水平集图像分割

IEEE Transactions on Image Processing. 2001,10(2):266~276
[4]Li C M, Xu C Y, Gui C F, et al. “ Level Set Evolution Without Re-initialization: A New Variational Formulation”
1 注意扩散因子 (1 ) 。如果 >1，那么扩散因子的作用
就是减小梯度，也就起到了限制梯度扩散的作用；反之同理。
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关于时间步长的选取 在提出的LXF模型中，时间步长可以取得比传统水平集方 法中大一些。在这篇文献中就取到了从0.1到100的宽幅范 围。那么到底取多大的时间步长才能保证迭代的稳定性呢？ 通过实验得出如下的经验公式：
像中的不同区域。这种基于相似性原理的方法也称为基 于区域相关的分割技术 非连续性分割：首先检测局部不连续性，然后将它们连 接起来形成边界，这些边界把图像分以不同的区域。这 种基于不连续性原理检测出物体边缘的方法称为基于点 ( 边界)相关的分割技术 两种方法是互补的。有时将它们地结合起来，以求得到 更好的分割效果。
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形式化定义
令集合R代表整个图像区域，对R的分割可看作将R分成若
干个满足以下条件的非空子集（子区域） R1， R2， R3， … Rn :
(1) Ri
i 1
n
( 2)对所有的i和j , i j , 有Ri R j ( 3)对i 1,2,...,n, 有P ( Ri ) true (4)对i j , 有P ( Ri R j ) false (5)对i 1,2,...,n, Ri 是连通的区域
d (( x, y ), C )inside (C ), 0,onC , d (( x, y ), C )outside(C ).


水平集函数在迭代的过程中可能发生退化，使它不再保持符号 距离函数，因此必须进行重新初始化操作，以保证水平集函数 接近一个符号距离函数，从而保证数值解法的稳定性。 标准的重新初始化方法是通过解以下的Hamilton-Jacobi方程实 现的：
Computer Vision and Pattern Recognition. 2005:1,430~436
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水平集方法

Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出，最近十几年得到广泛 的推广与应用。简单的说来，Level Set方法把低维的一些计算上升到更 高一维，把N维的描述看成是N＋1维的一个水平。举个例子来说，一个二 维平面的圆，如x^2+y^2=1可以看成是二元函数f(x,y)=x^2+y^2的1水平， 因此，计算这个圆的变化时就可以先求f(x,y)的变化，再求其1水平集。
图像分割定义
图像分割
按照一定的规则将一幅图像分成各具特性的区域，并提取
出感兴趣目标的技术和过程
其它名称：
目标轮廓技术（object delineation ） 目标检测（target detection） 阈值化技术（thresholding） 图像处理到图像分析的关键步骤
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图像分割的应用
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地位
图像处理着重强调图像之间进行变换以改善图像的效果 图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测
量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述 图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图 像中各目标的性质和它们之间的相互关系，并得出对图 像的解释
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分类—分割依据
相似性分割：将相似灰度级的像素聚集在一起。形成图
sign(0 )(1 ) t

然而，在演化过程中周期性地对水平集函数进行校正，即重新 初始化为符号距离函数，这一操作计算量非常大，达到 O(M×N×P)。
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为解决该问题，Li,Xu,和Fox(简称LXF模型)等将距离约束 信息加入到主动轮廓模型的水平集能量泛函中，这就无需 对水平集函数重新初始化就可以驱使水平集函数接近一个 符号距离函数，其方法有很大的优势，可以节省很多计算 时间。 在建立模型前首先引入如下的边缘检测函数来驱使零水平 集向物体边界靠拢。
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研究层次
图像分割算法 图像分割算法的评价和比较
对分割算法的评价方法和评价准则的系统研究
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所用到的文献
[1]S.Osher,J.A.Sethian.
“Fronts propagating with curvature-dependent speed:algorithms based on HamiltonJacobi formulations” Journal of Computational Physics. 1988,79(1):12-49
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其它问题的一些说明

p( )(距离惩罚能量项)的说明。通过最小化方程 p( ),得到
相应的偏微分方程如下所示： t div( ) div( ) (0, x, y ) ( x, y) 0
1 t div[(1 ) ] (0, x, y ) ( x, y ) 0
g 1 1
G ( x, y)*u( x, y)
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他们给出如下模型。
E ( ) p( ) Em ( )
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其中p是关于 的内部能量函数，该项使水平集函数演化为 ) 符号距离函数。μ>0是内部能量项的权值；Em (是一控制水平 集函数 零水平集的外部能量项。
p( )
[2]M.Kass,A.Witkin,D.Terzopoulos.
“Snakes:active contour models” International Journal of Computer Vision. 1995,17(2):158-174
[3]Tony F.Chan,Luminita A.Vese. “Active Contours Without Edges”
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一些实验结果
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算法性能比较
217×203 图像 迭代400次 运行时间 文献[4]算法 文献[3]算法 17.51s 75.17s 抗躁性能 217×203图像 迭代400次 运行时间 19.06s 136.72s 抗噪性能 较差 较好
文献[4]所用参数为：μ=0.1；υ=0；λ1= λ2=1； τ=0.5； ε=10-5. 文献[3]所用参数为：μ=0.04；λ=5；υ=1.5；σ=1.5； ε=1.5；τ=5.
C t
V (k ) N
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水平集方法

由 ，对t进行全微分，得 而内向法向量 N ，整理得到
(C (t ), t ) 0

C 0 t t
V (k ) N V (k ) V (k ) t

这就是用水平集进行曲线演化的方程。 用水平集方法实现主动轮廓线模型有如下优点：
演化曲线可以随φ的演化自然地改变拓扑结构，可以分裂、合并、形成尖角等。 由于φ在演化过程中始终保持为一个完整的函数，因此容易实现近似数值计算。 水平集方法可以扩展到高维曲面的演化，简化了三维分割理论和应用的复杂性。
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在传统的水平集方法中，初 始水平集函数通常取为由初 始曲线生成的符号距离函数。
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使用大的时间步长可以加快迭代速度，但是选的太大可能 会在边缘的地方引起错误。即大的时间步长和精确的边缘 定位是一对矛盾。通常情况下选择时间步长小于10。
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本文的优势

相比传统的水平集曲线演化，本文主要有以下三点优势：
由于加大了迭代步长，所以明显地缩短了解偏微分方程的时间，加
速了曲线的演化速度； 水平集不用初始化为特定的符号距离函数，可以根据需要灵活的设 定，这样水平集的生成效率更高； 该模型可以使用有限差分法简单实现，而不用以前模型中的逆风 (upwind)算法。
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算法的不足和改进



水平集算法的核心是解决水平集进化的问题。通过分析比较 目前已有的水平集模型，发现主要存在有两大问题： 绝大部分水平集模型均涉及到需要在进化过程中对水平 集函数重新初始化的问题； 许多模型都需要借助原始图像的梯度信息来保证水平集 进化如期收敛。 文献[4]解决了第一个问题，但没有解决第二个问题。而第二 个问题会直接导致算法在处理由梯度定义的弱边缘图像特征 时显得无能为力，比如说很难捕捉到不光滑的尖角。 由于引入了梯度因子，所以对噪声比较敏感，不适合检测比 较平滑的图像区域。
2 1 1 dxdy 2

同时，外部能量项有如下定义：
g , , Lg ( ) Ag ( )
零水平集曲线的长度
Lg ( )
目标区域的加权面积值 g ( ) gH ( )dxdy


g ( )
dxdy
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相关的水平集演化方程如下
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分类—连续性与处理策略



连续性： 不连续性：边界 相似性：区域 处理策略：早期处理结果是否影响后面的处理 并行：不 串行：结果被其后的处理利用 四种方法 并行边界；串行边界；并行区域；串行区域
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问题
不同种类的图像、不同的应用需求所要求提取的区域是不
相同的。分割方法也不同，目前没有普遍适用的最优方法。 人的视觉系统对图像分割是相当有效的，但十分复杂，且 分割方法原理和模型都未搞清楚。这是一个很值得研究的 问题。
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水平集方法

水平集方法将平面闭合曲线隐含的表达为连续函数曲面 ( x, y, t ) 的一个具有相同函数值的同值曲线。通常将目标曲线隐含表示 在零水平集函数 { ( x, y, t ) 0} 中，即t时刻,对应于的零 水平集 C ( p, 0) {( x, y ) | ( x, y, 0) 0}, C ( p, t ) {( x, y ) | ( x, y, t ) 0}. 设用于演化的平面闭合曲线为C(p,t)=(x(p,t),y(p,t)),p为任意的 参数化变量，t为时间。设曲线的内向法向量为N ，曲率为k,则 曲线沿其法向量方向的演化可以用下面的偏微分方程表示：