.状态方程的解

Chapter2状态方程的解

我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程

（0)(≠t u ）初值问题的解： 00

0)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x

≥=+=

或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：

000)(),()()(t t x t x t x t A t x

≥==

⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨

⎧⨯

∆

⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解

2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解

我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x

= ，0)0(x x =，0≥t 其解为 00

0!)(x k t a x e t x k k

k at

∑∞

===

对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x

= ，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000!

)(x k t A x e t x k k

k At

∑

∞

=== 定义矩阵指数：k k k k k At

t A k t A At I k t A e

!

1

21!220

++++=≡∑

∞

= ，它仍是一个矩阵。 若初始时间为0t ，则状态方程的解为 00

00)

(!)()(0x k t t A x e

t x k k

k t t A ∑∞

=--==

∑

∞

=--=0

0)

(!

)(0k k

k t t A k t t A e

称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。 )(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。

2.1.2 矩阵指数At e 的性质

（1） ])[(

11---=A sI L e At 称为频域求法或叫Laplace 变换法；

（2） I e =0； （3） )(ττ+=⋅t A A At e e e ； （4） At At e e --=1)(；

（5） 若矩阵B A 、满足交换律BA AB =，则有t B A Bt At e e e )(+=（A 、B 可交换的充要条件是AB 为反称矩阵，A A ='称为对称矩阵，A A -='称为反称矩阵）

对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n ji ij a a a a a a 1111；反称矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=-=nn n

n ji ij a a a a a a

1111 （6） kAt k At e e =)(； （7）

A e Ae e dt

d At At At

==； （8） 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有P e P e At APt

P 11

-=-；

图2-1 状态的传递性P31

（9） 传递性：对任意满足012t t t >>，有)()()(020112t t A t t A t t A e e e ---=⋅。这表明状态轨线由0t 时刻的)(0t x 转移到2t 时刻的)(2t x 等于由0t 时刻的)(0t x 转移到1t 时刻的

)(1t x ，再由1t 时刻的)(1t x 转移到2t 时刻的)(2t x (参见图2-1)，故称)(0

t t A e -为状态

转移矩阵。

这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。

而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设0)0()(0==x t x 去计算系统的响应。

2.1.3 矩阵指数At e 的计算方法

（1） 定义法求At

e k k k k k At

t A k t A At I k t A e

!

1

21!220

++++==∑

∞

=

这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于

!

1

k 的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在A 是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。 幂零矩阵：存在某一正整数k ，使得0=k A 称为k 次“幂零矩阵”。A 为幂零矩阵的“充要条件”是A 的所有特征值为零：A AX λ=，0=i λ n i ,,2,1 =

特例：A 为数字矩阵，即I A λλλ=⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=

31P 例2-1：⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=000100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001002A ，03=A ，3次“幂零矩阵”

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=++=100102/1!21222t t t t A At I e At

（2） Laplace 法求At e

])[(11---=A sI L e At ，但当阶数较高时，求解1)(--A sI 较困难。下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式。

n

n n n n

n n n b a s a s a s B s B s B s B A sI A sI A sI ++++++++=--=-------11

1122111

)()( 03221)

(11111=⎪⎩⎪⎨⎧

=+==-=⇒=+--n k k k k k B n

k I

a AB B n

k AB tr k

a I B 此时必有，，，， 计算顺序是：

I B =1 trA a -=⇒1

I a A B 12+=⇒ )(21

)(211222A a A tr AB tr a +-=-=⇒

I a A a A I a AB B 212223++=+=⇒ )(3

1

)(31221333A a A a A tr AB tr a ++-=-=⇒

01=⇒+n B

注意：tr 为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当01≠+n B 时，计算必有误。

例2-2 (32P )已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=000100010A ，求])[(11---=A sI L e At 。

解：用法捷耶夫法计算n

n n n n

n n n a s a s a s B s B s B s B A sI ++++++++=-------111122111

)(