一阶偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程
第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。
1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。
令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。
方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。
因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。
从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。
2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。
给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。
一阶偏微分方程的特征方程
一阶偏微分方程的特征方程（原创版）目录一、什么是特征方程二、特征方程与偏微分方程的关系三、如何使用特征方程求解偏微分方程四、特征方程在实际问题中的应用五、结论正文一、什么是特征方程特征方程是一种数学方程，它用于描述线性微分方程的特征根和特征向量。
在偏微分方程中，特征方程通常用于求解方程的通解。
对于一阶偏微分方程，特征方程的形式通常为：a(x, y) * u_x + b(x, y) * u_y + c(x, y) * u = 0其中，a(x, y)、b(x, y) 和 c(x, y) 是方程的系数，u_x 和 u_y 分别是 u 关于 x 和 y 的偏导数，u 是未知函数。
二、特征方程与偏微分方程的关系特征方程与偏微分方程的关系密切。
在求解偏微分方程时，我们首先需要找到特征方程的根，然后根据这些根构建特征向量，最后利用特征向量求解偏微分方程的通解。
具体来说，对于一阶偏微分方程，我们可以通过以下步骤求解：1.求特征方程的根：通过分离变量法或常数变易法等方法，将偏微分方程化为特征方程，并求解该方程的根。
2.构建特征向量：对于每个特征根，我们构造一个特征向量，使得该向量在偏微分方程的作用下发生变换。
3.求解通解：利用特征向量和特征根，我们可以求解偏微分方程的通解。
通常，通解的形式为：u(x, y) = C_1 * e^(r_1 * x) * (y - y_0)^(r_2) + C_2 * e^(r_3 * x) * (y - y_0)^(r_4)其中，C_1 和 C_2 是待定系数，r_1、r_2、r_3 和 r_4 是特征根，y_0 是特征向量的纵坐标。
三、如何使用特征方程求解偏微分方程在实际求解过程中，我们通常采用以下步骤：1.确定偏微分方程的类型：根据方程的系数和变量，判断方程是一阶还是高阶偏微分方程，是线性还是非线性偏微分方程。
2.求解特征方程：将偏微分方程化为特征方程，并求解该方程的根。
3.构建特征向量：对于每个特征根，我们构造一个特征向量，使得该向量在偏微分方程的作用下发生变换。
第七章一阶线性偏微分方程
Ψ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn)
= 常数
xj =ψj (xn)
(2) µ0dx + µ1dy1 + · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。
【例1】 求方程组
的通积分。 【例2】 解方程组
dx xz
=
dy yz
=
dz xy
dx x
=
dy y
=
z
+
dz x2 + y2 + z2
7.2.4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
7.2.1 首次积分
定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组
dy1 dx
dy2 dx
= f1(x, y1, y2, · · · , yn), = f2(x, y1, y2, · · · , yn),
x2,
·
·
·
,
xn)
∂u ∂xi
=
0
(7.3)
则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程
n j=1
bj
(x1,பைடு நூலகம்
7.2 一阶线性偏微分方程的求解
5
7.2.3 利用首次积分求解常微分方程组
定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。
matlab求解最简单的一阶偏微分方程
matlab求解最简单的一阶偏微分方程一、引言在科学和工程领域，偏微分方程是非常重要的数学工具，用于描述各种现象和过程。
而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以用来求解各种复杂的偏微分方程。
本文将以MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程为主题，探讨其基本原理、数值求解方法以及具体实现过程。
二、一阶偏微分方程的基本原理一阶偏微分方程是指只含有一个未知函数的偏导数的微分方程。
最简单的一阶偏微分方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \]其中，\(u(x, t)\) 是未知函数，\(F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})\) 是给定的函数。
一阶偏微分方程可以描述很多实际问题，比如热传导、扩散等。
在MATLAB中，我们可以使用数值方法求解这类方程。
三、数值求解方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。
其基本思想是用离散的方式来逼近偏导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组。
在MATLAB中，我们可以使用内置的求解器来求解离散化后的代数方程组。
2. 特征线法特征线法是另一种常用的数值求解方法，它利用特征线方程的特点来求解偏微分方程。
这种方法在求解一维情况下的偏微分方程时特别有效，可以提高求解的效率和精度。
四、MATLAB求解过程在MATLAB中，我们可以使用`pdepe`函数来求解一阶偏微分方程。
该函数可以针对特定的方程和边界条件，利用有限差分法进行离散化求解。
下面给出一个具体的例子来说明如何使用MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程。
假设我们要求解如下的一维热传导方程：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]其中，\(\alpha\) 是热传导系数。
2. 一阶偏微分方程
§2 一阶偏微分方程一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式 是0),,,,,,,,(2121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u x u u x x x F或()0,,,,,,,211=n n p p p u x x F ，其中()n i x up ii ,,2,1 =∂∂=如解出p 1，可得：p 1 = f (x 1 , x 2 ,…, x n , u , p 2 ,…, p n )当方程的解包含某些“任意元素”(指函数)，如果适当选取“任意元素”时，可得方程的任意解(某些“奇异解”除外)，则称这样的解为通解.在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在于求通解.[一阶方程的柯西问题]()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂=n x x n n x x u p p u x x x f x u,,|,,,,,,,22211011 ϕ 称为柯西问题，式中),,(2n x x ϕ为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x 1 , x 2 ,, x n , u , p 2 ,, p n ) 在点 ( x 10 , x 20 ,, x n 0 , u 0 , p 20 ,, p n 0 ) 的某一邻域内解析，而),,(2n x x ϕ在点( x 20 ,, x n 0 ) 的某邻域内解析，则柯西问题在点 ( x 10 ,, x n 0 ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.这个定理应用的局限性较大，因它要求f 及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必能满足这种条件.对高阶方程也有类似定理.二、 一阶线性方程1． 一阶齐次线性方程[特征方程∙特征曲线∙初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程()()0,,,,,,211211=∂∂++∂∂n n n n x ux x x a x u x x x a (1)式中a i 为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组在有些书中写作0),,,,,,,,,(121=∂∂∂∂∂∂nn x ux u t u u x x x t F()n i ix x x a tx ,,,d d 21 = ( i = 1,2,, n ) 或()()()n n n n n x x x a x x x x a x x x x a x ,,,d ,,,d ,,,d 2121222111 === (2) 称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n )满足特征方程(2)，就称曲线l 为一阶齐次线性方程的特征曲线.如果函数ψ ( x 1 , x 2 ,, x n )在特征曲线),,2,1()(n i t x x i i ==上等于常数，即ψ ( x 1(t ) , x 2(t ) ,, x n (t ) ) = c 就称函数ψ ( x 1, x 2,, x n )为特征方程(2)的初积分(首次积分). [齐次方程的通解]1o 连续可微函数u = ψ ( x 1, x 2,, x n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是： ψ ( x 1, x 2,, x n )是这个方程的特征方程的初积分.2o 设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 是特征方程(2)在区域D 上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D 内的每一点，矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂---n n n n n n x x x x x x x x x 121112221212111ψψψψψψψψψ的秩为n 1-) ，则u = ω ( ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ,, ψn -1 ( x 1 , x 2 ,, x n ) ) 是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中ω为n 1-个变量的任意连续可微函数. [柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni ini x x u x u x x x a ,,|0,,,2121011 ϕ 式中ϕ ( x2 ,, x n )为已知的连续可微函数.设ψi ( x 1 , x 2 ,, x n ) ( i = 1,2,, n 1-) 为特征方程的任意n 1-个相互独立的初积分，引入参变量 i ψ (1,,2,1-=n i )，从方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--120112201212011,,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x ψψψψψψ解出x 2 ,, x n 得()()⎪⎩⎪⎨⎧==--12112122,,,,,,n n nn x x ψψψωψψψω 则柯西问题的解为u = ϕ ( ω2 ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) ,, ωn ( ψ1 , ψ2 ,, ψn -1 ) )2．非齐次线性方程它的求解方法与拟线性方程相同.三、 一阶拟线性方程一阶拟线性方程为()()∑==∂∂ni n in i u x x x R x uu x x x a 12121,,,,,,,, 其中a i 及R 为x 1 , x 2 ,, x n , u 的连续可微函数且不同时为零. [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]()()⎪⎩⎪⎨⎧===u x x x R tun i u x x x a t x n n i i,,,,d d ),,2,1(,,,,d d 2121 或()()()ux x R uu x x a x u x x a x n n n n n ,,,d ,,,d ,,,d 11111 === 为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l : x i = x i (t ) ( i =1,2,, n ) , u = u (t ) 满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.设 ψi ( x 1 ,, x n ,u ) ( i = 1,2,, n ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数ω，ω ( ψ1 ( x 1,, x n , u ) , ψ2 ( x 1,, x n , u ) ,, ψn ( x 1,, x n , u ) ) = 0 都是拟线性方程的隐式解.[柯西问题] 考虑方程的柯西问题()()()⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂==∑n x x ni n i ni x x u u x x x R x u u x x x a ,,|,,,,,,,,212121011 ϕ ϕ为已知的连续可微函数.设 ψ1 ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) ,, ψn ( x 1 , x 2 ,, x n , u ) 为特征方程的n 个相互独立的初积分，引入参变量 n ψψψ,,,21 , 从()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn n n n u x x x u x x x u x x x ψψψψψψ,,,,,,,,,,,,2012201212011解出 x 2 ,, x n , u()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===n n n n n u x x ψψψωψψψωψψψω,,,,,,,,,21212122 则由()()()()()()()0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221221121=-≡n n n n n n u x x x u x x x u x x x V ψψψωψψψωϕψψω给出柯西问题的隐式解.四、 一阶非线性方程[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为()()n i x u p p p p u x x x F ii n n ,,2,10,,,,,,,,2121 =∂∂==若一阶偏微分方程的解包含任意n 个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分). 若V ( x 1, x 2 ,, x n , u , c 1 , c 2,, c n ) = 0为方程的完全解，从()n i c VV i ,,2,10,0 ==∂∂= 消去c i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程()yzq x z p q p z y x F ∂∂=∂∂==,,0,,,,有完全解V (x ,y ,z ,a ,b )=0 ( a ,b 为任意常数),则方程等价于从方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=0,00,,,,q z Vy V p z V x V b a z y x V 消去a ,b 所得的方程.利用常数变易法把a ,b 看作x , y 的函数，将V (x ,y ,z ,a ,b )=0求关于x , y 的偏导数，得00=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂+∂∂ybb V y a a V q z V y V xbb V x a a V p z V x V那末0,0=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂y b b V y a a V x b b V x a a V 与V=0联立可确定a ,b .有三种情况：1︒ 0≡∂∂≡∂∂bV a V ，将其与V (x ,y ,z ,a ,b )=0联立可确定不含任意常数的奇异解.2︒ 如0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂y bx b y a x a ，即回到完全解.3︒ 当0/,0/≡∂∂≡∂∂b V a V 时，必有()()0,,=∂∂y x b a ，这时，如果不属于情形2︒ ，则a 与b 存在函数关系：b=ω(a )，这里ω为任意可微函数，并从方程V (x ,y ,z ,a ,b )=0和()∂∂∂∂ωV a Vba +'=0消去a ,b ，可确定方程的通解.定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内. [特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：()F x x x u p p p n n 12120,,,,,,,, =中，设F 对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称()n i uF p x F t p p Fp t u p F t x i i i ni ii i i ,,2,1)(d d d d ,1 =∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂∑=或up x p up x p p Fp up x p xp x n n n ni iinn ∂+∂-==∂+∂-=∂∂=∂==∂=∂∑=d d d d d d 11112211为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x i =x i (t ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,…,n )称它为非线性方程的特征带.在x 1,x 2,, x n ,u 空间的曲线x i =x i (t ), u=u (t ) (i=1,2,…,n )称为非线性方程的特征曲线.如果函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 在特征方程的任一解x i =x i (t ) (i =1,2,, n ), u=u (t ), p i =p i (t ) (i =1,2,, n )上等于常数，即()()()()()()()()G x t x t x t u t p t p t p t C n n 1212,,,,,,,, =那末函数()n n p p p u x x x G ,,,,,,,,2121 称为特征方程的初积分.[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.对于方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0，选择使雅可比式()()0,,≠∂∂q p G F 的一个初积分G (x ,y ,z ,p ,q ).解方程组 ()()F x y z p q G x y z p q a ,,,,,,,,==⎧⎨⎪⎩⎪0(a 为任意常数) 得p (x ,y ,z ,a )及q (x ,y ,z ,a ).则方程d z=p d x+q d y的通解V (x ,y ,z ,a ,b )=0(b 是积分d z=p d x+q d y 出现的任意常数)就是方程F (x ,y ,z ,p ,q )=0的完全解. 例 求方程()z p q x y 22222+=+的完全解.解 方程的特征方程为()()()qy x z y qp q p z x p q p z z q z y p z x 22222222222d 22d 2d 2d 2d +-=+-=+== 这里成立zpxx p z z p d d d =+ 所以特征方程的一个初积分为z 2p 2 －x 2 .解方程组 ()()z p q x y z p x a22222222+-+=-=⎧⎨⎪⎩⎪ (a 为任意常数) 得 p a x zq y az=+=-22, 积分微分方程得完全解z x x a y y a a x x a y y ab 22222=++-++++-+ln(b 为任意常数)[某些容易求完全解的方程] 1︒ 仅含p ,q 的方程F (p ,q )=0G =p 是特征方程的一个初积分.从F (p ,q )=0与p=a (a 为任意常数)得q=ψ(a )，积分d z=a d x+ψ(a )d y得完全解z=ax+ψ(a )y+b (b 为任意常数)2︒ 不显含x ,y 的方程F (z ,p ,q )=0 特征方程为z Fqqz F p p q F q p F p z q F y p F x ∂∂-=∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂d d d d d 因此q d p-p d q =0，显然G qp=为一个初积分，由F (z ,p ,q )=0，q=pa (a 为任意常数)解得p=ψ(z ,a ).于是由d z=ψ(z ,a )d x+a ψ(z ,a )d y得()⎰++=b ay x a z z,d ψ (b 为任意常数) 可确定完全解.3︒ 变量分离形式的方程()f x p i i i i n,=∑=10特征方程为nn n ni iiinn n x f p x f p p f p zp f x p f x ∂∂-==∂∂-=∂∂=∂∂==∂∂∑=d d d d d 1111111可取初积分G i =f i (x i ,p i ) , (i =1,2,, n ).从f i (x i ,p i )=a i (i =1,2,, n )解出p i =ϕi (x i ,a i )得完全解()∑⎰=+=ni i i i i b x a x z 1d ,ϕ式中a i ,b 为任意常数，且a i i n=∑=10.[克莱罗方程] 方程()z p x f p p p i i n i n=+=∑121,,,称为克莱罗方程，其完全解为()z c x f c c c i i n i n=+=∑121,,,对c i 微分得x fc i i=-∂∂ (i =1,2,…,n ) 与完全解的表达式联立消去c i 即得奇异解.例 求方程z －xp －yq －pq =0的完全解和奇异解. 解 这是克莱罗方程，它的完全解是z=ax+by+ab对a,b 微分，得x=－b,y=－a ，消去a ,b 得奇异解z=－xy[发甫方程] 方程P (x,y,z )d x+Q (x,y,z )d y+R (x,y,z )d z=0 (1) 称为发甫方程，如果P,Q,R 二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一关系式时，则称它为完全可积.1︒ 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R 满足条件0)()()(=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂yP x Q R x R z P Q z Q y R P (2) 时，存在一个积分因子μ(x,y,z )，使d U 1=μ(P d x+Q d y+R d z )从而方程的通解为U 1(x,y,z )=c特别，当0,0,0=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂yPx Q x R z P z Q y R 时，存在一个函数U (x,y,z )满足zUR y U Q x U P ∂∂=∂∂=∂∂=,, 从而 d U=P d x+Q d y+R d z 所以方程的通解为U (x,y,z )=c 所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.定理 设对于发甫方程(1)在某区域D 上的完全可积条件(2)成立，则对D 内任一点M (x,y,z )一定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过. 2︒ 方程积分曲面的求法设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z 看成x,y 的函数(设R (x,y,z )≠0)，于是原方程化为y RQ x R P z d d d --=由此得方程组()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡-=∂∂≡-=∂∂4,,3,,11z y x Q R Q y z z y x P R P x z发甫方程(1)与此方程组等价.把方程(3)中的y 看成参变量，积分后得一个含有常数 c 的通解()cy x z ~;,ϕ= 然后用未知函数()~cy 代替常数 c ，将()()z x y c y =ϕ,;~代入方程(4)，在完全可积的条件下，可得()~cy 的一个常微分方程，其通解为 ()()~,cy y c =ψ c 为任意常数，代回()()z x y cy =ϕ,;~中即得发甫方程的积分曲面 z=ϕ(x,y,ψ(y,c ))由于发甫方程关于x,y,z 的对称性，在上面的讨论中，也可把x 或y 看成未知函数，得到同样的结果.例 求方程yz d x+2xz d y+xy d z=0的积分曲面族.解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子μ=1xyz，用它乘原方程得 0d d 2d =++zz y y x x 积分后得积分曲面族xy 2z=c也可把方程化为等价的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂-=∂∂y z yz x z xz 2 把y 看成参变量，积分xzx z -=∂∂得通解 zx c= 用未知函数()~cy 代替 c ，将()y c zx ~=代入方程y z y z 2-=∂∂得 ()()yy cy y c ~2d ~d -= 积分后有()~cy c y =2所以原方程的积分曲面族是xy 2z=c五、 一阶线性微分方程组[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是()n i F u C x u B t u A i n j j ij n j n j jij j ij ,,2,10111 ==++∂∂+∂∂∑∑∑=== 或()n i f u b x u a t u i n j j ij n j j ij i,,2,1011 ==++∂∂+∂∂∑∑== (1) 其中A ij ,B ij ,C ij ,F i ,a ij ,b ij ,f i 是(x,t )的充分光滑函数.[特征方程·特征方向·特征曲线]⎩⎨⎧=≠==-ji ji txa ij ij ij ,1,0,0)d d det(δδ称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t )满足特征方程的方向txd d 称为该点的特征方向.如果一条曲线l ，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l 为特征曲线.[狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D 内的每一点都存在n 个不同的实的特征方向，那末称方程组在D 内为狭义双曲型的.如果区域D 内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D 内为椭圆型的. [狭义双曲型方程组的柯西问题] 1︒ 化方程组为标准形式——对角型因为det(a ij -δij λ)=0有n 个不同的实根λ1(x,t ) ,, λn (x,t )，不妨设),(),(),(21t x t x t x n λλλ<<<那末常微分方程()()n i t x txi ,,2,1,d d ==λ的积分曲线l i (i =1,2,…,n )就是方程组(1)的特征曲线. 方程()()aijk ij k i i n-==∑λδλ1的非零解(λk (1) ,, λk (n ))称为对应于特征方向λk 的特征矢量.作变换()()n i u v nj jj i i ,,2,11==∑=λ可将方程组化为标准形式——对角型()()()()n i t x v t x a x v t x t v i nj j ij ii i ,,2,1,,,1=+=∂∂+∂∂∑=βλ 所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D 内通过未知函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 λi 都不相同)，就称这样的微分方程组在D 内为双曲型的. 2︒ 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题()()()()()()n i x x v t x v t x a x v t x tv i inj i j ij i i i,,2,10,,,,1 =⎪⎩⎪⎨⎧=+=∂∂+∂∂∑=ϕβλϕi (x )是[a,b ]上的连续可微函数.设αij ,βi ,λi 在区域D 内连续可微，在D 内可得相应的积分方程组()()()n i tv x t x v il i n j j ij i i i ,,2,1d ,~1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰∑=βαϕ 式中 l i 为第i 条特征曲线l i 上点(x,t )与点(x i ,0)之间的一段，(x i ,0)为l i与x 轴上[a,b ]的交点.上式可以更确切地写为()()[]()[]()[]()[]⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+==t n j i i i j i ij i i i t x x t x x v t x x a t x x t x v 01d ,,,,,,,,,0,,,τττβττττϕ(i =1,2,, n )式中x i =x i (x ︒,t ︒,t )为过点(x ︒,t ︒)的第i 条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令()()()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()()()()[]()[]()()[]()[]()n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x x v t x x a t x x t x v n i t x x t x v i i tnj i k j i ij i i k ii i tn j i j i ij i i ii i i ,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,1d ,,,,,,,,,0,,,,,2,10,,,}{}{01101010=+⋅+==+⋅+===⎰∑⎰∑=-=τττβττττϕτττβττττϕϕ序列{v i(k )} (k =0,1,2 ,)一致收敛于积分方程的连续可微解v i (x,t ) (i =1,2,, n )，这个v i (x,t )也就是对角型方程组的柯西问题的解.设在区域D 内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：(i) 依赖区间：过D 中任意点M (x,t )作特征曲线l 1,l n ，交x 轴于B,A ，称区间[A,B ]为M 点的依赖区间(图14.1(a ))，解在M 点的值由区间[A,B ]的初值确定而与[A,B ]外的初值无关.(ii) 决定区域：过点A,B 分别作特征曲线l n ,l 1,称l n ,l 1 与区间[A,B ]围成的区域D 1为区间[A,B ]的决定区域(图14.1(b ))，在区域D 1中解的值完全由[A,B ]上的初值决定.(iii) 影响区域：过点A,B 分别作特征曲线l 1,l n ，称l 1,l n 与[A,B ]围成的区域D 2为区间[A,B ]的影响区域(图14.1(c )).特别当区间[A,B ]缩为一点A 时，A 点的影响区域为D 3(图14.1(d )).在区域D 2中解的值受[A,B ]上的初值影响，而在区域D 2外的解的值则不受[A,B ]上的初值影响.图14.1[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++=∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂2122221111λλλλc v b u a x v t v c v b u a xu t u (1) 1︒ 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t )上给定曲线段⋂AB ，它处处不与特征方向相切.过A,B 分别引最左和最右的特征曲线l 1及l 2.要求函数u (x,t ),v (x,t )在⋂AB ，l 1及l 2围成的闭区域D 上满足方程组，且在⋂AB 上取给定的函数值(图14.2(a )).2︒ 第二边值问题(古沙问题) 设l 1是过P 点的第一族特征线，l 2是第二族特征线，在l 1的一段PA 上给定v (x,t )的数值，在l 2的一段PB 上给定u (x,t )的数值，过A 点作第二族特征线，过B 点作第一族特征线相交于Q .求在闭区域PAQB 上方程组的解(图14.2(b )).3︒ 第三边值问题 设AB 为非特征曲线的曲线弧，AC 为一特征线弧，且在AB 与AC 之间不存在过A 点的另外特征曲线,过C 点作第二族特征线与过B 点的第一族特征线交于E 点，在AC 上给定v (x,t )的数值，在AB 上给定u (x,t )的数值，求ACEBA 所围成的闭区域D 上的方程组的解(图14.2(c )).图14.2[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.以第一边值问题为例说明.在曲线AB 上取n 个分点A 1,A 2,, A n ，并记A 为A 0，B 为A n +1，过A 0按A 0的第二特征方向作直线与过A 1按A 1的第一特征方向作直线相交于B 0；过A 1按A 1第二特征方向作直线与过A 2按A 2的第一特征方向作直线相交于B 1,最后得到B n (图14.3).用如下的近似公式来确定方程组(1)的解u (x,t ),v (x,t )在B i (i =0,1,2,…,n )的数值：()()()()()()(){}()[]()()()()()()(){}()[]u B u A B A a A u A b A v A c A A v B v A B A a A u A b A v A c A A i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=++⨯+-=++⨯+⎧⎨⎪⎩⎪+++++++--11111111112122212121211λλ于是在一个三角形网格的节点上得到u,v 的数值.再经过适当的插值，当n 相当大，A i 、A i +1的距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂0022221111x v D t v C x u B t u A x v D t v C x u B t uA 中所有的系数只是u,v 的函数，称它为可化约系统.考虑满足条件()()0,,≠∂∂t x v u 的方程组的解u=u (x,t ),v=v (x,t ).x,t 可以表示成u,v 的函数，且图14.3()()()()()()()()v u t x u tx vv u t x u x t v v u t x v tx u v u t x v xtu,,,,,,,,,,∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 原方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂=∂∂+∂∂-∂∂-∂∂0022221111u t D u x C v t B vx A u t D u x C v t B v xA 这是关于自变量u,v 的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足()()0,,≠∂∂tx v u 的解，化为解线性方程组的问题.而此线性方程组满足条件()()0,,≠∂∂v u t x 的解，在(x,t )平面上的象即为原来拟线性方程组的解.。
一阶偏微分方程求解方法
加权余量法
在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数
ψi 的线性组合表达，表达中有待定系数 Ci 即：
近似解
问题的自 由度
n
Ci i i 1
简单函数，一般选用 简单形式的函数，一 旦选定就是已知的了
待定系数是真 正的求解目标
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
2
w*j
(
n
（2）) d
wj (2 q) d
1 w*j (（1） g) d
2
w*j
(
n
h)
d
n
其中近似解： Ci i ，理论上尝试函数可任意选，
i 1
但适当的选取（作限制）可简化计算,
常常选取 i，使得 ＝g，则第一类边界条件自动满足
如选取加权函数：w
＝
j
w*j，则上式被大大简化
由于近似解在1类边界 上常数，所以此项为0
选取特殊加权函数后，两 项和为0
第二类边界条件也消失了，说 明已经自动满足了
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程：
Fj(R) wj d wjq d 2 wjh d 0
例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：
2 0 0 0; d 10;
3. 加权余量法－－例
加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：
理论上任意选取， 操作中越简单越好
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程基本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法,因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题,所以我们先来介绍常微分方程的首次积分;1一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道,n 阶常微分方程()()()1,,'',',-=n n y y y x f y ,在变换()1'12,,,,n n y y y y y y -===之下,等价于下面的一阶微分方程组()()()1112221212,,,,,,,,,,,,,,.n nn n n dy f x y y y dx dy f x y y y dxdy f x y y y dx⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 在第三章中,已经介绍过方程组 通解的概念和求法;但是除了常系数线性方程组外,求一般的 的解是极其困难的;然而在某些情况下,可以使用所谓“可积组合”法求通积分,下面先通过例子说明“可积组合”法,然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质,以及用首次积分方法来求解方程组 的问题;先看几个例子;例1 求解微分方程组()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt=-+-=--+- 解：将第一式的两端同乘x ,第二式的两端同乘y ,然后相加,得到 ()()12222-++-=+y x y x dtdyy dt dx x ,()()()222222112d x y x y x y dt +=-++-; 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离,因此不难求得其解为1222221C e y x y x t=+-+,1C 为积分常数; 叫做 的首次积分;注意首次积分 的左端(),,V x y t 作为x,y ,和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见,当(),()x x t y y t ==时微分方程组 的解时,(),,V x y t 才等于常数1C ,这里的常数1C 应随解而异;因为式 是一个二阶方程组,一个首次积分 不足以确定它的解;为了确定 的解,还需要找到另外一个首次积分;将第一式两端同乘y ,第二式两端同乘x ,然后用第一式减去第二式,得到22y x dt dyx dt dx y+=-, 即()22y x dtdx y dt dy x+-=-, 亦即1arctan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛dtx y d ; 积分得2arctan C t xy=+,其中2C 为积分常数;利用首次积分 和 可以确定 的通解;为此,采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==,这样由 和 推得212211,.t e C t C r θ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭或 t C eC r t-=-=-221,11θ.因此我们得到方程组 的通解为 ()teC t C x 2121cos ---=,()teC t C y 2121sin ---=.例2 求解微分方程组 ()()(),,.duvw dt dvwu dt dwuv dt αβγβγαγαβ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩其中0αβγ>>>是给定的常数;解 利用方程组的对称性,可得0du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=,从而得到首次积分2221u v w C αβγ++=, 其中积分常数10C ≥;同样我们有 2220du dv dwu v w dt dt dtαβγ++=, 由此又得另一个首次积分2222222u v w C αβγ++=, 其中积分常数20C ≥;有了首次积分 和 ,我们就可以将u 和v 用w 表示,代入原方程组 的第三式,得到dw dt =,其中常数a ,b 依赖于常数12C C 和,而常数 ()()()()0,0.A B γβγγαγααββαβ--=>=>--注意 是变量可分离方程,分离变量并积分得到第三个首次积分3t C αβγ--=, 其中3C 是积分常数;因为方程组 是三阶的,所以三个首次积分 、 和 在理论上足以确定它的通解()()()123123123,,,,,,,,,,,.u t C C C v t C C C w t C C C ϕψχ=== 但是由于在式 中出现了椭圆积分,因此不能写出上述通解的具体表达式;现在我们考虑一般的n 阶常微分方程()n i iy y y x f dxdy ,,,,21 =,()n i ,2,1=, 其中右端函数()n i y y y x f ,,,,21 在1+⊂n R D 内对()12,,,,n x y y y 连续,而且对n y y y ,,,21 是连续可微的;定义1设函数()12,,,,n V V x y y y =在D 的某个子域G 内连续,而且对12,,,,n x y y y 是连续可微的;又设()12,,,,n V x y y y 不为常数,但沿着微分方程 在区域G 内的任意积分曲线()()()()1122:,,,n n y y x y y x y y x x J Γ===∈函数V 取常值；亦即()()()()()()12,,,n V x y x y x y x C x J =∈常数,或当12(,,,,)n x y y y ∈Γ时,有()12,,,,n V x y y y =常数, 这里的常数随积分曲线Γ而定,则称()12,,,,n V x y y y =C为微分方程 在区域G 内的首次积分;其中C 是一个任意常数,有时也称这里的函数()12,,,,n V x y y y 为 的首次积分;例如 和 都是微分方程 在某个区域内的首次积分;这里对区域G 有限制,是要求首次积分 和 必须是单值的连续可微函数;因此区域G 内不能包括原点,而且也不能有包含原点的回路;同理,式 、 和 都是方程 的首次积分;对于高阶微分方程 ,只要做变换 ,就可以把它化成一个与其等价的微分方程组;因此,首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程 ;而其首次积分的一般形式可以写为()()1',,,,n V x y y y C -=;例如,设二阶微分方程组()222sin 00d xa x a dt+=>为常数,用dxdt乘方程的两端,可得222sin 0dx d x dx a x dt dt dt+=, 然后积分,得到一个首次积分221cos 2dx a x C dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭;一般的,n 阶常微分方程有n 个独立的首次积分,如果求得n 阶常微分方程组的n 个独立的首次积分,则可求n 阶常微分方程组的通解; 首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质,我们不加证明地列出下面的定理; 定理1设函数()12,,,,n x y y y Φ 在区域G 内是连续可微的,而且它不是常数,则()12,,,,n x y y y C Φ=是微分方程 在区域G 内的首次积分的充分必要条件是 110n nf f x y y ∂Φ∂Φ∂Φ+++=∂∂∂ 是关于变量()12,,,,n x y y y G ∈的一个恒等式;这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程 首次积分的有效方法;因为根据首次积分的定义,为了判别函数()12,,,,n V x y y y 是否是微分方程 在G 内的首次积分,我们需要知道 在G 内的所有积分曲线;这在实际上是由困难的;而定理1避免了这一缺点;定理2 若已知微分方程 的一个首次积分 ,则可以把微分方程 降低一阶; 设微分方程组 有n 个首次积分()()12,,,,1,2,,i n i x y y y C i n Φ==,如果在某个区域G 内它们的Jacobi 行列式()()1212,,,0,,,n n D D y y y ΦΦΦ≠,则称它们在区域G 内是相互独立的;定理3设已知微分方程 的n 个相互独立的首次积分 ,则可由它们得到 在区域G 内的通解()()12,,,,1,2,,i i n y x C C C i n ϕ==,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数在允许范围内,而且上述通解表示了微分方程在G 内的所有解;关于首次积分的存在性,我们有定理 4 设()00001,,,n p x y y G =∈,则存在0p 的一个邻域0G G ⊂,使得微分方程 在区域0G 内有n 个相互独立的首次积分;定理5 微分方程 最多只有n 个相互独立的首次积分;定理6 设 是微分方程 在区域G 内的n 个相互独立的首次积分,则在区域G 内微分方程 的任何首次积分()12,,,,n V x y y y =C ,可以用 来表达,亦即()()()1211212,,,,,,,,,,,,,,n n n n V x y y y h x y y y x y y y =ΦΦ⎡⎤⎣⎦,其中[]*,,*h 是某个连续可微的函数;为了求首次积分,也为了下一节的应用,人们常把方程组 改写成对称的形式12121n n dy dy dy dxf f f ===, 这时自变量和未知函数的地位是完全平等的;更一般地,人们常把上述对称式写成()()()1211221212,,,,,,,,,,nn n n n dy dy dy Y y y y Y y y y Y y y y ==并设12,,,n n Y Y Y G R ⊂在区域内部不同时为零,例如如果设0,n Y ≠ 则 等价于()()()1212,,,1,2,,1,,,i n i n n n Y y y y dy i n dy Y y y y ==-;请注意,式 中的n y 相当于自变量,()1,2,,1i x i n =-相当于未知函数,所以在方程组 中只有n--1个未知函数,连同自变量一起,共有n 个变元;不难验证,对于系统 ,定理1相应地改写为：设函数()12,,,n y y y ϕ连续可微,并且不恒等于常数,则()12,,,n y y y ϕ=C 是 的首次积分的充分必要条件是关系式()()()()1121212121,,,,,,,,,,,,0n n n n n nY y y y y y y Y y y y y y y y y ϕϕ∂∂++=∂∂在G 内成为恒等式;如果能得到 的n -1个独立的首次积分,则将它们联立,就得到 的通积分;方程写成对称的形式后,可以利用比例的性质,给求首次积分带来方便;例3 求dx dy dz y x z==的通积分; 解 将前两个式子分离变量并积分,得到方程组的一个首次积分 221x y C -= 其中1C 是任意常数,再用比例的性质,得()()d x y dzx y z+=+,两边积分,又得到一个首次积分2x yC z +=,其中2C 是任意常数; 和 是相互独立的,将它们联立,便得到原方程组得通积分 221x y C -=,2x y C z +=.例4 求dx dy dzcy bz az cx bx ay==---的通积分;解 利用比例的性质,可以得到 .00dx dy dz xdx ydy zdz adx bdy cdzcy bz az cx bx ay ++++====---于是有0,0.xdx ydy zdz adx bdy cdz ++=++=分别积分,就得到两个首次积分22212,.x y z C ax by cz C ++=++= 将它们联立,就得到原系统的通积分,其中12C C 和为任意常数; 例5 求解二体问题,即求解方程组()()()2322222232222223222220,0,0.d x xdt x y z d y ydt x y z d z zdt x y z ααα+=+++=+++=++ 其中常数,GM G M α=是引力常数，是相对静止的这个天体的质量;现在求二体问题的运动轨线;以x 乘第二式两边,以y 乘第三式两边,然后相减,得22220,d y d zz y dt dt-=即0d dz dy y z dt dt dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,积分便得到1,dz dy yz C dt dt-= 这里1C 是任意常数,用类似的方法,可以得到23,.dx dzzx C dt dtdy dx x y C dt dt-=-= ()()4.1.274.1.28其中23,C C 都是任意常数;分别用x 、y 、z 乘 , 和 的两边,然后三式相加,得到 1230.C x C y C z ++= 这时一个平面方程;说明二体问题的运动轨迹()()(),,x x t y y t z z t ===位于 所表示的平面内;因此二体问题的轨迹是一条平面曲线;重新选取坐标平面,不妨将轨迹线所在的平面选为x ,y 平面,于是二体问题的运动方程是()()2322222322220,0.d x xdt x y d y y dt x y αα⎧+=⎪+⎪⎨⎪+=⎪+⎩()()4.1.304.1.31由这两式可以看到()22322220dx d x dy d y dx dy x y x y dt dt dt dt dt dt α-⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 上式可以写成()2212220,d dx dy dx y dt dt dt dt α-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦两边积分,得到一个首次积分()221222.dx dy x y A dt dt α-⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中A 为积分常数;引入极坐标cos ,sin x r y r θθ==,经过简单的运算,上式可以写成2222.dr d r A dt dt r θα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 另一方面,以y 乘 ,以x 乘 ,然后两式相减,得22220d x d yy x dt dt-=,即0d dy dx x y dt dt dt ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 积分后得到另一个首次积分 dy dx x y B dt dt-=, 化成极坐标,便得2d r B dtθ=; 设0B ≠,则由 和 解得dr d θ=,不妨把“±”与B 合并,仍记为B ,则上式可以写成B d d θ⎛⎫ ⎪=,记2,0A B α⎛⎫∆=+∆≤ ⎪⎝⎭若,则上式没有意义,故总设0∆>;将 积分,得到0arccos .B αθθ⎛⎫- ⎪=-这里0θ又是一个积分常数;从上式得到二体问题轨迹线的极坐标方程()201B r Bαθθ=+-;由平面几何知道,这是一条二次曲线;它的离心率是0ε=>;当1ε<时,轨迹为一个椭圆；当1ε=时,轨迹为一个抛物线；当1ε>时,轨迹为一双曲线;由 可知,r 依赖于常数,A B α和,其中GM α=是系统常数；A 和B 由初始条件00,,t t t dr d r dtdt θ===和确定;如果00(0)t d B dtθ===即,则由 知()0,d t dtθθ=等于常数,这表示运动的轨迹是一条射线,这是显然的事;这个例子说明,虽然二体问题的解x=xt 和y=yt 没有求出来,但是利用首次积分,却完整地求出了运动的轨迹方程;2 一阶齐次线性偏微分方程下面我们讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法; 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为()()()0,,,,,,,,2122121211=∂∂++∂∂+∂∂nn n n n x u x x x A x u x x x A x u x x x A , 或简记为()0,,,121=∂∂∑=ini n i x ux x x A , 其中u 为n x x x ,,,21 的未知函数()2n ≥;假定系数函数12,,,n A A A()1,,n x x D ∈对是连续可微的,而且它们不同时为零,即在区域D 上有()121,,,0nin i A x x x =>∑;注意微分方程组 是线性齐次的;对于偏微分方程组 , 我们考虑一个对称形式的常微分方程组()()()n n n n n x x x A dx x x x A dx x x x A dx ,,,,,,,,,2121222111 ===,它叫做 的特征方程,注意特征方程 是一个n -1阶常微分方程组,所以它有n -1个首次积分()()12,,,1,2,,1i n i x x x C i n ϕ==-;我们的目的是通过求 的首次积分来求 的解; 的解与 的首次积分之间的关系有如下的定理定理1 假设已经得到特征方程组 的1-n 个首次积分 ()i n i C x x x =,,,21 ϕ, ()1,,2,1-=n i 则一阶偏微分方程 的通解为()()()()()12112212112,,,,,,,,,,,,,,n n n n n u x x x x x x x x x x x x ϕϕϕ-=Φ其中Φ为一任意1-n 元连续可微函数; 证明 设()12,,,n x x x C ϕ=是方程 的一个首次积分;因为函数12,,,n A A A 不同时为零,所以在局部邻域内不妨设()12,,,0n n A x x x ≠,这样特征方程 等价于下面标准形式的微分方程组()()()()11111111,,,,,,,.,,n n n n n n n nn n A x x dx dx A x x A x x dx dx A x x --⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩因此 也是 的一个首次积分,从而有恒等式110n i i n n iA x A x ϕϕ-=∂∂+=∂∂∑, 亦即恒有()11,,0ni n i iA x x x ϕ=∂=∂∑; 这就证明了非常数函数()12,,,n x x x ϕ为方程 的一个首次积分的充要条件为恒等式 成立;换言之,()12,,,n x x x ϕ为方程 的一个首次积分的充要条件是()12,,,n u x x x ϕ=为偏微分方程 的一个非常数解;因为 是微分方程 的n -1个独立的首次积分,所以根据首次积分的理论得知,对于任意连续可微的非常数n -1元函数Φ,()()112112,,,,,,,,n n n x x x x x x C ϕϕ-Φ=⎡⎤⎣⎦就是 的一个首次积分;因此,相应的函数 是偏微分方程 的一个解;反之,设()12,,,n u u x x x =是偏微分方程 的一个非常数解,则()12,,,n u x x x C =是特征方程 的一个首次积分,因此,根据首次积分的理论得知,存在连续可微函数()11,,n ϕϕ-Φ,使恒等式()()()12112112,,,,,,,,,,,n n n n u x x x x x x x x x ϕϕ-≡Φ⎡⎤⎣⎦成立,即偏微分方程 的任何非常数解可以表示成 的形式;另外,如果允许Φ是常数,则 显然包括了方程 的常数解; 因此,公式 表达了偏微分方程组 的所有解,也就是它的通解; 例1 求解偏微分方程()()0=∂∂--∂∂+xzy x x z y x 022>+y x .解 原偏微分方程 的特征方程为yx dyy x dx --=+ 它是一阶常微分方程组,求得其一个首次积分为C ey x xy=+arctan22,由定理1知,原偏微分方程的通解为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=x y e y x y x z arctan 22,,其中Φ为任意可微的函数;例2 求解边值为题()0,0,0,01,.f z x y z z z f xy ∂=>>>∂⎪==⎩解 原偏微分方程 的特征方程为zdz ydy xdx ==, 由1C ==; 再由2,ln dzz C z ==得. 故方程的通解为()()z y y x z y x f ln 2,,,--Φ=其中Φ为任意二元可微的函数,可由边值条件确定, 因为()()1ln 2,1,,--Φ=y y x y x f ()xy y y x =-Φ=2,,令y y x 2,=-=ηξ,则2ηξ+=x ,4,222ηηξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x ,()=Φηξ,4222ηηξ⎪⎭⎫ ⎝⎛+;代入 式,得到()()z y y x z y x f ln 2,,,--Φ=()()()222ln 24ln 2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=z y y x z y()()16ln 2ln 222zx zy --=.一阶拟线性非齐次偏微分方程下面讨论一阶拟线性非齐次偏微分方程()()()()u x x x B x u u x x x A x u u x x x A x u u x x x A n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,212122121211 =∂∂++∂∂+∂∂的求解方法;式 中函数()11,,,,,n n A A B x x u G ∈和关于变元是连续可微的;这里所说的“拟线性”是指方程关于未知函数的偏导数都是一次的,各个系数()u x x x A n i ,,,21 ,()n i ,,2,1 =中可能含有未知函数u ,而“非齐次”是指存在不含未知函数偏导数的自由项()u x x x B n ,,,,21 ;和一阶线性偏微分方程()()()120121121,,,,,,,,,ni n n n i iuA x x xB x x x B x x x u x =∂=+∂∑相比较,显然式拟线性方程 比线性方程 更广泛;我们将求解 的问题化成求解线性齐次方程的问题,设()C u x x x V n =,,,,21是 的隐函数形式的解,且0≠∂∂uV,则根据隐函数微分法得uV x V x ui i∂∂∂∂-=∂∂, ()n i ,,2,1 = 将 代入 中,经过整理得()()()()112212121212,,,,,,,,,,,,,,0.n n n n n nVVA x x x u A x x x u x x VVA x x x uB x x x u x u∂∂++∂∂∂∂++=∂∂由此,可以将V 视为关于u x x x n ,,,,21 的函数, 变成了关于未知函数()u x x x V n ,,,,21 的一阶线性齐次偏微分方程;于是函数()u x x x V n ,,,,21 应是方程 的解;反过来,假设函数()u x x x V n ,,,,21 是 的解,且0≠∂∂uV,则由 和 可以推出由方程()u x x x V n ,,,,21 =0 所确定的隐函数()12,,,n u u x x x =是方程 的解;这样求解方程 的问题就化成了求解 的问题;为了求解 ,先写出其特征方程组为()()()()u x x x B du u x x x A dx u x x x A dx u x x x A dx n n n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,212121222111 ====. 式 可化为n 个常微分方程,求得它的n 个首次积分为()i n i C u x x x =,,,,21 ϕ, ()1,2,,i n =就得到 的通解为()()()()()u x x x u x x x u x x x u x x x V n n n n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,2121221121 ϕϕϕΦ=其中Φ是所有变元的连续可微函数;我们将 称为方程 的特征 方程组;上述过程写成定理就是 定理 设函数()()12,,;1,2,i n A x x x u i n =和()12,,;n B x x x u 在区域1n G R +⊂ 内连续可微,12,,,n A A A 在G 内不同时为零,设()012,,,;n V V x x x u =是 的一个解,且()00120,,,,;0n V V x x x u u∂≠=∂则必是方程 的一个隐式解;反之()12,,,;n x x x u ϕ是 的一个隐式解,并且0,uϕ∂≠∂ 则从它确定的函数 ()12,,,n u u x x x =,必是 的某个解()012,,,;n V V x x x u =,使()()01212,,,;,,,0.n n V x x x u x x x ≡一阶线性非齐次偏微分方程 为一阶拟线性非齐次偏微分方程的特殊情况,其解法完全与求解方程 的解法相同;例4 求解()21=∂∂+∂∂--+yz x z yx z . 解 原一阶拟线性非齐次偏微分方程()18.1.5的特征方程为211dz dy yx z dx ==--+, 故由21dzdy =,积分后得12C z y =-,求得一个首次积分z y -=21ϕ,再利用合比定理,有1dy yx z dy dx dz =-----, 积分后得22C y x z y =--+,故求得另一个首次积分为 y x z y --+=22ϕ, 所以 的通解为()02,2=--+-Φy x z y y z .例5 求解 ()1212,0nnu u ux x x mu m x x x ∂∂∂+++=≠∂∂∂.解 式为线性非齐次偏微分方程,是拟线性非齐次偏微分方程的特例,其特征方程为mudux dx x dx x dx n n ==== 2211, 分别积分,得n 个首次积分m n n n x u x x x x x x 111132121,,,,====-ϕϕϕϕ . 故原线性非齐次偏微分方程的隐式通解为0,,,,111312=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φm n x u x x x x x x , 其中Φ是各个自变量的连续可微函数,解出u 得显式通解()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11312121,,,,,,x x x x x x F x x x x u n m n . 习题四1 求解下列偏微分方程1()12120,0.kky y yx x x k x x x ∂∂∂+++=≥∂∂∂2()()()0,u u u y z z x x y x y z∂∂∂+++++=∂∂∂ 3()()()2222220.h h ha b c b c a c b a ab c∂∂∂++++-=∂∂∂ 2 求解下列初值问题 10,1,x u y z =⎪==-⎩当时。
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一阶偏微分方程求解方法
VS
举例2
求解一阶偏微分方程时，遇到边界条件为 y'(0)=1，y'(1)=2的情况，可以通过有限差 分法进行处理。
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03
3. 求解参数方程
通过求解参数方程，得到 (t = x^2/2 + C) ，其中 (C) 是常数。
02
2. 建立参数方程
根据参数 (t) 的定义，建立参数方 程 (u'(x) = x + t) 。
04
4. 求得原方程的解
将 (t) 关于 (x) 的表达式代入原方 程，得到原方程的解 (u(x) = x^2/2 + C) 。
04 参数法
适用条件
适用于具有特定形式的一阶偏微分方程，如形如 (u'(x) = f(x, u(x))) 的方程。
适用于已知函数 (f(x, u)) 的情况，且在某些特定点上，方程的解 (u(x)) 可以表示为参数 (x) 的函数。
求解步骤
1. 确定参数
选择一个参数 (t) ，使得方程的解 (u(x)) 可以表示为 (t) 的函数。
乘积或商。
03 偏微分方程中的未知函数可以表示为某种周期函 数的乘积或商。
求解步骤
01
1. 将偏微分方程中的未知函数表示为多个函数的乘积
或商。
02 2. 将每个函数分别求解，得到每个函数的解。
03
3. 将所有函数的解组合起来，得到偏微分方程的解。
举例说明
考虑一阶偏微分方程 $$ frac{partial u}{partial x} + u = f(x) $$ 其中 $u = u(x)$ 是未知函数，$f(x)$ 是已知函数。
(e^{int f(x) dx} y' = f(x) e^{int f(x) dx})
第三章 一阶偏微分方程
(r)
➢ 处理含间断问题的原则：分段求解
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例1 含有激波的追赶问题
间断条件
h, q 1 h2
2
dxs dt
1 2
hl2
1 2
hr2
hl hr
1 2
(hl
hr )
初值
t / h0 xs
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
h
t=0
h0
t</h0
t=/h0
通解
g1(x, y,u) k1, g2 (x, y,u) k2
初始曲线限制
F(k1, k2 ) 0
解曲面
F(g1(x, y,u), g2 (x, y,u)) 0
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.3
特征方程 通解 解曲面 由初值 得解
u u 1
x y
( 为常数)
dy , du 1
kc
dx
v
dt
1
(1
NK
Kc)2
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢
dt (c n)l (c n)r 1 nl nr
cl cr
➢ 特征线光滑解
dc k c dx v
c
c0
exp(
k v
x)
(x xs )
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 原因：形成强间断——激波，微分方程失效
问题：补充间断面上的关系
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
3。激波间断关系
q r
t x
l, ql
dxs/dt
r, qr
0
xl
xs
xr
一阶偏微分方程的特征线法
一阶偏微分方程的特征线法
一阶偏微分方程的特征线法是一种在求解偏微分方程的一种有效的数
值解法，也可以称之为特征线的数值测试。
它将一维特征线作为解决
方案，根据微分方程的偏导数在一条离散特征线上求解，使得问题变
得相对简单，方便求解。
这种方法不仅可以用于一阶偏微分方程，而
且还可用于多维偏微分方程。
特征线法对解偏微分方程有很大的帮助。
特征线实际上是由微分方程
构成的，特征线是方程的特征方程的解，这种方法的最大优点是可以
明确其数学形式，这样就可以利用离散化方法求解一般的微分方程，
它更加的方便快捷。
此外，特征线法有其独特性，它将问题分解为一维离散问题，只要将
原始方程变形成特征型方程，就可以将复杂的多元方程转换为一维的
特征型方程，由于特征线方程的特殊性，可以在离散点间计算出特征
线的值，从而获得解决方案，这样的方法有效的避免了复杂的数值分
析求解方法所带来的复杂性，使得问题更易于处理和解决。
总之，特征线法在求解偏微分方程中有着重要的作用，由于其独特的
特性，可以有效的将复杂的多维微分方程简化成一维特征线，由于离
散性，可以很容易的计算出特征线上各个离散点间的值，从而获得解。
微分方程解法
(a1 ( x1 , " , x n )," , a n ( x1 ," , x n ))
称为方程（1.3）在点 ( x1 ," , x n ) 处的特征方向函数.沿着这个方向的方向导数就 是
∑
i =1
n
n ai ∂u ∂u . ai ⋅ 2 ⋅ 2 1/ 2 ∑ ∂xi ∂xi (a1 + " + a n ) i =1
(2.2)
和
dxi = ai x1 ,", x n , i = 1,", n, dt du = 0 dt
若方程组（2.2）的解为
x1 = x1 (t ),", x n = x n (t ), t ∈ I
则方程（2.1）的全特征为
(2.3)
x1 = x1 (t ),", x n = x n (t ), u (t ) = c, t ∈ I
由此及（1.11）得到
ut ≡ Φ ( x1 (t ), " , x n (t )) , | t − τ |≤ h ,
这就是所要证明的. 在以下的讨论中,我们还要涉及通解的概念.一个一阶偏微分方程的通解我 们将理解为含某些任意元素的解的表达式.当适当选取所含任意元素时,除个别 例外,可以得到方程的任一解.看下面的例子 例 1.1 设自变量是 x, y ,未知函数是 u .则方程
故若 u = u ( xi ," , x n ) 是方程(1.3）的解,则它沿着（1.4）化成了常微分方程：
du = c( x1 (t ),", x n (t ), u ). dt
2
常微分方程组（1.5）称为方程（1.3）的特征方程组其解（1.4）在 ( x1 ,", x n ) 空 间的图象称为方程（1.3）的特征.常微分方程组
第七章 一阶线性偏微分方程 常微分方程课件 高教社ppt 王高雄教材配套课件
第七章一阶线性偏微分方程§7.1 首次积分和求解常微分方程组基本概念(,,)ni 1n i 1i u X x x 0x =∂=∂∑(,,)(,,)ni1n1ni 1iuX x x Z x x x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1i uY x x u Z x x u x =∂=∂∑例丨例1解x yu uc0u cu0 x y∂∂+=+=∂∂即例2例2 解(,,)(,,)x y y x u g x y u u g x y u 0-=(,)()()(,)xy x y y x x y u y y x u x x y y u xyu u u v u v u v u g g u u g g u u g u g 0v v x y ∂==-=-⋅--⋅=-⋅=∂(,(,,))((,,))u g x y u 0u g x y u ϕΦ==或特征方程定义•齐次线性偏微分方程特征方程•拟线性偏微分方程特征方程(,,)ni1n i 1iu X x x 0x =∂=∂∑(,,,)(,,,)ni 1n 1n i 1iu Y x x u Z x x u x =∂=∂∑d d d n1212nx x x X X X ===d d d d n 1212n x x x uY Y Y Z====首次积分定义首次积分d (,,,),(),,,6d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1nx===（）首次积分彼此独立彼此独立(,,)(,,)n 1111n 1n n 1nny y D D y y y y ψψψψψψ∂∂∂∂=∂∂∂∂n 1111n 11nn x x x x ϕϕϕϕ--∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦一阶线性偏微分方程与常微分方程组的关系d (,)d yf x y 8x=（）d (,)d y f x y 0x y x x yψψψψ∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂(,)u u f x y 09x y∂∂+=∂∂（）d d (,)d d u u u y u uf x y 0x x y x x y ∂∂∂∂=+=+=∂∂∂∂定理1定理112n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）证(,,,)0001n x y y G∈()(,,,)i i 0y x i 12n ϕ==(,(),,())1n x x x const ψϕϕ=d(,(),,())d 1n x x x 0x ψϕϕ=(,,,)(,,,)(,,,)n00000001n i 01n 01n i 1i x y y f x y y x y y 0x y ψψ=∂∂+=∂∂∑(,,,)0001n x y y G ∈12n 12nf f f 010x y y y ψψψψ∂∂∂∂++++=∂∂∂∂（）(),,,d(,(),,())d i i 1n 12n y x 12n i 12nx x x f f f 0xxy y y ϕψψψψψϕϕ==⎛⎫∂∂∂∂=++++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭(,(),,())1n x x x constψϕϕ=d (,,,),(),,,d 0ii 1n i 0i y f x y y y x y i 1n 6x===（）§7.3 利用首次积分求解常微分方程组定理2d(,,,),,,dii1nyf x y y i1n11x==（）(,,,),,,i1n ix y y c i1n12ψ==（），证(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 13ϕ==（）(,(,,,),,(,,,)),,,j 11n n 1n j x x c c x c c c j 12n ψϕϕ==d (,,,)(,,,),,,d n i j 1n j 1n i 1ix x 0j 12nxy xϕψϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑,,,,j j j1n 1nf f 0j 12n 14x y y ψψψ∂∂∂+++==∂∂∂（）(,,,),,,nj ii 1n d f x 0j 12ny dxψϕϕϕ∂⎡⎤-==⎢⎥∂⎣⎦∑(,,,)(,,,)(,,,),,,nj 1n i 1n j 1n i 1i x f x x 0j 12n x y ψϕϕϕϕψϕϕ=∂∂+⋅==∂∂∑d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）(,,,),,,i 1n i x y y c i 1n 12ψ==（）(,,,)(,,,)12n 12n 0y y y ψψψ∂≠∂d (,,,),,,d ii 1n f x j 12nx ϕϕϕ==(,,,),,,,i i 1n y x c c i 12nϕ==(,,,,),,,,i i 01n y x x y y i 12nϕ==(,,,)(,,,)i i 01n c x y y i 12n ψ==(,,,)(,,,)i i 1n y x c c i 12n ϕ==(,,,,)(,,,)(,,,)i 001n i i 01n x x y y y x c c i 12n ϕϕ===(,,,)(,,,,),,,,i 1n i 01n x c c x x y y i 12n ϕϕ==(,,,,)(,,,)i i 01n y x x y y i 12n ϕ==(,,,)(,,,)i i i 01n c c x y y i 12n ψ===，d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）求首次积分方法(,)(,,)x c y x c 00c cϕψ∂∂≠≠∂∂或d d d d n12012ny y y x g g g g ====(,,)i 0i g g f i 1n ==,,,01nμμμ,d d d d 0011n n 011n n g g g 0x y y μμμμμμϕ+++=+++=d (,,,),,,d ii 1n y f x y y i 1n 11x==（）例1 求解方程组d d d d 222222y2xy x x y z z 2xz x x y z ⎧=⎪--⎪⎨⎪=⎪--⎩d d d 222x y zx y z 2xy 2xz==--d d y z yz=1y c z=d d d d ()222x x y y z z yx x y z 2xy++=++2222x y zc y++=12222yc z x y z c y ⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例2 求方程组的通积分d d d x y z xz yz xy==,,012g xz g yz g xy===,,012y x 2z μμμ===-001122g g g 0μμμ++=()2012dx dy dz d xy z μμμ++=-21xy z c -=2xc y=212xy z c x cy ⎧-=⎪⎨=⎪⎩。
2一阶偏微分方程的求解方法
1)
(6.23)
由假设(6.18), f j (x1, x2,, xn) 在某区域 D 内处处不同时为零, 这意
味着上述以 f j (x1, x2,, xn) ( j 1, 2,, n )为变量的线性方程组在区 域 D 内有非零解, 所以其系数行列式在区域 D 内必为零, 即
u x1
(u, u1 ,, un 1 ) (x1, x2,, xn )
(6.20 )
通过这 n 1个独立的首次积分, 我们可以获得偏微分方程(6.17)
的通解结构.
.
例6.6 试求偏微分方程 u u 0 的通解.
x y
解: 作自变量变换
x
y
1 (t 2 1 (t
s) s)
Байду номын сангаас
2
则
u u x u y 1 (u u ) 0 s x s y s 2 x y
6.24
其中 (,) 是任意的二元连续可微函数. 确定某函数关系 0 使得(6.24)满足初始条件 u |z1 xy, 我们有
0 ( x y , 2 y ) xy.
令 x y, 2 y. 解之得
x ( 1)2, y 12.
2
4
故可确定
0 为
0 (
,)
xy
1 (
4
1)2 2.
2
回代通解内可得满足满足初始条件的解:
例6.7 求解偏微分方程
(x y) u (x y) u 0,
x
y
其中 x2 y2 0.
解: 特征方程为
dx dy , xy xy
它有一个首次积分:
x2
y2
arctan y
ex
C.
一阶偏微分方程教程
方程的解：若函数u连续并具有方程所涉及的连续 方程的解：若函数 连续并具有方程所涉及的连续 的各阶偏导数， 的各阶偏导数 ， 且该函数代入方程使得方程在某 区域内成为恒等式， 区域内成为恒等式 ， 则称该函数为方程在该区域 内的解 古典解） 内的 解 （ 古典解 ） 。 满足某些特定条件的解称为 特解，这些条件称为定解条件 一般情况下， 定解条件。 特解 ， 这些条件称为 定解条件 。 一般情况下 ， 一 个具有n个自变量的 阶方程的解可以含有 个n-1 个具有 个自变量的m阶方程的解可以含有 个自变量的 阶方程的解可以含有m个 元任意函数，这样的解称为通解。 元任意函数，这样的解称为通解。 通解 定解问题 ： 定解条件通常包括 边界条件 和 初始条 定解问题：定解条件通常包括边界条件 边界条件和 两种。含有定解条件的方程求解问题称为定解 件 两种 。 含有定解条件的方程求解问题称为 定解 问题， 包括初值问题（ 问题） 问题 ， 包括初值问题 （ Cauchy问题 ） 、 边值问 问题 题和混合问题。 题和混合问题。
u u u P ( x, y , z ) + Q ( x, y , z ) + R ( x, y , z ) x y z = f ( x, y, z )u + g ( x, y, z )
为已知函数。 其中 f , g为已知函数。 为已知函数 其特征方程组为
(6)
dx dy dz du = = = P Q R fu + g
12
于是
Φ ( t , s ) = f (± t + y , ± t + y s )
2 0 2 0
从而原Cauchy问题的解为 问题的解为 从而原
u = Φ ( x2 y 2 , x2 z 2 )
6.2一阶偏微分方程的求解方法
注意: 其特征方程为 dx dy 0 ,它有首次积分 u x y .
定理6.6 设 u j ( x1 , x2 ,, xn ) 是特征方程(6.19)的 n 1 个独立的 首次积分, 则一阶齐次偏微分方程(6.17)的通解为
u (u1 ( x1, x2 ,, xn ),, un 1 ( x1, x2 ,, xn )) , (6.21)
其中 ()是任意的连续可微函数. 进而可推出
u e 2
y ( x y )
e2 y ( x y ),
6.33
其中 () 是任意的连续可微函数.
确定某函数关系 0使得(6.25)满足初始条件 u |x 1 sin 2 y, 为此代入初始条件 u |x 1 sin 2 y 后我们有
一阶齐次线性偏微分方程的一般形式为
n
f j ( x1, x2 ,, xn )
j 1
u 0 x j
(6.17)
其中 u u( x1, x2 ,, xn ) 是未知函数( n 2 ). 假设系数 f j ( x1, x2 ,, xn ) ( j 1, 2,, n ) 在某区域 D R n 上连续可微, 并满足条件
dx1 dx2 du f1 ( x1 , x2 , u ) f 2 ( x1 , x2 , u ) g ( x1 , x2 , u )
6.30
的两个独立的首次积分, 而 是任意二元连续可微函数, 满足
0, 则一阶拟线性偏微分方程(6.27)的隐式通解为 u (1 ( x1 , x2 , u), 2 ( x1 , x2 , u)) 0. 6.31
x y c1 , 2 y ln z c2 .
一阶偏微分方程的解法
一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。
其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。
本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。
一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。
偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。
一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。
方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。
因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。
为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。
二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。
我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。
1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。
特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。
以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。
我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。
数学挑战解偏微分方程
数学挑战解偏微分方程解偏微分方程是数学领域一个重要而具有挑战性的问题。
偏微分方程广泛应用于物理、工程、金融等领域，并且在科学研究和工程实践中具有重要的作用。
本文将介绍一些常见的数学挑战，以及解决这些挑战的方法和技巧。
一、一阶偏微分方程一阶偏微分方程是一类常见的偏微分方程，它包含了一个未知函数的一阶偏导数项。
例如，常见的一阶偏微分方程包括线性输运方程、热传导方程等。
解决一阶偏微分方程的关键是找到适当的变量代换和积分方法。
通过变量代换，我们可以将一阶偏微分方程转化为更简单的形式，使得求解变得更加容易。
二、二阶偏微分方程二阶偏微分方程是一类更为复杂的偏微分方程，它包含了未知函数的二阶偏导数项。
例如，常见的二阶偏微分方程包括波动方程、椭圆方程等。
解决二阶偏微分方程的方法有很多，其中一种常见的方法是分离变量法。
分离变量法将未知函数表示为两个独立变量的函数乘积，然后带入偏微分方程中，通过分离变量的方法得到两个方程，分别对应两个独立变量的方程。
通过求解这两个方程，我们可以得到原方程的解。
三、解偏微分方程的数值方法除了解析方法外，还可以使用数值方法来求解偏微分方程。
数值方法通常是通过离散化空间和时间来逼近偏微分方程的解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
其中，有限差分法是最为常见的数值方法之一。
有限差分法将空间和时间分割成离散的网格点，在每个网格点上近似原方程，并通过迭代求解近似的差分方程来得到偏微分方程的数值解。
四、应用举例解偏微分方程在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在流体力学中，通过解决纳维-斯托克斯方程，可以研究流体在各种复杂流动条件下的运动。
在材料科学中，通过解决热传导方程，可以预测材料在不同温度条件下的热传导性能。
在金融学中，通过解决布莱克-斯科尔斯方程，可以定价期权和衍生产品等。
总结：解偏微分方程是一个具有挑战性的数学问题。
通过适当的变量代换、分离变量法和数值方法等，我们可以解决各种类型的偏微分方程。
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定理6.2 如果已知方程组(6.1)的一个首次积分,则可将方
程组(6.1)降低一维; 如果已知方程组(6.1)的 k 2 k n 1
个独立的首次积分,则可将方程组(6.1)降低 k 维.
应用定理6.2到例6.1, 因为
u1
(u1, u2 )
det
应用定理6.1到例6.1, 容易验证 u1(t, x, y) (x y)et 和
u2 (t, x, y) (x y)et 都是方程组的首次积分,并且根据定
义6.1,(u1,u2)也是方程组的首次积分, 其中 是任意关于其
变量连续可微的函数.那么 u1 和 u2为什么能够构成方程组
(u1,u2, , un ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
因此方程组(6.9)在区域 G内只有零解,即
x1 f1, x2 f2, , xn fn.
所以由(6.6)定义的函数是方程组(6.1)的解, 即(6.5)式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)
定义6.1 设 u(t, x1, x2,, xn ) 是区域 G Rn1 内连续可
微,且不恒等于常数的函数, 如果方程组(6.1)的任一组解
x1(t), x2 (t), , xn (t), t I, 使得
u t, x1 t, x2 t, , xn t 某常数， 6.2
x
(x, y)
u2
x
u1
y u2
det
et et
y
et et
2
0,
(t,
x,
y)
R3.
所以 u1(t, x, y) (x y)et和 u2 (t, x, y) (x y)et是方程组在
R 3上独立的首次积分.
6.6
其中c1,c2,,cn是 n 个相互独立的任意常数.将其代入(6.5)中得到
n个恒等式, 并且恒等式两边对 t 求导可得
u j t
u j x1
x1
u j xn
xn
0,( j
1, 2,
, n)
6.7
又因为 u j (t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积分, 由定理
一、概念的引入
6.1求解方程组
dx
dt dy
y, x.
dt
解: 将方程组中的两式相加得
d(x y) (x y)， dt
积分得 (x y)et c1.
将方程组中的两式相减得
积分得
d(x y) x y, dt
(x y)et c2.
中都有
u1(t, x1(t), x2 (t)) (x1(t) x2(t))et c1;
u2 (t, x1(t), x2 (t)) (x1(t) x2(t))et c2.
注：从例6.1中可以看出, 函数 u1,u2 本身不是常数, 但沿着方 程组的任一条积分曲线上恒为常数, 该常数与积分曲线的 选择有关. 于是通过寻找具有这种性质的函数, 一样能够 求得通解（隐式通解）.
cc12
1(t0 ;t, x1 , x2 , 2 (t0 ;t, x1 , x2 ,
, xn ) , xn )
..
6.11
cn n (t0 ;t, x1 , x2 , , xn )
可以看出关系式(6.10)与(6.11)是互为反函数, 具有对称性.
如果固定 t0, 任意取定常数 c1 ,c2 ,,cn , (6.4)中的每一个函数 都是方程组(6.1)的首次积分.并且是独立的, 所以方程组(6.1)
(u1,u2, , uk ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
所以从函数方程组(6.5)中可以解出
x1 x2
1(t , c1 2 (t, c1
, c2 , , c2 ,
xn n (t , c1 , c2 ,
, cn ) , cn ) ,
, cn )
存在 n个独立的首次积分.证毕.□
定理6.5 方程组(6.1)至多存在 n 个独立的首次积分.
证明:设方程组(6.1)有 n 1 个的首次积分
u j (t, x1, x2, , xn ) cj , ( j 1, 2, , n 1)
是方程组(6.1)的隐式解.
其次证明(6.5) 式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)是方程组
(6.1)的隐式通解. 为此, 只要证明能够选择适当的常数 c j
使得由(6.5)所确定的一条积分曲线, 通过任意给定的初始点 (t0, x10, x20, , xn0 ). 只要取
G
det
2
c1
2
c2
2
cn
0,
n
n
c1 c2
n
cn G
所以 c1,c2,,cn 是相互独立的任意常数.
注：求解方程组(6.1), 只要求出它的 n 个独立的首次积分即
可. 而在实际寻找方程组的首次积分时有相当的困难, 甚至 不可能. 但在理论上可以证明, 在相当广泛的条件下, 首次积 分是存在的.
于是原方程组的通积分为
(x (x
y)et y)e t
c1, c2
.
其中c1和c2是任意常数.
记 u1(t, x, y) (x y)et , u2(t, x, y) (x y)et.
设 x x1(t), y x2(t) 是方程组的任一组解,代入函数 u1, u2
则称 u(t, x1, x2,, xn )为方程组(6.1)的一个首次积分.
有时也称 u(t, x1, x2,, xn ) c 为方程组(6.1)的首次积分.
由定义知例6.1 中 u1(t, x, y) (x y)et 和 u2 (t, x, y) (x y)et
是它们方程组的2个首次积分.
u u
t
x1
f1
证明: 必要性.
u
xn
fn 0
6.3
设函数 u(t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积分,根据定义
6.1, u(t, x1, x2,, xn ) 沿着 G 内的任意一条积分曲线
x1(t), x2 (t), , xn (t) 都有
的通解呢? 这里涉及到首次积分之间的独立性的概念.
定义6.2 设 u j (t, x1, x2, , xn ) ( j 1, 2, , k n) 是方程组(6.1)的
个首次积分,如果Jacobi矩阵
u1 u1
x1
x2
(u1, ( x1 ,
u2 x2
,, ,,
注：根据定义来验证一个连续可微函数u(t, x1, x2,, xn ) 是否方程组(6.1)的一个首次积分很不现实, 因为涉及方 程组的求解问题. 我们需要它的可验证的等价条件。
一、首次积分的性质 定理6.1 函数 u(t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积 分的充要条件是在某区域 G Rn1 上成立恒等式
充分性.
若等式(6.3)在 G 内恒成立,则沿方程组(6.1)的任何积分曲线
x1(t), x2 (t), , xn (t) 也成立, 从而有
0 u u t x1
f1
u xn
fn
u u dx1(t) u dxn (t)
t x1 dt
xn dt
xn n (t ;t0 , c1 , c2 , , cn )
6.10
是方程组(6.1)过初始点 (t0,c1 ,c2 ,,cn )作为初始点, 则由解的
惟一性, 此积分曲线即为(6.10), 但可表示为 (t, x1 , x2 ,, xn ) 的一条积分曲线, 根据解对初值的可微性定理, (6.10)中的每
第六章 一阶偏微分方程
主讲人：刘兴波
§6.1 微分方程组的首次积分
对于非线性微分方程组
dx1
dt
f1(t, x1,
dx2 dt
f2 (t, x1,
dxn dt
fn (t, x1,
, xn ) , xn ) , , xn )
, 6.1
它没有一般的求解方法.本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组(6.1), 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关.
6.1知, 沿着积分曲线有
u j t
u j x1
f1
u j xn
fn 0, ( j 1, 2,
, n)
恒等式(6.7)与(6.8)相减得
,6.8u j x1( x1 Nhomakorabea
f1)
u j xn
( xn
fn )
0
,(
j
1, 2,
, n)
6.9
这是以 x1 f1, x2 f2,, xn fn 为未知变量的代数线性方 程组.由于它的系数矩阵的行列式即为
n
cj u j (t0, x10, x20, , xn0 ) , ( j 1, 2, , n)
即可.定理证毕. □
注6.2 按照通解的定义, 也可以证明在(6.5)中的 n个任意常数