基于正态分布的VIKOR多属性决策分析及matlab应用

基于正态分布的区间数VIKOR 多属性决策分析及matlab 应用1
在已有的区间数的多属性决策方法的研究成果中大部分认为属性值在区间数内是服从均匀分布的，只有少部分文献认为是服从正态分布的．事实上认为其服从正态分布更加贴近实际，比如一个班级学生的期末考试成绩，高分和不及格的都占少数，大多数处于中间状态。

对已知属性权重取值范围及属性值为区间数的多属性决策问题进行了分析，利用线性规划模型求出属性权重的确定值，考虑了区间数正态分布，得到了基于正态分布的折中妥协(VIKOR)区间多属性决策法
1.区间数的正态分布
随机变量ξa 在区间数[],=a a a 服从正态分布，记2
(,)ξμσ:a N ，根据正态分布的3σ原则()30.9973μσ-≤≈P a ，随机变量ξa 几乎可以肯定落在区间(3,3)μσμσ-+，故令3,3μσμσ=-=+a a ，解得[0,1],[0,1]26
μσ+-=∈=∈a a a a a a 。

μa 可以表示[],a a 的中心，反映了信息的确定程度，σa 表示[],a a 的宽度，反映了信息的不确定程度。

定义：设区间数[,],[,]μσμσ==a a b b A B ，称22()μμσσ⎛⎫->=Φ ⎪-⎝⎭a b a
b P A B 为>A B 的可能度。

2.决策方法
有方案1,,L m A A ，共有m 个，1(,,)=L n u u u 为n 个属性，在方案(1,,)=L i i m A 在属性j u 下的决策值为,⎡⎤=⎣⎦ij ij ij a a a ，决策矩阵为()⨯=ij
m n a A ，j w 为属性的权重，也为区
间数，{1,,},{1,,}==L L M m N n 。

基于正态分布的折中妥协(VIKOR)决策法的具体步骤如下：
步骤1用区间数规范化方法将原决策矩阵规范化处理得到矩阵,⨯⎡⎤=⎣⎦ij ij m n f f F
效益型规范化 11==⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩
∑∑ij ij m ij i ij
ij
m ij i a f a a f a 成本型规范化
1 Matlab 程序见文后的百度文库链接。

111/1/1/1/==⎧=⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩
∑∑ij ij m ij i ij
ij
m ij i a f a a f a 步骤2确定所有属性值的最优值+j f 与最劣值 -j f ，∈j N
max +∈=j ij i M f f ，max -∈=j ij i M
f f 步骤 3 通过线性规划找到所有决策方案的群体效益值[,]=i i i S S S 与个别遗憾度[,]=i i i R R R ，∈i M 。

其中i S 由下列线性规划求得
11min ,..1++-==⎛⎫-''= ⎪ ⎪-⎝⎭
'≤≤∈⎧⎪⎨'=⎪⎩∑∑n
j ij i j j j j j j j n
j j f f S w f f w w w j N s t w P1
11min ,..1++-==⎛⎫-''''= ⎪ ⎪-⎝⎭
''≤≤∈⎧⎪⎨''
=⎪⎩∑∑n
j ij i j j j j j j j n
j j f f S w f f w w w j N s t w P2 设模型(P1)、(P2)的最优解分别为1(,,)'''=L n w w W ，1(,,)''''''=L n w w W ，则备选方案i
A 的群体效益值为一个区间数[,]=i i i S S S ，其中
1++-=⎛⎫-'= ⎪ ⎪-⎝⎭∑n
j ij i j j j j f f S w f f 1++-=⎛⎫-''''= ⎪ ⎪-⎝⎭∑n
j ij i j j j j f f S w f f 类似地，我们求出个别遗憾度的区间数形式[,]=i i i R R R ，
max ++-∈⎧⎫⎛⎫-⎪⎪'= ⎪⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎩⎭j ij i j j N j
j f f R w f f max ++-∈⎧⎫⎛⎫-⎪⎪''= ⎪⎨⎬ ⎪-⎪⎪⎝⎭⎩⎭
j ij i j j N j j f f R w f f i S 越大，群体效益越大；i R 越小，个别遗憾越小。

步骤4 计算所有决策方案的折中值[,]=i i i Q Q Q
(1)--
+-+---=+---i i i S S R R Q v v S S R R (1)--
+-+-
--=+---i i i S S R R Q v v S S R R 其中min -=i i S S ，max +=i i S S ，min -=i i R R ，max +
=i i R R ，v 是决策机制系数，v 大于0.5表示根据大多数决议的方式制定决策，v 小于0.5表示根据拒绝的情况制定决策，v 近似0.5表示根据同时追求群体效用最大化和个别遗憾最小化制定决策，一般在VIKOR 时区v =0.5。

步骤5按i Q 对方案进行排序，
i Q 值越大表明该方案越差，i Q 越小表明该方案越优，i Q 是区间数，为了便于比较，考虑区间正态分布相比均匀分布的优越性，将折中值区间数转化为正态分布区间数[,]μσ=i Q 。

步骤6 建立决策方案折中值的可能度矩阵
121212120.5()()()0.5()()
()0.5≥≥⎡⎤⎢⎥≥≥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥≥≥⎢⎥⎣⎦L L L L O L L m m m m p Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p p Q Q p Q Q
令1()(),,==≥∈∑m i i k j p x p Q
Q i k M 作为排序指标，()i p x 越小方案i A 越优。

链接: https:///s/13I1lbaY37CBXhl2tCwez5w 提取码: zxkg。