.状态方程的解
线性离散系统状态方程的解
Z变换法(2/7)
在Z反变换中对标量函数存在下述公式和性质:
Z 1 1 /(1 az 1 ) a k Z {W1 ( z )W2 ( z )} w1 (k i ) w2 (i )
1 i 0 k
Βιβλιοθήκη 其中W1(z)和W2(z)分别为w1(k)和w2(k)的Z变换。 将上述公式推广到向量函数和矩阵函数,则可得
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
x(k ) G k x(0) G k j 1Hu( j )
j 0
k 1
该表达式与前面递推法求解结果一致。 例 已知某系统的状态方程和初始状态分别为 1 0 1 1 x(k 1) x( k ) u ( k ) x(0) 0.16 1 1 1
( k 1 , k0 ) G ( k ) ( k , k 0 ) ( k0 , k0 ) I
其解为
(k , k0 ) G(k 1)G(k 2)...G(k0 ) , k k0
线性时变离散系统状态方程的解(3/6)
与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公 式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有
2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线 性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由 零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求 积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决 于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采 样值u(k)无关。
状态方程的解
3.6 状态方程的解3.6 状态方程的解以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。
在时域分析中，假设控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。
线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为(3.107)状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t〕的作用下在t时刻的状态响应x(t)。
线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。
它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。
所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。
设一阶线性微分方程为(3.108)式中a,b为常数，方程的初始条件为对式〔3.108〕两边去拉普拉斯变换整理后得对上式两边进行拉普拉斯反变换得(3.109)其中，指数函数可以展开成无穷级数(3.110)状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。
我们先讨论齐次状态方程的求解问题。
设齐次状态方程为(3.111)初始条件为对式〔3.111〕两边取拉普拉斯变换得进而得(3.112)对〔3.112〕式两边求拉普拉斯的变换得(3.113)式中，称为矩阵指数，A为n*n维方阵，也是一个无穷级数(3.114)矩阵指数具有如下性质(3.115)(3.116)(3.117)齐次状态方程的解还可以写成(3.118)式中称为状态转移矩阵，是n*n维矩阵。
式〔3.118〕说明，状态方程〔3.111〕的解就是状态从初始状态向t时刻状态的转移，所以把称为状态转移矩阵。
显然，对线性定常系统(3.119)状态转移矩阵具有如下性质对于非齐次状态方程(3.120)可以写成两边左乘即对上式积分两边再左乘得(3.121) 〔3.121〕式也可以用状态转移矩阵表示(3.122)式中非齐次状态方程的解可以分为两部分，第一项表示了系统自由运动的特性，是初始状态转移项，叫零输入响应。
后一项表示了系统受迫运动的特性，起因于输入向量，叫做零状态响应。
第三章-4-状态方程的解
0 1 0
，利用方法1求解 exp(At)
0 A3 0 0 1 0 1 0 1 A 0
A
2
0 0 0
1 0 1
及 及
A A3 A5
e
At
( t ) ax ( t ) x
x ( t ) e at x ( 0 )
x (t ) e At x (0 )
n=n
于是
e
At
At (A t)2 (A t)3 (A t)k I 1! 2! 3! k!
其中，A 是方阵，exp[At] 是与 A 具有相同阶数的方阵。实际上，
exp(At ) exp(TT1t ) T exp(t )T1
4) 方法 4-----Cayley-Hamilton 4 Cayley Hamilton 定理
e
A t
exp[
At ]
n 1
k 0
k
(t ) A
k
13
状态方程的解
状态转移矩阵的计算：1) 直接计算
例 1. 假定 A 矩阵为 解：
6) 对于 nn 方阵 A 和 B，如果有 AB=BA，则
exp( A t ) exp( B t ) exp[( A B ) t ]
7) ) 对于任意非奇异矩阵 T，有
(T 1ATt ) 2 (T 1AT ) 2 t 2 (T 1 AT )(T 1 AT )t 2 2! 2! 2!
状态方程的解
状态转移矩阵的计算
对于给定的矩阵 A，计算 STM 闭合形式的方法包括：
1) 方法 1----1 直接计算
第三章线性系统状态方程的解
第三章 系统的分析——状态方程的解§3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义１、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为：)()(t Ax t x= 线性定常连续系统：Ax x= 初始条件：00x x t ==２、状态转移矩阵的定义齐次状态方程Ax x = 有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。
其解为)0()(x e t x At ⋅=。
其中At e 称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：At e t =)(φ。
若初始条件为)(0t x ，则状态转移矩阵记为：)(00)(t t A e t t -=-Φ 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为),(0t t φ，它是时刻t ，t 0的函数。
但它一般不能写成指数形式。
（１）幂级数法——直接求解设Ax x= 的解是t 的向量幂级数 +++++=k k t b t b t b b t x 2210)(式中 ，，，，，k b b b b 210都是n 维向量，是待定系数。
则当0=t 时， 000b x x t ===为了求其余各系数，将)(t x 求导，并代入)()(t Ax t x = ，得：+++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x)(2210 +++++=k k t b t b t b b A上式对于所有的t 都成立，故而有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======00323021201!1!31312121b A k b b A Ab b b A Ab b Ab b K K且有：00x b =故以上系数完全确定，所以有：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(+++++=k k t b A k t b A t Ab b 020200!1!21)0()!1!21(22x t A k t A At I kk +++++=定义（矩阵指数或矩阵函数）：∑∞==+++++=022!1!1!21K kk k k AttA k t A k t A At I e则)0()(x e t x At⋅=。
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
线性定常连续系统状态方程的解
...
eAtI
AtA2t2
...Aktk
...
2!
k!
其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有
L1[(sIA)1]L1Is
A s2
A2 s3
.
..
Ak1 sk
.
..
I AtA2t2 ...Aktk ...
2!
k!
eAt
❖ 因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 = eAt x0
sI A s2 3s 2 (s 1)(s 2)
(sI
A)1
adj(sI A) sI A
(s
1 1)(s
ห้องสมุดไป่ตู้
2)
s 3
2
1 s
2 s 1
1 s2
s
2
1
s
2
2
1 s 1
1 s2
s
1 1
s
2
2
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[( sI A)1]
L1
s
证明 由指数矩阵函数的展开式,有
eAetAsIA t A 2!2t2... A k!ktk...IAsA 2!2s2... A k!ksk...
IA(ts)A2(t22tss2)... Ak(ts)k...
2!
k!
eA(ts)
3) [Φ(t2-t1)]-1=Φ(t1-t2)
e A ( t 2 t 1 ) 1 e A ( t 2 t 1 ) e A ( t 1 t 2 )
2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
❖ 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩 阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状 态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结
状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结以状态空间模型的实现及状态方程的解实验总结为标题状态空间模型是一种描述动态系统行为的数学模型，通过将系统的状态、输入和输出量化为向量形式，以状态方程和输出方程的形式表示系统的动态行为。
在实际应用中，状态空间模型常用于控制系统的设计和分析。
在状态空间模型中，系统的状态由一组变量表示，这些变量描述了系统在不同时间点的状态。
状态方程描述了状态随时间的演化规律，是系统动态行为的核心部分。
状态方程通常采用微分方程的形式表示，其中包含系统的状态变量、输入和系统参数。
解状态方程可以得到系统状态随时间的变化情况，从而可以对系统的动态行为进行分析和预测。
在实验中，我们可以通过实际测量或仿真来获取系统的输入和输出数据，并根据这些数据来估计系统的状态方程和参数。
然后，利用已知的状态方程和输入数据，可以通过数值求解方法来解状态方程，得到系统的状态随时间的变化情况。
解状态方程的结果可以与实际测量或仿真数据进行比较，以验证状态方程的准确性和模型的有效性。
在进行状态空间模型实验时，需要注意以下几点：1. 系统建模：首先需要对系统进行建模，确定系统的状态变量、输入和输出，并推导出系统的状态方程和输出方程。
建模的过程中需要考虑系统的特性和约束条件，以及系统的稳定性和可控性等因素。
2. 实验设计：根据系统的特点和实验目的，设计合适的实验方案。
选择合适的输入信号，以及采样频率和采样时长等参数，以确保实验数据的准确性和可靠性。
3. 数据采集：在实验中需要采集系统的输入和输出数据。
输入信号可以通过外部激励或系统自身的反馈信号来产生，输出信号可以通过传感器或测量设备进行采集。
采集到的数据需要进行预处理和滤波，以去除噪声和干扰，提高数据的质量和可靠性。
4. 系统辨识：通过实验数据和已知的输入信号，利用数值辨识方法来估计系统的状态方程和参数。
常用的辨识方法包括最小二乘法、卡尔曼滤波器和系统辨识工具箱等。
简述状态方程解的意义
状态方程解的意义简述状态方程在控制系统中，状态方程是描述系统动态行为的数学模型。
它是一组一阶微分方程，用来描述系统的状态随时间的变化规律。
状态方程可以用矩阵形式表示，通常称为状态空间模型。
状态方程包括两个方程：状态方程和输出方程。
状态方程解的意义状态方程解指的是求解状态方程，得到系统的状态随时间的变化规律。
状态方程的解具有以下几个重要的意义：1. 揭示系统的内部结构和行为状态方程的解能够揭示系统的内部结构和行为。
通过分析状态方程的解，可以了解系统的状态随时间的演变情况，包括状态的稳定性、周期性和收敛性。
这对于了解系统的内部特性，识别系统的不稳定性和异常行为具有重要意义。
2. 可以预测和控制系统的行为状态方程的解可以提供对系统未来行为的预测和控制。
通过已知的初始状态和外部输入，可以使用状态方程求解得到系统的状态随时间的变化。
这使得我们可以根据系统的状态变化，预测系统的未来行为，并采取相应的控制策略来影响系统的演化。
3. 用于系统设计和性能评估状态方程的解可用于系统设计和性能评估。
通过分析状态方程的解，可以优化系统的设计，使系统的状态能够在要求的时间内收敛到期望的状态。
同时，通过与实际观测值进行比较，可以评估系统的性能，检验系统模型的准确性，并进行参数调整和优化。
4. 用于系统故障诊断和故障恢复状态方程的解可以用于系统故障诊断和故障恢复。
通过与实际观测值进行比较，可以检测系统是否发生故障。
如果系统发生故障，可以通过分析状态方程的解，确定故障的原因和位置，并采取相应的措施进行故障恢复，使系统恢复正常运行。
状态方程解的求解方法对于线性时不变系统，求解状态方程有多种方法，包括解析解法和数值解法。
1. 解析解法对于简单的线性系统，可以使用解析解法求解状态方程。
解析解法基于线性代数和微积分的知识，通过对状态方程进行变换和求解，得到系统的状态随时间的解析表达式。
2. 数值解法对于复杂的非线性系统或无法求得解析解的系统，可以使用数值解法求解状态方程。
第二章 状态方程的解
例1：设系统的状态方程为 ：
ɺ x1 0 1 x1 = ɺ x2 0 0 x2
试求状态转移矩阵. 试求状态转移矩阵
解：求状态转移矩阵为
1 22 1 k k Φ(t ) = e = I + At + A t + ⋯ + A t + ⋯ 2! k!
e
At
矩阵，称矩阵指数。 为n×n矩阵，称矩阵指数。
于是， 于是，齐次状态方程的解为
x(t ) = e x(0)
At
若初始时刻 t0 ≠0 ，对应的初始状态为 x(t0 ) ，则 齐次状态方程的解为
x(t ) = e
A ( t −t0 )
x(t0 )
Φ (t ) = e
At
状态转移矩阵具有以下性质： 状态转移矩阵具有以下性质：
λk +1 , λk + 2 ,⋯ , λn 互异，则 A 的 (n − k) 个互异特征值均满足系统方程，得到 (n − k) 个代数方程。
eλit = α0 (t ) + α1 (t )λi + ⋯ + αn−1 (t )λin−1 , i = k + 1, k + 2,⋯, n
对于 A 的 k 重特征根，则有下列 k 个代数方程。 将 λ1 代入系统方程，得
Φ(t ) = e At = I + At + 1 22 1 A t + ⋯ + Ak t k + ⋯ 2! k!
n −1
= α0 (t ) I + α1 (t ) A + ⋯ + αn−1 (t ) A
= ∑αk (t ) Ak
k =0
第二章 状态方程的解
解：A的特征方程为 I A 特征值为 1 1, 2 2
1 ( 1)( 2) 0 2 3
变换阵
e At
1 1 1 1 2 T ,T 2 1 1 2 2
1 e t 2 2 2 0
标量微分方程的解。设标量微分方程为 （2-2） ax x
x(0) x0
对式（2-2）取拉氏变换得
sX ( s) X 0 aX( s)
取拉氏反变换，得
k ( at ) at x ( t ) e x0 x0 k 0 k!
则
x0 X ( s) sa
k 0
n 1
下面分两种情况确定待定系数： 情况1：A的特征值互异，则
0 (t ) (t ) 1
1 1 1 2 n1(t ) 1 n
2 1 2 2
2 n
n 1 n
0 0 0 1 0 0
1t e 1 n 1 1 1t te n 2 (n 1)1 1 t 2 e 1t (n 1)(n 2) n3 2! 1 2! 1 n 2 1t t e (n 1)1 (n 2)! 1 n1 1t 1 t e (n 1)!
n 1 1 n 1 2
情况2：A的特征值有重根，则
0 ( t ) 1 (t ) 0 1 2 (t ) 0 n 2 (t ) 0 n1 (t ) 0
1 12 1 21
第三章系统分析-状态方程的解
1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
3.5线性时变系统状态方程的解
=G( kT) x( kT) + H( kT) u( kT) .
其中： 其中：
G( kT)
H( kT) TB( kT) .
I +TA( kT) ,
第三章 状态方程的解 3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： 考虑系统： & x( t) = A ( t) + B ( t) , x u 其状态方程的解为： 其状态方程的解为：
第三章 状态方程的解 第一项是由初始状态引起的响应； 第一项是由初始状态引起的响应； 第二项是由控制输入引起的响应。 第二项是由控制输入引起的响应。
连续系统的时间离散化 3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化 考虑系统
& x( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) ,
t t t0 t0
t A(τ ) d x( t ) x( t) =exp ∫ τ 0 t0
0 =exp 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x( t0 )
0
1 = 0
( t −t0 ) ( t +1) ( t0 +1) x t ( 0)
1
第三章 状态方程的解
t 1 & 例3.5.2 x( t) = x( t) 初始值为 x( 0) .求 x( t)。 1 t
解：
t2 2 t ∫t0 A(τ ) dτ = t t2 2,
t
A( t) ∫ A(τ ) dτ = ∫ A(τ ) dτA( t) ,
第三章状态方程的解课堂课资
e2t 1 3t et
2e2t
2
3t
et
4e2t 5 3t et
0 1 0
A
0
0
1
6 11 6
1 1 1 P 1 2 3
1 4 9
6 5 1
P 1
1 2
6
8
2
2 3 1
1 0 0
A
P1 AP
0
2
0
0 0 3
et 0 0
e At PeAt P1 P 0 e2t
0
e
nt
eT 1ATt I T 1 ATt 1 T 1 A2Tt 2 1 T 1 A3Tt 3
2!
3!
T 1 I At 1 A2t 2 1 A3t 3 T
2!
3!
T 1e AtT et
e At TetT 1
12
例 已知矩阵
0 1 1
A 6
-11
6
试计算矩阵指数 eAt .
a n1 n1 1
e1t
a n1 n1 2
e2t
a0 a1n
a0
1
an1 1
a n1 n1 n
ent
n1 1
1
e1t
.
n1 n
ent
17
2)有 n个重特征值 1 n
et a0 t a1 t an1 t n1
两端对求1至n 阶1 导数得：
t 是满足 t At,0 I 的 n n 的矩阵。 t 定义为转移矩阵。
对于线性定常方程 t e At 。
t e At 表示 x(0) 到 x(t) 的转移矩阵。 t t0 e A(tt0 ) 表示 x(t0 ) 到 x(t) 的转移矩阵。
2.状态方程的解
4
3
3
100
(sI
A) 1
1 s3
0 1 0 s2
001
010
0 0 1s 000
001 000 000
11 1 s s2 s3 01 1
s s2 00 1
s
11 1
次（u(t) 0 ）状态方程的解
x(t) e At x0
At k 0 kk ! k x0
定义矩阵指数： e At
Akt k k 0 k!
I At 1 A2t 2 2
阵。
1
A t ，它仍是一个矩
kk
k!
若初始时间为t 0，则状态方程的解为
x(t ) e x A(t t0 ) 0
Ak (t t0 )k x0
幂零矩阵：存在某一正整数 k ，使得 A 0 称为 k 次“幂零矩阵”。 A 为幂零矩 阵的“充要条件”是 A 的所有特征值为k零： AX A ， i 0 i 1,2, , n
特例： A 为数字矩阵，即 A
P31 例 2-1： A
010 0 0 1 ， A2 000
001 0 0 0 ， A3 000
（2） e0 I ； （3） e A]t 称e A为频e域A(t求)法；或（叫4）Lapl(aecAet )变1 换法e A；t
（5） 若矩阵 A、B 满足交换律 AB BA，则有e At e Bt ( A B)t （；A 、 B 可交换的 e
充要条件是 AB 为反称矩阵， A A 称为对称矩阵， A A 称为反称矩阵）
（9） 传递性：对任意满足t t t ，有e A(t2 t ) e A(t1 t )
1
0
2
1
0
e A(t2 t0 ) 。这表明状态
第3章-状态方程的求解
2.2 非齐次状态方程的解
例题:
即
X (t) e At X 0
t e A(t ) B u( )d
0
中第一项已求得。
第二项根据公式计算得:
t e A(t ) B u( )d
0
t 2e(t ) e2(t )
0
2e (t
)
2e 2(t
)
e(t ) e(t )
e2(t ) 2e2(t
s s
1 2
2 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
2.2 非齐次状态方程的解
1.非齐次状态方程的概念
或写成:
X AX Bu
X AX Bu
（1）u为时间t的函数, 假设为已知的； （2）X(t0)=X0为系统的初始条件。
2.2 非齐次状态方程的解
u~ u~1(t) u~2 (t) T
x1
x1(t1)
2.3 几点说明
6.现代控制理论的一个核心思想
经典控制理论是保持u不变，通过调节参数来使得输出y满足要求。 现代控制理论是保持参数不变，通过调节u来使得输出y满足要求。
具体实现方法是:
对y的要求
对X的要求
对u的要求
对于状态方程而言，其齐次方程的形式为:
X AX 初始条件为: X (t0 ) X0
2.1 齐次状态方程的解
2.齐次状态方程解的形式
已知: X AX
初始条件为: X (t0 ) X0
解方程可得:
X (t) e A(tt0 ) X 0
矩阵指数
说明: （1）求出矩阵指数即可求出方程的解。 （2）矩阵指数计算出来是一个和A同型的矩阵，矩阵的
现代控制理论-状态方程的解
e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业：p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4，9-5
证明→
1
0
0
2
1
，
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
《状态方程的解》课件
解的误差分析
误差来源
主要来源于初始值选取、迭代过程和数值方法的近似误差。
误差传播
误差在迭代过程中会不断累积和放大，影响最终求解精度。
误差控制
通过收敛性分析和敏感性分析，控制误差在可接受范围内。
THANKS
感谢您的观看
03
状态方程的解的性 质
解的存在性
01
存在性定理
对于给定的状态方程，存在至少 一个解。
证明方法
02
03
应用场景
使用反证法，假设不存在解，然 后推导出矛盾，从而证明解的存 在性。
在控制工程、物理、化学等领域 ，经常需要求解状态方程，因此 解的存在性非常重要。
解的唯一性
1 2
唯一性定理
对于给定的初始条件和状态方程，解是唯一的。
《状态方程的解》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 状态方程的基本概念 • 状态方程的解法 • 状态方程的解的性质 • 状态方程的解的实例 • 状态方程解的进一步研究
01
状态方程的基本概 念
定义与性质
定义
状态方程是描述系统状态随时间变化 的数学模型，通常表示为微分方程或 差分方程。
性质
状态方程具有非线性、时变性和不确 定性等特点，描述了系统内部状态与 外部输入之间的动态关系。
证明方法
通过数学推导和证明，证明解的唯一性。
3
应用场景
在很多实际问题中，我们需要找到唯一的解来解 决问题，因此解的唯一性非常重要。
解的稳定性
稳定性定义
如果一个解在微小扰动下仍然保持其性质，则称该解是稳定的。
稳定性分类
根据不同的标准，可以将稳定性分为多种类型，如局部稳定性和全 局稳定性、渐进稳定性和非渐进稳定性等。
现代控制理论——状态方程解
例
⎡ −1 0 ⎤ ⎡1⎤ & (t ) = ⎢ x ⎥ x(t ) + ⎢1⎥ u(t ) ⎣ 0 −2 ⎦ ⎣⎦ ⎡1 ⎤ x(0) = ⎢ ⎥ ⎣0⎦
求解 x(t )
u (t) = [1]
4
2011-3-10
五、线性定常连续系统状态方程的解
& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) x由解）
当u(t)=0时，
& (t ) = Ax(t ) x
『法1：幂级数法』
x(0) = x0
即系统的零输入响应 系统的自由运动 即系统的零输入响应（系统的自由运动）
L−1[( sI − A) −1 Bu( s )]
( sI − A) −1 − − > F1 ( s )
Φ(t − τ )
Bu( s) − − > F2 ( s)
Bu(τ )
X( s ) = ( sI − A) −1 X(0) + ( sI − A) −1 Bu( s ) X(t ) = L [( sI − A) ]X(0) + L [( sI − A) Bu( s)]
Φ −1 (t ) = Φ ( − t )
另：
Φ −1 ( − t ) = Φ (t )
并且
Φ (t1 ), Φ (t2 )
可以交换
x(t ) = Φ (t )x(0)
x(0) = Φ −1 (t ) x(t ) = Φ (−t ) x(t )
【说明】：
转移矩阵的逆意味着时间的逆转，已知x(t)，可以求 出小于时刻t的x(t0)（t0<t）。
2
2011-3-10
(5)
x ( t 2 ) = Φ ( t 2 − t1 ) x ( t1 )
状态方程的解
线性系统运动的分解
x0
u=0
u
x
x0u
x0
u
x0x
x0=0
系统的零输入响应
x Ax x(0) x0
状态方程的解为
x0u (t) eAt x0
矩阵指数
eAt I At 1 A2t2 1 Antn
x P1APx P1Bu
y cx
x Px
y cPx
讨论
• 存在上述关系的两个状态空间描 述为代数等价
• 两个代数等价的状态空间描述可 以化为相同的对角线规范型或约 当规范型
• 系统在坐标变换下的不变量和不 变属性反映了系统固有特性。
(1) 化A阵为对角阵
• 设A阵为方阵，具有互异特征值，则 可通过非奇异变换化为对角阵。
零初态响应
*** 状态转移矩阵
• 由初始状态引起的运动和输入引起 的运动都可以看作是状态的转移， 可以用状态转移矩阵表示。
• 利用状态转移矩阵可以对定常和时 变系统建立统一的表达形式。
状态转移矩阵
• 线性定常系统的状态方程为
x Ax(t) Bu(t)
称满足如下矩阵方程的解Φ为系统的 状态转移矩阵
0
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0
1
0
0
0
J 0
0
0 0
1 1 0 1
0
0
0 0 0 0 2
1 1 0 0 0
0
1
1
0
0
J 0
0
0 0
1 0 0 1
0
0
0 0 0 0 2
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Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解： 000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x≥==⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x= ，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞= ，它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ，则状态方程的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
2.1.2 矩阵指数At e 的性质（1） ])[(11---=A sI L e At 称为频域求法或叫Laplace 变换法；（2） I e =0； （3） )(ττ+=⋅t A A At e e e ； （4） At At e e --=1)(；（5） 若矩阵B A 、满足交换律BA AB =，则有t B A Bt At e e e )(+=（A 、B 可交换的充要条件是AB 为反称矩阵，A A ='称为对称矩阵，A A -='称为反称矩阵）对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n ji ij a a a a a a 1111；反称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=nn nn ji ij a a a a a a1111 （6） kAt k At e e =)(； （7）A e Ae e dtd At At At==； （8） 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有P e P e At APtP 11-=-；图2-1 状态的传递性P31（9） 传递性：对任意满足012t t t >>，有)()()(020112t t A t t A t t A e e e ---=⋅。
这表明状态轨线由0t 时刻的)(0t x 转移到2t 时刻的)(2t x 等于由0t 时刻的)(0t x 转移到1t 时刻的)(1t x ，再由1t 时刻的)(1t x 转移到2t 时刻的)(2t x (参见图2-1)，故称)(0t t A e -为状态转移矩阵。
这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。
而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设0)0()(0==x t x 去计算系统的响应。
2.1.3 矩阵指数At e 的计算方法（1） 定义法求Ate k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++==∑∞=这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于!1k 的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在A 是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。
幂零矩阵：存在某一正整数k ，使得0=k A 称为k 次“幂零矩阵”。
A 为幂零矩阵的“充要条件”是A 的所有特征值为零：A AX λ=，0=i λ n i ,,2,1 =特例：A 为数字矩阵，即I A λλλ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31P 例2-1：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001002A ，03=A ，3次“幂零矩阵”⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++=100102/1!21222t t t t A At I e At（2） Laplace 法求At e])[(11---=A sI L e At ，但当阶数较高时，求解1)(--A sI 较困难。
下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式。
nn n n nn n n b a s a s a s B s B s B s B A sI A sI A sI ++++++++=--=-------111122111)()( 03221)(11111=⎪⎩⎪⎨⎧=+==-=⇒=+--n k k k k k B nk Ia AB B nk AB tr ka I B 此时必有，，，， 计算顺序是：I B =1 trA a -=⇒1I a A B 12+=⇒ )(21)(211222A a A tr AB tr a +-=-=⇒I a A a A I a AB B 212223++=+=⇒ )(31)(31221333A a A a A tr AB tr a ++-=-=⇒01=⇒+n B注意：tr 为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当01≠+n B 时，计算必有误。
例2-2 (32P )已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求])[(11---=A sI L e At 。
解：用法捷耶夫法计算nn n n nn n n a s a s a s B s B s B s B A sI ++++++++=-------111122111)(取I B =1，0)()(11=-=-=A tr AB tr aA I a AB B =+=112，000000010021)(2122=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=tr AB tr a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000000100223I a AB B ，0)(3133=-=AB tr a ; 0334=+=I a AB B⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--s s s s s ss s s A sI 1001101110000001000001000101000100011)(232231⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=---10010211100110111])[(2232111t t t s ss s s sL A sI L e At ，结果相同。
（3） Hamilton Cayley —（凯莱—哈密尔顿）法求At e将At e 展开成矩阵A 的多项式，然后根据A 的特征值情况求出展开系数。
11101)()()()(---=+++==∑n n k n k k AtA t A t I t A t eββββ)(t k β——110-=n i ，，，是待定系数，问题的关键是求出待定系数)(t k β。
（3a ）先求出A 的特征值，当A 有n 个不同特征值n λλλ，，， 21情况下，可以用如下方法求展开系数)(t k β n i t ekin k k ti ，，， 21)(1==∑-=λβλ写成分列式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++=------ni t t t e i t t t ei t t t e n n n n t n n t n n t n )()()(2)()()(1)()()(111011212011111021βλβλββλβλββλβλβλλλ这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t k β。
（3b ）先求出A 的特征值，当A 有p 个单特征值p λλ，，...1，r 个重特征值，1+p λr p +λ，...，重数分别为r m m m ，，，...21情况下，可用如下方法求系数)(t k βpp λλ...1， 111...m p p ++λλ，┅，r m r p r p ++λλ... ，n m m m p r =+++ (21)对单根情况，按（3a ）方法求解待定系数)(t k β。
但在重根情况下，我们不能得到相应个数的独立方程，不能求出待定系数)(t k β。
先固定一个j m 重特征值j λ，j λ满足的方程kj n k k tt ej λβλ∑-==1)(有一个，再对j λ求1-j m 次导数得到1-j m 个方程，这样一共得到j m 个独立的方程，（必须先求对j λ求导，再代入j λ的值）这样又可以唯一的求出待定系数)(t k β。
例2-3 (37P ) Ate A ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2110 解：先求A 的特征值 0)1(1221122=+=++=+-=-λλλλλλA I ，121-=，λtt t tt t te t te t t t d dd de e t t e t t t t e ---=⇒=⇒+=+=⇒=-⇒+=)()()]()([)1()()()()()(1111011010110111βββλβλλββββλβλλλ t t t Ate t t t t e t t t e t t A t I t e ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=11201001)()(10ββ （4） 特征值与特征向量法求At e （略，自己看书）2.1.4 线性、定常、连续、非齐次（0)(≠t u ）状态方程的解前面已经求出齐次方程)()(t x A t x⋅= ，00)(x t x =，0t t ≥的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==对非齐次状态方程：000)()()()(t t x t x t Bu t Ax t x ≥=+=，将上述状态方程左乘At e - )()()(t Bu e t Ax e t xe At At At ---+= 移项得 )]([)()()()()(t x e dtd t x dt de dt t dx et x A e t xet Bu eAt At AtAtAtAt------=⋅+⋅=-= 积分、移项并左乘At e ，得非齐次状态方程的解为⎰--+=tt A t t A d Bu e x et x 0)(0)()()(0τττ物理意义： 自由系统（只有初条件作用）的解+强迫项)(t u 作用的解。