三角形相似及尺规作图资料

三角形相似及尺规作
图
A
B C
图形的相似
【知识点归纳】
1.在同一单位长度下，两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
2.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
3.若a:b=b:c 或c b
b a =，则b 叫做a ，
c 的比例中项.
4.比例的基本性质:
b a =d c
⇔ad=bc(bd ≠0). 5.合比性质：b a =d c ⇔d d
c b b a ±=
±. 6.等比性质：.n
...d b m
...c a b a )0n ....d b (n m ....d c b a ++++++=⇒≠+++===
7．若线段AB 上一点P 把线段AB 分成AP 、BP 两部分，并且使AP ²=BP ·AB ，则这
种分割叫做黄金分割.
8.如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 9.相似三角形的判定：
（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 10.相似三角形的性质：
（1）对应角相等； （2）对应边成比例； （3）周长比等于相似比； （4）面积比等于相似比的平方
11.如果两个图形相似，并且它们的对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫位似图形.这一点叫位似中心，对应边的比叫位似比，位似比等于相似比.
习题巩固
1．如图1，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是【 】
图1 A ． B ． C ． D ．
2.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值 【 】
A ．只有一个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.
如图，已知AD为ABC的角平分线，DE//AB交AC于E，如果AE/EC=2/3，求AB/AC的值是【】
A．31 B.32 C.52 D.53
4.如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂
直，设B点的最大高度为h1.若将横板AB 换成横板A ′B′，且A′B′
=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确
的是【】
A.h2=2h1
B.h2=1.5h1
C.h2=h1
D.h2=2
1
h1
5.如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE．若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为________________（用a的代数式表示）．
6.如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D，当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【】
A. B. C.3 D.4
（第11题
7. 如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在AB 、AD 上，且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ，下列结论：
（1）△AED ≌△DFB ； （2）S 四边形BCDG=
4
3CG2；（3）若AF=2DF ，则BG=6GF.
其中正确的结论：
A ．只有①②
B ．只有①③
C ．只有②③
D ．①②③
7.如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③∠OED ∽∠AOO ；④2CD2=CE ·AB ，其中正确结论的序号是____________
8.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ．点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BG 丄CD ，分别交GD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于的直线相交于点G ，连接DF ．给出以下四个
结论： ①；②点F 是GE 的中点；③AF=AB ；④S △ABC=5S △BDF ，其中正确的结论
序号是_______________．
9.如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =2
2BD，设BD = a，求BC的长.
10.在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF 与BA的延长线交于E．
⑴求证△ABD为等腰三角形．
⑵求证AC•AF=DF•FE
B A
F
D
C
M
尺规作图
基本作图：作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作角的平分线 作线段的垂直平分线 过一点做一已知线段的垂线 作黄金分割点
1. 作一个角等于已知角， 已知AOB ∠
求作：∠B O A '''，使∠B O A '''=AOB ∠ 作法：
（1）作射线A O ''；
（2）以O 点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA 于点C ，交OB 于点D ； （3）以O 点为圆心，以OC 长为半径画弧，交OA 于点C ； （4）以C 点为圆心，以CD 为半径画弧，交前面的弧于点D ； （5）过点D 作射线OB 。

∠B O A '''就是所求的角.
2. 作角的平分线
求作：作∠ABC 的角平分线：
1.以B 点为圆心，任意长为半径，在BA 和BC 上取BD=BE ；
2.分别以D 、E 为圆心，任意长为半径做弧线，两弧线相交于F 点（两个弧半径相同）；
3.过F 点作射线OF. 则OF 为∠ABC 的角平分线.
3. 作线段的垂直平分线
如图，如图24.4.6，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
作法：1、分别以A、B两点为圆心，以大于1
2
AB长为半径画弧，两弧相
交于C、D两点；
2、过C、D两点作直线CD。

所以，直线CD就是所求作的.
4.过一点做一已知线段的垂线。

如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线。

作法：（1）以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点；
（2）分别以A、B两点为圆心，以大于1
2
AB长为半径画弧，两
弧相交于C、D两点；
（3）过C、D两点作直线CD.
则直线CD就是所求作的.
5.作AB的黄金分割点
作法：
1.过已知直线AB的端点B作BC⊥AB，使BC=0.5AB；
2.连接AC，在AC上截取CD=CB；
图24.4.6
3.在AB上截取AP=AD.
则P点就是线段AB的黄金分割点.。