概率论与数理统计浙大第四版
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每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中概率的计算： 记 n 中包含的基本事件总数
k 组成 A的基本事件个数
则 P( A) k / n
排列组合有关知识复习
乘法原理：如果一个过程分两个阶段进行，第一个
阶段有m种不同的做法，第二个阶段有n种不同的做 法，且第一个阶段的任意一种做法都可以与第二个阶 段的任意一种做法相配合，则整个过程有m*n种的做 法。
P( A B) P( A) P(B)
推广：
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(AC) P(B C) P(A B C)
例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率
4
则 A Ai i 1
P(
Ai
)
3! 4!
1 4
,
i＝1时，表示1号 球放入1号盒，其
乘法原理在排列和组合的问题中被广泛的使用。
加法原理：如果完成一个过程有n类方法，第一类
方法有m1种不同的做法，第二类方法有m2种不同的 做法，……第n类方法有mn种不同的做法，则完成这 一过程有m1＋m2＋……＋mn种做法。
加法原理在概率问题中被广泛的使用。
排列 从 n 个不同的元素中取出 r个 (不放
88 万 2万 1.5 万
10 万 14.2 万 5万
时间
地点
级别 死亡
1948.06.28 1970.01.05 1976.07.28 1978.09.16 1995.01.17 1999.08.17 2003.12.26 2004.12.26
日本福井地区
7.3
中国云南
7.7
中国河北省唐山 7.8
A (AB) B
红色 区域
交
A
(AB)
A
黄色
B 区域 (AB)(AB)A
例3 化简事件 ( A B C ) AC
解 原式 ABC AC ABC AC
(A B)C AC AC BC AC A(C C) BC
A BC A BC
例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系
A ,B ,C 都不发生——
A B C ABC
A ,B ,C 不都发生——
ABC A B C
例5 在图书馆中随意抽取一本书，
事件 A 表示数学书， B 表示中文书， C 表示平装书.
则
AB C —— 抽取的是精装中文版数学书 C B —— 精装书都是中文书
AB —— 非数学书都是中文版的，且
中文版的书都是非数学书
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) P(AB) P(A)P(AB) 0.70.10.6
(2) P(AB) P(A) P(B)P(AB) 0.8
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下P(A∩B) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？
§1.3 频率与概率
历史上概率的三次定义
① 古典定义
概率的最初定义
② 统计定义
基于频率的定义
③ 公理化定义 1930年后由前
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
频率
设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，
则称 f n ( A )
m n
为事件 A 发生的 频率
频率的性质
0 fn ( A) 1
fn ( ) 1
A
每次试验 A、 B中
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组 n
若 A1, A2,, An两两互斥，且 Ai
则称 A1, A2,, An为完备事件组 i1
或称 A1, A2,, An为 的一个划分
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
Anr n(n 1)(n 2)(n r 1)
全排列 Ann n!
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 r 个排成一排, 不同的排法有 nr 种
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地）组成一组， 不同的分法共有
n r
C
r n
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 易懂
缺点：粗糙 不便 模糊 使用
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫
哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.
设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
S3 {(x, y) T1 x y T2}
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生
伊朗塔巴斯镇地区 7.9
日本阪神工业区 7.2
土耳其伊兹米特市 7.4
伊朗克尔曼省
6.8
印尼苏门答腊岛附近海域 9.0
0.51 万 1万 24.2 万 1.5 万 0.6 万 1.7 万 3万 15 万
世界每年发生大地震概率约为14%
概率的定义
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次
试验中, A 发生的频率fn(A)稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越
若 A B P(B A) P(B)P(A)
P(A) P(B)
对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( A B)
A
A∩B
B=A∩B+(B – A)
B - A∩BB
P(B)=P(A∩B) + P(B – A∩B)
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
AB
2. 事件的相等
AB AB 且 B A
3. 事件的并(和)
AB 或AB —— A 与B 的和事件
A B 发生 事件 A与事件B 至
少有一个发生
A
AB B
n
A1, A2 ,, An 的和事件 —— Ai
i1
A1, A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
—— A 与B 的积事件
A
B
A B 发生
AB
事件 A与事件B 同时 发生
n
A1, A2 ,, An 的积事件 —— Ai i1
A1, A2 ,, An , 的积事件 —— Ai i1
5. 事件的差
AB
A
—— A 与B 的差事件
B
AB
A B 发生
事件 A 发生，但 事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
Baidu Nhomakorabea A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
A1
An
A2 A3
An1
运算律 事件 对应 集合
运算
运算
吸收律 A A A
A A A
A (AB) A A(A B) A
重余律 A A
幂等律 A A A A A A
差化积 A B AB A(AB)
交换律 AB B A AB BA
结合律 (AB)C A(BC)
第一章 基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5
随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 事件的独立性
第一章 基本概念
确定性现象 随机现象 ——
试验发生前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
事件 A, B互斥，则
非负性 归一性
fn(A B) fn(A) fn(B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
lim
n
fn ( A) P( A)
稳定性
某一定数
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊( Pearson ) 投币
n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
频率的应用
当试验次数较大时有
事件发生
的概 率
事件发生 的频 率
根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率
近百年世界重大地震
“重大”的标准
( AB )C A(BC )
分配律 (AB)C (AC)(BC)
A (BC) (A B)(A C)
德摩根律 AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
AB AB
n
n
Ai Ai
i1
i1
B A
分配律
图示
C
A(BC)
( A B)(A C)
B
A
C
例2 用图示法简化 (AB)(AB). AB
① 震级 7 级以上 ② 死亡 5000人以上
时间
地点
级别 死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
AB —— A 与B 互斥 A
A、 B不可能同
时发生
B
A1, A2 ,, An 两两互斥 Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1, A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , AB
B A
—— A 与B 互相对立
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
(n
n! r)!r!
C nr n
例
将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率
解 n C155C150C55 （1） nA C142C84C44C31C21C11
§1.1 随机事件
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果
试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为(或S)
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B…E… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S1 {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 S2 {0,1,2,3,, N }
古典概型中概率的计算： 记 n 中包含的基本事件总数
k 组成 A的基本事件个数
则 P( A) k / n
排列组合有关知识复习
乘法原理：如果一个过程分两个阶段进行，第一个
阶段有m种不同的做法，第二个阶段有n种不同的做 法，且第一个阶段的任意一种做法都可以与第二个阶 段的任意一种做法相配合，则整个过程有m*n种的做 法。
P( A B) P( A) P(B)
推广：
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(AC) P(B C) P(A B C)
例 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王
(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率
4
则 A Ai i 1
P(
Ai
)
3! 4!
1 4
,
i＝1时，表示1号 球放入1号盒，其
乘法原理在排列和组合的问题中被广泛的使用。
加法原理：如果完成一个过程有n类方法，第一类
方法有m1种不同的做法，第二类方法有m2种不同的 做法，……第n类方法有mn种不同的做法，则完成这 一过程有m1＋m2＋……＋mn种做法。
加法原理在概率问题中被广泛的使用。
排列 从 n 个不同的元素中取出 r个 (不放
88 万 2万 1.5 万
10 万 14.2 万 5万
时间
地点
级别 死亡
1948.06.28 1970.01.05 1976.07.28 1978.09.16 1995.01.17 1999.08.17 2003.12.26 2004.12.26
日本福井地区
7.3
中国云南
7.7
中国河北省唐山 7.8
A (AB) B
红色 区域
交
A
(AB)
A
黄色
B 区域 (AB)(AB)A
例3 化简事件 ( A B C ) AC
解 原式 ABC AC ABC AC
(A B)C AC AC BC AC A(C C) BC
A BC A BC
例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系
A ,B ,C 都不发生——
A B C ABC
A ,B ,C 不都发生——
ABC A B C
例5 在图书馆中随意抽取一本书，
事件 A 表示数学书， B 表示中文书， C 表示平装书.
则
AB C —— 抽取的是精装中文版数学书 C B —— 精装书都是中文书
AB —— 非数学书都是中文版的，且
中文版的书都是非数学书
解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1) P(AB) P(A)P(AB) 0.70.10.6
(2) P(AB) P(A) P(B)P(AB) 0.8
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下P(A∩B) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？
§1.3 频率与概率
历史上概率的三次定义
① 古典定义
概率的最初定义
② 统计定义
基于频率的定义
③ 公理化定义 1930年后由前
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
频率
设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，
则称 f n ( A )
m n
为事件 A 发生的 频率
频率的性质
0 fn ( A) 1
fn ( ) 1
A
每次试验 A、 B中
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组 n
若 A1, A2,, An两两互斥，且 Ai
则称 A1, A2,, An为完备事件组 i1
或称 A1, A2,, An为 的一个划分
回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有
Anr n(n 1)(n 2)(n r 1)
全排列 Ann n!
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地
取出 r 个排成一排, 不同的排法有 nr 种
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地）组成一组， 不同的分法共有
n r
C
r n
小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
对本定义的评价
优点：直观 易懂
缺点：粗糙 不便 模糊 使用
概率的公理化定义
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫
哥洛夫(A.H.Колмогоров)1933年建立.
设 是随机试验E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
S3 {(x, y) T1 x y T2}
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.
随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生
伊朗塔巴斯镇地区 7.9
日本阪神工业区 7.2
土耳其伊兹米特市 7.4
伊朗克尔曼省
6.8
印尼苏门答腊岛附近海域 9.0
0.51 万 1万 24.2 万 1.5 万 0.6 万 1.7 万 3万 15 万
世界每年发生大地震概率约为14%
概率的定义
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次
试验中, A 发生的频率fn(A)稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越
若 A B P(B A) P(B)P(A)
P(A) P(B)
对任意两个事件A, B, 有
P(B A) P(B) P( A B)
A
A∩B
B=A∩B+(B – A)
B - A∩BB
P(B)=P(A∩B) + P(B – A∩B)
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
AB
2. 事件的相等
AB AB 且 B A
3. 事件的并(和)
AB 或AB —— A 与B 的和事件
A B 发生 事件 A与事件B 至
少有一个发生
A
AB B
n
A1, A2 ,, An 的和事件 —— Ai
i1
A1, A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
—— A 与B 的积事件
A
B
A B 发生
AB
事件 A与事件B 同时 发生
n
A1, A2 ,, An 的积事件 —— Ai i1
A1, A2 ,, An , 的积事件 —— Ai i1
5. 事件的差
AB
A
—— A 与B 的差事件
B
AB
A B 发生
事件 A 发生，但 事件 B 不发生
6. 事件的互斥(互不相容)
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
Baidu Nhomakorabea A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
A1
An
A2 A3
An1
运算律 事件 对应 集合
运算
运算
吸收律 A A A
A A A
A (AB) A A(A B) A
重余律 A A
幂等律 A A A A A A
差化积 A B AB A(AB)
交换律 AB B A AB BA
结合律 (AB)C A(BC)
第一章 基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5
随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 事件的独立性
第一章 基本概念
确定性现象 随机现象 ——
试验发生前不能预言出现什么结果 每次试验后出现的结果不止一个 在相同的条件下进行大量观察或试
验时，出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
事件 A, B互斥，则
非负性 归一性
fn(A B) fn(A) fn(B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
lim
n
fn ( A) P( A)
稳定性
某一定数
频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数
n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 皮尔逊( Pearson ) 投币
n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016 n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005
频率的应用
当试验次数较大时有
事件发生
的概 率
事件发生 的频 率
根据如下百年统计资料可得 世界每年发生大地震的概率
近百年世界重大地震
“重大”的标准
( AB )C A(BC )
分配律 (AB)C (AC)(BC)
A (BC) (A B)(A C)
德摩根律 AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
AB AB
n
n
Ai Ai
i1
i1
B A
分配律
图示
C
A(BC)
( A B)(A C)
B
A
C
例2 用图示法简化 (AB)(AB). AB
① 震级 7 级以上 ② 死亡 5000人以上
时间
地点
级别 死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
AB —— A 与B 互斥 A
A、 B不可能同
时发生
B
A1, A2 ,, An 两两互斥 Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1, A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , AB
B A
—— A 与B 互相对立
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
(n
n! r)!r!
C nr n
例
将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率； (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率
解 n C155C150C55 （1） nA C142C84C44C31C21C11
§1.1 随机事件
基本术语 对某事物特征进行观察, 统称试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
可在相同的条件下重复进行 试验结果不止一个,但能明确所有的结果
试验前不能预知出现哪种结果
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间 记为(或S)
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B…E… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次，观察正面出现的次数
S1 {0,1,2,3}
有限样本空间
E2 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 S2 {0,1,2,3,, N }