习目标
1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念难点利用
“（a≥0）”解决具体问题、预习引导活动
4、思考下列问题：①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？③当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
问题导学课本思考
1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
，，课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______、
2、已知，求的值各是多少？活动
5、完成课本探究1活动
6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变、练习：课本例2活动
7、完成课本探究2活动
8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数、练习：课本例3补充练习：
1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？当堂检测作业P5习题
1、2
3、4板书设计知识与方法的建构教师学生反思小结。
八年级数学下册16.1 二次根式第一课时导学案
①复习回顾：5分钟；②新知探究：15分钟；③巩固练习：10分钟
④拓展应用：10分钟；⑤课堂小结：3分钟；⑥布置作业：2分钟.
三、巩固练习：教材练习
四、应用拓展：例3．当x是多少时， + 在实数范围内有意义？
分析：要使 + 在实数范围内有意义，必须同时满足 中的≥0和 中的x+1≠0．巩固练习：10分钟
2．下列式子中，不是二次根式的是（）
A． Bห้องสมุดไป่ตู้ C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题：4．当 在实数范围内有意义时，x的取值范围是；
5．若 + 有意义，则 =_______．
例4已知y= + +5，求 的值．（变式 ，求 的值）
五、归纳小结：本节课要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
六、布置作业：
七、当堂检测：
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（）
A．- B． C． D．x
人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案
16.1二次根式〔1〕 学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。
学习重点：二次根式的概念及意义。
学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。
学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读 感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是 ，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 数没有平方根。
因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做 ，“〞称为 ．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。
八年级下16.1二次根式导学学案1
16.1二次根式导学学案教学目标：(1) 了解二次根式的概念。
(2) 掌握二次根式的基本性质。
(3) 在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识；(4) 体会用类比的思想研究二次根式，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．(5) 教学中为学生创造大量的操作.思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识。
教学重点：教学难点：教学过程：一.情景创设1．回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2．思考(1)面积为3的正方形边长面积为S正方形边长为。
(2)一个物体做自由落体运动，落地时间t,和高度h满足关h= t25,如果用含h的式子表示t,t=(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3b,则边长为 .3.对上面（1）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 3、前面我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1. a 表示什么?2.a需要满足什么条件?为什么？教师与学生共同归纳：二.新课讲解1、问题： ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
2、判断：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?教师与学生共同归纳：3、二次根式概念 形如 a (a ≥0)的式子叫做二次根式.【说明】 二次根式必须具备以下特点；(1) ； (2) 。
学生举出二次根式的几个例子 判断－5 ， a (a<0).3a .－a (a<o)是不是二次根式三、例题与练习例1.要使式子x －1 有意义，字母x 的取值必须满足什么条件? （思考：若将式子x －1 改为1－x ，则字母x 的取值必须满足什么条件?）练习：a 取何值时,下列二次根式有意义. (1)1+a (3) a 101- (2) a211- （4）2)1(-a例2：计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）练习.（1）=2)32( （2）2)32(教师与学生共同归纳：练习：计算：（1）=4 （2）=-2)5.1( （3）=-2)1(x （x≥1）练习：P8 1，2四、引导学生总结：1、 2、 3、五、作业：P5习题16.1 1题六、教学反思。
16.1二次根式 1课时 导学案-人教版八年级数学下册
16.1 二次根式 1课时导学案-人教版八年级数学下册一、知识回顾在前面的学习中，我们学习了根式的概念和性质，了解了根式的化简、加减乘除等基本运算法则。
本节课我们将学习二次根式的相关知识。
请回顾以下问题：1.什么是根式？2.根式有哪几种运算法则？3.如何对根式进行化简操作？二、学习目标1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的化简；3.能够利用二次根式的化简规律进行计算。
三、学习内容1. 二次根式的定义在代数中，我们把形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a称为被开方数，√称为二次根号。
2. 二次根式的化简对于二次根式的化简，我们可以利用一些化简规律来简化表达式。
（1）同底合并如果两个二次根式的底数相同，那么可以将它们合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√2（2）相乘化简如果二次根式与非二次根式相乘，可以移动根号进行化简。
例如：2√2 * 3 = 6√2（3）理数根号化简对于能整除被开方数的完全平方数，可以进行化简。
例如：√36 = 63. 二次根式的运算（1）加减运算相同底数的二次根式可以进行加减运算。
例如：√3 + √5 = √3 + √5（2）乘法运算二次根式的乘法运算仍然适用分配律。
例如：（√2 + √3）* (√2 + √3) = √2 * √2 + √2 * √3 + √2 * √3 + √3 * √3 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6（3）除法运算对于二次根式的除法，可以利用有理化分母的方法进行运算。
例如：√6 / √2 = (√6 / √2) * (√2 / √2) = √12 / 2 = 2√24. 二次根式的化简综合运用将以上所学知识综合运用，化简以下二次根式：（1）3√6 + 2√8（2）√12 * √27（3）（√5 + √3）* (√5 - √3)（4）（√3 + √7）/ (√3 - √7)四、学习总结本节课我们学习了二次根式的概念和性质，掌握了二次根式的化简和运算法则。
初中数学八下16.1二次根式(2)导学案
请同学们认真阅读课本3--4页，并划出你认为重要的内容。
（1）4的算术平方根是 ，（2）∵（ ）2=5∴ 是 的算术平方根，∴（5）2= 。
（3）16的算术平方根是 。
（4）x 时，式子52+x 有意义。
（5）用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示数的 连接起来的式子叫做代数式。
1.根据算术平方根的意义填空=2)3( ， =2)2( ，=2)31( ，=2)0( ， 则（a ）2 = ，（a 0≥），a 中a 是 数。
1.（a ）2=a 成立的条件是 。
2、（1）（4.2）2 = （2）（-2.0）2=（3）（-72）2 = （4）（212）2=3.填空并总结规律：=23 ，22.0 ，=20 ，2)5-(= ，2)35-(= 。
由上式可得：当0≥a 时，=2a ， 当0≤a 时，=2a 。
例1 计算（1）（-7）2 （2）（312）2(3)（-32.0）2 (4)-（55）2例2 计算：（1）-2)3-(（2）已知()x -11-x 2=，求x 的取值范围。
归纳：二次根式的性质 （1）a 0；（2）（a ）2 = ，（a 0≥）； （3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≥==0a ) (___0a (____)2a a1．)73-(2 6-10 810 = 2-3 =2．2a =a 成立的条件是 。
3.若2a =（a ）2，则a 的取值范围是 。
4.实数a 在数轴上的位置如图所示,化简2a =.5.当x 时，2)2-(x =x-2.6.2)3-π(= (8)2)5-2(=7.计算（1）23.0+（2-）2（2）2)2-(-（3）2（3）24.0-（-3.0）22）2（4）（23）2-（38.计算2)4-π(+2)π-3(9.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a-b|-2a(x-|4-x| 。
化简：若0＜x＜2，则2)2-。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案 (新版)沪科版-(新版)沪科版初中八年级下册数学学案
二次根式1．二次根式的概念(1)一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．(2)对于a(a≥0)的讨论应注意下面的问题：①二次根号“”的根指数是2，二次根号下的a叫被开方数，被开方数可以是数字，也可以是整式、分式等．②式子a只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是a为二次根式的前提条件．式子－2就不是二次根式，但式子(－2)2是二次根式．③a(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算，也可表示运算的结果．④4是二次根式，虽然4＝2，但2不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．二次根式有两个要素：一是含有二次根号“”；二是被开方数可以不只是数字，但必须是非负的，否则无意义．【例1－1】当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？a＋10，|a|，a2，a2－1，a2＋1，(a－1)2.分析：因为a为实数，而|a|≥0，a2≥0，a2＋1＞0，(a－1)2≥0，所以|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．因为a是实数时，并不能保证a＋10，a2－1是非负数，即a＋10，a2－1可能是负数．如当a＜－10时，a＋10＜0；又如当0＜a＜1时，a2－1＜0，因此，a＋10，a2－1不是二次根式．解：|a|，a2，a2＋1，(a－1)2是二次根式．【例1－2】x是怎样的实数时，式子x－3在实数X围内有意义？分析：问题实质上是问当x是怎样的实数时，x－3是非负数，式子x－3有意义．解：由二次根式的定义可知被开方式x－3≥0，即x≥3，就是说当x≥3时，式子x－3在实数X围内有意义．2．二次根式的性质(1)a(a≥0)是一个非．负数．．a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a ≥0(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性．【例2－1】若a＋3＋(b－2)2＝0，则a b的值是__________．解析：由题意可知a＋3＝0，(b－2)2＝0，所以a＋3＝0，b－2＝0，则a＝－3，ba b＝(－3)2＝9.答案：9(2)(a)2＝a(a≥0)由于a(a≥0)是一个非负数，表示非负数a的算术平方根，因此通过算术平方根的定义，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身，即(a)2＝a(a≥0)．【例2－2】化简：①(23)2＝__________；②(x－3)2(x≥3)＝__________.解析：①直接利用公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(23)2＝23；②因为x ≥3，所以x －3≥0，所以由公式(a )2＝a (a ≥0)，可得(x －3)2＝x －3(x ≥3)．答案：①23②x －3(3)a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).由算术平方根的定义，可得a2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).a 2＝a (a ≥0)表示非负数a 的平方的算术平方根等于a .【例2－3】计算：(1)(－1.5)2；(2)(a －3)2(a ＜3)；(3)(2x －3)2(x ＜32)．a (a ≥0).(1)(a )2＝a 的前提条件是a ≥0；而a 2＝|a |中的a 为一切实数．(2)a (a ≥0)，|a |，a 2是三个重要的非负数，即a (a ≥0)≥0，|a |≥0，a 2≥0，在解题时应用较多．(3)a 2＝(a )2成立的条件是a ≥0，否则不成立．(4)(a )2＝a (a ≥0)可以逆用，即任意的一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方形式．(5)在利用a 2进行化简时，要先得出|a |，再根据绝对值的性质进行化简，一定要弄清被开方数的底数是正还是负，这是容易出错的地方．3．求二次根式中被开方数字母的取值X 围由二次根式的意义可知，a 的取值X 围是：a 当a ≥0时，a 有意义，是二次根式；当a ＜0时，a 无意义，不是二次根式．(1)确定形如a 的式子中的被开方数中的字母取值X 围时，可根据式子a 有意义或无意义的条件，列出不等式，然后解不等式即可．(2)当被开方数是分式时，同时要求分母不等于零．求解此类问题抓住一点，就是由二次根式的定义a (a ≥0)得被开方数必须是非负数，即把问题转化为解不等式．【例3】当字母取何值时，下列各式为二次根式．(1)a 2＋b 2；(2)－3x ；(3)12x ；(4)－32－x.分析：必须保证被开方数是非负数，以上式子才是二次根式，当分母上有未知数时，分母不能为0，根据这些要求列不等式解答即可．解：(1)因为a ，b 为任意实数时，都有a 2＋b 2≥0，所以当a ，b 为任意实数时，a 2＋b 2是二次根式．(2)－3x ≥0，x ≤0，即当x ≤0时，－3x 是二次根式．(3)12x≥0，且x ≠0，所以x ＞0. 当x ＞0时，12x是二次根式． (4)－32－x≥0，故x －2≥0且x －2≠0，所以x ＞2. 当x ＞2时，－32－x是二次根式． 4．二次根式非负性的应用(1)在实数X 围内，我们知道式子a (a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，它具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0.运用这两个简单的非负性，再结合非负数的简单性质“若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0”可以解决一些算术平方根问题．巧记要点：二次根式，内外一致；即二次根式根号下和根号外一致为非负数． (2)到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：①|a |≥0；②a 2≥0；③a ≥0(a ≥0)．【例4－1】已知x ，y 都是实数，且满足y ＝5－x ＋x －5＋3，求x ＋y 的值． 分析：式子中有两个二次根式，它们的被开方数都应该是非负数，由此可得关于x 的不等式组．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5，x ≥5，∴x ＝5. 当x ＝5时，y ＝5－5＋5－5＋3＝3.∴x ＋y ＝5＋3＝8.两个算术平方根，当被开方数互为相反数时，只有它们同时为零，这两个式子才能都有意义．【例4－2】已知x ，y 为实数，且y ＝12＋8x －1＋1－8x ，则x ∶y ＝__________.解析：因为y 为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数．实际上，若a 和－a 都有意义，则a ⎩⎪⎨⎪⎧8x －1≥0，1－8x ≥0.解得x ＝18，于是y ＝12＋0＋0＝12.故x ∶y ＝1∶4.答案：1∶4,5．式子(a )2的意义和运用二次根式的一个性质是：(a )2＝a (a ≥0)．因为2＝(2)2，35＝(35)2，所以上面的性质又可以写成：a ＝(a )2(a ≥0)．可见，利用这个式子我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式．二次根式中的23表示2×3，这与带分数212表示2＋12是不一样的，因此，以后遇到32×3应写成323，而不能写成1123.【例5－1】计算：(1)(23)2；(2)(－212)2；(3)(－5×3)2. 解：(1)(23)2＝22×(3)2＝12.(2)(－212)2＝(－2)2×(12)2＝2.(3)(－5×3)2＝(－1)2×(5×3)2＝15.【例5－2】把多项式n 5－6n 3＋9n 在实数X 围内分解因式．分析：按照因式分解的一般步骤，先对多项式n 5－6n 3＋9n 提取公因式，得n (n 4－6n2＋9)，再利用完全平方公式分解，得n (n 2－3)2，要求在实数X 围内分解，所以可以将3写成(3)2，再运用平方差公式进行因式分解．解：n 5－6n 3＋9n ＝n (n 4－6n 2＋9)＝n (n 2－3)2＝n (n ＋3)2(n －3)2.6．二次根式与相反数和绝对值的综合应用(1)二次根式具有非负性，一个数的绝对值，完全平方数也是一个非负数，因此可以把这几者结合出题．(2)绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数，即：|a |≥0，b ≥0(b ≥0)，c 2≥0.非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零．即：|a |＋b ＝0⇒a ＝0，b ＝0；|a |＋c 2＝0⇒a ＝0，c ＝0； b ＋c 2＝0⇒b ＝0，c ＝0；|a |＋b ＋c 2＝0⇒a ＝0， b ＝0，c ＝0.【例6－1】若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则(a ＋b )2 011＝______. 解析：|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数， ∴|a －b ＋1|＋a ＋2b ＋4＝0. 而|a －b ＋1|≥0，a ＋2b ＋4≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋1＝0，a ＋2b ＋4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1. ∴(a ＋b )2 011＝(－2－1)2 011＝(－3)2 011＝－32 011.答案：－32 011【例6－2】若a 2＋b －2＝4a －4，求ab 的值．分析：通过变形将等式转化为两个非负数的和等于零的形式，即(a －2)2＋b －2＝0，由二次根式的性质可知b －2≥0，由完全平方数的意义可知(a －2)2≥0，而它们的和为零，则a －2＝0，b －2＝0，从而可求出a ，b 的值．解：由a 2＋b －2＝4a －4，得a 2－4a ＋4＋b －2＝0，即(a －2)2＋b －2＝0.∵(a －2)2≥0，b －2≥0且(a －2)2＋b －2＝0， ∴a －2＝0，b －2＝0，解得a ＝2，b ＝2. ∴ab ＝2，即ab 的值为2.7．二次根式(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |的区别、运用(a )2＝a (a ≥0)与a 2＝|a |是二次根式的两个极为重要的性质，是正确地进行二次根式化简、运算的重要依据．(1)正确理解(a )2与a 2的意义学习了二次根式的定义以后，我们知道a ≥0(a ≥0)，即a 是一个非负数，a 是非负数a 的算术平方根，那么(a )2就是非负数a 的算术平方根的平方，但只有当a ≥0时，a 才能有意义．对于a 2，则表示a 2的算术平方根，由于a 2中的被开方数是一个完全平方式，所以a 无论取什么值，a 2总是非负数，即a 2总是有意义的．(2)(a )2与a 2的区别和联系区别：①表示的意义不同．(a )2表示非负实数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②运算的顺序不同．(a )2是先求非负实数a 的算术平方根，然后再进行平方运算；而a 2则是先某某数a 的平方，再求a 2的算术平方根．③取值X 围不同．在(a )2中，a 只能取非负实数，即a ≥0；而在a 2中，a 可以取一切实数．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤结果不同．(a )2＝a (a ≥0)，而a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ＞0)，0(a ＝0)，－a (a ＜0).联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算． ②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2.如果先做二次根式运算，后做平方运算，只有一种可能；如果先做平方运算，再做二次根式运算，答案需分情况讨论．___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________【例7－1】已知x ＜2，则化简x 2－4x ＋4的结果是( )． A ．x －2B ．x ＋2C ．－x －2D ．2－x解析：x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝(2－x )2，因为x ＜2,2－x ＞0，所以x 2－4x ＋4＝2－x .答案：D【例7－2】化简1－6x ＋9x 2－(2x －1)2得( )． A ．－5x B ．2－5x C ．x D ．－x【例7－3】若m 满足关系式3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝x －199＋y ·199－x －y ，试确定m 的值．分析：挖掘题目中隐含的算术平方根的两个非负性，并在解题过程中有机地配合应用，是解决本题的关键．解：由算术平方根的被开方数的非负性，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －199＋y ≥0，199－x －y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥199，x ＋y ≤199.∴x ＋y ＝199. ∴x －199＋y ·199－x －y ＝0. ∴3x ＋5y －2－m ＋2x ＋3y －m ＝0.再由算术平方根的非负性及两个非负数的和为零，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y －2－m ＝0，2x ＋3y －m ＝0.①②由①－②，得x ＋2y ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝199，x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝396，y ＝－197. ∴m ＝2x ＋3y ＝2×396＋3×(－197)＝201.点拨：(1)运用二次根式的定义得出：x ≥a 且x ≤a ，故有x ＝a ，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法，在前面的解题中已用到．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝0推出a ＝b ＝0，这也是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之。
最新人教版八年级数学下册 16.1 第1课时 二次根式的概念 导学案
图①图②
倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.
【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结
:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
1.下列各式)1
x≥( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.(1)x的取值范围是___________;
(2)若式子
1
2
x
+
-
在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
探究点2：二次根式的双重非负性
问题1：当x
问题2a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；
（2
例3 若2
2(4)0
a c
--=，求a-b+c的值.
方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
例4 已知y8
+,求3x+2y的算术平方根.
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b
满足4 b=，
求此三角形的周长．
已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．
1.下列式子中，不属于二次根式的是（）
D
A.B.
2.（）
A.x＞2
B.x≥2
C.x＜2
D.x≤2
3.当x=____取最小值，其最小值为______．。
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。
a bo c
4、若 a2 a 0 ，则 a 的取值范围是
5、若△ABC 的三边长为 a,b,c，其中 a 和 b 满足 a 2 b 2 6b 9 0，
则 c 的取值范围是
6、实数在数轴上的位置如图示， 化简|a-1|+ (a 2)2
。
7、若 a 2 2，则 (a 2) 2 的平方根为（ ）
(1) 32 ,
(2) 6,
(3)
(5) xy， (6) a2 1 ,
12 , (4) - m (7) 3 5
4、跟踪训练：判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,
0.04,
a2 ,
5,
a , 3 8.
5、思考：二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？
例题 2、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
2、下列 x 为何值时，二次根式有意义？
a2
x2 4x 4
（1） 2 4x 3
（2） 5x
（3） x 1
x3
（4）
x2 3
1 （5） 2x 5
二、 自主预习
1、当 x 分别取下列值时，求二次根式 4 2x 的值:
(1)x=0; (2)x=1; (3)x=-1
（6） x 2 2 x
；
（2）如果 x2 3 ，那么 x
；
（3）如果x2 a(a 0) ，那么 x
2、什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？
3、平方根具有哪些性质？
4、（1）16 的平方根是什么? 算术平方根是什么？ （2）0 的平方根是什么？算术平方根是什么？ （3）－7 有没有平方根？有没有算术平方根？
A．16
B．±16
C．±4
D．±2
8、代数式 3 4 x2 的最大值是__________ 。
9、若 1 x 2 ，则化简 x 22 2x 1 =__________。
2
10、若代数式 2 a2 a 42 的值是常数 2，则 a 的取值范围是___________。
11、求下列二次根式中字母 x 的取值范围：
A、—5 B、1 C、13 D、19—4k 二、填空
1、二次根式 2x 1 有意义时的 x 的范围是
。
x2
2、若 x、y 都为实数，且 y 2008 x 5 2007 5 x 1，则 x2 y =________。
3、若实数 a、b、c 在数轴上的位置如图则化简
a 2 (a b)2 | b c | | c a |
3、若１＜x＜４，则化简 ( x 4)2 ( x 1)2 的结果是 4、设 a,b,c 为△ ABC 的三边，化简 (a b c)2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2
二次根式习题一
一、选择 1、下列代数式中二次根式有总有意义的有（ ）
⑴
1
，⑵
16 ，⑶
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s），与开始落下时离地面的
高度 h （单位：m），满足关系式 h 5t 2 。如果用含有 h 的式子表示 t，则 t 为
三、小组合作探究
1、式子 3 S 65
h
它们有什么共同特点？
5
2、二次根式的定义：
3、二次根式有什么特点？
例题 1、说一说，下列各式是二次根式吗?
8．比较大小 6 5 ______7 3 ．（填“>”，“＝”，“<”号）
a -2 -1 0 1 2
9．数 a 在数轴上的位置如图所示，化简：│-a-1│-2 a2 =________．
10． 252 242 =________．
11．计算： (1 2)2 + ( 2 3)2 + ( 3 4)2 +…+ ( 2004 2005)2 =______．
5、思考 a - a a 分别表示什么含义？
二、预习导学 1、自主预习新课。 2、思考：请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式
a 的认识。
3、导入新课，完成思考：
（1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为
（2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130，则它的宽是 m。
C．（-
1 2 ）2=
(2 1 )2
2
2
4．（ 10 ）2- (10)2 =________；
D． 1 1 =1- 1 = 2 9 33
5． (5)2 +（- 5 ）2=________．
5. 计算： ( 3 2)2 + ( 3 1)2 =_______．
7
7
1
1
6. 计算： - 0.16 -（ ）2=_______;
4
2
7．计算 ( 2 4)2 -| 3 - 2 |． 3 5 53
8．计算： ( 4)2 + ( 3)2 ;
9．计算： ( 2 3)2 + ( 2 3)2 ．
32 42
10．计算：
．
49
（B 组） 1．下列运算正确的是（ ）
A．（ 5 ）2=-5 B．（- 5 ）2=-5 C．- (5)2 =5
D．在直角三角形中，若两条直角边分别是 5 ，2 5 ，那么斜边长为 5
4．计算 (11)2 +|-11|- 112 ，正确的结果是（ ）
A．-11 B．11 C．22 D．-22
5．（- 5 ）2- 9 + (2)2 =________； 6． 36 =________． 7． (7)2 -（2 7 ）2=__________．
第十六章 二次根式
16．1 二次根式（1）（第一课时）
教学目的：
1、了解二次根式的概念；
2、了解二次根式的基本性质；
3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。
重点：二次根式的概念和基本性质
难点：二次根式的基本性质的灵活运用。
教学过程：
一、复习，小组合作探讨。
1、（1）如果 x2 4 ，那么 x
(1) 2x 4
(2) 1 3x
(3) x2 1
(4) x3
总结：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
四、拓展训练 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
(1) 2 x3
1 (2)
(x 2)2
3 1
1 2x
1 x (4)
2 x
2、已知二次根式 1 有意义,那 A(a, a )在第 a
（2） 8 2
3 2
2 3 2
3
2 3
2
4、（1）探究：
22
0.12
（2）归纳总结：二次根式的性质 2：
2 2 3
5、例题 2，化简：
(1) 8
(2) (5)2
x xy 2
02
跟踪训练： （1）课本 P4 页做一做。 （2）计算
1
2
5
3 2
（2） 1 2 2
(1) 2x 1 ，（ 2）
2
，（ 3）
2 x 2 x ，（ 4）
x 1
，（ 5）
x2 3 ⑹
x5
x 1
2x
.
2 x
二次根式习题二
（A 组） 1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”）
（1）（ 1 ）2=- 1 22
（ ）;（2） ( 1 )2 =- 1 22
（）
11
（3）（- ）2=-
22
2、会运用其进行相关计算。
重点：会运用 a （a≥0）是非负数、（ a ） 2 =a（a≥0）、 a 2 =a（a≥0）进行相关运算。 难点：理解 a （a≥0）是非负数、（ a ） 2 =a（a≥0）、 a 2 =a（a≥0）。
教学过程： 一、 课前复习 1、下列各式是否为二次根式?
m2 1
n2
（2）实数 a,b 满足 a 2b 1 1 2b 1 ，求 a 和 a+b 的值。
（3）已知：a b 6与 a b 8互为相反数，求a,b的值。
教学反思：
16．1 二次根式（1）（第二课时）
教学目的：
1、理解二次根式的性质：
（1） a （a≥0）是非负数；（2）（ a ） 2 =a（a≥0）；（3） a 2 =a（a≥0）
）
（A ）0
（B）1
（C） -1
7、下列各式中一定成立的是（ ）
（D） 2
A、 (3.7)2 ( 3.7)2
B、 m2 ( m)2
C、 x2 4x 4 x 2
D、 a 2 a
8、如果一个三角形的三边长分别为 1、k、3，化简
7 4k 2 36k 81 | 2k 3 | 结果是（ ）
1
1
（ ）;（4）（2 ）2=2× =1 （ ）
2
2
2．下面的计算中，错误的是 （ ）
A． 0.0009 =±0.03 B．± 0.0049 =±0.07
C． 0.0225 =0.15
D．- 0.0169 =-0.13
3．下列各式中一定成立的是（ ）
A． 32 42 = 32 + 42 =3+4=7 B． ( 2 3)2 = 2 - 3
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
4、 (2)2 化简的结果是( b )
(A) –2
(B) 2
(C) ±2
(D) 4
5、使代数式 8 a a 有意义的 a 的范围是（ ）
（A） a 0 （B） a 0 （C） a 0 （D）不存在
6、若 x 1 x y 0 ，则 x 2006 y 2005 的值为： （
2、（1）根据算术平方根的意义填空