9 垂径定理 圆心角 圆周角定理(

垂径定理圆心角圆周角定理

垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧

1、平分弦所对的两条弧）

2、平分弦（不是直径）

3、垂直于弦

4、过圆心

推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧。

推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

[垂径定理是圆的重要性质之一，它是证明圆内线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为圆中的计算、证明和作图提供了依据、思路和方法。]

圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

2.半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

切线定理

（定义）和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。

（数量法d=r）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。

判定定理：1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

判定性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂线，证半径（d=r）

练习

一选择题：

1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）

A．42°B．48°

C．52°D．58°

2.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，

AO∥DC，则∠B的度数为( )

A．50° B．55°

C．60° D．65°

3.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，

则∠BOC是（）

A．100° B．110°

C．120° D．130°

4.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上

移动，则OM取值范围是（）

A.3≤OM≤5

B.3≤OM＜5

C.4≤OM≤5

D.4≤OM＜5

5、如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为( )

A．15°B．28° C.29°D．34°

7.如图，C为⊙O直径AB上一动点,过点C的直线交⊙O于D、E两点,且∠ACD=45°,DF⊥AB于点F,EG⊥AB 于点G,当点C在AB上运动时,设AF=x,DE=y,下列中图象中,能表示y与x的函数关系式的图象大致是

( )

8.如图.⊙O 中，AB、AC是弦，O在∠ABO的内部，，，，则下列关系

中，正确的是（）

A. B.

C． D.

9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD=DC，∠ADB=20º，则∠ACB，∠DBC分别为（）

A．15º与30º B．20º与35º

C．20º与40º D．30º与35º

10.图中∠BOD的度数是（）

A．55° B．110°

C．125° D．150°

11.如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，

则∠I为（）

（A）140°（B）125°

（C）130°（D）110°

12.如图,弦AB∥CD，E为弧CBD上一点，AE平分，

则图中与相等（不包括）的角共有（）

A．3个 B．4个

C．5个 D．6个

13、如图，已知的半径为1，锐角内接于，于点，于点，则

的值等于（）

A．的长 B．的长 C．的长 D．的长

14.如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）

A.直线的一部分

B.圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

15.如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为（）

A. B.

C.或

D.或或

16.如图，，在以为直径的半圆上，，在上，为正方形，若正方形边长为1，，

，则下列式子中，不正确的是（）

A. B.

C. D.

17.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

18.如图，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；

③AE·AD=AB·AC；④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

19.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q。若MP+NQ=14，AC+BC=20，则AB的长是（）

A. B. C.13 D.16

20.如图,AB是⊙O的直径,M是⊙O上一点,MN⊥AB,垂足为N，P、Q分别是弧AM、弧BM上一点（不与端点重合）．若∠MNP=∠MNQ.下面结论：①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．正确的结论有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

二填空题:

21.如图所示,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=54°，则∠BCD= ．

22.如图,点A,B,C,D在⊙O上,点O在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD= °．